Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková 2 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny délka přepony délka přepony •C •A •B •c •a •b přepona odvěsna odvěsna •. •β •α C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Velikost úhlů_Oblouková a stupňová míra.jpg 3 2 Velikost úhlů v obloukové a stupňové míře Jednotková kružnice k (S= [0,0]; r = 1) 2π Úlohy Př.1: Vyjádřete v míře obloukové: Př.2: Vyjádřete v míře stupňové: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0001.jpg 3 GONIOMETRICKÉ FUNKCE SINUS A KOSINUS 4 Orientovaný úhel α v základní poloze. Ke každému α ϵ R lze přiřadit 1!orientovaný úhel velikosti α (v obloukové míře), jehož počáteční rameno je polopřímka OI. Jednotková kružnice k (0; r = 1) Pro každé α ϵ R platí: sin α = yM , cos α = xM Funkční předpisy: •Definice: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení sin x.jpg 3.1 Graf funkce sinus 5 •= sinusoida C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf f sin x.jpg Je lichá: sin (-x) = - sin x. Je rostoucí pro x ϵ <-π/2 + 2kπ ; π/2 + 2kπ >, kϵ Z. Je klesající pro x ϵ < π/2 + 2kπ ; 3π/2 + 2kπ >, kϵ Z. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maximum [π/2 + 2kπ , 1], minimum [3π/2 + 2kπ , -1]. Perioda 2π: sin x = sin (x + 2kπ), kϵ Z. Je spojitá v R. Vlastnosti: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení cos x.jpg 3.2 Graf funkce cosinus 6 •= cosinusoida Je sudá: cos (-x) = cos x. Je rostoucí pro x ϵ <π + 2kπ ; 2π + 2kπ >, kϵ Z. Je klesající pro x ϵ <2kπ ; π + 2kπ >, kϵ Z. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maximum [2kπ , 1], minimum [π + 2kπ , -1]. Perioda 2π: cos x = cos (x + 2kπ), kϵ Z. Je spojitá v R. Vlastnosti: 7 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0009.jpg Příklady grafů funkcí: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0010 – kopie.jpg •1 •2 •1/2 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0010.jpg 8 C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0011.jpg Příklady grafů funkcí: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf tg x.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení graf tg x.jpg 4 Graf funkce tangens 9 •= tangentoida Je lichá: tg (-x) = - tg x. Je rostoucí pro x ϵ (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ ), kϵ Z. Není omezená shora ani zdola. Maximum ani minimum neexistuje. Perioda π: tg x = tg (x + kπ), kϵ Z. Spojitost: Není definována pro x=(2k+1) π/2 ), kϵ Z. Vlastnosti: 5 Graf funkce cotangens 10 •= cotangentoida C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Sestrojení grafu cotg x.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Graf cotg x.jpg Je lichá: cotg (-x) = - cotg x. Je klesající pro x ϵ (kπ ; π + kπ), kϵ Z. Není omezená shora ani zdola. Maximum ani minimum neexistuje. Perioda π: cotg x = cotg (x + kπ), kϵ Z. Spojitost: Není definována pro x=2kπ/2, kϵ Z. Vlastnosti: 11 6 Důležité hodnoty goniometrických funkcí C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Důležité hodnoty goniometrických funkcí.jpg 12 7 Znaménka hodnot goniometrických funkcí C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Znaménka hodnot goniom. funkcí.jpg 13 Úlohy Př.: Vypočítejte: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Základní vzorce.jpg 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 14 •Základní vzorce: 15 •Vztahy pro dvojnásobek a polovinu argumentu: 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0013 – kopie.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\IMG_0013.jpg •Součtové vzorce: C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Goniometrie_obrázky\Součtové vzorce.jpg 16 Úlohy Př.: Zjednodušte goniometrické výrazy: 9 GONIOMETRICKÉ ROVNICE 17 Př.1: Řešte užitím substituce: 9.1 Základní goniometrické rovnice - jsou dány ve tvaru: některá z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg reálné číslo 9.2 Složitější goniometrické rovnice – řešíme převedením na základní goniometrické rovnice (pomocí substituce, nebo s použitím vzorců pro goniometrické funkce). Př.2: Řešte užitím goniometrických vzorců: Př.1: Úlohy Úlohy 18 10 Další využití goniometrických funkcí: TRIGONOMETRIE •Sinová věta: •Kosinová věta: •Užití sinové a kosinové věty: •A •C •B •b •c •a Např.: Při výpočtu výslednice dvou sil, které spolu svírají úhel α. •β •α Literatura •Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003. •Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992. •Odvárko, O. a kol. Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997. •Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. •Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003. • 19