NMR nebo MRI? •Základním fyzikálním procesem je jaderná magnetická rezonance (nuclear magnetic resonance – NMR). Protože řada lidí má obavy ze slov jádro, jaderný, jaderná, používá se v lékařských aplikacích názvu zobrazení magnetickou rezonancí (magnetic resonance imaging - MRI). Nakonec je to i přesnější – rozdílu v intenzitě určitého fyzikálního jevu se používá k získání kontrastu ve výsledném obraze. Počítání s vektory – vektorový součin Orbitální a magnetický moment • • •Částice o hmotnosti m a s nábojem e •na kruhové trajektorii poloměru r •má moment hybnosti •Proudová smyčka poloměru r •s proudem velikosti I •má magnetický moment • • • Larmorova precese I •Podle druhé impulsové věty je časová změna momentu hybnosti rovna momentu působící síly. V případě magnetického momentu v homogenním magnetickém poli ve směru osy z •Larmorovu frekvenci jsme označili jako ωL. Vektor momentu hybnosti rozložíme do složky rovnoběžné s vektorem indukce magnetického pole a složek kolmých Larmorova precese II •Rozepsáním do složek dostáváme tři rovnice •Podle třetí z rovnic je složka vektoru momentu hybnosti Lz rovnoběžná s magnetickým polem konstantní. Také velikost vektoru momentu hybnosti L je konstantní – to vidíme hned, vynásobíme-li první rovnici Lx, druhou Ly, třetí Lz a vzniklé rovnice sečteme Larmorova precese III •U prvních dvou rovnic si vzpomeneme na vztahy pro goniometrické funkce •Výsledné vztahy pro složky momentu hybnosti jsou tedy •Vektor momentu hybnosti vykonává precesní pohyb s Larmorovou frekvencí – tvoří površky kužele s osou danou magnetickým polem. •x •z • • •y Spin jádra •Jádro je složeno z nukleonů (protonů a neutronů). Každý nukleon má vlastní moment hybnosti – vektor spinu. Velikosti vektoru spinu měřené v jednotkách Planckovy konstanty ħ říkáme spin a pro nukleony je •Spiny nukleonů se vektorově sčítají, takže se při počtu protonů 2, 8, 20, 28, 50, 82 a 126 spiny vyruší, totéž platí pro neutrony. Je to podobné existenci uzavřených slupek u elektronů v atomu. Pro jádra izotopů nejlehčích prvků je předpověď spinu jádra snadná. Spin jader s malým počtem nukleonů • • • • • • • • • • • • • • Spiny a výskyt jader pro MRI Prvek Symbol Spin I Výskyt [%] vodík 1H 1/2 99,985 2H 1 0,015 uhlík 13C 1/2 1,11 dusík 14N 1 99,63 15N 1/2 0,37 sodík 23Na 3/2 100 fosfor 31P 1/2 100 draslík 39K 3/2 93,1 Jaderný magnetický moment •Jaderný magnetický moment M je podobně spojen se spinem I, jako byl magnetický moment μ spojen s orbitálním L. Rozdíl je jen v konstantě úměrnosti •Gyromagnetický faktor γ má rozměr •Gyromagnetický faktor protonu a neutronu je Kvantování jaderného magnetického momentu •a průmět do nějakého směru (např. do osy z) •Protože je spin kvantován, je kvantován i jaderný magnetický moment. Pravidla kvantové mechaniky dovolují, aby velikost magnetického momentu byla •Energie magnetického momentu v homogenním poli indukce B mířícím podél osy z je Jaderný magnetický moment pro I=1/2 •Už jsme viděli, že spin ½ má •např. také izotop 13C se šesti protony a sedmi neutrony – jedním nepárovaným. •protony •neutrony •nepárovaný •neutron Kvantové přechody •Tato energie je buď vyzářena (je-li záporná) jako kvantum elektromagnetického záření nebo je získána (je-li kladná) absorpcí takového kvanta. •Při přechodu jádra ze stavu s m=m1 do stavu s m=m2 (přechody mohou probíhat jen mezi sousedními hladinami) dojde ke změně energie •S uvážením vztahu mezi kruhovou frekvencí a frekvencí ω=2πν dostáváme jednu ze základních rovnic NMR Vyvolání přechodu •Aby k přechodu došlo, musíme kromě homogenního na čase nezávislého magnetického pole orientovaného podél osy z počítat s dalším přidaným elektromagnetickým polem – monochromatickou v rovině x – y kruhově polarizovanou vlnou s úhlovou frekvencí ω a amplitudou B1<< B •Při zápisu jsme zanedbali prostorovou závislost fáze vlny, •protože i pro velmi vysokou frekvenci ν=108 MHz je vlnová délka λ=3 m. Pravděpodobnost přechodu I •Pravděpodobnost přechodu je třeba počítat s užitím rovnic kvantové mechaniky. Uvedeme si jen výsledek pro jádro se spinem jedna polovina a kladným gyromagnetickým faktorem •E Pravděpodobnost přechodu II •Ze vztahu pro pravděpodobnost přechodu vidíme, že při resonanci, tj. pro ω=ωB může tato pravděpodobnost dosáhnout v jistém čase jedničky •Je třeba si uvědomit, že až dosud jsme uvažovali o izolovaných jádrech. V látce je přiložené vnější magnetické pole v místě daného jádra mírně ovlivněno okolím, což vede k tzv. chemickému posuvu resonanční frekvence. V lékařských aplikacích jsou vodíkové atomy vázány především ve skupinách –CH2– a H20. Pro proton s frekvencí 42 576 388 Hz při poli 1 T je chemický posuv těchto skupin 220 Hz. Teplotní rovnováha pro jaderné spiny v látce •Při rovnováze •z •x • • •y •B •B=0 •B>0 •ΔE •E+ •E_ •E0 Narušení rovnováhy •I tak velmi malý rozdíl v koncentraci vytváří při obrovské hustotě protonů v látce makroskopickou magnetizaci M0 ve směru osy z. Tu můžeme ovlivnit vhodně trvajícím pulsem radiofrekvenční (rf) vlny s rezonanční frekvencí. Na obrázcích je účinek jednoho 90º a dvou 180º rf pulsů. Návrat k rovnováze •Předpokládejme, že jsme v čase t=τ dosáhli rf pulsem nulové magnetizace ve směru osy z. Interakcí s okolím ale dochází ke zpětnému přechodu do rovnovážného stavu s tzv. konstantou spinově – mřížkové interakce T1. Při volné precesi nejsou složky magnetických momentů v rovině x – y u jednotlivých jader ve fázi, takže celková magnetizace ve směru x a y je nulová. Za působení rf pole se sfázují a tak i celková magnetizace rotuje obdobně jako jednotlivé momenty. Po vypnutí rf pole se interakcí mezi spiny opět sfázování poruší, to se děje s časovou konstantou T2: Časové konstanty T1 a T2 Typ látky T1 [ms] T2 [ms] tuk 250 60 sval 900 50 krev 1400 100-200 mozek šedá hmota (GM) 950 100 bílá hmota (WM) 600 80 cerebrospinální tekutina (CSF) 2000 250 Kontrast v T1 a T2 •WM •CSF •GM Blochovy rovnice •Blochovy rovnice zahrnují všechny vlivy, které působí na vektor magnetizace (makroskopický, tj. střední hodnota z velkého počtu jader): precesi v základním homogenním poli, vliv rf pole a relaxační jevy. Řešení Blochových rovnic •Blochovy rovnice jdou řešit za zjednodušujícího předpokladu ustáleného stavu magnetizace podél osy z analyticky. Potom dostaneme pro dvě zcela odlišně se chovající složky magnetizace vztahy •Blochovy rovnice vzniknou z kvantově-mechanických rovnic pro operátory jako rovnice pro jejich střední hodnoty. Jak získat obraz při MRI? •Vytvoření obrazu vyžaduje splnit dvě základní podmínky: ü najít způsob, jak získat informaci jen z dané malé oblasti a ünajít způsob, jak vytvářet kontrast. •Jev NMR: Felix Bloch a Edward Purcell 1946 (Nobelova cena 1952) •Rozdíly v signálu od normálních a od rakovinných oblastí: Raymond Damadian 1971 •Zobrazení malých oblastí pomocí gradientu pole: Paul Lauterbur 1973 a Peter Mansfield 1974 (Nobelova cena 2003) • Gradientní cívky dělají hluk