MA2BPPGE, 1. února 2017
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[-1,-1,8],   S =[9,-1,8],   C =[9, 5,0],   D = [—1, 5,0],   E = [4, —6, —2]. + Dokážte, že ABC DE je pravidelný čtyřboký jehlan.
+ Určete odchylku některé hrany jehlanu procházející vrcholem od jeho podstavy. + Určete souřadnice bodu F, který je souměrný s bodem E podle roviny ABCD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí = {[-l,l,-4,l] + í(l,l,2,0) | tet},
C = {[xi, x2, x3, x4] | xi — x2 — 2x4 = —10, 2xi — x3 = 5, 2x2 — x3 + x4 = 22}.
+ Určete vzdálenost B a,C.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C.
3. Ve dvourozměrném prostoru jsou dány vektory
u =(2,-1),   v = (1,3). + Určete vnější součin [u, v], odchylku a = <(u, v) a ukažte, že platí
[u, v] = ||u|| • ||v|| • sin a.
4. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy bodů
[1,0][0,1],    [0,1][-3,4],    [0,-1][-1,0],    [-1,0][-4,3].
+ Dokažte, že tato transformace je afinní, a určete obraz obecného bodu [xi,x2].
+ Určete samodružné body, resp. směry a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... nepravidelného mnohoúhelníku, jehož těžiště splývá s počátkem souřadné soustavy.
+ ... dvou mimoběžných podprostorů, které mají společný směr.
+ ... středového promítání mezi dvěma podprostory, které je podobné.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... pokud má afinní transformace nějaké vlastní samodružné body, potom všechny tyto body tvoří afinní podprostor.