Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1
5. Statistika
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc.
jancar@ped.muni.cz
5.1. Chyby
Při měření analytického signálu vznikají chyby, jejichž příčiny mnohdy ani nemůže
zjistit (chyby objektivní) nebo chyby, které jsou způsobeny samotným experimentátorem
(chyby subjektivní).
Podle toho, jak se chyby měření (stanovení) ve vyhodnocených výsledcích
projevují, je v analytické chemii (chemometrii) dělíme na náhodné, soustavné a hrubé.
Při výpočtu mohou pak vznikat i chyby zaokrouhlovací a chyby modelu.
1. Chyby náhodné (statistické), jimiž je zatíženo každé měření, nebývají příliš velké, jsou
nepravidelné, a proto nezkreslují výsledek proti skutečné hodnotě, pouze způsobují, že
se výsledky paralelních stanovení poněkud liší. Jsou to chyby vyvolané nepatrnými
změnami teploty, tlaku, přítomností rušivých vibrací atd. Mají objektivní charakter.
2. Chyby soustavné (systematické) mají stálý charakter a zkreslují výsledky vždy
v určitém směru, takže metoda jimi zatížená poskytuje vždy výsledky soustavně vyšší
nebo nižší. Někdy je dělíme na chyby metodické, přístrojové a chyby ostatní.
Vznikají volbou nevhodné metody stanovení, z nedokonalého průběhu chemické
reakce, nesprávně nastaveného přístroje, nedokonalosti kalibrace, omylem zvolené
pipety o jiném objemu než předepsaném pro celou sérii měření atd. Většinou je možné
tyto chyby zjistit a odstranit. Mají objektivní i subjektivní charakter.
3. Chyby hrubé vznikají nejčastěji omylem nebo malou pečlivostí pracovníka, který
analýzu prováděl, např. omylem zvolené pipety o jiném objemu než předepsaném pro
jedno měření z dané série. Musí být ze souborů dat odstraněny vyloučením vadných dat
nebo novým přeměřením atd. Mají subjektivní i objektivní charakter.
4. Chyby zaokrouhlovací vznikají při výpočtech. Často se však kompenzují mezi sebou,
příp. s chybami měření, takže je někdy zahrnujeme mezi chyby náhodné.
5. Chyby modelu (matematického) se projevují tím, že dostáváme zcela chybné výsledky,
proto je někdy zahrnujeme mezi chyby hrubé. Vznikají při předpokladu špatného
modelu, např. nesprávně stanovený počet komponent v systému atd.
Pokud v sérii měření (stanovení) vznikají pouze náhodné chyby (jednotlivé
výsledky se vzájemně dobře shodují), výsledky jsou přesné a správné, jsou tedy
spolehlivé. Přesné výsledky však nemusí být vždy současně správné, mohou se od
správného výsledku lišit o hodnotu soustavné chyby. Příčinu této chyby je třeba
odhalit a postup analýzy upravit tak, aby v opakovaném měření byly výsledky
přesné a správné. Výsledky nepřesné jsou analyticky nepoužitelné. Ojedinělý výsledek,
který se od ostatních významně liší, se označuje jako odlehlý, zatížený hrubou chybou
(viz obrázek 5.1-1).
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2
Obrázek 5.1-1
Hodnocení výsledků
přesné a správné přesné, ale nesprávné nepřesné odlehlý výsledek
••••••• ••••••• • • • •• • • •••••• •
ξ ξ ξ ξ
U souborů výsledků stanovení (naměřených dat) rozlišujeme 4 základní pojmy:
1. Přesnost je míra rozptýlení hodnot okolo střední (průměrné) hodnoty.
2. Správnost představuje rozdíl mezi skutečnou hodnotou ξ a vypočtenou (naměřenou)
hodnotou x.
3. Opakovatelnost je přesnost stanovení daným pracovníkem na daném pracovišti
vyjádřená relativní směrodatnou odchylkou.
4. Reprodukovatelnost je přesnost stanovení pro různé pracovníky z různých pracovišť
vyjádřená relativní směrodatnou odchylkou.
Chyba je vždy ukazatelem nesouladu mezi výsledkem stanovení (měření)
a skutečným obsahem (hodnotou měřené veličiny) sledované složky ve vzorku. Vyjadřuje
se jako chyba absolutní nebo chyba relativní.
Absolutní (prostá) chyba di je definována jako rozdíl mezi nalezeným výsledkem
xi a skutečnou hodnotou ξ:
di = xi – ξ (5.1-1)
a může být kladnou nebo zápornou veličinou a má vždy rozměr.
Často se také udává její absolutní hodnota:
di = | xi – ξ | (5.1-2)
Relativní (poměrná) chyba ei je vztažena ke skutečné (správné) hodnotě, je tedy
mírou správnosti. Je veličinou bezrozměrnou.
(5.1-3)
Často se udává také její absolutní hodnota:
(5.1-4)
Obvykle však relativní chybu uvádíme v procentech:
[%] (5.1-5)
Skutečná (správná) hodnota ξ však nebývá v chemických analýzách známa, a proto
ji nahrazujeme aritmetickým průměrem.




 ii
i
xd
e


 i
i
x
e
100%
 ii ee
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3
Aritmetický průměr x se vypočítává z jednotlivých výsledků stanovení (měření) xi
a zaokrouhlí se na stejný počet míst, jaký mají jednotlivé výsledky:
(5.1-6)
n . . . . počet paralelních stanovení (měření).
Pokud ke skutečné hodnotě vztahujeme aritmetický průměr x, hovoříme o relativní
chybě vztažené k průměru:
(5.1-7)
5.1.1. Náhodné chyby
Náhodné chyby vznikají při každém měření a ovlivňují tedy přesnost výsledků. Jsou
způsobeny drobnými nepřesnostmi při vážení nebo měření, nedokonalostí odečítání
sledované veličiny atd. Mají nepravidelný charakter s tendencí vzájemné kompenzace, jsou
zpravidla malé a jejich příčina není zcela známa.
Rozdělení náhodných chyb, tj. závislost pravděpodobnosti výskytu chyb na jejich
absolutní velikosti | xi – ξ |, charakterizuje v numerickém i grafickém vyjádření Gaussova
rovnice (křivka) normálního rozdělení, která má dva parametry μ a σ:
(5.1-8)
Parametr μ určuje polohu maxima křivky vzhledem k vodorovné ose a parametr σ
vystihuje šířku křivky, tj. rozptýlení. Čím je rozptýlení menší, tím je křivka užší,
symetričtější s velkou četností správných dat, tj. s minimální chybou – hodnocený soubor je
přesnější.
Nejlepším odhadem parametru μ je aritmetický průměr x (viz vztah 5.1-6),
parametru σ je směrodatná (standardní) odchylka s.
Odhad směrodatné odchylky s od průměru je měřítkem přesnosti získaných
výsledků stanovení. Při dostatečně velkém počtu paralelních stanovení (n  10) se vypočítá
ze vztahu:
(5.1-9)
Rozdíl naměřené hodnoty od průměru (xi – x) je tzv. odchylka jednotlivého
výsledku, druhá mocnina směrodatné odchylky se nazývá rozptyl (variance) v:
v = s2
(5.1-10)
Je-li počet stanovení (měření) n < 10, počítáme odhad parametru σ pomocí
rozpětí R a značíme ho sR:
R = xmax – xmin (5.1-11)
sR = kn  R (5.1-12)
kn . . . . Dean-Dixonův koeficient udávaný v tabulkách (viz tabulka 3).



n
i
ix
n
x
1
1
x
xxi
i


2
2
1
2
1 




 

 


x
ey
2
1
)(
1
1
xx
n
s
n
i
i




Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4
Hodnotu s, resp. sR uvádíme zpravidla na tolik platných míst, kolik jich má
výsledek, resp. o jedno místo přesněji.
Protože hodnota s závisí také na velikosti stanovované veličiny, charakterizuje se
v praxi opakovatelnost stanovení (měření) nejčastěji relativní směrodatnou odchylkou
sr, resp. sr,R:
[ % ] (5.1-13)
resp.
[ % ] (5.1-14)
Odhad směrodatné odchylky s (sR) a stejně i relativní směrodatná odchylka sr (sr,R)
budou tím menší, čím přesnější budou výsledky stanovení (měření) a tím také bude daná
metoda stanovení přesnější. Pro danou analytickou metodu je tedy relativní směrodatná
odchylka určitou veličinou (měřítkem), která charakterizuje její opakovatelnost (popř.
reprodukovatelnost).
Mírou přesnosti aritmetického průměru je směrodatná odchylka průměru ,
resp. :
(5.1-15)
resp.
(viz tabulka 3) (5.1-16)
Ze vztahů (5.1-15) a (5.1-16) vyplývá, že s nárůstem počtu měření se zvyšuje
přesnost stanovení (hodnota , resp. se snižuje).
U většiny hodnocených sérií měření (stanovení) neznáme skutečnou hodnotu ξ.
Na základě matematické statistiky lze však vymezit oblast, v níž se s určitou
pravděpodobností (na předem zvolené hladině významnosti α) skutečná hodnota nachází
(α = 0,05 – 95% pravděpodobnost nebo α = 0,01 – 99% pravděpodobnost).
Tato oblast – interval spolehlivosti L1,2 – je užší, čím jsou získané výsledky
přesnější a charakterizuje spolehlivost výsledků.
První způsob výpočtu intervalu spolehlivosti využívá Studentova rozdělení:
(5.1-17)
L1 a L2 . . . . krajní meze (horní a dolní) intervalu spolehlivosti,
tα . . . . kritická hodnota Studentova rozdělení pro zvolenou hladinu významnosti α
(viz tabulka 4).
Druhý způsob navržený Dean-Dixonem pro malé soubory (n < 10), využívá
Lordova rozdělení:
L1,2 = x ± Kn,α  R (5.1-18)
Kn,α . . . . kritická hodnota Lordova rozdělení pro zvolenou hladinu významnosti α
(viz tabulka 4).
100
x
s
sr
100, 
x
s
s R
Rr
Rxs ,
xs
xs
n
s
sx 
n
s
s R
Rx ,
n
ts
xL 
2,1
Rxs ,
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
5
5.1.2. Soustavné chyby
Aritmetický průměr výsledků série stanovení (měření) je správný, pokud jeho rozdíl
od skutečné hodnoty x – ξ s určitou pravděpodobností (na zvolené hladině významnosti α)
není statisticky významný. Skutečnou hodnotu ξ obvykle neznáme a tedy ji nahrazujeme
konvenčně správnou hodnotou (tzv. „analytické standardy“, „normály“ nebo „etalonové
referenční materiály“) nebo analýzou vzorku se známými přídavky stanovované složky.
Je-li rozdíl aritmetického průměru od skutečné hodnoty malý, lze jej vysvětlit náhodnými
chybami, při větším rozdílu je nutno počítat s přítomností soustavné chyby.
5.1.2.1. Testování správnosti výsledků
K testování používáme buď směrodatnou odchylku – Studentův t-test správnosti
pro n  10:
(5.1-19)
nebo rozpětí R pro malý počet výsledků (n < 10) – Lordův uo-test správnosti:
(5.1-20)
Vypočtenou hodnotu t nebo uo srovnáme s kritickou hodnotou tα nebo Kα
(v tabulkách) pro daný počet stanovení a určitou hladinou významnosti α.
Je-li t < tα nebo uo < Kα, rozdíl | x – ξ | je s určitou pravděpodobností způsoben
náhodnými chybami a zjištěný výsledek je správný. V opačném případě je výsledek zatížen
soustavnou chybou.
5.1.2.2. Testování shodnosti výsledků
Testování shodnosti přichází v úvahu při porovnávání výsledků získaných různými
metodami, z různých laboratoří, od různých pracovníků atd. Údaje souborů se vždy od sebe
liší a je třeba rozhodnout, který ze souborů obsahuje výsledky nepřesné či nesprávné.
Zda jsou dva soubory výsledků A a B stejně přesné poznáme podle hodnoty poměru
rozptylů. K tomu se používá Snedecorův F-test, definovaný pouze pro kladné hodnoty:
(5.1-21)
nebo
(5.1-22)
s
nx
t



R
x
uo


12
2

B
A
A
s
s
F
12
2

A
B
B
s
s
F
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6
Je-li FA (FB) < Fα , poměr rozptylů je statisticky nevýznamný, rozptyly se liší
v rozmezí náhodných chyb. Je-li naopak FA (FB) > Fα , poměr rozptylů je statisticky
významný. Kritické hodnoty Fα (pro zvolenou hladinu významnosti α) je možno najít
v tabulkách (viz tabulka 5). Metoda s větším rozptylem poskytuje hůře reprodukovatelné
výsledky, což se v důsledcích projeví např. při konstrukci grafů kalibračních závislostí
nebo při dalším zpracování výsledků.
Testování shodnosti výsledků pro stejný počet stanovení v obou testovaných
souborech (nA = nB = n) se provádí podle zjednodušeného Studentova t-testu:
(5.1-23)
nebo Lordova u-testu (pro malé počty stanovení v souborech (n < 10), nevyžaduje žádné
předpoklady o rozptylech):
(5.1-24)
Je-li t  tα , je rozdíl aritmetických průměrů, pro celkový počet stanovení 2n – 1
a zvolenou hladinu významnosti α, statisticky významný.
Podobně, je-li u  uα (viz tabulka 6), je rozdíl aritmetických průměrů statisticky
významný.
Testování shodnosti výsledků pro různý počet paralelních stanovení v obou
souborech (nA = nB) je složitější. Používá se Studentova t-testu:
(5.1-25)
nebo pro malé počty měření (n < 10) Moorova U-testu.
Vypočtenou hodnotu t-testu porovnáváme s kritickou hodnotou tα, kterou
určujeme podle toho, zda vzájemný poměr rozptylů (podle Snedecorova kritéria) je,
či není významný. Je-li poměr rozptylů nevýznamný, hodnota tα se zjistí z tabulky pro
(nA + nB – 1).
Moorův U-test je totožný s Lordovým u-testem. Kritické hodnoty tα, uα a Uα
nalezneme v tabulkách.
5.1.3. Hrubé chyby
Hrubé chyby vznikají v důsledku omylů při provádění analýzy (měření) nebo při
vyhodnocení výsledků, mají objektivní i subjektivní charakter. Velká hodnota chyby může
způsobit nepřesnost a nesprávnost konečného výsledku, proto je nezbytné odlehlý výsledek
ze souboru hodnot vyloučit.
Pro jeho vyloučení seřadíme nejprve všechny výsledky podle stoupající hodnoty:
x1 < x2 < . . . . < xn–1 < xn .
22
1
BA
BA
ss
nxx
t



BA
BA
RR
xx
u



11
22





B
B
A
A
BA
n
s
n
s
xx
t
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
7
Odlehlý výsledek (nejnižší nebo nejvyšší ve vytvořené posloupnosti) testujeme
dosazením do příslušných vztahů (viz níže) a vypočtená hodnota se porovnává s kritickou,
tabelovanou hodnotou, podle statistické významnosti α. Vylučovat lze jen ze tří a více
výsledků. K testování používáme Grubbsův T-test nebo Dean-Dixonův Q-test.
Grubbsův test se používá obvykle při větším počtu paralelních výsledků:
(5.1-26)
nebo
(5.1-27)
kde veličina S:
(5.1-28)
a lze ji odvodit ze směrodatné odchylky s:
(5.1-29)
takže:
(5.1-30)
nebo
(5.1-31)
Vypočtenou veličinu T1 nebo Tn porovnáváme s kritickou hodnotou Tα (nalezneme
v tabulkách – viz tabulka 2) pro zvolenou hladinu významnosti α. Je-li T1 (Tn)  Tα ,
výsledek je odlehlý a je třeba vyloučit jej ze souboru testovaných hodnot.
Dean-Dixonův test je vhodný obvykle pro soubor s malým počtem (n < 10)
paralelních stanovení (měření) a místo směrodatné odchylky používá rozpětí R:
(5.1-32)
nebo
(5.1-33)
Vypočtenou veličinu Q1 nebo Qn porovnáváme s kritickou hodnotou Qα (nalezneme
v tabulkách) pro zvolenou hladinu významnosti α. Je-li Q1 (Qn)  Qα , výsledek je odlehlý
a je třeba vyloučit jej ze souboru testovaných hodnot.
Po vyloučení odlehlého výsledku je vhodné opakovat testování pro novou
posloupnost hodnot.
S
xx
T 1
1


S
xx
T n
n


2
1
)(
1
xx
n
S
n
i
i


n
n
sS
1

1
1
1




n
n
s
xx
T
1



n
n
s
xx
T n
n
R
xx
Q 12
1


R
xx
Q 1nn
n


Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8
Tabulka 2
Kritické hodnoty Tα a Qα pro vylučování odlehlých výsledků
Počet stanovení Tα Tα Qα Qα
n (α = 0,05) (α = 0,01) (α = 0,05) (α = 0,01)
3 1,412 1,416 0,941 0,988
4 1,689 1,723 0,765 0,889
5 1,869 1,955 0,642 0,760
6 1,996 2,130 0,560 0,698
7 2,093 2,265 0,507 0,637
8 2,172 2,374 0,468 0,590
9 2,237 2,464 0,437 0,555
10 2,294 2,540 0,412 0,527
Tabulka 3
Hodnota koeficientu kn a
n kn
2 0,8862 0,71
3 0,5908 0,58
4 0,4857 0,50
5 0,4299 0,45
6 0,3946 0,41
7 0,3698 0,38
8 0,3512 0,35
9 0,3367 0,33
10 0,3249 0,32
Tabulka 4
Kritické hodnoty koeficientu Kα a Studentova rozdělení tα
Počet měření Kα Kα tα tα
n (α = 0,05) (α = 0,01) (α = 0,05) (α = 0,01)
2 6,353 31,822 12,706 63,657
3 1,304 3,008 4,303 9,925
4 0,717 1,316 3,182 5,841
5 0,507 0,843 2,776 4,604
6 0,399 0,628 2,571 4,032
7 0,333 0,507 2,447 3,707
8 0,288 0,429 2,365 3,499
9 0,255 0,374 2,306 3,355
10 0,230 0,333 2,262 3,250
n
1
n
1
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9
Tabulka 5
Kritické hodnoty Snedecorova rozdělení F (α = 0,05)
n1 n1 n1 n1 n1
n2 2 3 4 5 6
2 161,450 199,500 215,710 224,580 230,160
3 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296
4 10,128 9,552 9,277 9,117 9,014
5 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256
6 6,608 5,786 5,410 5,192 5,050
7 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387
8 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972
9 5,318 4,459 4,066 3,838 3,688
10 5,117 4,257 3,863 3,633 3,482
7 8 9 10
2 233,990 236,770 238,880 240,540
3 19,330 19,353 19,371 19,385
4 8,941 8,887 8,845 8,812
5 6,163 6,094 6,041 5,999
6 4,950 4,876 4,818 4,773
7 4,284 4,207 4,147 4,099
8 3,866 3,787 3,726 3,677
9 3,581 3,501 3,438 3,388
10 3,374 3,293 3,230 3,179
Tabulka 6
Kritické hodnoty Lordova rozdělení uα
Počet měření uα uα
n (α = 0,05) (α = 0,01)
2 1,714 3,958
3 0,636 1,046
4 0,406 0,618
5 0,306 0,448
6 0,250 0,357
7 0,213 0,300
8 0,186 0,260
9 0,167 0,232
10 0,152 0,210
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10
5.2. Vyhodnocování kalibračních závislostí
5.2.1. Lineární regrese kalibrační závislosti
Kalibrační závislosti (uveďme příklad na spektrofotometrii) představují takové
závislosti, kdy hodnotám nezávisle proměnné (koncentrace c), s nízkou relativní chybou,
odpovídá určité pravděpodobnostní rozdělení závisle proměnné (absorbance A), jako
relativně méně přesné, náhodné veličiny s obvykle předpokládaným normálním rozdělením
a stejnou předpokládanou hodnotou rozptylu v sledovaném intervalu koncentrací.
Spektrofotometrické kalibrační závislosti bývají alespoň v určitém intervalu koncentrace
analytu lineární a splňují regresní rovnici:
A = a + b  c (5.2-1)
Výpočet regresních koeficientů a, b a příslušných směrodatných odchylek (regresní
analýza) vychází z podmínky minima sumy čtverců odchylek mezi naměřenými Ai
a vypočtenými Avyp,i hodnotami absorbancí:
(5.2-2)
Pro odhady koeficientů a, b regresní rovnice, tj. směrnice regresní přímky
(regresní koeficient b) a posunutí (koeficient a), potom platí vztahy:
(5.2-3)
(5.2-4)
ci . . . . hodnoty koncentrace,
Ai . . . . naměřené hodnoty absorbance (celkové či rozdílové) pro dané koncentrace,
n . . . . celkový počet hodnot, přičemž každý z paralelních měření se při regresní analýze
zpracovává jako nezávislý (jako samostatná dvojice ci, Ai, ne ve formě průměrů).
Rozptýlení hodnot závisle proměnné kolem regresní přímky (přesnost kalibrace)
charakterizuje směrodatná odchylka sy,x:
(5.2-5)
Avyp,i . . . . hodnoty absorbance vypočtené z regresní rovnice (ležící na regresní přímce).
Proložení přímkou je tím přesnější, čím je sy,x bližší 0.



n
i
ii
n
i
ivypi cbaAAAU
1
2
1
2
, .min)()(
 
 
 
 


 n
i
n
i
ii
n
i
n
i
ii
n
i
ii
cnc
AcnAc
b
1 1
22
1 11
)(
)()(
 
 

n
i
n
i
ii cbA
n
a
1 1
)(
1
2
)( 2
,
1
,





n
AA
s
ivyp
n
i
i
xy
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11
Pro výpočet neznámé koncentrace cx ve vzorku potom platí:
(5.2-6)
Ax . . . . hodnota absorbance neznámého vzorku.
Příklad 5.2-1
Kalibrační závislost byla změřena pro 5 standardních roztoků iontu kovu o koncentracích
1.10–5
, 2.10–5
, 3.10–5
, 4.10–5
a 5.10–5
mol/l, pro něž byly naměřeny absorbance 0,11; 0,20;
0,30; 0,42 a 0,50. Jaká je koncentrace iontu kovu v mol/l v neznámém vzorku, byla-li pro
tento roztok naměřena absorbance A = 0,29 ?
n ci [ mol/l] Ai ci Ai ci
2
1 1 . 10–5
0,11 1,1 . 10–6
1,0 . 10–10
2 2 . 10–5
0,20 4,0 . 10–6
4,0 . 10–10
3 3 . 10–5
0,30 9,0 . 10–6
9,0 . 10–10
4 4 . 10–5
0,42 1,68. 10–5
1,6 . 10–9
5 5 . 10–5
0,50 2,5 . 10–5
2,5 . 10–9
Σ 1,5 . 10–4
1,53 5,59 . 10–5
5,5 . 10–9
Regresní rovnice má tedy tvar:
A = 0,006 + 10 000  c
Neznámý vzorek: Ax = 0,29
Výpočty pro sestrojení grafu vypočtené regresní (kalibrační) přímky:
1. bod hledané kalibrační přímky:
c1 = 0 mol/l, A1 = 0,006
2. bod hledané kalibrační přímky:
c2 = 5.10–5
mol/l, A2 = 0,006 + 10 000  5.10–5
= 0,506
00010
10.5,55)(1,5.10
10.59,5553,11,5.10
924
54



 

b
006,0
5
03,0
5
10.5,1000101,53 4




a
mol/l10.84,2
00010
006,00,29 5


xc
b
aA
c x
x


Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
12
5.2.2. Metoda standardního přídavku
Metoda standardního přídavku se používá zejména k eliminaci vlivu osnovy
vzorku.
Při praktické analýze postupujeme tak, že nejprve změříme absorbanci Ax
roztoku vzorku o neznámé koncentraci cx stanovované látky. K dalšímu roztoku
vzorku s týmž obsahem stanovované látky přidáme před doplněním odměrné baňky
o objemu (V) po značku určitý objem standardního roztoku (Vst,1) stanovované látky
o známé koncentraci cst.
Potom z Bouguer-Lambert-Beerova zákona platí:
Ax = ε  l  cx (5.2-7)
Ax+s1 = ε  l  (cx + cs1) (5.2-8)
kde
(5.2-9)
Pro výpočet neznámé koncentrace cx potom platí vztah:
(5.2-10)
Při grafické interpretaci metody standardního přídavku vyneseme absorbanci
vzorku Ax na osu y (tj. pro koncentraci cs0 = 0 na ose x). Neznámá koncentrace cx
stanovované látky ve vzorku je pak vzdáleností mezi počátkem soustavy souřadnic (cs0 = 0)
a úsekem, který vytíná přímková závislost Ax+si = f(csi) na záporné části osy x.
V praxi připravujeme roztoky s 2 – 5 standardními přídavky. Parametry přímkové
závislosti jsou pak řešeny postupem uvedeným v kapitole 5.2.1.
V
cV
c
stst
s


1,
1
xsx
sx
x
AA
cA
c



 1
1
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
13
5.2.3. Mez stanovitelnosti, citlivost metody
Mez stanovitelnosti Alim metody se vypočte ze vztahu:
Alim = A0 + 10  s0 (5.2-11)
A0 . . . . průměrná hodnota absorbance slepého pokusu (blanku),
s0 . . . . směrodatná odchylka slepého pokusu, vypočtená podle rovnice (5.2-13) pro n  10
paralelně naměřených hodnot absorbance slepého pokusu.
Příslušná koncentrační mez stanovitelnosti clim (pro optickou délku kyvety l = 1 cm)
je vyjádřena vztahem:
[mol.l–1
] (5.2-12)
b . . . . směrnice kalibrační přímky.
Směrodatná odchylka slepého pokusu s0 se vypočte ze vztahu:
(5.2-13)
Poznámka:
Někdy se v analytické chemii používá staršího pojmu mez detekce, která je definována tak, že
v rovnicích (5.2-11) a (5.2-12) je 10 nahrazena číslem 3.
Nejčastěji používanou mírou citlivosti metody je směrnice kalibrační závislosti
(regresní koeficient) b, která se určuje ze vztahu (5.2-3). Ve spektrofotometrii odpovídá
přibližně hodnotě molárního absorpčního koeficientu absorbující formy analytu v jednotce
[l.mol–1
.cm–1
] při zadání koncentrace v mol.l–1
.
Jinou formou odvozenou od směrnice je index citlivosti dle Sandella (SI),
udávající koncentraci (ppm), která způsobí změnu absorbance o ΔA = 0,001 jednotky.
V úpravě pro ΔA = 0,01 a l = 1 cm se vypočte podle vztahu:
(5.2-14)
M . . . . molární hmotnost stanovované formy analytu v g.mol–1
.
Literatura
1. JANČÁŘOVÁ, I., JANČÁŘ, L.: Analytická chemie. Brno: MZLU, 2003. 195 s. ISBN
80-7157-647-6.
2. ECKSCHLAGER, K., HORSÁK, I., KODEJŠ, Z.: Vyhodnocování analytických
výsledků a metod. Praha: SNTL/ALFA, 1980. 224 s.
b
s
c 0
lim
10 

1
)( 2
0
1
,0
0





n
AA
s
n
i
i
b
M
SI


10
Doc. RNDr. Luděk Jančář, CSc. – Statistika
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
14
Obsah
5. Statistika 1
5.1. Chyby 1
5.1.1. Náhodné chyby 3
5.1.2. Soustavné chyby 5
5.1.2.1. Testování správnosti výsledků 5
5.1.2.2. Testování shodnosti výsledků 5
5.1.3. Hrubé chyby 6
5.2. Vyhodnocování kalibračních závislostí 10
5.2.1. Lineární regrese kalibrační závislosti 10
5.2.2. Metoda standardního přídavku 12
5.2.3. Mez stanovitelnosti, citlivost metody 13
Literatura 13