Teoretická mechanika
Jiří Langer a Jiří Podolský
Studijní text k přednášce NOFY003
„Teoretická mechanika
Ústav teoretické fyziky
Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze
listopad 2013
c Jiří Langer, Jiří Podolský
Obsah
1 Rovnice struny a její řešení 2
1.1 Odvození rovnice pro příčné kmity struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Lagrangeova funkce struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Řešení rovnice struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Metoda d´Alembertova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Metoda Bernoulliova–Fourierova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Příklad na Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Další okrajové podmínky: volný konec, tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Mechanika kontinua 9
2.1 Lagrangeův a Eulerův popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Tekutý objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Síly objemové a plošné, podmínky rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Rovnice kontinuity a pohybová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Newtonovská a dokonalá tekutina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Nevířivé proudění dokonalé tekutiny a Bernoulliho rovnice . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Vlny v dokonalé tekutině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Geometricky podobná proudění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
Kapitola 1
Rovnice struny a její řešení
V této kapitole prostudujeme příčný pohyb struny, jednorozměrného spojitého útvaru, na který
působí vnitřní síly napětí. Nejprve odvodíme parciální diferenciální pohybovou rovnici struny
a potom uvedeme dvě obecné metody jejího řešení, d ′
Alembertovu a Bernoulliovu–Fourierovu.
Rozbor struny představuje důležitý přechod od mechaniky diskrétních hmotných bodů k mechanice
spojitého kontinua, které se budeme věnovat v následující kapitole 2.
1.1 Odvození rovnice pro příčné kmity struny
Uvažujme strunu, jejíž konce jsou upevněny v bodech 0 a l na ose x. Předpokládejme, že struna je
napjatá vnitřním napětím σ a její hmotnost je ve směru x rozložena s konstantní lineární hustotou ρ.
Nechť struna koná jen příčné kmity. Její výchylku z rovnovážné polohy popíšeme funkcí u(x, t).
Souřadnice x představuje vlastně spojitý index, který označuje jednotlivé body struny. Předpokládejme
dále, že výchylky jsou malé ve smyslu, který vyplyne z přiblížení, jež v dalším použijeme.
Při kmitech se sice mění délka struny a podle Hookova zákona i napětí v ní. Budeme však předpokládat,
že tato změna napětí σ je zanedbatelná, což bude splněno například tehdy, když struna
má velké základní předpětí.
Protože struna kmitá jen kolmo na osu x, je její zrychlení v příčném směru dáno veličinou
∂2
∂t2 u(x, t). Newtonova pohybová rovnice úseku struny délky dx o hmotnosti ρ dx proto je
ρ dx
∂2
u
∂t2
= Fy . (1.1)
Nyní musíme odvodit velikost kolmé síly Fy působící na daný úsek struny v důsledku napětí σ.
Uvažme tedy obecnou výchylku struny popsanou v daném okamžiku funkcí y(x) ≡ u(x, t = konst.).
To je rovinná křivka x = x, y = y(x) s jednotkovým tečným vektorem t(x) = k (1, dy
dx ), kde normalizační
faktor je k = 1/ 1 + (dy
dx )2. Předpokládáme-li, že úhly, jež struna svírá s osou x, jsou malé,
bude k
.
= 1. Na úsek struny mezi x a x + dx tedy působí výsledná síla F = σ t(x + dx) − σ t(x),
neboť směry napětí velikosti σ působící na obou koncích jsou dány příslušnými tečnými vektory.
2
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 3
Pro složku výsledné síly do příčného směru y můžeme tedy s užitím Taylorova rozvoje psát
Fy = σ
dy
dx
(x + dx) −
dy
dx
(x)
.
= σ
d2
y
dx2
(x) dx . (1.2)
Protože v libovolném fixním okamžiku t platí y(x) = u(x, t), dostáváme z (1.1) a (1.2) na každém
úseku dx pohybovou rovnici příčných kmitů struny
ρ
∂2
u
∂t2
= σ
∂2
u
∂x2
.
Tuto rovnici struny snadno upravíme do tvaru
∂2
u
∂x2
−
1
c2
∂2
u
∂t2
= 0 , (1.3)
což je jednorozměrná vlnová rovnice pro funkci u(x, t), přičemž c = σ/ρ je, jak uvidíme,
rychlost šíření vlny .
1.2 Lagrangeova funkce struny
Pohybovou rovnici struny (1.3) nyní odvodíme jiným způsobem, totiž z Hamiltonova principu
zobecněného na spojitě rozloženou hmotnost. Abychom získali příslušnou akci S, musíme nejprve
sestavit příslušnou Lagrangeovu funkci L.
Protože struna kmitá jen kolmo na osu x, je její rychlost ∂
∂t u(x, t). Kinetická energie úseku
struny délky dx je 1
2 ρ dx [ ∂
∂t u ]2
, takže celková kinetická energie je
T =
l
0
1
2 ρ
∂u
∂t
(x, t)
2
dx . (1.4)
K nalezení potenciální energie musíme vyintegrovat příčnou sílu Fy působící na úsek struny dx,
jež je dána vztahem (1.2). Práce vynaložená na její překonání při vychylování struny z rovnovážné
polohy u = 0 do okamžité výchylky u = u(x, t) v daném čase t je hledaná potenciální energie:
dV =
u
0
Fy dy = σ dx
u
0
d2
y
dx2
dy .
Zavedeme-li nyní pomocnou funkci z(y) vztahem dy
dx (x) ≡ z(y(x)), platí d2
y
dx2 = dz
dy
dy
dx = z dz
dy , takže
dV = σ dx
u
0
z
dz
dy
dy = σ dx
z(u)
0
z dz = σ dx [ 1
2 z2
]
z(u)
0 = 1
2 σ z(u)2
dx .
Protože z(u(x)) = du
dx (x), je z(u) = ∂
∂x u(x, t) a integrací přes celou délku dostáváme celkovou potenciální
energii
V =
l
0
1
2 σ
∂u
∂x
(x, t)
2
dx . (1.5)
Lagrangeova funkce L = T − V struny je proto díky (1.4), (1.5) dána výrazem
L =
l
0
1
2 ρ(u,t)2
− 1
2 σ(u,x)2
dx ,
kde jsme zavedli u,t ≡ ∂u
∂t a u,x ≡ ∂u
∂x coby vhodné zkratky pro parciální derivace funkce u(x, t).
Je tudíž přirozené zavést funkci L(u,x, u,t) zvanou hustota Lagrangeovy funkce struny
L ≡ 1
2 ρ(u,t)2
− 1
2 σ(u,x)2
. (1.6)
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 4
Příslušný funkcionál akce pro příčné kmity struny je
S ≡
t2
t1
L dt =
t2
t1
l
0
L(u,x, u,t) dx dt ,
Rovnice pohybu se nyní získá z Hamiltonova principu δS = 0 . Připomeňme známý matematický
výsledek variačního počtu: mějme obecný funkcionál dvou proměnných x a t tvaru
S =
t2
t1
x2
x1
L(u, u,x, u,t, x, t) dx dt ,
přičemž funkce u(x, t) nabývá na hranici integrační oblasti pevných hodnot. Pak extremála tohoto
funkcionálu, pro níž δS = 0, musí řešit Eulerovu–Lagrangeovu rovnici
∂L
∂u
−
∂
∂x
∂L
∂u,x
−
∂
∂t
∂L
∂u,t
= 0 . (1.7)
Aplikujeme-li podmínku (1.7) na hustotu Lagrangeovy funkce struny (1.6), dostaneme ihned
σ u,xx − ρ u,tt = 0 ,
což je rovnice struny (1.3).
1.3 Řešení rovnice struny
Nyní ukážeme dvě základní metody řešení jednorozměrné vlnové rovnice, tedy rovnice struny.
1.3.1 Metoda d´Alembertova
Transformace
(1.8)
ξ = x − ct ,
η = x + ct ,
převede rovnici (1.3) užitím relací
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
a
∂
∂t
= −c
∂
∂ξ
+ c
∂
∂η
na tvar
∂2
u
∂ξ ∂η
= 0 .
Integrací podle ξ dostaneme
∂u
∂η
= g(η) ,
kde g(η) je libovolná funkce η. Další integrace dá
u(ξ, η) = g(η) dη + F(ξ) = F(ξ) + G(η) , (1.9)
kde F(ξ), G(η) jsou libovolné funkce. Dosazením příslušných proměnných ze (1.8) dostaneme tedy
obecné řešení ve tvaru
u(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct) , (1.10)
přičemž F reprezentuje profil vlny šířící se rychlostí c směrem doprava, zatímco G profil vlny putující
doleva. Konkrétní tvar řešení určují počáteční podmínky, které klademe na řešení. Všimneme
si, jak dostaneme funkce F a G z počátečních podmínek v případě nekonečné struny.
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 5
Předpokládejme, že v čase t = 0 je zadána funkce u i její časová derivace,
u(x, 0) = u0(x) ,
u,t(x, 0) = v0(x) . (1.11)
Podle (1.10) tedy platí
F(x) + G(x) = u0(x) , (1.12)
−cF′
(x) + cG′
(x) = v0(x) . (1.13)
Integrací (1.13) dostaneme
−F(x) + G(x) =
1
c
V0(x) , (1.14)
kde V0(x) = v0(x) dx je primitivní funkce k v0(x) (s libovolnou integrační konstantou). Z (1.12)
a (1.14) pak vypočteme F(x) a G(x). Dosazením proměnných ξ = x − ct do argumentu F a
η = x + ct do argumentu G dostaneme řešení vyhovující uvedeným počátečním podmínkám,
u(x, t) =
1
2
u0(x − ct) −
1
c
V0(x − ct) + u0(x + ct) +
1
c
V0(x + ct) . (1.15)
Je vidět, že konstrukce řešení je jednoznačná (primitivní funkce V0 je určena až na aditivní konstantu,
která z výsledného řešení vypadne). Vskutku platí věta o jednoznačnosti, podle které je
řešení vlnové rovnice jednoznačně určeno zadáním počátečních podmínek (1.11). Uvedené řešení
se nazývá d ′
Alembertovo.
1.3.2 Metoda Bernoulliova–Fourierova
V principu lze výše uvedeného d ′
Alembertovo postupu užít i pro hledání řešení konečné struny,
například s pevnými konci, které je navíc v každém okamžiku t omezeno okrajovou podmínkou
u(0, t) = 0 ,
u(l, t) = 0 , (1.16)
viz závěr části 1.4 textu. Výhodnější je však užít postupu Bernoulliova. Při něm se hledá řešení
rovnice (1.3) v separovaném tvaru u(x, t) = X(x) T (t) . Dosazením do (1.3) a úpravou dostaneme
c2 X′′
(x)
X(x)
=
¨T(t)
T (t)
= −ω2
, (1.17)
kde čárka označuje derivaci podle x a tečka derivaci podle t. Vztah vyjadřuje rovnost mezi dvěma
funkcemi různých proměnných, která má být splněna pro všechny hodnoty x a t. To nastává jen
tehdy, rovnají-li se obě strany téže separační konstantě −ω2
, kde ω je reálné. (Pro nulové nebo
imaginární ω nelze dané okrajové podmínky netriviálně splnit.)
Vztah (1.17) proto představuje dvě obyčejné lineární diferenciální rovnice pro X(x) a T (t).
Rovnice pro X má obecné řešení
X(x) = C1 cos
ω
c
x + C2 sin
ω
c
x ,
kde C1, C2 jsou konstanty. Z okrajových podmínek (1.16) implikujících X(0) = 0 = X(l) plyne
C1 = 0 , ωn = nπ
c
l
, kde n = 1, 2, 3, · · · .
Obdobně vyřešíme rovnici (1.17) pro T (t), což dává T (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) , kde integrační
konstanty A, B jsou zatím neurčené. Tedy
un(x, t) = sin
ωn
c
x [an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)]
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 6
je partikulárním řešením rovnice (1.3), které vyhovuje okrajovým podmínkám (1.16).
Protože rovnice (1.3) je lineární, řeší ji i libovolná konečná superpozice funkcí un. Bude ji řešit
i nekonečná řada
u(x, t) =
∞
n=1
un(x, t) =
∞
n=1
sin nπ
x
l
an cos nπ
ct
l
+ bn sin nπ
ct
l
, (1.18)
pokud stejnoměrně konverguje a lze ji tedy derivovat člen po členu. To samozřejmě závisí na
hodnotách koeficientů an, bn, které určíme z počátečních podmínek (1.11)
u(x, 0) =
∞
n=1
an sin nπ
x
l
= u0(x) , (1.19)
u,t(x, 0) =
∞
n=1
bnnπ
c
l
sin nπ
x
l
= v0(x) ; (1.20)
u0(x) je spojitá funkce, která vymizí v koncových bodech a v0(x) je po částech spojitá funkce.
Z teorie Fourierových řad plyne, že koeficienty jsou určeny vztahy
(1.21)
an =
2
l
l
0
u0(x) sin nπ
x
l
dx ,
bn =
2
nπc
l
0
v0(x) sin nπ
x
l
dx ,
a s takto určenými koeficienty řada (1.18) stejnoměrně konverguje. Výrazy pro an, bn se získají
tak, že řada (1.19) resp. (1.20) se vynásobí funkcí sin(mπ x
l ) a integruje přes x. Užitím identity
sin mπ x
l sin nπ x
l = 1
2 cos (m − n)π x
l − 1
2 cos (m + n)π x
l se snadno zjistí, že platí
l
0
sin mπ
x
l
sin nπ
x
l
dx =
l
2
δmn , (1.22)
takže po integraci řady člen po členu zůstane na levé straně pouze koeficient am resp. bm vynásobený
konstantou l/2 resp. mπc/2, načež stačí jen přeznačit m za n. Systém funkcí {sin(nπ x
l )} je
navíc příkladem úplného ortogonálního systému funkcí s pevnými konci (1.16) na intervalu (0, l)
(připoměňme, že levá strana vztahu (1.22) představuje skalární součin m-tého a n-tého členu
systému). Oprávněnost operací a důkaz úplnosti však vyžadují pečlivější matematické zkoumání.
1.3.3 Příklad na Fourierovy řady
Užitečnost a smysl právě odvozeného postupu řešení nyní ilustrujeme na konkrétním příkladě
kmitů struny s pevnými konci. Uvažujme počáteční podmínky (1.11), kdy strunu uprostřed vychýlíme
z rovnovážné polohy do vzdálenosti 1
10 l a pak z klidu vypustíme, neboli počáteční poloha je
u0(x) =
1
5
x pro x ∈ [ 0, l/2 ] ,
u0(x) =
1
5
(l − x) pro x ∈ [ l/2, l ] ,
zatímco počáteční rychlost vymizí, v0(x) = 0. Z (1.21) ihned plyne, že bn = 0 pro všechna n a
an =
2
5 l
l/2
0
x sin nπ
x
l
dx +
2
5 l
l
l/2
(l − x) sin nπ
x
l
dx .
Integrály spočítáme metodou per partes,
an =
2
5 nπ
− x cos nπ
x
l
l/2
0
+
l/2
0
cos nπ
x
l
dx − (l − x) cos nπ
x
l
l
l/2
−
l
l/2
cos nπ
x
l
dx ,
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 7
kde členy v hranatých závorkách se navzájem odečtou, takže
an =
2 l
5 n2π2
sin nπ
x
l
l/2
0
− sin nπ
x
l
l
l/2
=
4 l
5 n2π2
sin n
π
2
.
Pro všechna sudá n jsou tedy koeficienty an nulové, zatímco pro lichá n platí sin(nπ
2 ) = ±1.
Kompletní řešení (1.18), tedy
u(x, t) =
∞
n=1
an sin nπ
x
l
cos nπ
ct
l
,
proto můžeme zapsat ve tvaru
u(x, t) =
4 l
5π2
sin π
x
l
cos π
ct
l
−
1
9
sin 3π
x
l
cos 3π
ct
l
+
1
25
sin 5π
x
l
cos 5π
ct
l
− · · · .
(1.23)
Jedná se vlastně o rozklad řešení do Fourierovy řady složené z „lichých harmonických módů .
Speciálně v počátečním čase t = 0 dostáváme rozklad „pilovité funkce u0(x) určující počáteční
polohu do řady harmonických funkcí, jejichž amplituda s rostoucím n klesá jako ∼ 1/n2
,
u0(x) =
4 l
5π2
sin π
x
l
−
1
9
sin 3π
x
l
+
1
25
sin 5π
x
l
− · · · . (1.24)
S přičtením každého dalšího členu této řady se základní mód daný hladkou funkcí sin(π x
l ) stále
více blíží funkci u0(x), která má v bodě x = l/2 maximum 1
10 l ve tvaru „špičky :
n = 1 n = 1 a 3 n = 1 a 3 a 5
1.4 Další okrajové podmínky: volný konec, tření
V předchozí části jsme vyřešili rovnici konečné struny délky l s pevnými konci, jež jsou dány
okrajovou podmínkou (1.16), tedy
u(0, t) = 0 , resp. u(l, t) = 0 . (1.25)
Nyní odvodíme okrajovou podmínku, jež naopak popisuje volné konce struny a situaci, kdy na
konce působí třecí síla úměrná rychlosti.
K tomu je vhodné si představit, že na konec struny například v místě x = l je připevněn
malý nehmotný kroužek navlečený na rovné tyčce kolmé k ose x. V souladu s příčným pohybem
celé struny se tedy i její konec může pohybovat pouze v příčném směru. Nyní napíšeme Newtonovu
pohybovou rovnici pro kroužek obecné hmotnosti m a uvážíme obě síly na něj působící:
m ∂2
∂t2 u = F l
y + Ftření , kde F l
y je příčná složka síly vnitřního napětí struny na konci x = l daná
vektorem F = −σ t, přičemž t
.
= (1, dy
dx ) je jednotkový tečný vektor (viz část 1.1 textu). Protože
y(x) ≡ u(x, t = konst.), dostáváme F l
y = −σ ∂
∂x u . Třecí síla mezi kroužkem a tyčkou je úměrná
rychlosti pohybu kroužku, Ftření = −b ∂
∂t u , kde b > 0 je konstantní parametr tření, takže
m
∂2
u
∂t2
= −σ
∂u
∂x
− b
∂u
∂t
,
KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 8
Protože koncový kroužek je ve skutečnosti nehmotný, uvažujeme limitu m → 0 a ihned dostáváme
příslušnou okrajovou podmínku na konci x = l
σ
∂u
∂x
= −b
∂u
∂t
. (1.26)
Na druhém konci x = 0 je působící síla vnitřního napětí struny F = +σ t, což dává podmínku
σ
∂u
∂x
= b
∂u
∂t
. (1.27)
V případě, že na koncích struny žádné tření nepůsobí, je b = 0 a z (1.26), (1.27) okamžitě
dostáváme okrajovou podmínku na volné konce
∂u
∂x
(0, t) = 0 , resp.
∂u
∂x
(l, t) = 0 . (1.28)
Při Bernoulliově řešení rovnice struny metodou separace pak namísto řady (1.18) dostaneme
u(x, t) =
∞
n=1
cos nπ
x
l
an cos nπ
ct
l
+ bn sin nπ
ct
l
. (1.29)
Na závěr ještě ukážeme, jaké důsledky má obecná okrajová podmínka (1.26) v kontextu
d ′
Alembertova řešení (1.10), kdy u(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct). Dosazením do (1.26) dostaneme
vztah σ (F′
+ G′
) = b c (F′
− G′
), kde F′
≡ dF
dξ a G′
≡ dG
dη , neboli po jednoduché úpravě
(σ + b c) G′
= −(σ − b c) F′
.
Na konci struny, kde je x = l, však platí
G′
=
1
c
dG
dt x=l
, F′
= −
1
c
dF
dt x=l
.
Dosazením a časovou integrací tedy dostaneme vztah
G =
σ − b c
σ + b c
F . (1.30)
Analogicky pro odraz na konci x = 0 dostáváme z podmínky (1.27) vztah
F =
σ − b c
σ + b c
G . (1.31)
Připomeňme, že funkce F představuje profil vlny šířící se doprava, zatímco G popisuje vlnu
putující doleva. Vzorce tedy popisují, co se děje s profilem vlny při odrazu na příslušném konci.
Existují následující tři speciální případy v závislosti na velikosti tření popsaného parametrem b :
• pevný konec je popsán b → ∞ G = −F odražená vlna má stejný profil jako
vlna dopadající, ale je převrácená
• volný konec je popsán b = 0 G = +F profil odražené vlny je úplně stejný
• speciální hodnota tření b = σ/c G = 0 na x = l žádná vlna se neodráží, dopadající vlna
F = 0 na x = 0 je zcela absorbována! 1
1Podobná situace může nastat i v případě elektromagnetických vln. Jsou-li vhodnou volbou materiálu splněny
speciální okrajové podmínky, elektromagnetická vlna se neodrazí, ale absorbuje. To je podstatou technologií letadel
typu stealth, například F-117, F-22 anebo B-2, které jsou pro radary „neviditelné .
Kapitola 2
Mechanika kontinua
V této kapitole zavedeme základní pojmy a odvodíme hlavní rovnice určující kinematiku tekutin,
a to dokonalých i vazkých.
2.1 Lagrangeův a Eulerův popis
Tekutina se modeluje jako složená z infinitesimálních objemů, „částic”, které v daném okamžiku
spojitě vyplňují danou oblast v E3. Tyto „částice” se pohybují v každém okamžiku určitou rychlostí,
která se bod od bodu spojitě mění, a proto je nelze ztotožnit s molekulami tekutiny, konajícími
chaotický tepelný pohyb. Rychlost fiktivních „částic” je ve fenomenologické teorii kontinua
dána střední rychlostí molekul v určitém infinitesimálním objemu, přičemž molekulární pohyb je
zahrnut v termodynamických veličinách. V následujícím výkladu ale zahrneme termodynamické
aspekty pouze do stavové rovnice, určující vztah mezi tlakem a hustotou.
Pohyb tekutiny je formálně popsán trajektorií „částic” kontinua, což je spojitá transformace
xi = fi(x0
k, t) , (2.1)
která závisí na čase jako na parametru, přičemž fi(x0
k, t = 0) = x0
i je počáteční poloha. Transformace
přiřazuje každému bodu o souřadnicích x0
i , kde se „částice nacházela v čase t = 0, bod xi
neboli její polohu v libovolném čase t. Parametry x0
i tedy identifikují příslušnou „částici” tekutiny,
neboť přiřazení souřadnic x0
i lze chápat jakožto „pojmenování všech „částic” v počátečním čase.
Rychlost dané „částice” určené „jménem x0
i je pak přirozeně
vi ≡
dxi
dt
=
dfi(x0
k, t)
dt
= vi(x0
k, t) . (2.2)
Píšeme zde obyčejnou derivaci podle času, přestože funkce fi(x0
k, t) závisí též parametricky na
souřadnicích x0
k (později podle nich budeme parciálně derivovat). Tomuto popisu kontinua říkáme
Lagrangeův.
9
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 10
Vypočteme-li však z (2.1) inverzí x0
k jako funkce xj a t, dosazením do (2.2) dostaneme rychlost
proudění jako funkci okamžité polohy „částic”,
vi = vi(x0
k(xj, t), t) ≡ vi(xj, t) . (2.3)
Tomuto popisu pohybu kontinua pomocí pole rychlostí říkáme Eulerův. Zatímco rychlost určenou
(2.2) měří pozorovatelé, kteří sledují individuální „částici”, rychlost (2.3) zjišťují pozorovatelé,
stojící v pevném místě prostoru a měřící rychlost té „částice”, která je právě míjí. Vztah x0
k(xj, t)
lze tedy chápat jako „identifikační funkci , která přiřazuje „původní jméno x0
k (zavedené v t = 0)
té „částici”, která v t právě prochází bodem xj. Při Eulerově popisu tedy představuje rychlost
vektorové pole v(r, t) v prostoru.
S Eulerovým popisem souvisí pojem proudnice . To jsou křivky, jejichž tečny jsou v každém
bodě a v každém okamžiku rovny vektoru rychlosti kontinua (podobně jako tečny siločar vyjadřují
směr a velikost elektrického nebo magnetického pole). Proudnice jsou tedy obrazem proudění tekutiny
v daný okamžik, přičemž tento obraz se s časem může měnit. V případě časově neproměnného
stacionárního proudění popsaného rychlostním polem v(r), pro nějž ∂
∂t v = 0, je obraz neměnný a
proudnice splývají s trajektoriemi „částic” tekutiny. Popíšeme-li proudnice parametrickými křivkami
r(λ), pak jejich formální definicí je, že tečny k nim všude splňují podmínku
d r
dλ
= v(r, t) . (2.4)
Integrací této rovnice získáme soustavu proudnic ve zvolený okamžik t. Označíme-li elementy
křivek d r = (dx1, dx2, dx3), pak (2.4) můžeme ve složkách přepsat do podoby dxi = vi dλ, neboli
vyloučením parametru λ
dx1
v1(xj, t)
=
dx2
v2(xj, t)
=
dx3
v3(xj, t)
.
Integrací této trojice diferenciálních rovnic nezávislých na parametru λ pak dostaneme vyjádření
soustavy proudnic v čase t.
Nyní ještě určíme zrychlení ai „částic v Eulerově popisu. K tomu stačí veličiny xj v (2.3) vzít
jako funkce času určené (2.1), takže
ai ≡
dvi
dt
=
∂vi
∂t
+
∂vi
∂xj
dxj
dt
=
∂vi
∂t
+ vj
∂vi
∂xj
, (2.5)
což v přehlednějším vektorovém zápisu je
a =
dv
dt
=
∂v
∂t
+ (v · grad) v . (2.6)
Drobná ilustrace: Pro pochopení rozdílu mezi Lagrangeovým a Eulerovým popisem je užitečné
uvést jednoduchý konkrétní příklad. Nechť jednorozměrný pohyb tekutiny (2.1) je dán
vztahem x = f(x0
, t) = x0
+ αx0
t2
, kde α je konstanta. Pak Lagrangeova rychlost a zrychlení
jsou pouhými derivacemi f podle času, tedy vL
= 2αx0
t a aL
= 2αx0
. Při Eulerově popisu musíme
vyloučit „jména částic x0
a vyjádřit je pomocí okamžitých poloh x v daném čase, proto
použijeme vztahu x0
= x
1+αt2 . Dosazením do vL
a aL
dostaneme Eulerovu rychlost vE
= 2xαt
1+αt2
a zrychlení aE
= 2αx
1+αt2 . Snadno ověříme, že aE
lze opravdu spočítat z vE
užitím vztahu (2.5):
aE =
∂vE
∂t + vE
∂vE
∂x = 2αx(1−αt2
)
(1+αt2)2 + 4xα2
t2
(1+αt2)2 = 2αx
1+αt2 . Všimněme si, že zatímco zrychlení každé individuální
částice zůstává v Lagrangeově popisu konstantní s časem, aL = 2αx0
, Eulerovo zrychlení
v daném místě x klesá, aE
= 2αx
1+αt2 → 0 pro t → ∞, protože s rostoucím t procházejí místem x
částice vyslané v t = 0 z čím dál bližšího okolí počátku, x0 → 0.
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 11
2.2 Tekutý objem
Uvažujme množinu „bodových částic , které v počátečním okamžiku t = 0 vyplňují oblast Ω0
.
Objem ∆V 0
oblasti Ω0
je dán
∆V 0
=
Ω0
d3
x0
.
V čase t „částice z Ω0
zaplní oblast Ω(t), na kterou transformace (2.1) zobrazí Ω0
.
Velikost „tekutého objemu ∆V (t)”, tedy objemu oblasti Ω(t), je podle věty o substituci
∆V (t) =
Ω(t)
d3
x =
Ω0
|J| d3
x0
, (2.7)
kde J je jakobián transformace (2.1). Derivací (2.7) podle času dostáváme
d
dt
∆V (t) =
d
dt Ω0
|J| d3
x0
=
Ω0
d|J|
dt
d3
x0
. (2.8)
Rozvinutím funkce fi v (2.1) do Taylorovy řady podle t, xi = x0
i + vi(x0
k) t + 1
2 ai(x0
k) t2
+ · · ·,
získáme prvky transformační matice
∂xi
∂x0
k
= δik +
∂vi
∂x0
k
t + · · · . (2.9)
Determinant matice (2.9), což je jakobián J, bude proto mít tvar 1
J = 1 +
∂vi
∂x0
i
t + · · · . (2.10)
Dosadíme-li J z (2.10) do (2.8) a použijeme-li větu o střední hodnotě, dostaneme pro t → 0
d
dt
∆V (t) =
Ω0
∂vi
∂x0
i
d3
x0
= div v
Ω0
d3
x0
= div v ∆V 0
,
kde veličina div v je vzata v určitém vnitřním bodě tekutého objemu. V infinitesimální limitě
∆V (t → 0) = ∆V 0
odtud dostáváme důležitý vztah
d
dt
∆V = div v ∆V , (2.11)
platný v každém okamžiku a v každém místě.
1Z definice spočteme, že J ≡ εijk
∂x1
∂x0
i
∂x2
∂x0
j
∂x3
∂x0
k
= εijk
h
δ1iδ2j δ3k +
`
δ1iδ2j
∂v3
∂x0
k
+δ2j δ3k
∂v1
∂x0
i
+δ3kδ1i
∂v2
∂x0
j
´
t+· · ·
i
=
ε123 +
`
ε12k
∂v3
∂x0
k
+ εi23
∂v1
∂x0
i
+ ε1j3
∂v2
∂x0
j
´
t + · · · = 1 + ∂vi
∂x0
i
t + · · ·
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 12
2.3 Síly objemové a plošné, podmínky rovnováhy
Silami objemovými se rozumí síly, rozložené v prostředí s určitou objemovou hustotou. Nejdůležitějším
příkladem je gravitace: síla na objemový element dV látky o hustotě ρ v gravitačním
poli o intenzitě g je dána výrazem dFobj
= ρ g dV . Hustota objemové síly tedy je ρ g, neboli ve
složkách Fi = ρgi.
Síly plošné jsou charakterizovány svým účinkem na plošku určité orientace. Je-li orientace
plošky určena jednotkovým vektorem vnější normály n, pak na tuto plošku velikosti dΣ působí
plošná síla dFplo
= T(n)
dΣ, přičemž příslušný vektor napětí T(n)
má složky
T
(n)
i = τji nj , (2.12)
kde τij jsou složky tenzoru napětí.
Ukážeme, že rozlišení mezi objemovými a plošnými silami je do určité míry formální.
Nejdříve intergrací spočteme výslednou sílu, působící na oblast Ω, pokud je uvnitř ní rozložena
objemová síla dFobj
s hustotou Fi a na hranici ∂Ω působí plošná síla dFplo
s T
(n)
i daným (2.12):
Fcelk
i =
Ω
Fi dV +
∂Ω
T
(n)
i dΣ =
Ω
Fi dV +
∂Ω
τji nj dΣ =
Ω
Fi +
∂ τji
∂ xj
dV , (2.13)
kde jsme k úpravě nakonec užili Gaussovu větu. Vidíme, že výslednice plošné síly je formálně
stejná, jako kdyby v oblasti byla rozložena objemová síla s hustotou
∂ τji
∂ xj
.
Výsledný moment sil působících na oblast Ω bude integrálem r × dFobj
+ r × dFplo
, tedy
Mcelk
i =
Ω
εijk xjFk dV +
∂Ω
εijk xj T
(n)
k dΣ =
Ω
εijk xjFk dV +
∂Ω
εijk xj τlk nl dΣ .
Plošný integrál opět převedeme pomocí Gaussovy věty na objemový, takže
Mcelk
i =
Ω
εijk xjFk +
∂(xj τlk)
∂xl
dV =
Ω
εijk xj Fk +
∂ τlk
∂ xl
+ εijk τjk dV . (2.14)
Má-li být kontinuum v rovnováze, musí být výsledná síla i výsledný moment na každou oblast
nulové, tedy integrály (2.13) a (2.14) musí vymizet při libovolné volbě Ω. To nastane právě tehdy,
platí-li podmínky rovnováhy kontinua
(2.15)Fi +
∂ τji
∂ xj
= 0 ,
τij = τji .
kde druhá rovnice plyne z podmínek εijk τjk = 0. Tenzor napětí tedy musí být symetrický.
Zkusme nyní formálně nahradit klasickou objemovou gravitační sílu silou plošnou. Výsledná
gravitační síla na hmotnost rozloženou s hustotou ρ v oblasti Ω je
Fgrav
=
Ω
ρ g dV , (2.16)
kde g je intenzita gravitačního pole. Newtonovská teorie gravitace se v polním tvaru vyjádří
rovnicemi obdobnými s rovnicemi elektrostatiky, tedy
div g = −4πGρ , (2.17)
rot g = 0 . (2.18)
Z (2.17) dosadíme do rovnice (2.16), zapíšeme ji ve složkách a postupně upravíme:
Fgrav
i = −
1
4πG Ω
∂gj
∂xj
gi dV = −
1
4πG Ω
∂(gjgi)
∂xj
− gj
∂gi
∂xj
dV . (2.19)
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 13
S užitím (2.18) však můžeme vyjádřit
gj
∂gi
∂xj
= gj
∂gj
∂xi
=
1
2
∂(gjgj)
∂xi
,
takže (2.19) lze po přeznačení sčítacích indexů psát
Fgrav
i =
Ω
∂ T grav
ji
∂ xj
dV ,
kde
T grav
ij = −
1
4πG
gigj − 1
2 δijgkgk . (2.20)
Veličinu Tij lze tedy interpretovat jako symetrický tenzor napětí gravitačního pole a výslednou
gravitační sílu na oblast Ω vyjádřit naopak pomocí plošné síly s vektorem napětí T
(n)
i = T grav
ji nj
působící na hranici oblasti Ω.
V elektrodynamice hraje obdobnou úlohu tzv. Maxwellův tenzor napětí elektromagnetického
pole definovaný vztahem
T elmag
ij = − DiEj + BiHj − 1
2 δij(DkEk + BkHk) , (2.21)
který má v elektrostatickém případě (při standardní identifikaci Di = εEi, 4πε ↔ 1/G, Ei ↔ gi)
stejný tvar jako (2.20). V 19. století byla skutečně snaha interpretovat elektromagnetické pole jako
mechanická napětí v éteru. I z dnešního hlediska však vidíme, že plošné a objemové síly můžeme
chápat jako dvojí možná matematická vyjádření téže entity.
2.4 Rovnice kontinuity a pohybová rovnice
Proudění tekutiny je určeno parciálními diferenciálními rovnicemi, které jsou důsledkem zákona
zachování hmotnosti a 1. impulsové věty. Obě rovnice nyní odvodíme. Hmotnost M = ρ ∆V tekutého
objemu musí být zachovávající se veličina, a proto s využitím (2.11) dostáváme
0 =
dM
dt
=
d( ρ∆V )
dt
=
dρ
dt
∆V + ρ
d
dt
∆V =
dρ
dt
+ ρ div v ∆V , (2.22)
kde veličiny v závorce před ∆V jsou opět určeny v určitých vnitřních bodech tekutého objemu.
Vztah musí platit pro libovolně malý objem, takže v každém bodě je
dρ
dt
+ ρ div v = 0 , (2.23)
což lze užitím dρ
dt = ∂ρ
∂t + v · gradρ a div ρ v = ρ div v + v · gradρ přepsat
∂ρ
∂t
+ div ρ v = 0 . (2.24)
Tato rovnice se nazývá rovnice kontinuity a vyjadřuje zákon zachování hmotnosti.
Podobně hybnost P tekutého objemu je Mv, takže
dP
dt
=
dM
dt
v + M
dv
dt
= ρ
dv
dt
∆V ,
protože první člen vymizí v důsledku (2.22). Změna hybnosti je podle 1. impulsové věty rovna výslednici
sil na tekutý objem, jejíž i-tou složku, jak bylo ukázáno při odvození podmínek rovnováhy
(2.13), můžeme psát jako (Fi + ∂τji/∂xj)∆V , kde první člen představuje hustotu objemových sil
a druhý odpovídá plošným silám na hranici objemu (výrazy jsou opět určeny v určitém vnitřním
bodě tekutého objemu). Obdobnou úvahou jako u rovnice kontinuity s užitím (2.5) pak dospějeme
k vektorové pohybové rovnici
ρ
dvi
dt
≡ ρ
∂vi
∂t
+ vj
∂vi
∂xj
= Fi +
∂ τji
∂ xj
. (2.25)
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 14
2.5 Newtonovská a dokonalá tekutina
Aby rovnice (2.24) a (2.25) určovaly veličiny ρ a v, potřebujeme navíc znát vztah mezi tenzorem
napětí τij a složkami rychlosti vi, respektive jejich derivacemi. U takzvané newtonovské tekutiny
se předpokládá lineární vztah
τij = −p δij + λ
∂vk
∂xk
δij + µ
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
. (2.26)
Je to nejobecnější tenzor 2. řádu, který se dá vytvořit lineárně z prostorových derivací rychlosti.
Pokud je λ = 0 = µ, mluvíme o dokonalé tekutině ,
τij = −p δij . (2.27)
Chybí smyková napětí a plošné síly se uplatňují pouze jako izotropní tlak. Pohybová rovnice (2.25)
pak má jednoduchý tvar
∂vi
∂t
+ vj
∂vi
∂xj
= Gi −
1
ρ
∂p
∂xi
, (2.28)
kde jsme zavedli hustotu síly na jednotku hmotnosti vztahem Gi = Fi/ρ. Tuto tzv. Eulerovu rovnici
lze psát též ve vektorovém tvaru
∂v
∂t
+ (v · grad) v = G −
1
ρ
grad p . (2.29)
Předpokládáme-li dále navíc, že tlak p je určen stavovou rovnicí jako funkce hustoty p = p(ρ)
(barotropní tekutina), máme celkem 4 parciální diferenciální rovnice (2.24) a (2.29) pro 4 neznámé,
totiž hustotu ρ a 3 složky rychlosti v. K jednoznačnému určení řešení musíme položit okrajovou
podmínku na hranici oblasti zaujímané tekutinou, která v případě dokonalé tekutiny zní vn = 0,
kde vn značí složku rychlosti kolmou k hranici (např. stěnám trubice, kterou tekutina protéká).
2.6 Nevířivé proudění dokonalé tekutiny a Bernoulliho rov-
nice
Rovnici (2.29) je možno identicky přepsat2
do tzv. Gromekaova–Lambova tvaru
∂v
∂t
+ grad
v2
2
− v × rot v = G −
1
ρ
grad p . (2.30)
Předpokládejme, že proudění tekutiny je navíc nevířivé , tedy
rot v = 0 . (2.31)
Pak existuje skalární funkce φ, zvaná potenciál rychlosti taková, že v = gradφ (viz podobný
vztah z elektrostatiky). Předpokládejme dále, že objemová síla má potenciál, G = −gradU, a
zaveďme tlakovou funkci P vztahem
P(r) =
p(r)
0
dλ
ρ(λ)
, (2.32)
takže grad P = ρ−1
grad p . Pak rovnice (2.30) nabude tvaru
grad
∂φ
∂t
+
v2
2
+ U + P = 0 ,
2Platí
“
grad
`v2
2
´
− v × rot v
”
i
= 1
2
∂
∂xi
(vj vj) − εijkεklmvj
∂vm
∂xl
= vj
∂vj
∂xi
− (δilδjm − δimδjl) vj
∂vm
∂xl
= vj
∂vi
∂xj
.
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 15
takže
∂φ
∂t
+
v2
2
+ U + P = f(t) . (2.33)
Integrační funkce f na pravé straně je pouze funkcí času. To je tzv. Bernoulliho rovnice pro
nestacionární nevířivé proudění dokonalé tekutiny. V případě stacionárního nevířivého proudění
je člen ∂φ
∂t = 0 a f je konstanta.
Pokud je nevířivá tekutina navíc nestlačitelná , takže podle (2.23)
div v = 0 , (2.34)
splňuje potenciál rychlosti rovnici div gradφ = 0, tedy
△φ = 0 . (2.35)
Pole rychlosti lze pak určit jednoduše řešením Laplaceovy rovnice pro potenciál φ při okrajové
podmínce (grad φ)n = 0 na hranici. Je to úloha zcela analogická úloze pro elektrostatický potenciál
a výsledky elektrostatiky lze snadno „přeložit” do řeči hydrodynamiky. Analogie kladného
bodového náboje se nazývá elementární zdroj, záporného propad (nora, výtok), analogie dipólu
dublet atd. Z pole rychlostí pak lze určit pomocí Bernoulliho rovnice pole tlaku.
2.7 Vlny v dokonalé tekutině
Předpokládejme, že tekutina v rovnovážném stavu má hustotu ρ0 = konst. Uvažujme nyní malé
poruchy hustoty ρ = ρ0 + ρ1 takové, že ρ1 ≪ ρ0, které vyvolají malé změny pole rychlosti v tom
smyslu, že vj
∂vi
∂xj
≪ ∂vi
∂t . Předpokládejme dále, že objemové síly G vymizí. Pak pohybová rovnice
(2.29) má tvar
∂v
∂t
.
= −
1
ρ0
gradp (2.36)
a rovnice kontinuity (2.24) je
∂ρ1
∂t
+ ρ0 div v
.
= 0 , (2.37)
když zanedbáme malé veličiny. Tlak p (ρ) rozvineme podle Taylorovy věty kolem ρ0,
p(ρ) = p(ρ0 + ρ1) = p(ρ0) +
dp
dρ ρ0
ρ1 + · · ·
a dosadíme do (2.36). Pak na tuto rovnici aplikujeme operaci div, zatímco rovnici (2.37) derivujeme
parciálně podle času a dosadíme z jedné do druhé. Zjistíme, že porucha hustoty ρ1 musí být řešením
vlnové rovnice
△ρ1 −
1
c2
∂2
ρ1
∂t2
= 0 , (2.38)
kde c2
= (dp/dρ)|ρ0 . Rovnice připouští řešení ve tvaru rovinné vlny. Dosazením tohoto řešení do
(2.36) a užitím vztahu grad p(ρ) = (dp/dρ) gradρ zjistíme, že vektor v je rovnoběžný s vlnovým
vektorem. Jde tedy o zvukovou podélnou vlnu šířící se rychlostí c.
KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 16
2.8 Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova rovnice
Pokud je tekutina vazká, jsou koeficienty λ a µ v (2.26) nenulové. Je-li však nestlačitelná, je
div v =
∂vk
∂xk
= 0 ,
takže člen u λ vymizí a podle (2.23) je ρ = konst. Ze stejných důvodů vymizí i člen ∂2
vj/∂xj∂xi,
takže pohybová rovnice (2.25) má tvar
∂v
∂t
+ (v · grad) v = G −
1
ρ
grad p + ν △v , (2.39)
kde ν = µ/ρ je tzv. kinematická viskozita. Toto je Navierova–Stokesova rovnice pro nestlačitelnou
vazkou tekutinu. Okrajová podmínka pro vazkou tekutinu se klade v = 0 na hranici. V jejím
důsledku je proudění kromě triviálních případů vířivé a nelze proto zavést rychlostní potenciál.
2.9 Geometricky podobná proudění
Uvažujme stacionární ( ∂
∂t v = 0) proudění nestlačitelné (div v = 0) vazké tekutiny v homogenním
gravitačním poli intenzity g. Rovnice (2.39) zapsaná ve složkách má v tomto případě tvar
vj
∂vi
∂xj
= gi −
1
ρ
∂p
∂xi
+ ν
∂2
vi
∂xj∂xj
. (2.40)
Napišme nyní
vi ≡ v0 wi , xi ≡ a ξi , gi ≡ g χi ,
kde v0 je kladná konstanta s rozměrem rychlosti, a je konstanta s rozměrem délky, g je velikost
gravitačního zrychlení a wi, χi, ξi jsou příslušné bezrozměrné veličiny. Dosazením do (2.40) a
úpravou dostaneme
wj
∂wi
∂ξj
=
1
F
χi −
∂Π
∂ξi
+
1
R
∂2
wi
∂ξj∂ξj
, (2.41)
kde
F ≡
v2
0
ag
, Π ≡
p
ρv2
0
, R ≡
av0
ν
. (2.42)
Všechny veličiny v rovnici (2.41) jsou bezrozměrné. Konstanta R se nazývá Reynoldsovo číslo,
zatímco F je Froudeovo číslo .
Předpokládejme, že najdeme řešení této rovnice při určitých hodnotách číselných parametrů R
a F a okrajové podmínce w = 0 na hranici určité oblasti popsané bezrozměrnými souřadnicemi ξi.
Pokud pak zvolíme veličinu a určující geometrické rozměry skutečné oblasti, z F pak dostaneme
odpovídající hodnotu veličiny v0 =
√
agF určující velikost rychlosti, z R kinematickou viskozitu
ν = av0/R, a z veličiny Π dostaneme odpovídající hodnotu pole tlaku p = Πρv2
0 = ΠFρag. Řešení
odpovídající různým hodnotám a při stejných parametrech R a F se označují jako geometricky
podobná. Tato skutečnost má praktický význam například při empirickém testování na zmenšených
modelech. Všimněme si například, že chceme-li použít měření na zmenšeném hydrodynamickém
modelu získané při stejném g, musíme užít tekutiny s jinou viskozitou (určenou R, protože z F je
už jednoznačně určena hodnota v0).
V řadě úloh nemá člen odpovídající vnější objemové síle podstatný vliv, kupříkladu při proudění
vazké tekutiny dlouhou vodorovnou trubicí. Zkušenost ukazuje, že pro každou geometrickou
konfiguraci je pro R≤ Rkrit proudění laminární, pro R větší, než Reynoldsovo kritické číslo je
proudění turbulentní.