CRISTANNI DE PRACHATICZ
Algorismus prosaycus
KŘIŠŤAN Z PRACHATIC
Základy aritmetiky
edidit et traduxit Zuzana Silagiová
edice a překlad Zuzana Silagiová
PRAGAE MCMLXXXXIX
PRAHA 1999
V. Duplacio
V. Zdvojování
tram. Et si fuerit in secundo loco vel in tercio unitas, ea deleta scribas cifrám et adde 5 ad figurám precedentem.
Exemplum: Mediando 610541 remanent 305270. Probacio eius fit per duplacionem; est enim mediacio duplacionis probacio et econverso.
V. Duplacio (integrorum) est eiusdem (non alieni a se) nu-meri (materialis) per duplum (quia duplicacio dicitur quasi duo-rum complicacio) augmentacio (formalis) et sic triplacio per tri-
tií si fuerit.] Duplex cautela. Si fuerit unitas in quolibet loco, ea deleta scribatur cifra et quinarius addatur figure precedent!. Secunda cautela ponitur in textu. 412, 146.
Unitas superflua valet X, media 10 et sunt 5.
[Exemplum.] Exemplum aliud: 510321. Mediabo unum, loco eius scribatur cifra et supra ipsam scribatur figura dimidii, d cum titello.
Duplacio. In ista parte autor exequitur de quinta specie huius artis, scilicet de duplacione. Et pri-mo diffinit duplacionem, secundo docet modum operandi in hac specie et cum hoc ostendit modum in-cipiendi operari, ibi In duplando.
Plico, -as, id est componere, coagulare, coadunare, simul strin-gere, unum facere. Inde duplico, id est ex duobus unum facio, vel
unum gemino. Inde duplicacio, id 10 est ex pluribus una composicio vel unius geminacio, et dicitur duplicacio quasi duorum plicacio etc. Unde duplicacio dicitur quasi duo-rum plicacio. Numerus enim pro- 15 positus se ipsum bis capiens agre-gative duplicacionem facit, que quidem  duplicacio  unum numerům denominat provenientem, a quo ultra summa tocius numeri 20 manifesta ostenditur.
[Eiusdem.] Dicitur eiusdem ad differenciam addicionis, quia in addicione quilibet numerus ad-ditur cuilibet indifferenter, sed ita 25 non est in duplacione, quia duplacio est agregacio numeri ad se i-psum, Unde omnis duplacio est addicio, sed non econverso. |
30
1 in secundo loco vel in tercio unitas ] unitas in secundo vel in tercio loco F - 3 Mediando ] om. F - Probacio eius fit per duplacionem. Est enim mediacio duplacionis probacio et econverso ] om. F - 31a ex duobus unum Si ] ex duobus G, commentarius in F abest
hodnotu deseti - přičti k předcházející číslici směrem doprava pět, což je polovina z deseti.52 A bude-li na druhém nebo na třetím místě jednička, škrtni ji, napiš nulu a přičti pět k předcházející číslici.53
Příklad: Z půlení 610541 vyjde 305270.54 Zkouška půlení se dělá pomocí zdvojení, protože půlení je zkouškou zdvojování a naopak.
V. Zdvojování (celých čísel) je dvojnásobné (protože zdvojení znamená jakoby spletení dvou) zvětšování (příčina formální) téhož (nikoliv rozdílného od sebe sama) čísla (příčina mate-
[A bude-li.] Dvojí upozornění. Bude-li na jakémkoliv místě jednička, škrtne se, napíše se nula a pětka se přičte k předcházející číslici. Druhé upozornění stojí v textu. 412, 146.
Přebývající jednička má platnost deseti; rozpul deset a vyjde pět.
[Příklad.] Jiný příklad: 510321. Rozpůlím jedničku, na její místo se napíše nula a nad ni se napíše znaménko poloviny, d s čárkou.
Zdvojování. V této části autor vykládá o pátém úkonu tohoto umění, totiž o zdvojování. A za prvé zdvojování definuje, za druhé učí, jak při tomto úkonu postupovat, a s tím současně ukazuje, jak začít; tato část začíná slovy Při zdvojování.
Plico, -as, „splétat", znamená skládat, sjednocovat, spojovat, současně svíjet, jedno činit. Z toho je odvozeno duplicare, „zdvojná-
sobovat", tj. ze dvou jedno činit, nebo jedno zdvojovat. Z tohoto slovesa je odvozeno duplicatio, „zdvojení", tj. složení jedné věci z více či zdvojení jedné věci; a říká se duplicatio jakoby plicatio duorum, „spletení dvou věcí". Proto se říká duplicatio jakoby duorum plicatio, „spletení dvou věcí", neboť dané číslo přijímajíc slučo-vacím způsobem dvakrát sebe sama vytváří zdvojení a toto zdvojení určuje jedno výsledné číslo, které pak dále zřetelně představuje úhm celého čísla.
[Téhož.] Říká se téhož na rozdíl od sčítání, protože při sčítání se přidává bez rozlišování jakékoliv číslo k jakémukoliv číslu; tak tomu však není u zdvojování, protože zdvojování je připojování čísla k sobě samému. Z toho plyne, že každé zdvojování je také sčítání, nikoliv však naopak.
56
57
V. Duplacio
V. Zdvojování
G 7r plum (est eiusdem numeri augmentacio), quadruplacio per | qua-druplum (augmentacio).
In duplando numeram incipias ab ultima figura, id est a prima versus sinistram manum, dicendo bis duo et sunt quatuor. Et ex tali duplacione (arismetrica) si provenit digittus, deleta figura, quam duplasti (id est numerus prima propositus), scribe in loco eius digittum provenientem (excrescentem). Si articulus, tunc in loco eius (articuli) scribe cifrám et digittum, qui denominat (principaliter) ilium articulum, scribe in sequenti loco versus sinistram. Si autem numerus compositus provenit (per duplacio-nem), scribe digittum (qui est illius numeri compositi) in loco figure delete et articulum (quia respectu precedentis X significat) ponas versus sinistram.
G 7 r [In duplando.} Hic autor po-nendo modum operandi in hac specie ostendit, a qua parte sit in-cipiendum operari. Et prirao facit hoc de ultima figura, secundo de penultima, ibi Duplata ultima.
[Si provenit digittus.] Prima regula: In omni duplacione digitto proveniente deleatur figura duplata et scribatur digittus proveniens.
[Si articulus.] Secunda regula: Ex duplacione articulo proveniente figura duplata deleatur et loco eius cifra scribatur, digittum versus sinistrum transferendo.
[Sí autem numerus compositus.] Tercia regula: Numero com-posito ex duplacione proveniente deleatur figura duplata, in cuius loco scribatur digittus, articulum sub nomine digitti versus sinistrum transferendo.
10
15
20
25
- if :j|.J
IIP
mm
nmim
ItffP
É1Ě
riální), a tak podobně ztrojování trojnásobné (je zvětšeni téhož čísla), zčtvernásobení čtyřnásobné (zvětšení).55
Při zdvojování čísla začínej od poslední číslice, tj. od první směrem k levé ruce,56 a řekni dvakrát dvě jsou čtyři. Jestliže z takového zdvojení (aritmetického) vyjde digitus, škrtni číslici, kterou jsi zdvojil (tj. číslo p&vodně zadané), a na její místo napiš výsledný (vzešlý) digitus. Jestliže artikulus, pak na jeho místo (artikulu) napiš nulu a digitus, který tomu artikulu dává (prvotně) jméno, napiš na následující místo směrem doleva. Jestliže však vyjde (ze zdvojení) číslo složené, napiš na místo škrtnuté číslice digitus (který je součástí onoho složeného čísla) a artikulus (protože se zřetelem k předcházející číslici znamená deset) napiš směrem doleva.57
[Při zdvojování.] Zde autor vykládá, jak postupovat při tomto úkonu, a ukazuje, z které strany se má začít. A za prvé tak Činí u poslední číslice, za druhé u předposlední; tato část začíná slovy Po zdvojení poslední číslice.
[Jestliže ... vyjde digitus.] První pravidlo: Vyjde-li při jakémkoliv zdvojení digitus, škrtne se zdvojovaná číslice a napíše se výsledný digitus.
[Jestliže artikulus.] Druhé pravidlo: Vyjde-li ze zdvojení artikulus, škrtne se zdvojovaná číslice a na její místo se napíše nula, přičemž se digitus přenese vlevo.
[Jestliže však vyjde číslo složené.] Třetí pravidlo: Vyjde-li ze zdvojení číslo složené, škrtne se zdvojovaná číslice a na její místo se napíše nula, přičemž se artikulus přenese pod jménem digitu vlevo.
1 quadruplacio ] et quadruplacio F - 3 in duplando numerům ] in duplacione numeri F - id est a prima ] om. F - 4 bis duo et sunt quatuor) bis vel duo G - 5 provenit ] provenerit F - 8 denominat ] denotat F - 10 provenit ] provenerit F
58
59
li.
i7v
V. Duplacio
Duplata ultima dupla penultimam et omneš alias et fac, sicut de ultima feci stí (considerando priores tres regulas). Cifra, quia nichil significat, non duplatur (id est relinquenda est intacta, quia Mud, quod nichil est, duplari non potest).
Exemplum (tocius speciei): Duplando hune numerům 54608 proveniunt 109216, Et si hunc mediabis (quia mediacio est du-placionis probacio et econverso), exiet prior numerus, quem duplasti, scilicet 54608.
Notandum, quod in duplacione (hac specie, propter doctri-nam difficiliorem) et multiplicacione (propter necessitatem) et divisione incipiendum est ab ultima figura (plus significante) versus sinistram (id est a sinistra ad dextram tendendo). Wersus:
Subtrahis (id est subtraccionem facis) autaddis (addicionem) a dextris (versus sinistrum) aut mediabis (mediacionem facis), I
a leva (a sinistra versus dextram) dupla (duplacionem fac), divide (divisionem), multiplica (multiplicacionem),
[Duplata ultima.] Hic autor dočet duplare penultimam figurám et consequenter alias; et primo in figuris significativis, secundo in non significativis, ibi Cifra non.
[Cifra.] Quelibet duplacio vera est, que aliud ponit, sed cifra nichil est, igitur cifra duplari non potest, sic nec dividi.
[Notandum, quod.] Racio, qua-re in hac specie incipimus opera-
ri ab ultima figura, est i sta, quia si a prima figura řnciperemus opera-ri, contingeret eundem numerům multociens bis duplare. Et licet ali-quo modo possimus operari inci-piendo a prima figura, tarnen diffi-cilior esset doctrina et operacio.
[Incipiendum est.] Ne error ac-cideret, quia contingeret idem bis duplare. [
1 alias ] alias precedences F - 2 cifra ] cifra OF-6 proveniunt 109216. Et si hunc mediabis, exiet prior numerus, quem duplasti, scilicet 54608 j om. F - 9 Notandum, quod ] om. F - 10 et divisione ]om.G- 12 sinistram ] sinistram tendendo F-Wersus: Subtrahis aut addis a dextris aut mediabis ] om. F-13 in G in mg. al. m.: Wersus: A leva dupla, multiplica, divide quoque, / ast a sinistris radičem tollis utramque, / extrahe radičem eciam sub parte sinistra.
60
10:
15
20
25.
V. Zdvojování
Po zdvojení poslední číslice zdvoj předposlední a všechny ostatní číslice a učiň, jaks učinil s poslední číslicí (maje přitom na paměti předcházející tři pravidla). Nula, protože nic neznamená, se nezdvojuje (tj. musí se nechat nedotčena, protože to, co nic není, nemůže být zdvojeno).
Příklad (na celý úkon): Zdvojením čísla 54608 vyjde 109216. A když je rozpůlíš (protože půlení je zkouška zdvojování a opačně), vyjde původní číslo, které jsi zdvojil, totiž 54608.58
Je třeba si zapamatovat, že při zdvojování (při tomto úkonu; kvůli poněkud nesnadnějšímu postupu), násobení (kvůli nezbytnosti) a dělení se musí začínat od poslední číslice (znamenající více59) směrem doleva (tj. směrem zleva doprava). Verše:
Sčítej (tj. konej sčítání), odčítej též (odčítání), i pálení prováděj (pul) zprava (směrem doleva),
zleva (zleva směrem doprava) pak násob (konej násobení) a děl (dělení) a konej i zdvojování (zdvojuj),
[Po zdvojení poslední číslice.] Zde autor učí zdvojovat předposlední číslici a následovně další; a za prvé u číslic významových, za druhé u nevýznamových, to začíná slovy Nula se nezdvojuje.
[Nula.] Každé zdvojení, které něco vytváří, je skutečné, nula však není nic, tedy nula nemůže být zdvojena, stejně jako nemůže být rozdělena.
[Je třeba si zapamatovat.] Důvod, proč při tomto úkonu začíná-
me od poslední číslice, je ten, že kdybychom začali u první číslice, mnohokrát by se nám přihodilo, že bychom totéž číslo zdvojili dvakrát. A třebaže můžeme postupovat i jiným způsobem, začínajíce u první číslice, přesto by byla výuka a postup nesnadnější.
[Se musí začínat.] Aby nedošlo k omylu, protože by se mohlo stát, že totéž číslo by bylo zdvojeno dvakrát.
61
VI, Multiplicacio
VI. Násobení
extrahe radičem duplam (tam cubicam quam quadratam) sub parte sinistra.
VI. Multiplicacio (integrorum, sexta species) est augmenta-cio (ad tercium numerům inveniendum) unius numeri per alium
5
'< 7v       [Multiplicacio.] In ista parte  nario. Item sciendum, quod utilitas autor exequitur de sexta specie  huius speciei est ista, ut inveniatur huius artis, que vocatur multipli-  tercius numerus, qui contineat al-cacio. Et dividitur in 5 partes. Pri-  terum tociens, quot sunt unitates mo diffinit multiplicacionem, se~  in reliquo, sicut aliqualiter dictum 10 cundo dat modum operandi, ibi  est. Verbi grácia: Si aliquis rex ha-Cum ergo, tercio ponit quasdam  bet 1000 armigeros et cuilibet de-cautelas, ibi Et quando príma fi-  bet dare quatuor marcas per men-gura, quarto ponit regulám ad in-  sem, ut ergo sciamus, quot sunt veniendum numerům productum,  marce in universo. Ad hoc ista 15 ibi Et ut levius, quinto ponit exem- species valet, scilicet multiplican-plum pro tota ista specie, ibi Ex-  do 1000 per 4. emplum. Et primo quoad prímam       Multiplico, -as significat am-partem dicente. ple augere, augmentare, multipli-
Finis rmiltiplicacionis est, ut citer dilatare, mukas plicas facere, 20 inveniatur tercius numerus, qui  unum in plura dividere, secare, contineat alterum tociens, quot  multipartire. Inde multiplicacio, id sunt unitates in reliquo. est ampla auccio, augmentacio,
Item adhuc pro meliori intel- multiplex dilatacio, plicarum com-Iectu diffinicionis est notandum, posicio, seccio; multiparticio. Un- 25 quod multiplicare unum numerům de multiplicacio numeri est au-per alium non est aliud quam pro- gmentacio ipsius a se vel ab alio et positis duobus numerís invenire ex plicarum plurium faccio. Primum eis, qui inventus tociens multipli- enim plice unitatum intellectu se-catum contineat, quot sunt unitates cantur, deinde quelibet plica unita- 30 in multiplicante, Verbi grácia: Ter tis augmentatur, ex cuius multipli-sex sunt 18, 18 est tercius nume- cacione partes aucte componuntur rus, qui continet senarium ter ex et composite producunt generatum eo, quia sunt třes unitates in ter-  numerům, qui numerus productus
kořen - ať ten nebo ten (jak krychlový, tak čtvercový) - začni
dobývat od levé strany.60 VI. Násobení (celých čísel, šestý úkon) je zmnožování (aby bylo nalezeno třetí číslo) jednoho čísla druhým (rozdílným od
[Násobení] V této Části vykládá autor o šestém úkonu tohoto umění, které se jmenuje násobení. A výklad se dělí na pět částí. Za prvé násobení definuje, za druhé vykládá, jak postupovat, tato Část začíná slovy Chceš-li tedy, za třetí uvádí určitá upozornění, tam, kde jsou slova A když první číslice, za čtvrté uvádí návod k nalezení výsledného čísla, to začíná slovy A aby bylo možno lehčeji, za páté dává příklad na celý úkon, tam, kde je Příklad. A nejprve mluví o tom, co se týká první části (viz text).
Účelem násobení je nalézt třetí číslo, jež by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém.
Pro lepší pochopení definice je třeba ještě poznamenat, že násobit jedno číslo druhým není nic jiného než ze dvou zadaných čísel najít takové, které by obsahovalo násobené tolikrát, kolik je jednotek v násobícím. Například: Třikrát šest je 18; 18 je třetí číslo, které obsahuje šestku třikrát na základě toho, že ve trojce jsou tři jednotky. Rovněž je třeba vědět, že užitečnost
tohoto úkonu je v tom, aby se nalezlo třetí číslo, které by obsahovalo jedno tolikrát, kolik je jednotek v druhém, jak už bylo řečeno. Například: Má-li nějaký král 1000 ozbrojenců a každému má dát čtyři hřivny měsíčně, abychom tedy věděli, kolik hřiven je to celkem. A k tomuto je tento úkon užitečný, totiž násobíme-li tisíc čtyřmi.
Multiplico, -as, „násobit", znamená hojně zvětšovat, zmnožovat, několikanásobně rozšiřovat, vytvářet četné složky, jednu věc dělit na více věcí, sekat, dělit na mnohé části. Z toho je multiplicatio, „násobení", tj. hojné zvětšování, zmnožování, mnohonásobné rozšiřování, skládání složek, sekání, dělení na mnohé části. Odtud pak multiplicatio numeri, „násobení čísla", je zvětšování jeho samého sebou samým nebo jiným a vytváření více složek. Nejprve jsou totiž složky jednotek v mysli rozdělovány, pak je každá složka jednotky zvětšena a jejím zmnožováním se zvětšené části skládají a složeny vytvářejí nově vzniklé číslo, které se nazývá číslo výsledné. Je totiž
1 duplam sub Si} dupla sub G, a F - 16a levius Si ] in eius G, com-mentarius in F abest - 32a 18 est Si ] est G, commentarius in F abest
62
63
VJ. Multiplicaclo
VI. Násobení
(diversum a se, vel per seipsum) tociens, quot sunt imitates (tam-quam partes in toto) in reliquo (in numero multiplicato), ut di-cendo bis tria et sunt 6 (ecce tercius numerus). Hic tria augentur 7 42v per bis (per alium numerum) propter duas unitates, | que sunt in binario.
Et numerus, qui multiplicatur, vocatur numerus multipli-candus (passive, eo quod multiplicatur), et numerus, qui multi-plicat alium (multiplicandum), dicitur numerus multiplicans (active, eo quod agit multiplicando), et semper debet adverbi-aliter exprimi (propter differenciam multiplicantis et multipli-candi, aliter enim unus non differret ab alio), ut ter quatuor et sunt 12. Hic ter (expressus per adverbium ,ter' tamquam quid
appellator. Constat enim numerum per se non posse multiplicari, nisi partes eius multiplicentur, que sunt unitates, quarum multiplica-cione multiplicacio tocius medita-ta assumitur. Et sie auccio parcium totum redidit multiplicatum, non una tantum, sed omnes, quia sie totum non vere multiplicaretur; partibus enim omnibus multipli-catis totum augetur et sie in eo fit multiplicacio; et ut sie multiplicacio presupponit auccionem parcium, sicut totum supponit perfec-cionem earundem.
[Per alium.] Quandoque enim numerus multiplicat se ipsum, di-cendo quater 4 sunt 16, quandoque per alium, quia sunt distineti nu-
10
meri aliquando in multiplicacione, utter4 sunt 12. 15
[Et numerus.] Nota: Duo ordi-nes sunt necessarii in multiplicacione, scilicet numerus multiplicans active et numerus multipli-candus passive. Et potest assignari 20 tercius, scilicet numerus produ-ctus.
[Semper debet.] Multiplicans numerus debet adverbialiter exprimi, ideo quia habet se per modum 25 forme informants multiplicandum, qui nominaliter exprimitur propter materiam, que informatur. Ideo unus agit et alter patitur, ex quorum coniunecione tercius ge- 30 neratur.
sebe, nebo sebou samým) tolikrát, kolik je ve druhém (násobeném čísle) jednotek (tak jako částí v celku), např. když řekneme dvakrát tři je šest (toto je třetí číslo). V tomto případě jsou tři rozmnoženy dvakrát (jiným číslem) prostřednictvím dvou jednotek, které jsou obsaženy v čísle dvě.61
A číslo, které je násobeno, se jmenuje číslo násobené (pasivně, protože je násobeno), a číslo, které násobí jiné (násobené), se jmenuje číslo násobící62 (aktivně, protože při násobení koná), a vždy má být vyjádřeno jako příslovce (kvůli rozdílu mezi násobícím a násobeným, jinak by se totiž jedno od druhého nelišilo), např. třikrát čtyři je dvanáct. V tomto případě třikrát (vyjádřené příslovcem ,třikráť jako něco formálního) je číslo násobící a čty-
známo, že číslo nemůže být sebou samým jinak násobeno, než že jsou násobeny jeho části, což jsou jednotky, a jejich násobením se děje myšlené násobení celku. A tak násobený celek je vytvářen zvětšováním svých částí, a to nikoliv pouze jedné, ale všech; jinak by totiž nebyl doopravdy zvětšován, neboť celek se zvětšuje zmnožováním všech částí a tím se v něm děje násobení; a tak jako násobení předpokládá zvětšování částí, tak celek předpokládá jejich dokonalost.
[Druhým.] Někdy totiž číslo násobí sebe sama, např. čtyřikrát 4 je 16, jindy je násobeno jiným, pro-
tože někdy se násobení účastní rozdílná čísla, např. třikrát 4 je 12.
[A číslo.] Pamatuj: Při násobení jsou potřebné dva řádky, totiž číslo aktivně násobící a číslo pasivně násobené. A může být připojen i řádek třetí, totiž číslo výsledné.
[Vždy má být.] Číslo násobící má být vyjadřováno jako příslovce, protože se chová jako forma, formující číslo násobené, jež je vyjadřováno jako jméno kvůli materii, která je formována. Tedy jedno je prvkem činným a druhé trpným a z jejich spojení vzniká číslo třetí.
3 et ] om. F~7 numerus ] ille F - 8 dicitur numerus ] vocatur F - 11 et ] om. F-12 ter est ] est ter F- 31a 16 Si ] 8 G, commentarius in F abest
64
65
VI. Multiplicacio
VI. Násobeni
formale) est numerus multiplicans et quatuor (sub nomine tamquam materiále) multiplicandus et 12, qui provenit ex multi-plicacione, dicitur numerus productus (quia ex duorum multi-plicacione tamquam ex agente et paciente producitur, id est tamquam ex viro etfemina). Et est sciendum, quod ex numero 5 multiplicante potest fieri numerus multiplicandus et econverso (omnis enim numerus in se convertitur per multiplicacionem eadem summa proveniente), ut idem est dicere ter quatuor et quater tria, quia sunt (ubique) 12.
Cum igitur volueris aliquem (magnum vel parvum) numerům 10 per se (scilicet ipsum) vel per alium (diversum a se) multiplicare, scribe numerům multiplicandum in superioři ordine (quiafluxus eius est continuus, accidentalia enim sunt mutabilia) per suas figuras et numerům multiplicantem in inferiori ordine, sic tamen, 8r quod prima inferioris j ordinis (numeri multiplicantis) sit sub 15 ultima superioris ordinis (numeri multiplicandi).
{Et est sciendum.] Debet autem numerus multiplicans esse minor et multiplicandus maior, idem tamen ubique proveniet.
[Cum igitur volueris] Hie tra-dit artem multiplicandi et modum operandi in ista specie et primo premittendo intentum suum docet ordinäre et disponere figuras utri-usque numeri, secundo suum intentum exequitur, ibi Et tunc due.
[Scribe numerům multiplicandum.] Quia substancia prior est ac-
cidente et per consequens materia forma, origine saltern, et propter hanc stabilitatem superius scribi- 20 tur. Substancia enim eterna est, ut dicit Dionysius De divinis nomini-bus. Ecce dignitas attenditur circa constanciam et stabilitatem, indi-gnitas autem circa mutabilitatem. | 25
fi (vyjádřené' jménem jako něco materiálního) číslo násobené a číslo 12, které z násobení vyjde, se nazývá číslo vytvořené63 (protože je vytvořeno násobením dvou prvků, jakoby činného a trpného, tj. jakoby muže a ženy). A je třeba vědět, že z čísla násobícího se může stát násobené a opačně (totiž při násobení je každé číslo zaměnitelné za druhé, přičemž vychází stejný výsledek), např. totéž je říci třikrát čtyři a čtyřikrát tři, protože vyjde (vždy) dvanáct.
Chceš-li tedy nějaké číslo (velké nebo malé) násobit sebou (totiž jím samým) nebo jiným (rozdílným od něho), napiš číslo násobené podle číslic do hořejšího řádku (protože jeho trvání je stálé, akcidenty jsou však proměnlivé) a číslo násobící do spodního řádku, a to tak, aby první číslice spodního řádku (čísla násobícího) byla pod poslední číslicí horního řádku (čísla násobeného).64
[A je třeba vědět.] Číslo násobící má být menší a číslo násobené větší, třebaže vždy vyjde totéž.
[ChceŠ-li tedy.] Zde vykládá umění násobit a způsob, jak při tomto úkonu postupovat, a za prvé předesílaje svůj úmysl učí uspořádat a rozvrhnout číslice obou čísel, za druhé svůj úmysl vysvětluje; to začíná slovy A pak násob.
[Napiš číslo násobené.] Protože substance je dříve než akcident a v důsledku toho je materie dříve než forma, aspoň původem, a díky této stabilitě se píše výše. Substance je totiž věčná, jak říká Dionysius65 ve spise O božích jménech. Hle, důstojnost je vztahována ke stálosti a stabilitě, nedůstojnost však k proměnlivosti.
30
1 quatuor ] quatuor est numerus F - 5 est sciendum ] sciendum est F -6 numerus ] om. F - 10 igitur ] ergo F - 12 multiplicandum ] multiplicandum, quod est F - 14 figuras ] differencias F - 21b ut Si ] ut patet G, commentarius in F abest
22b non invent
66
67
VI. Multiplicacio
VI. Násobení
Et tunc due omnes figuras inferioris ordinis adverbialiter, in-cipiendo ab ultima (usque ad primam) inferioris ordinis, in ulti-mam superioris ordinis (scribendo versus manum sinistram).
Et si ex tali multiplicacione (arismetrica) provenerit (excreverií) digittus, scribe eum inmediate (sine spacio) supra caput 5 (directe) illius numeri (id est numeri multiplicantis), per quem multiplicas. Si articulus (ex multiplicacione provenerit), tunc scribe cifrám supra caput (directe) numeri multiplicantis (scripti inferius) et digittum denominantem articulum (quia omnis articulus denominatur a digitto, ut 10 ab unitate) pone in proximo 10 loco (quia circa cifrám) versus sinistram. Et si numerus com-positus (provenit), tunc scribe digittum, qui est pars (principalis) illius numeri compositi, supra capud numeri, per quem multiplicas, et articulum sinistra ut prius.
r 8r [Et tunc due] Hic autor exequatur intentum suum docens quarrdibet figurám numeri multiplicantis ducere in ultimam figurám numeri multiplicand!. Et divi-ditur, quia primo facit, quod dictum est, secundo ponit quosdam casus provenientes ex ductu ul-time multiplicantis in ultimam
ideo summa eius supra scribitur.
34 23
782
[Si articulus.] Racio regule, quia numerus articulus duas figuras obtinet, que duo locarequirunt, igitur figura nichilli unum locum tenet et alterum figura significa-tiva. 2|2 1144
[Et si numerus compositus.]
tales casus sunt tres. Primus, ibi Et si ex tali, secundus, ibi Si articulus, tercius, ibi Et si numerus compositus.
[Et si ex tali.] Racio regule, quia digittus cum simplex sit numerus, unum locum obtinet, et
res partes, que sunt distincte in numero, ideo Iocorum pluralitatem ad se seribendum designat. 1472
64 23
15
20
multiplicand!, ibi Et si ex tali. Et Racio, quia compositus habet plu- 25
30
A pak násob pomocí příslovce všemi číslicemi spodního řádku, začínaje od poslední (až k první) spodního řádku, poslední číslici horního řádku (při psaní směrem doleva).66
A jestliže z takového (aritmetického) násobení vyjde (vzejde) digitus, napiš ho bezprostředně (bez mezery)67 nahoru nad (přímo) to číslo (tj. číslo násobící), kterým násobíš. Jestliže artíkulus (vyjde z násobení), pak napiš nulu nahoru nad (přímo) číslo násobící (psané' dole) a digitus pojmenovávající artikulus (protože každý artikulus přijímá jméno od digitu, např. deset od jedničky) napiš na nejbližší místo (totiž vedle nuly) směrem doleva. A jestliže číslo složené (vyjde), pak digitus, který je součástí (prvotní) toho složeného čísla, napiš nahoru nad číslo, kterým násobíš, a artikulus posuň doleva jako dříve.68
[A pak násob.] Zde autor vykládá svůj záměr a učí, jak násobit poslední číslicí čísla násobícího poslední číslici čísla násobeného. A výklad je rozdělen, protože za prvé činí, co bylo řečeno, za druhé uvádí určité případy vycházející z násobení poslední číslice čísla násobeného poslední číslicí čísla násobícího; to začíná slovy A jestliže z takového. A takové případy jsou tři. První je vyložen tam, kde jsou slova A jestliže z takového, druhý tam, kde jsou slova Jestliže artikulus, třetí začíná slovy A jestliže číslo složené.
[A jestliže z takového.] Důvod pravidla je ten, že digitus, protože je číslo jednoduché, zaujímá pouze jedno místo, a tedy se celý napíše nahoru. ^ 782
[Jestliže artikulus] Důvod pravidla je ten, že artikulus obsahuje dvě číslice, které vyžadují dvě místa; jedno místo totiž zaujímá nula a druhé číslice významová. 1144
[A jestliže číslo složené.] Důvod je ten, že číslo složené má více částí, které jsou v čísle jasně rozlišeny, k zápisu tedy vyžaduje
52 22
více míst.
64 23
1472
1 figuras ] om. F - 4 tali ] om. C - provenerit ] si provenerit F ~ 11 sinistram ] sinistram manum F - 14 et articulum sinistra ut prius ] om. F
68
11
ji
69
VI. Multiplicacio
VI. Násobení
43r
Sv
Hoc facto (id est iam multiplicata ultima multiplicandi per omneš figur as multiplicantis) multiplicanda est ultima superioris ordinis (numeri multiplicandi) per penultimam inferioris ordinis (numeri multiplicantis), faciendo per omnia (considerando tres regulas), sicut dictum est, et sie consequenter de omnibus (figu-ris) inferioris ordinis (numeri multiplicantis), ducendo eas adverbialiter in ultimam superioris ordinis (numeri multiplicandi), sie tarnen (faciendo), quod quando primam inferioris ordinis (numeri multiplicantis) multiplicas in aliquam (ultimam) figurám superioris ordinis (numeri multiplicandi), tunc semper dele illam superioris ordinis et scribe numerům provenientem in locum eius (delete). Si provenit J digittus (per primam regulám), scribe di-gittum. Si articulus (per secundam regulám), scribe cifrám in locum eius J et digittum adde versus sinistrara ad figúram sequen-tem. Si numerus compositus (per terciám regulám), tunc digittum, qui est pars illius numeri compositi, scribe in locum delete figure et articulum versus sinistram, ut prius dictum est.
[Hoc facto.] Prius autor docuit multiplicare ultimam superioris ordinis per ultimam inferioris ordinis, hic iam docel multiplicare ultimam superioris ordinis per penultimam inferioris ordinis et conse-quenterper omneš alias, et hocpre-dictis duobus casibus observatis.
[Et sic consequenter de omnibus.] Hic autor dočet multiplicare omneš figuras superioris ordinis
numeri multiplicandi per primam figurám inferioris ordinis numeri multiplicantis. Et dividitur, quia primo ponit modům operandi, se-eundo exequitur illum modům operandi, ponendo tres casus pro-venientes circa multiplicacionem figurarum superioris ordinis per primam inferioris, ibi Si proveniet
digittus. I 223H66 2o61120 2]51725
56,
2 multiplicanda est ultima ] multiplica ultimam F - 3 penultimam ] ultimam F — 8 sic tamen, quod quando primam inferioris ordinis multiplicas in aliquam figurám superioris ordinis, tunc semper dele illam superioris ordinis ] om. F- primam ] per primam G, per in mg. - 12 provenit ] provenerit F -13 scribe ] tunc scribe F -14 sinistram ] sinistram partem F -15 mne ] scribe F- 16 compositi ] om. F - delete figure et ] delete et scribe F - 17 sinistram ] sinistram partem F - dictum est ] om. F- 21a inferioris Si ] superioris G, commentarius in F abest
10
15
20
25
Když se tak stalo (tj. po vynásobení poslední číslice čísla násobeného všemi číslicemi čísla násobícího), je třeba násobit poslední číslici horního řádku (čísla násobeného) předposlední číslicí spodního řádku (čísla násobícího), přičemž děláme všechno tak (majíce na paměti tři pravidla), jak bylo řečeno, a tak podobně u všech (číslic) spodního řádku (čísla násobícího), násobíce jimi pomocí příslovce poslední číslici horního řádku (čísla násobeného), a to tak (konajíce), že když násobíš první číslicí spodního řádku (čísla násobícího) nějakou číslici (poslední) horního řádku (čísla násobeného), tu vždycky škrtni tu v horním řádku a výsledek napiš na její (té škrtnuté) místo. Jestliže vyjde digitus (podle prvního pravidla), napiš digitus. Jestliže artikulus (podle druhého pravidla), napiš na její místo nulu a digitus přičti k následující číslici směrem doleva. Jestliže číslo složené (podle třetího pravidla), pak digitus, který je součástí toho složeného čísla, napiš na místo škrtnuté číslice a artikulus směrem doleva, jak bylo řečeno dříve.
[Když se tak stalo.] Nejprve autor naučil násobit poslední číslici horního řádku poslední číslicí spodního řádku, nyní zase učí násobit poslední číslici horního řádku předposlední číslicí spodního řádku a podobně všemi ostatními, a to při zachování dvou výše zmíněných případů,
[A tak podobně u všech.] Zde autor učí násobit všechny číslice násobeného čísla z horního řádku
první číslicí čísla násobícího ze spodního řádku. A výklad je rozdělen, protože za prvé uvádí způsob, jak postupovat, za druhé tento způsob vykládá, přičemž ukazuje tri případy vycházející z násobení číslic horního řádku první číslicí spodního řádku; to začíná slovy Jestliže vyjde digitus. 2|31166
20 1120 23
70
71
VI. Multiplicacio
Et postquam omnes figuras inferioris ordinis (numeri multiplicands) multiplicasti in ultimam superioris ordinis (numeri multiplicand^, tunc per unum locum transferas (id est per unam differenciam localem transponas, quia oportet quamlibet figurám numeri multiplicantis multiplicari per unamquamque numeri multiplicandi, transponendo numerům multiplicantem per unam differenciam) omnes inferioris ordinis, ponendo primam inferioris ordinis sub penultima superioris ordinis. Et incipias, ut prius fecisti (servando tarnen priores tres regulas), ab ultima inferioris ordinis multiplicare penultimam superioris ordinis et sie consequenter fac de aliis (figuris omnibus) usque ad primam inferioris ordinis. Et per illam multiplicando delebis (quia semper ultima delet) superiorem et sie fac per totum, donec quem-libet numerům superioris ordinis multiplieaveris per quemlibet numerům inferioris ordinis.
Et quando prima figura (id est quia in omnibus figuris, tam significativis, quam non significativis, servatur regula generalis
[Et postquam.] Hic dočet mul-tiplicare penultimam numeri multiplicandi per omnes figuras numeri multiplicantis et hoc faciendo dočet transposicionem et anterio-racionem figurarum numeri multiplicantis; secundo hoc idem con-cludit de aliis figuris numeri multiplicandi esse faciendum, ibi Et sic fac per totum.
Notabile primům.
[Penultimam superioris ordinis.] Hic dočet multiplicare pen-
ultimam superioris ordinis per penultimam inferioris ordinis et consequenter per omnes alias, di-cens.
[Et sic fac per totum.] Hic autor concludit universaliter hoc esse tenendum et faciendum de aliis figuris ducendis numeri multiplicantis in alias figuras numeri multiplicandi, dicens.
[Et quando prima figura.] Hic autor ponit quandam cautelam de prima figura numeri multiplicantis
3 tunc ] et tunc F - transferas ] transporta F-7 ponendo primam inferioris ordinis ] om. F - 8 ut prius fecisti ] om. F - 10 penultimam ] per figurám ultimam F - 12 post illam in G in mg al. m.: quemlibet numerům multiplicando
10
15;
20:
25
30
VI Násobení
A potom, cos vynásobil všemi číslicemi spodního řádku (čísla násobícího) poslední číslici horního řádku (čísla násobeného), posuň všechny číslice spodního řádku o jedno místo (tj. přelož o jedno místo, protože je třeba, aby každá číslice čísla násobícího byla vynásobena každou číslicí čísla násobeného, a to se děje posouváním násobícího čísla o jedno místo) tak, že napíšeš první číslici spodního řádku pod předposlední horního řádku.69 A začni násobit, jaks to dělal dříve (zachovávaje při tom předešlá tři pravidla), poslední číslicí spodního řádku předposlední číslici horního řádku a tak podobně to čiň s ostatními (všemi číslicemi) až k první spodního řádku.70 A po vynásobení touto číslicí škrtni (protože poslední vždy škrtá) horní číslici a tak postupuj u celého čísla, dokud neznásobíš každé číslo horního řádku každým číslem řádku spodního.71
A když první číslice (tj. protože u všech číslic, jak významových, tak nevýznamových, se zachovává všeobecné pravidlo
[A potom.] Zde učí násobit předposlední číslici čísla násobeného všemi číslicemi čísla násobícího a při tom současně učí přenášet a posouvat dopředu číslice čísla násobícího; za druhé dovozuje, že totéž je třeba činit u jiných číslic čísla násobeného, to začíná slovy A tak čiň u celého čísla.
První důležitá poznámka. [Předposlední číslici horního řádku.] Zde učí násobit předpo-
slední číslici horního řádku předposlední číslicí spodního řádku a dále všemi ostatními a říká (viz text).
[A tak čiň u celého čísla.] Zde autor dovozuje obecně, že toto je třeba dodržovat a dělat u ostatních číslic čísla násobícího, jimiž se mají násobit ostatní Číslice čísla násobeného a říká (viz text).
[A když první číslice.] Zde autor uvádí jisté upozornění týkající se první číslice násobícího čís-
72
73
VI. Multiplicacia
VI. Násobení
,ultima deleť) numeri multiplicantis fuerit cifra, tunc, quando cifrám muítiplicas, adverbialiter dicendo nullociens duo et est G 9i nichil, | dele semper numerům multiplicandum et scribe in locum eius cifrám. Vel melius (quia facilius) et brevius, quando prima figura inferioris ordinis (numeri multiplicantis) fuerit cifra (nichil significans per se), tunc dele cifrám (ab inferiori ordine) et pone earn ante (versus sinistrum scribendo) in primo loco in numero (multiplicando), quem vis multiplicare, et tunc multi-plica (post deposicionem cifře) per residuum numerům, qui re-mansit, numerům multiplicandum et idem (eadem figura) pro-veniet.
in hac specie observandam et potest sic continuari ad partem precedentem Ulam Sic tamen, quod quando primam etc. Prius autor docuit multiplicare figuras su-perioris ordinis per primam inferioris ordinis in hoc, si talis prima figura inferioris ordinis fuerit significativa, hic iam dočet multiplicare figuras omneš superioris ordinis per primam inferioris ordinis, et hoc si talis prima figura fuerit cifra; et hoc facit dupliciter, quia primo facit hoc modo pro-lixiori, secundo breviori, ibi Vel melius.
Et racio regule potest esse una ista, quia in omnibus figuris tarn
10
significativis, quam non significa-tivis, servatur regula generalis: Prima figura numeri multiplicantis 15 delet sibi suprapositam. Secunda racio potest esse ista, quia cifra eo-dem modo articulum vel sibi si-milem numerům representat ín multiplicando numero, sicut signi- 20 ficat in multiplicante.
[Vel melius.] Racio, quia cifra eodem modo articulum vel sibi si-milem numerům significat in multiplicando numero, sicut significat 25 in multiplicante. ^ \
30:
'HP mi:
,poslední škrtá') čísla násobícího bude nula, pak - protože náso-bíš-li nulu, říkáš pomocí příslovce nickrát dvě je nic - škrtni vždy číslo násobené a na jeho místo napiš nulu. Nebo lépe (protože snadněji) a kratčeji, když první číslice spodního řádku (čísla násobícího) bude nula (sama o sobě nic neznamenající), pak škrtni nulu (ve spodním řádku) a napiš ji dopředu (při psaní směrem doleva) na první místo v čísle, které chceš násobit (v násobeném), a pak násob (po škrtnutí nuly) zbylým číslem, které zůstalo, číslo násobené a vyjde totéž (tatáž číslice).12
la, které je nutno při tomto úkonu dodržovat, a to může být vztaženo i k předcházející části A to tak, že když násobíš první atd. Nejprve autor učil násobit číslice horního řádku první Číslicí spodního v tom případě, jestliže tato první číslice spodního řádku byla významová, zde zase učí násobit všechny číslice horního řádku první číslicí spodního řádku, a to v případě, že tato první číslice je nula, a činí tak dvojím způsobem, protože za prvé to dělá způsobem delším, za druhé kratším; stručnější způsob začíná slovy Nebo lépe.
A jeden z důvodů tohoto pravidla může být ten, že u všech číslic, jak významových, tak nevý-znamových, se zachovává všeobecné pravidlo: První číslice čísla násobícího škrtá číslici umístěnou nad sebou. Druhý důvod může být ten, že nula představuje arti-kulus nebo jemu podobné číslo v čísle násobeném týmž způsobem jako v násobícím.
[Nebo lépe.] Důvod je ten, že nula vyjadřuje artikulus nebo jemu podobné číslo týmž způsobem v čísle násobeném jako v násobí-
cím.
46 20
2 et est nichil ] vel tria G - 3 dele semper ] semper dele F - multiplicandum ] quem muítiplicas F - 4 eius ] om. G - brevius, quando prima figura ] facilius, quandocunque prima F - 6 tunc dele cifrám et ] dele earn F - 10 numerům ] om. G - 17a docuit multiplicare Si ] docuit G, commentarius in F abest
VI. Multiplicacio
Et ut levius et prompcius (propter pueros, qui in levibus de-lectantur, et per artem ostendendo, quia quilibet artifex expertus esse debet in sua arte) sciatur inveniri numerus productus (ter-cius), tunc semper minor numerus (accidencia enim magnam partem conferunt ad congnoscendum, quod quid est, ut dicit Phi-losophus), sive ipse sit in ordine superioři, sive inferiori, expri-matur (numerus multiplicans) adverbialiter et alter nominaliter, ut dicendo ter 9 et sunt 27 est facilius dicere quam no vies tria sunt 27.
G 9r       Et ut levius. Hic autor ponit articulus sue denominacionis. Ter-
10
unam regulám multum utilem in hac specie ad inveniendum numerům productum. Et nota, quia dici-tur in regula inter maiorem digit-turn, nam quandocunque nullus illorum est maior alio (exemplum:
cium est, quociens minor digittus est subtrahendus ab articulo sue denominacionis, et hoc est dištancia maioris digitti a denario.
Leve est idem, quod facile et quod sine nimia intellectus ele-
15
ut si multiplicetur 6 per 6 vel 8 per vacione accipi potest. Unde hec
8), dicitur, quod sic textus non est maxime sectanda est, ut diucius
intelligendus. Si occurrit maior di- possit ingeniöse, sine corrupcione
gittus, tunc debet considerari, quot intelligibilia agere et agenda ve-
sunt unitates inter maiorem digit- rius discuttere. Promptům est.
20
turn et denarium, si vero sunt digitti equales, tunc debent considerari unitates, quot sunt inter numerům multiplicandum. Item nota, quod in ista regula tanguntur tria: Primům, quod minor digittus est subtrahendus. Secundum est, a quo est subtrahendus, et hoc est
quod scitur in habitu arte, prompcius autem, quod in actu exer-cetur.
25
VI. Násobení
A aby bylo možno lehčeji a rychleji (kvůli studentům, kteří mají zálibu v lehkých postupech, a abychom skrze dovednost ukázali, že každý mistr má být znalý ve svém oboru) najít výsledné (třetí) číslo, pak menší číslo (akcidenty totiž přispívají velkou částí k poznání toho, co každá věc je, jak praví Filosof), ať je v horním či spodním řádku, se má vždy vyjádřit (násobící číslo) jako příslovce a druhé jako jméno; např. říci třikrát devět je dvacet sedm je snadnější než říkat devětkrát tři je 27.
A aby bylo možno lehčeji. Zde autor uvádí jedno velice užitečné pravidlo pro nalezení výsledného čísla při tomto úkonu. A všimni si, že v pravidle se praví mezi větším digitem, neboť tím se říká, že takto nemá být tento text chápán, není-li žádný z digitů větší než druhý (příklad: jestliže se násobí šest šesti nebo osm osmi). Jestliže se vyskytne větší dígitus, pak se musí uvážit, kolik je jednotek mezi větším digitem a desítkou; jsou-li však digity stejné, pak se musí vzít v úvahu jednotky, které jsou mezi násobeným číslem a desítkou. Rovněž si všimni, že v tomto pravidle jsou zmíněny tři věci: První, že menší digitus se má odečíst.
Druhá, od Čeho se má odečíst, a tím je artikulus, který má od něho jméno. Třetí je to, kolikrát se má menší digitus odečíst od artikulu, kterému dal jméno, a tím je rozdíl mezi větším digitem a desítkou.
Lehké je to, co může být pochopeno snadno a bez přílišného úsilí rozumu. Z toho plyne, že je třeba toto úsilí vynakládat, abychom s jeho pomocí mohli věci určené k pochopení důmyslněji a bez chyby konat a věci určené ke konání pravdivěji zkoumat. Zjevné je to, co se ví prostřednictvím umění habituálné, zjevnější to, co se provozuje aktuálně.
6 ipse ] om. F - inferiori ] in inferiori F - 7 multiplicans Si ] multipli-candus G, commentarius in Fabest-alter ] aliter autor F~S dicendo ] di-cendum G - et ] om. F - est ] est enim F - 19a non est Si ] est G, commentarius in F abest
5 Auctoritates 174,7 (Aristoteles, De anima A 1, 402b21-22)
76
77
VI. Multiplicacio
VI. Násobení
F43v Et si nescis statim (sine dilacione) | productum numerům (provenientem ex multiplicacione), tunc minorem numerům (id est multiplicantem), quern adverbialiter exprimis (provenientem ex digitto, scilicet quando digittus multiplicat digittum), subtrahe ab articulo, quem ipse denominat, tociens, quot sunt unitates inter mayorem digittum (maiorem) et 10 inclusive (id est quot sunt inter digittum denominantem et articulum 10), ut in presenti exemplo: 9 distat per unitatem a decern, igitur subtrahe tria, qui est minor digittus, a 30, qui est articulus, quem denominant tria, et remanent 27; ergo ter 9 sunt 27, et sic de aliis.
Exemplum: Multiplicando 6504 per 207 provenient 1346328-1
[Et si nescis statim.] Aliquis volens scire istam regulam debet habere respectum ad tria, scilicet ad numerum multiplicandum, ad numerum multiplicantem et ad de-narium, sic tarnen, quod maior numerus in respectu denarii et minor in respectu articuli, ut quater 8: quater habet respectum ad suum articulum, quem denominat, scilicet 40, sed 8 habet respectum ad denarium. Quot ergo unitates con-currunt inter 10 et 8, tociens minor numerus debet subtrahi ab articulo, quem denominat, scilicet 40, ut quater 8 sunt 40 preter bis quatuor. Bis quatuor sunt 8, 8 a 40 et sunt 32. Et est intelligenda solum de magnis et non parvis nu-
10
meris, quia in parvis est per se no-tum, ut bis duo sunt 4. Et si sunt equales digitti, tunc est facilius, 15 nam capiatur unus digittus in respectu denarii et secundus in respectu articuli. Exemplum: Ut no-vies novem sunt 90 preter semel 9, subtrahatur semel 9 a 90, rema- 20 nent 81.
123456789
2 4  6  8 10 12 14 16 18
3 6   9 12 15 18 21 24 27 25
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72 30
9 18 27 36 45 54 63 72 81 |
A jestliže hned (bez prodlení) nevíš výsledné číslo (vycházející z násobení), tu odečti menší číslo (tj. násobící), které vyjadřuješ jako příslovce (pocházející z digitu, totiž když digitus násobí digitus), od artikulu, kterému tento digitus dává jméno, a to tolikrát, kolik jednotek je mezi větším digitem (větším) a 10 včetně (tj. kolik jich je mezi pojmenovávajícím digitem a artikulem 10), jako v tomto příkladě: 9 se liší od deseti o jedničku, odečti tedy 3, což je menší digitus, od 30, což je artikulus, kterému tri dávají jméno a zůstane 27; třikrát devět je tedy 27, a tak postupuj i v jiných případech.73
Příklad: Vynásobením 6504 a 207 vyjde 1346328.74
[A jestliže hned nevíš.] Ten, kdo chce znát toto pravidlo, musí mít na zřeteli tři věci, totiž číslo násobené, číslo násobící a desítku, a to tak, že větší Číslo je ve vztahu k desítce a menší ve vztahu k artikulu, např. čtyřikrát 8: čtyřikrát se vztahuje ke svému artikulu, kterému dává jméno, totiž ke 40, naproti tomu však 8 se vztahuje k desítce. Tedy kolik jednotek je nashromážděno mezi 10 a 8, tolikrát se musí menší číslo odečíst od artikulu, kterému dává jméno, totiž od 40; např. čtyřikrát 8 je 40 bez dvakrát čtyř. Dvakrát čtyři je 8, 40 bez 8 je 32. A toto pravidlo se používá jen u velkých, nikoliv u malých čísel, protože u ma-
lých je to známo samo o sobě, např. dvakrát dvě jsou 4. A jsou-li digity stejné, pak je to snadnější, protože jeden digitus se vezme ve vztahu k desítce a druhý ve vztahu k artikulu. Příklad: Devětkrát devět je 90 bez jednou devíti, odečte se jednou 9 od 90, zůstane 81.
123456789
2 4   6   8 10 12 14 16 18
3 6  9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
1 productum numerum ] numerum productum F ~ 8 qui ] que F- 9 denominant ] denominat G - 10 ergo ter 9 sunt 27 et sic de aliis ] om. F - 11 multiplicando ] multiplicando hune numerum F ~ provenient ] et provenient F - 1346328 ] 1346328. Et ergo ter novem sunt 27 F - 27a quem Si ] quomodo G, commentarius in F abest
78
79