STÁTNÍ PEDAGOGICKÉ NAKLADATELSTVÍ PRAJiA 1. vnější svět existuje mimo nás, nezávisle na našem vědomí a nezávisle na našem vnímání; 2. o tomto světě mažeme získat objektivní poznatky a není principiálních hranic poznání. Z uvedených tezí vychází i princip nevyčerpatemostí hmoty, který lze popsat dvěma aspekty: a) aspekt gnozeologický (poznávací) — v žádné konečné etapě poznání není možno získat úplný a vyčerpávající obraz vesmíru; b) aspekt ontologický — ■ rozeznáváme nevyčerpatelnost do hloubky (neexistují objekty bez struktury) a nevyčerpatelnost do šířky [existuje nekonečné množství projevů hmoty (druhů), forem pohybu atd.]. Prostor a čas jsou jen určitými formami existence hmoty. Pojem prostoru charakterizuje rozložení materiálních objektů ve vzájemném poměru, vyjadřuje jejich rozprostraněnost. Kde není hmota, není ani prostor. Čas označuje změnu stavu pořadí následování jedněch jevů za jinými a délku probíhání procesů. Je fyzikální veličinou, pro kterou nemáme přesnou definici. Jsme pouze schopni na základě projevů hmoty jej měřit (podle otáčení Země, kmitů molekul aj.). Ze zkušenosti víme, že čas plyne od minulosti přes přítomnost do budoucnosti. Prostorové a časové charakteristiky objektů jsou navzájem nerozlučně spjaty. Velmi dobře se to projevuje při pohybu věcí. V Newtonově pojetí byl prostor a čas chápán jako samostatné veličiny, kterými lze popsat určitý objekt. V relativistické fyzice splývají tyto veličiny do časoprostorových souřadnic událostí (x, y, z, t). Vzdálenost dvou událostí v tomto prostoru odpovídá intervalu, který je nutný k proběhnutí světelného paprsku od jedné události ke druhé. 2.1.2 FYZIKÁLNÍ PROJEVY HMOTY Otázka poznání hmoty však není předmětem jen filozofie, ale i dalších vědních disciplín, mezi nimiž zaujímá fyzika výsadní postavení. Studuje vlastnosti a vzájemné silové působení (interakci) hmoty v jednotlivých formách. Astrofyzika je potom aplikace fyzikálních poznatků na jednotlivá tělesa ve vesmíru. Vzájemné silové působení hmoty Tabulka 2.1 Typ interakce Relativní velikost síly Dosah působení M Příklad stabilního systému silná 1 10-* atomové jádro elektromagnetická 10"3 00 atom, molekula, krystal slabá ÍO"15 < io-'6 ? gravitační írr40 00 sluneční soustava Fyzika studuje dvě formy hmoty — látku a pole. Látkové prostředí tvoří molekuly, které se skládají z atomů; atomy z jader a elektronových obalů a jádra atomů tvoří nukleony. Předpokládá se, že i elementární částice mají vnitřní strukturu. Pole zprostředkovává silové působení mezi látkovými částicemi. Toto vzájemné silové působení může být rozděleno na typy uvedené v tab. 2.1. Podle velikosti stavových veličin (hustota, teplota) může látka zaujímat různá skupenství (fáze). 1 ve vesmíru se látka vyskytuje v různých skupenstvích. Nejznámější jsou skupenství pevné, kapalné a plynné, ke kterým se řadí čtvrté skupenství hmoty — plazma. A právě plazma, složené z ionizovaných částic, tvoří více než 99 % hmoty ve vesmíru, přestože v našem bezprostředním okolí pozorujeme právě tělesa z pevných látek, kapaliny a plyny. Vlastnosti všech forem hmoty ve vesmíru jsou předmětem podrobného astrofyzikálního studia vesmíru. 21 2.1.3 MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VE VESMÍRU Z praktických důvodů byly v astronomii zavedeny speciální jednotky vzdáleností — astronomická jednotka (používá se zkratka AU z anglického astronomical unit nebo U A podle francouzského unité astronomique), svetelný rok (zkratka ly z anglického light year) a parsek (pc): a) 1 astronomická jednotka je rovna střední vzdálenosti Země—Slunce a její hodnota je: 1 AU = 1,495 978 70 . 10n m; b) světelný rok je vzdálenost, kterou urazí elektromagnetické vlnění ve vakuu za 1 rok; c) 1 parsek je vzdálenost, ze které vidíme jednu astronomickou jednotku pod úhlem 1 vteřiny 2.1 Definice parseku (obr. 2.1). Definice parseku souvisí s určením tzv. roční parahuty tělesa. Je to malý úhel n v trojúhelníku Slunce, Země, hvězda, v němž platí: ji = r = JL , (2.1) r ji kde n je roční paralaxa hvězdy ve vteřinách a r je vzdálenost hvězdy v parsecích. Z tohoto odvození plyne i obsah slova parsek, které vzniklo spojením prvních slabik slov paralaxa a sekunda. Vzájemné převody jednotlivých astronomických délkových jednotek jsou uvedeny v tab. 2.2. Převody astronomických délkových jednotek Tabulka 2.2 m AU pc m 1 6,684 587 2 . ío-12 1,057 026 . ÍO"16 3,240 75 . ÍO"17 AU 1,495 978 7 . 10" 1 1,581 29 . 10~5 4,848 102 . 10"6 iy 9,4605 . 101S 6,323 95 . 104 1 3,065 917 .10"' pc 3,0857 . 1016 2,062 663 . 105 3,261 66 1 22 materiálu nižší, sluneční látka je pro záření neprůhledná, a proto se zde začíná uplatňovat jiný způsob přenosu energie ve Slunci — konvekce (promíchávání). Části teplejších spodních vrstev stoupají k povrchu, kde se ochladí a poté klesají dolů. Konvektívní vrstva zasahuje téměř až k povrchu Slunce a je pravděpodobně zodpovědná za většinu projevů sluneční aktivity, pozorovaných na povrchu Slunce a v jeho atmosféře (viz část 3.3.1.2). 2.3. Hvězdy 23.1 HVĚZDNÉ VELIKOSTI (MAGNľľUDY) Již při běžném pozorováni hvězdného nebe jsme schopni jednotlivé hvězdy rozdělit do skupin podle jejich jasností. Pro jednotku, udávající jasnost hvězd i dalších nebeských objektů, se užívá název hvězdná velikost neboli magnituda m (M). Z hlediska fyzikálního označuje magnituda osvětlení způsobené měřenou hvězdou (či jiným objektem). Magnituda je jednou z mála dostupných a přímo měřitelných charakteristik hvězd. Vztah mezi osvětlením a zdánlivou hvězdnou velikostí má tvar: m2-ml = 2,5 log , (2.9) ■ * - ' kde mu jsou zdánlivé hvězdné velikosti (magnitudy) hvězd a Eu E2 jejich osvětlení. Tento vztah se nazývá Pogsonová rovnice. Dnešní astrofyzika pracuje s objekty o maximálním rozdílu asi 50 magnitud, který odpovídá poměru osvětlení 1020. Takto zjištěné osvětlení od daných hvězd nám však neurčuje skutečný zářivý výkon (tj. množství vyzářené energie z hvězdy do prostoru za 1 s). Důvodem je to, že jednotlivé hvězdy jsou různě vzdáleny od Země. Pro objektivnější posouzení světelného výkonu hvězdy zavádíme pojem absolutní magnituda. Je definována jako magnituda hvězdy, kterou pozorujeme ve vzdáleností 10 pc (což odpovídá paralaxe 0,1"). Pro absolutní inagnitudu M platí: M= m + 5-5 logr , (2.10) kde r je vzdálenost hvězdy v parsecích. Vzhledem k tomu, že se povrchové teploty hvězd Vzájemně Uší, liší se i vlnová délka maxima vyzařování hvězdy. Tím se ovšem liší také hodnoty magnitud podle spektrální citlivosti detektoru záření. Magnitudy měřené ve vizuální oblasti (s maximem v žlutozelené barvě) označujeme my, magnitudy měřené v oblasti modré rnB, magnitudy měřené v oblasti ultrafialové % apod. (v odborné literatuře se uvádí i označení V, B, U). Důležitá je i magnituda bolometrická, odvozená z celkového toku záření hvězdy ve všech vlnových délkách. Lze ji měřit přímo jen mimo zemskou atmosféru a označujeme jí m^,. 23.2 CHARAKTERISTIKY HVĚZD Kulová gravitačně vázaná tělesa, složená z plazmatu, nazýváme hvězdami. Jejich charakteristickým projevem je, že jsou zdrojem elektromagnetického záření i toku Částic (korpuskulí). Jejich hmotností jsou v mezích 0,01—60 Mq. Hvězdy jsou základními stavebními prvky vesmíru. Ukazuje se, že více než 90 % viditelné hmoty vesmíru je soustředěno v nich. Mezní hodnoty nejdůležitějších fyzikálních charakteristik hvězd jsou uvedeny v tab. 2.4. 26 Charakteristiky hvězd v porovnání se Sluncem Tabulka 2.4 Veličina Interval velikostí (v jednotkách Sluncí) hmotnost 10"2 - 5 . 101 MQ poloměr ÍO"4 - 103 r0 střední hustota 1(T7 - 1010 Qq efektivní teplota 3 . ÍO"1 - 2 . 101 7V celkový zářivý výkon ÍO"4 - 106 Lq Stavba hvězd se řídí mechanismy, které byly naznačeny v časti 2.2.2 na příkladu „typické" hvězdy - Slunce. Důležitou, ve výzkumu hvězd nezastupitelnou charakteristikou, je jejich spektrum. Rozborem spektra získáváme mnohé parametry hvězd, které nám dovolují určit stav povrchové vrstvy hvězd — atmosféry. Záření vychází do prostoru výhradně z vnějších oblastí hvězdy — tzn. z té části atmosféry, kterou nazýváme fotosféra hvězdy. Spektrum hvězd se skládá ze spojitého spektra (kontinua) a z řady spektrálních čar (především absorpčních). Spojité spektrum vzniká ve spodnějších (teplejších) částech fotosféry, zatímco tmavé absorpční čáry vznikají až při průchodu světla vyššími vrstvami fotosféry. Spektra jednotlivých hvězd se od sebe navzájem liší. Hlavně to způsobuje různá teplota fotosféry a částečně další vlastnosti hvězdy - gravitační pole, magnetické a elektrické pole, rotace hvězdy aj. Uspořádat jednotlivá spektra hvězd podle určitých společných znaků se snažili astronomové již počátkem 19. století. Začátkem 20. století byla zavedena tzv. Harvardská klasifikace, která se po opravách a doplňcích užívá dosud. Tato klasifikace třídí hvězdy podle přítomnosti či nepřítomnosti určitých (většinou absorpčních) čar a jejich intenzity do následujících spektrálních tříd: (Q; P; W); O; B; A; F; G; K; M; (S; R; N), kde O — M jsou hlavní spektrální třídy. Sleduje se tak i teplotní škála: nejžhavější jsou hvězdy třídy O a nejchladnější třídy M. Hvězdy spektrálních tříd RaN(tj. hvězdy se zvýšeným obsahem uhlíku) se v poslední době označují společným znakem C. Charakteristické znaky jednotlivých spekter uvádí např. V. Vanysek (1980). 2.3.3 HERTZSPRUNGŮV-RUSSELŮV DIAGRAM Mezi charakteristikami hvězd existují vztahy, které lze vyjádřit různými závislostmi. Jistě nejznámějším vztahem je závislost mezi výkonem hvězdy a povrchovou teplotou, zvaná též podle svých autorů jako Hertzsprungův-Russelův diagram, zkráceně nazývaná HR diagram. Hvězdy se v HR diagramu seskupují do několika oblastí, které jsou dány zákonitostmi vývoje a stavby hvězd. Určitým spektrálním třídám odpovídají totiž zcela určité (nebo několik určitých) svítivostí. HR diagram lze sestavit různým způsobem podle toho, jaké veličiny na jednotlivé osy nanášíme. Na obr. 2.3 jsou na vodorovné osy vyneseny spektrální třídy, teploty (T), popř. barevný index (B- V — což je rozdíl modré a vizuální magnitudy hvězdy) a na svislé osy absolutní bolometrické magnitudy MM nebo svítivosti L v jednotkách svítivosti Slunce. V diagramu se převážná většina hvězd seskupuje v oblasti táhnoucí se z levého horního rohu do pravého dolního rohu. Tato oblast HR diagramu se nazývá hlavní posloupnost. Dalšími skupinami jsou obři, veleobři a bili trpaslíci. Poloha Slunce je vyznačena na hlavní posloupnosti symbolem 0. Nad hlavní posloupností jsou uvedeny hmotnosti hvězd v jednotkách hmotnosti Slunce a pod hlavní posloupností životní doby hvězd v rocích. Z HR diagramu můžeme též určit přibližné poloměry hvězd r, udané v poloměrech Slunce. 27 -0,3 -0,2 -0,1 0.0 0,2 0,4 0,6 0,81.0 1,* (B-V) 2.3 Hertzspmngův-RusseMv diagram (vysvětlivky v textu) Na základě zkušeností s Hertzsprungovým-Russelovým diagramem byly u spektrálních klasifikací hvězd doplněny třídy svítivostí. Značíme je za spektrální třídou pomocí římských číslic takto: I — veleobn, V — hvězdy hlavní posloupností (trpaslíci), II - jasní obři, VI - pod trpaslíci, III - obři, VII - bílí trpaslíci. IV - podobři, 28 Slunce například je ve spektrální klasifikaci označeno G 2 V, což znamená, že Slunce je hvězda spektrální třídy G 2, ležící na hlavní posloupnosti (trpaslík). HR diagram vyjadřuje tedy závislost, která nám pomáhá ze známých dvou parametrů hvězdy určit často i zbývající neznámé veličiny. Kromě toho, jak bude uvedeno dále, pomáhá nám pochopit vývoj hvězd. 2.3.4 VÝVOJ HVĚZD Na první pohled se zdá, že hvězdy jsou skutečnými „stálicemi" —neměnnými útvary ve vesmíru. Dnes' je však známo, že hvězdy se pohybují prostorem, mění se jejich uspořádání na obloze a jejich stavba. Hvězdy vznikají, vyvíjejí se a zanikají. Hlavním parametrem, určujícím charakter i rychlost vývoje hvězdy, je její hmotnost. Rychlost vývoje je tím větší, čím větší je hmotnost hvězdy. Vývoj hvězd lze vysvětlit na příkladu vývoje Slunce, které vznikalo kontrakcí (smršťováním) části oblaku mezihvězdné látky asi před 4,6 . 109 léty. Impuls, který „odstartoval" smršťování protoslnnce do dnešní podoby, není dosud znám. Soudí se však, že jím mohl být výbuch blízké supernovy. Gravitační smršťování, formující protohvězdu, probíhá z počátku rychle; jakmile se však ve hvězdě ustaví hydrostatická rovnováha, tento proces se zpomaluje. V té době Slunce září na úkor energie uvolněné gravitačním smršťováním. Slunce prochází údobím aktivity hvězdy typu T Tauri (tj. hvězdy s mohutným hvězdným větrem). Obrovský hvězdný vítr, vanoucí z povrchu Slunce, formuje rodící se sluneční soustavu. Fáze gravitační kontrakce končí v okamžiku, kdy teplota v nitru dosáhne hodnoty potřebné pro zapálení jaderných reakcí (1,35 . 107 K). Převážnou Část svého aktivního života (asi 85 %) stráví Slunce na hlavní posloupnosti. Přibližně 9 .109 let se spaluje v jeho nitru vodík na hélium a jen velmi pozvolna se mění. Na konci vývoje Slunce na hlavní posloupnosti bude jeho výkon dvojnásobný a poloměr bude o 40 % větší než na počátku této etapy. Jakmile se všechen vodík v jádře vyčerpá, začne spalování vodíku v okolí jádra. Jádro z vyhořelého hélia se zmenší a zvětší se jeho hustota. Obal hvězdy se bude rozpínat a chladnout — Slunce se v HR diagramu přesune do oblasti červených obrů. Vývoj se pak dále zrychlí a Slunce se ocitne na vrcholu větve červených obrů. Jeho výkon bude 350 Lq, poloměr 5Or0 a teplota 3500 K. V tomto okamžiku se velmi rychle vznítí jaderné reakce, které spalují hélium na uhlík, popř. na kyslík. Héliové reakce probíhají poměrně rychle a situace se opakuje. Uhlíko-kyslíkové jádro se smršťuje a obal hvězdy se rozpíná. Před rozpadem Slunce bude jeho teplota 3000 K a výkon dosáhne 3000 Lq. Povrch Slunce bude sahat ke dráze Země. Uprostřed rozpínajícího se obalu zůstane uhlíko-kyslíkový zbytek o hmotnosti asi 0,6 Mq velikosti Země, obalený vrstvičkami hořícího hélia a vodíku. V dalším stadiu dojde k osamostatnění plynného obalu, který se rozpíná do prostoru, zatímco hvězda se přesunuje na HR diagramu do oblasti jader planetárních mlhovin. Horký ultrafialový trpaslík postupně chladne a mění se v bílého trpaslíka, později v chladného černého trpaslíka, bez zdrojů energie. Vývoj Slunce je schematicky znázorněn čárkovanou čarou na obr. 2.3. Vývoj hvězd jiných hmotností má až na nepodstatné odchylky podobný průběh. Podstatněji se však liší závěrečná stadia vývoje hvězd. Hvězdy do hmotnosti asi 8 Mq se vyvíjejí obdobně jako Slunce — končí jako bílí trpaslíci. U hvězd o hmotnosti větší než 8 Mq je vývoj dramatičtější - vybuchují jako supernovy. Pozůstatkem jejich vývoje jsou tzv. pulsary (vizčást 2.3.5). U hvězd o hmotnostech ještě vyšších může vyčerpáním zásob jaderné energie dojít ke gravitačnímu kolapsu a zhroucení v černou díru. 2.3.5 FYZICKÉ PROMĚNNÉ HVĚZDY, NESTACIONÁRNÍ HVĚZDY Velmi početnou skupinou hvězd jsou proměnné hvězdy. Jsou to hvězdy, u nichž se v průběhu času 29 3.1.3 OBJEKTY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Tělesa, která se pohybují v gravitačním poli Slunce po kuželosečkách a vykonávají alespoň jeden úplný oběh kolem Slunce, patří do sluneční soustavy. Kromě centrální hvězdy Slunce se sem řadí planety, měsíce planet, planetky, komety, meteoroidy, meziplanetární plyn a prach. Nepatří sem tělesa prolétávající sluneční soustavou po hyperbolických dráhách z mezihvězdného prostoru. Jestliže chápeme hmotnost celé sluneční soustavy jako 100 %, pak přibližné hmotnostní podíly jednotlivých typů objektů jsou: Slunce 99,866 % planety 0,134 % komety 0,000 3 % měsíce planet 0,000 04 % planetky 0,000 000 2 % meteoroidy, prach a plyn 0,000 000 000 01 %. 3.2_Nebeská mechanika_ Studiem pohybů nebeských těles, která na sebe silově působí v souladu s Newtonovým gravitačním zákonem, se zabývá nebeská mechanika. Patří mezi nejstarší astronomické obory. Vycházela vždy z přijímaných modelů sluneční soustavy (oběhů planet). Velkým úspěchem nebeské mechaniky bylo empirické odvození zákonů pohybů planet a určení všeobecného gravitačního zákona. 3.2.1 KEPLEROVY ZÁKONY J. Kepler odvodil tyto zákony pohybů planet: 1. Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce. 2. Plochy opsané průvodičem planety za stejné doby jsou stejné. 3. Druhé mocniny oběžných dob planet jsou ve stejném poméru jako třetí mocniny jejich velkých poloos. Z prvního Keplerova zákona plyne, že vzdálenost planety od Slunce se mění. V určitém místě své dráhy je planeta Slunci nejblíže - tento bod se nazývá přísluní (perihel) TI, v jiném nejdále - ten bod se nazývá odsluní (afel) A (obr. 3.2). Spojnice perihelu a afelu je přímka apsid. Tvar eliptické dráhy určujeme pomocí výstřednosti (excentricity). Vzdálenost středu elipsy O od jejího ohniska F nazýváme délkovou (lineární) výstředností e. V astronomii se užívá poměr délkové výstřednosti e ku délce hlavní poloosy a: e = ela = (a2 - b2)2la, (3.1) který nazýváme číselnou (numerickou) výstředností (b je vedlejší poloosa). Ze vztahu 3.1 je zřejmé, že pro elipsu nabývá číselná výstřednost hodnot mezi 0 a 1 (e = 0 odpovídá kružnici, e = 1 odpovídá parabole). Je nutno připomenout, že znění prvního zákona není úplné, neboť tělesa se mohou ve sluneční soustavě pohybovat po jakékoli kuželosečce. Ve druhém Keplerově zákonu (zákonu ploch) se průvodičem planety rozumí spojnice planety se Sluncem. Plocha opsaná průvodičem za jednotku času je plošná rychlost a lze tedy tento zákon vyjádřit následovně: Plošná rychlost planety je konstantní. Tedy v obr. 3.2 pro plochy P} a P2 47 platí P1 = P2. (Čas uplynulý při oběhu planety mezi body 1 a 2 je steny jako mezi body 3 a 4.) Znamená to, že planeta se pohybuje kolem Slunce různou rychlostí, takže např. dráhu C77B proběhne za kratší dobu než dráhu BAC. Druhý Keplerův zákon je důsledkem zákona zachování momentu hybností tělesa podle vztahu (2.11). Pro těleso o hmotnosti m platí: rl x rmx = r2 x mv2, (3.2) odkud i1! : r2 = v2: vl5 (3.3) kde rl9 r2 jsou průvodiče a v1? v2 odpovídající rychlosti uváděného tělesa. Třetí Keplerův zákon vyjadřuje vztah mezi oběžnou dobou planety a její velkou poloosou. Jsou-li Plt P2 oběžné doby planet a av 02 jejich střední vzdálenosti od Slunce, lze třetí Keplerův zákon vyjádřit ve tvaru: ,3 Ol (3.4) Tento vztah platí za předpokladu, že hmotnost planety je podstatně menší než hmotnost Slunce. Teprve po objevení gravitačního zákona I. Newtonem bylo nalezeno i přesné znění třetího Keplerova zákona ve tvaru: a\ _ P\ MQ + mi ^3 5^ P\ Mq + m2 kde Mq je hmotnost Slunce a mlt- jsou hmotnosti jednotlivých planet. 48 PŘÍKLAD 3.1: Oběžná doba Země kolem Slunce je 1 rok, oběžná dobaNeptuna 165 let. Vypočtěte, kolikrát dále je Neptun od Slunce než Země. Řešení: Je-lí vzdálenost Země od Slunce 1 AU, pak dosazením do (3.4) dostaneme: 1- l3 165- r odkud r = 30 AU. Velká poloosa dráhy Neptuna je 30krát větší než velká poloosa dráhy Země. 3.2.2 NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Již J. Kp.pi.lr byl přesvědčen, že jeho tři zákony mají také charakter dynamický a že zdrojem síly je Slunce, podmiňující pohyby těles ve sluneční soustavě. V jeho době však nebylo možno tuto sílu přesně určit. Teprve sjednocením Galileovy nauky o setrvačnosti a pohybu těles na Zemi a Keplerových zákonů pohybů planet se I. Newtonovi podařilo vytvořit obecně platnou teorii gravitace. Základními zákony jsou v ní tři Newtonovy zákony a gravitační zákon. Pro odvození gravitačního zákona jsou potřebné Keplerovy zákony, Newtonovy zákony a pojem centrální síly. Newtonovy zákony jsou následující: 1. Zákon setrvačnosti: každé těleso (o hmotnosti m) setrvává v klidu nebo v přímočarém rovnoměrném pohybu (rychlostí v), pokud není tento stav přinuceno změnit působením okolních těles. Je-li hybnost tělesa p = mv, pak platí: dp = 0 . (36) dř 2. Zákon síly: časová změna hybnosti tělesa je úměrná síle působící na těleso, tedy platí: F = , (3.7) a též F = ma , (3.8) kde a je zrychlení tělesa. 3. Zákon akce a reakce: v uzavřeném systému těles každá akce vyvolává stejnou reakci opačného směru, tedy - Fi = F2 . (3.9) V uzavřeném systému těles s hybnostmi p, a p2 pro celkovou hybnost platí: p — Pi + p2 = konst. (3.10) Z druhého Keplerova zákona plyne, že síla působící na planetu ô hmotnosti m míří do centra oběžného pohybu (do Slunce). Její velikost je: F= ma . (3.11) Pro zrychlení u centrálního pohybu platí: a odtud: a - — , (3.12) r F = ^ , (3.13) kde r je poloměr dráhy, v rychlost na kruhové dráze. Je-li oběžná doba P a dráha 2jwyje rychlost planety na dráze rovna: litr v — (3.14) 49 Po dosazení (3.14) do (3.13) dostaneme pro přitažlivou sílu F: F=J^. (3.15) Pro více planet podle (3.4) platí —y- = —3- ~ ■ ■ ■ = k , (3.16) kde k je konstanta úměrnosti závislá na volbě jednotek. Třetí Keplerův zákon lze tedy psát ve tvaru P2 = kr3 , (3.17) a po dosazení do (3.15) dostaneme: F = 4jf2 , m _ (3.18) k r Protože zrychlení způsobené centrální sílou (3.13) je úměrné hmotnosti centrálního tělesa ma lze 4jt položit G =- a dosazením za k do (3.18) dostaneme matematické vyjádření všeobecného km c gravitačního zákona: F — G . (3.19) r 3.2.3 DRÁHOVÉ ELEMENTY TĚLES SLUNEČNÍ SOUSTAVY Pro jednoznačný popis dráhy planety nebo jiného tělesa v prostoru je nutná znalost jejích dráhových elementů, které určují tvar, velikost a orientaci dráhy v prostoru vzhledem ke zvolené rovině. Ve sluneční soustavě je touto rovinou rovina ekliptiky, což je rovina oběhu Země kolem Slunce. Mezi dráhové elementy (obr. 3.3) patří: 3.3 Elementy drah těles ve sluneční soustavě (A — odsluní, TI — přísluní; další popis v textu) 50 1. Elementy určující polohu roviny v prostoru a) Sklon roviny dráhy k ekliptice . Udává odchylku roviny dráhy tělesa od roviny ekliptiky. Pokud se pohyb tělesa promítnutý do roviny ekliptiky děje ve stejném směru jako se pohybuje Země kolem Slunce, hovoříme o pohybu přímém (direktním) a i < 90°. V opačném případě, kdy / > 90°, hovoříme o pohybu zpětném (retrográdním). U planet (tab. 3.1) je sklon dráhy k ekliptice poměrně malý (největší sklon má planeta Pluto — 17°9'). U komet a planetek nabývají sklony drah všech hodnot od 0° do 180°. b) Délka výstupného uzlu Q [°]. Je to úhlová vzdálenost výstupného uzlu Q od jarního bodu T měřená v rovině ekliptiky ve smyslu oběhu Země kolem Slunce. (Výstupný uzel Í2 jeínísto na dráze, kde se těleso dostává na sever „nad" rovinu dráhy Země. Protilehlým bodem je sestupný uzel a spojnice těchto dvou bodů se nazývá uzlová přímka Q t5 .) Jarní bod je místo na ekliptice, kde se Slunce nachází o jarní rovnodennosti (blíže viz 4.2.2.2). Pro délku sestupného uzlu platí t3 = Q + 180°. c) Argument šířky perihehi to [°]. Je to úhlová vzdálenost mezi uzlovou přímkou a přímkou apsid, měřená ve směru pohybu tělesa od výstupného uzlu k přísluní. Někdy se udává místo argumentu Šířky perihelu, délka períhelu Z7, pro níž platí II =