Teoretická mechanika
Jiří Podolský
Studijní text k přednášce NAFY016
„Úvod do teoretické fyziky I
Ústav teoretické fyziky
Matematicko–fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze
říjen 2013
c Jiří Podolský
Obsah
1 Lagrangeův formalismus 2
1.1 Popis systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Zavedení zobecněných souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Konfigurační prostor a zobecněné rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Odvození Lagrangeových rovnic II. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Nejjednodušší situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Nejobecnější situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Potenciál a Lagrangeova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Zobecněný potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Příklad: částice v centrálním poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Metody řešení pohybových rovnic a integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Pohyb v poli centrální síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Pohyb planet aneb Keplerova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Historická vsuvka z rudolfínské Prahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Metoda efektivního potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Rozptyl nabitých částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Problém dvou těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Problém tří těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Kapitola 1
Lagrangeův formalismus
Tato kapitola je věnována hlavním pojmům a metodám Lagrangeova formalismu. Nejprve zavedeme
efektivnější popis systému pomocí zobecněných souřadnic a potom odvodíme dynamický
pohybový zákon známý jako Lagrangeovy rovnice II. druhu. Uvedeme základní věty týkající se
integrálů pohybu, jimiž lze tyto rovnice řešit. Užitečnost Lagrangeova přístupu budeme ilustrovat
především na významném příkladě pohybu hmotného bodu v poli centrální síly (Keplerova
úloha, rozptyl elementárních částic). Závěrem se budeme zabývat problémem pohybu dvou a více
vzájemně interagujících těles.
Uvidíme, že Lagrangeův formalismus je velmi elegantní formulací mechaniky. Z jediné výchozí
skalární Lagrangeovy funkce L dokáže přímočaře zkonstruovat pohybové rovnice v libovolných
vhodných souřadnicích, a navíc implikuje některé triky umožňující nalézt jejich řešení. Neméně
důležité je, že formalismus nachází četná zobecnění mimo mechaniku, například v teorii pole a
v relativistických či kvantových teoriích.
1.1 Popis systému
Efektivita Lagrangeova formalismu spočívá zejména v tom, že k popisu studovaného mechanického
systému používá tzv. zobecněné souřadnice standardně označované symbolem qj
. Jsou to vhodně
zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému.
Velká rozmanitost mechanických úloh znemožňuje aplikaci obecně použitelných „univerzálních
souřadnic, které by ideálně popisovaly vývoj každého systému. Samozřejmě, vždy lze například
zavést kartézské souřadnice xi
všech hmotných bodů a předepsat působící síly a vazby. Výsledné
pohybové rovnice jsou ovšem velmi komplikované. Dokonce už v triviálním případě pobybu jediného
hmotného bodu v poli centrální síly je použití kartézských souřadnic dosti nepraktické
(příslušné diferenciální rovnice jsou složité), daleko výhodnější je užití sférických souřadnic, které
přirozeně vystihují symetrii daného problému.
1.1.1 Zavedení zobecněných souřadnic
Lagrangeův přístup k popisu mechanických systémů je geniálně prostý: vhodné souřadnice „ušije
na míru daného problému. Přitom eklekticky kombinuje různé typy souřadnic a parametrů —
zpravidla vzdálenosti a úhly. Jejich volba přitom není a priori ničím předepsána, jediným omezením
je, aby zvolené zobecněné souřadnice qj
jednoznačně popisovaly všechny možné polohy
hmotných bodů systému, tzv. konfigurace.
Je zjevné, že zobecněných souřadnic musí být tolik, kolik je stupňů volnosti daného systému,
q1
, q2
, . . . , qn
, (1.1)
kde n = 3N − v, přičemž N je počet hmotných bodů a v je počet vazeb (viz kapitola 0.1).
2
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 3
Lagrange tedy účinně používá tzv. Occamovu břitvu,1
podle které „Je zbytečné užívati více tam,
kde vystačíme s méně. Opravdu, je zbytečné užívati více zobecněných souřadnic, než je nezbytně
nutno (tedy než je počet stupňů volnosti). A méně jich také nelze použít, protože počet parametrů
by nebyl dostatečný k popisu všech možných konfigurací systému.
Jak jsme již uvedli, zobecněné souřadnice lze zavést „libovolně , a proto je naším cílem volit
je vždy co nejvhodněji. To vyžaduje trochu zkušenosti a intuice. Pár následujících příkladů ukáže
přirozené volby zobecněných souřadnic pro jednoduché mechanické systémy:
Příklady:
matematické kyvadlo
q1
= ϕ ... výchylka z rovnovážné polohy
eliptické kyvadlo
q1
= x ... poloha horního tělesa
q2
= ϕ ... výchylka dolního ze svislé polohy
dvě pružiny
q1
= x1 ... výchylka prvního tělesa z rovnováhy
q2
= x2 ... výchylka druhého tělesa z rovnováhy
činka
q1
= x ... vodorovná poloha těžiště
q2
= y ... svislá poloha těžiště
q3
= ϑ ... natočení činky
Obvykle předpokládáme, že existuje vztah mezi zobecněnými a kartézskými souřadnicemi
xi
(q1
, . . . , qn
, t) , i = 1, . . . , 3N (1.2)
a že je regulární. Jinými slovy: z hodnot zobecněných souřadnic můžeme v každém okamžiku
jednoznačně stanovit polohu všech hmotných bodů v prostoru pomocí přirozených kartézských
souřadnic.
Příklad: pohyb mravence po povrchu koule
Úloha má 2 stupně volnosti. Ideální je zavést sférické úhly (zeměpisné souřadnice) q1
= ϑ, q2
= ϕ,
které jednoznačně určují polohu mravence. Má-li koule poloměr a, je vztah ke kartézským souřadnicím
dán standardními rovnicemi
x1
= a sin ϑ cos ϕ ,
x2
= a sin ϑ sin ϕ ,
x3
= a cos ϑ ,
které identicky splňují vazbu (x1
)2
+ (x2
)2
+ (x3
)2
= a2
. Každá hodnota zobecněných souřadnic
ϑ ∈ (0, π), ϕ ∈ (0, 2π) proto odpovídá možné poloze (konfiguraci) mravence na povrchu koule.
Pokud by koule byla povrchem nafukujícího se balonku, jednalo by se o rheonomní vazbu, přičemž
poloměr by byl konkrétní funkcí času, neboli a(t). Pak by bylo xi
(ϑ, ϕ, t) časově závislé.
1William Occam (1290–1349), anglický středověký teolog a filosof. Jeho slavný aforismus je často citován i používán.
Například Bertrand Russell ve svém díle History of Western Philosophy na adresu Occamovy břitvy uvádí:
„Shledal jsem toto býti nejplodnějším principem logické analýzy.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 4
1.1.2 Konfigurační prostor a zobecněné rychlosti
Zobecněné souřadnice (q1
, . . . , qn
) vymezují takzvaný konfigurační prostor Q všech možných poloh
(konfigurací) systému. Řečeno geometricky přesněji, jedná se o tzv. konfigurační varietu, přičemž
(q1
, . . . , qn
) jsou příslušné lokální souřadnice na ní. V předchozím příkladě je konfigurační varietou
sféra S2
a ϑ, ϕ jsou lokální souřadnice na její obvyklé mapě, jež neobsahuje severní a jižní pól.
Důležité přitom je, že konfigurační prostor není prostorem fyzikálních stavů systému, protože
vypovídá pouze o konfiguracích — tedy o polohách — všech hmotných bodů. Abychom získali
úplnou informaci o fyzikálním stavu, je nutné znát také jejich rychlosti. Konfigurační prostor tedy
musíme doplnit o tzv. zobecněné rychlosti ( ˙q1
, . . . , ˙qn
). To jsou dodatečné rychlostní parametry,
jež jsou obecně nezávislé na okamžité poloze. Formálně tedy můžeme psát
∂qi
∂qj
= δi
j ,
∂ ˙qi
∂ ˙qj
= δi
j ,
∂ ˙qi
∂qj
= 0 ,
∂qi
∂ ˙qj
= 0 . (1.3)
Z hlediska exaktní formulace mechaniky v jazyce diferenciální geometrie představuje konfigurační
prostor varietu Q. Její libovolný bod P ∈ Q je popsán souřadnicovými parametry (q1
, . . . , qn
)
určujícími polohu hmotných bodů systému. Jejich (možné) rychlosti v jsou v daném místě P tečné
vektory k varietě Q, leží tedy v lineárním vektorovém tečném prostoru TP
Q. Vektor rychlosti
v ∈ TP
Q je v dané bázi určen složkami ( ˙q1
, . . . , ˙qn
). Teprve spojením obou druhů informací o polohách
i rychlostech vzniká prostor fyzikálních stavů daného systému: jedná se o tzv. tečný bandl TQ,
neboli rychlostní fázový prostor, dimenze 2n parametrizovaný souřadnicemi (q1
, . . . , qn
, ˙q1
, . . . , ˙qn
).
Podrobnosti lze nalézt ve studijním textu k prosemináři NTMF069.
Uvedená struktura rychlostního fázového prostoru poskytuje například přirozené vysvětlení tzv.
Zénónova paradoxu šípu.2
Paradox podle Zénóna spočívá v tom, že nelze navzájem odlišit letící
a stojící šíp, když se oba právě nacházejí na stejném místě. Opravdu: z hlediska konfiguračního
prostoru Q mají oba stejné hodnoty zobecněných souřadnic qj
. Přesto ale představují odlišné
fyzikální stavy určené jinými hodnotami zobecněných rychlostí ˙qj
: zatímco stojící šíp je určen
nulovým vektorem v = 0 z TP
Q, šíp letící stejným bodem P danou rychlostí je určen konkrétním
nenulovým vektorem v ∈ TP
Q.
1.2 Odvození Lagrangeových rovnic II. druhu
Nyní již můžeme přistoupit k vlastnímu odvození pohybových rovnic soustavy, jejíž konfigurace
jsou vyjádřeny vhodnými zobecněnými souřadnicemi. Takové rovnice se nazývají Lagrangeovy
rovnice II. druhu. Z pedagogických důvodů je nejprve odvodíme pro nejjednodušší jednorozměrnou
situaci a potom rovnice přímočaře zobecníme na libovolný počet zobecněných souřadnic.
1.2.1 Nejjednodušší situace
Uvažujme pro jednoduchost nejprve jednorozměrný pohyb jediné částice hmotnosti m podél kartézské
osy x. Nechť zobecněná souřadnice je q, přičemž vazba je holonomní (obecně však může
2Zénón z Eleje (490–430 př. n. l.), proslulý řecký filosof a žák Parmenidův, se proslavil zejména svými aporiemi:
„letící šíp je v klidu , „Achilleus nikdy nedohoní želvu a podobně.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 5
být rheonomní), tedy x(q, t). Pro konkrétní trajektorii q(t) odtud dostáváme
x(t) = x(q(t), t), takže
dx
dt
=
∂x
∂q
dq
dt
+
∂x
∂t
. (1.4)
Nyní můžeme snadno spočítat kinetickou energii částice, kterou budeme označovat symbolem T :
T = 1
2 m
dx
dt
2
= 1
2 m
∂x
∂q
dq
dt
+
∂x
∂t
2
. (1.5)
Všechny tyto funkce závisejí na čase, neboť je vyčíslujeme podél trajektorie q(t). Protože však
výraz (1.5) platí pro každou trajektorii a v každém okamžiku t0, musí v t0 platit vztah
T (q, ˙q, t0) = 1
2 m
∂x
∂q
(q, t0) ˙q +
∂x
∂t
(q, t0)
2
, (1.6)
kde
q = q(t0) je okamžitá poloha a ˙q =
dq
dt
(t0) je okamžitá rychlost.
Jestliže nyní budeme tuto zobecněnou souřadnici q a zobecněnou rychlost ˙q chápat jako navzájem
nezávislé parametry, dostaneme parciálním derivováním (1.6) následující rovnice
∂T
∂ ˙q
= m
∂x
∂q
˙q +
∂x
∂t
∂x
∂q
, (1.7)
∂T
∂q
= m
∂x
∂q
˙q +
∂x
∂t
∂
∂q
∂x
∂q
˙q +
∂x
∂t
, (1.8)
které opět musí platit v každém okamžiku t0 libovolné trajektorie q(t). Proto můžeme získat časové
vyjádření vývoje obou veličin (1.7), (1.8) prostým dosazením
q = q(t) a ˙q =
dq
dt
(t),
tedy
∂T
∂ ˙q
(t) = m
∂x
∂q
dq
dt
+
∂x
∂t
∂x
∂q
= m
dx
dt
∂x
∂q
, (1.9)
∂T
∂q
(t) = m
∂x
∂q
dq
dt
+
∂x
∂t
∂
∂q
∂x
∂q
dq
dt
+
∂x
∂t
= m
dx
dt
∂
∂q
dx
dt
, (1.10)
kde v druhých rovnostech jsme uplatnili vztah (1.4). Odečteme-li nyní od úplné časové derivace
prvního výrazu druhý výraz, dostaneme
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= m
d2
x
d t2
∂x
∂q
+ m
dx
dt
d
dt
∂x
∂q
− m
dx
dt
∂
∂q
dx
dt
= m
d2
x
d t2
∂x
∂q
, (1.11)
protože druhý a třetí člen uprostřed se v důsledku záměnnosti pořadí derivací vůči q a t navzájem
odečtou. Pravou stranu (1.11) lze pomocí Newtonova pohybového zákona již snadno vyjádřit
m
d2
x
d t2
∂x
∂q
= F
∂x
∂q
≡ Q, (1.12)
kde Q je zobecněná síla, což je průmět obvyklé síly F do tečného směru k zobecněné souřadnici q.
Tím jsme odvodili, že
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= Q , (1.13)
což je Lagrangeova rovnice II. druhu. Jedná se o vyjádření pohybového zákona klasické mechaniky
v libovolných zobecněných souřadnicích. Výraz na levé straně však musíme chápat jako užitečnou
zkratku pro operaci, která přesně odpovídá výše uvedenému odvození, tedy postupu:
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 6
• vyjdeme z obvyklého „kartézského vztahu pro kinetickou energii T = 1
2 m dx
dt
2
• vyjádříme ho pomocí zobecněných souřadnic a zobecněných rychlostí, viz (1.6)
• tento výraz T (q, ˙q, t0) parciálně zderivujeme podle nezávislých parametrů ˙q a q
• do takto získaných vztahů dosadíme za parametr q funkci q(t) a za parametr ˙q funkci dq
dt (t)
• první z takto získaných funkcí ∂T
∂ ˙q (t) zderivujeme úplně podle času t
• odečteme od ní druhou funkci ∂T
∂q (t) a celý výraz položíme roven zobecněné síle Q.
Touto procedurou dostaneme vztah (1.13), což je z matematického hlediska obyčejná diferenciální
rovnice 2. řádu pro hledanou funkci q(t).
Ilustrace: kmity svislé pružiny padající v gravitačním poli g
Za zobecněnou souřadnici zvolme například bezrozměrný parametr q takový,
že pro kartézskou polohu konce pružiny platí
x(q, t) = c q + 1
2 g t2
,
kde c je konstanta. Pro trajektorii q(t) je pak kinetická energie (1.5) dána T (t) = 1
2 m (c dq
dt (t) + g t)2
.
Vyjádřeno pomocí parametrů q a ˙q dostáváme T = 1
2 m (c ˙q + g t)2
, takže ∂T
∂ ˙q = mc (c ˙q + g t) a
∂T
∂q = 0. Nyní za ˙q dosadíme dq
dt (t) a další derivací vyčíslíme
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= mc c
d2
q
d t2
+ g .
To má být podle (1.13) rovno zobecněné síle Q ≡ F ∂x
∂q = c F. Když F = −kc q + mg, Lagrangeovy
pohybové rovnice II. druhu vedou na diferenciální rovnici harmonického oscilátoru, d2
q
d t2 + k
m q = 0,
jež má obecné řešení q(t) = q0 cos k
m t + δ , kde q0, δ jsou integrační konstanty.
1.2.2 Nejobecnější situace
Výše uvedený postup platný pro jeden hmotný bod m pohybující se podél jediné kartézské osy x lze
snadno zobecnit na zcela obecnou situaci, kdy se mechanický systém skládá z N hmotných bodů,
jež se pohybují v třírozměrném prostoru. Ve standardním kartézském popisu tedy máme souřadnice
x1
, x2
, x3
, jež popisují polohu prvního hmotného bodu hmotnosti m1
, souřadnice x4
, x5
, x6
, jež
popisují polohu druhého hmotného bodu hmotnosti m2
, atd. Je užitečné zavést soustavu 3N
konstant mi předpisem m1 = m2 = m3 = m1
, m4 = m5 = m6 = m2
, atd. Díky tomuto formalizmu
lze celkovou kinetickou energii soustavy hmotných bodů vyjádřit
T = 1
2
3N
i=1
mi
dxi
dt
2
. (1.14)
Nechť je tato soustava podrobena celkem v holonomním vazbám (tedy na rychlosti nezávislým)
tvaru φν(xi
, t) = 0 , ν = 1, 2, . . . , v. Připouštíme tedy časovou závislost (rheonomní vazby). Pak
lze vždy (přinejmenším lokálně) zvolit zobecněné souřadnice qj
, j = 1, 2, . . ., 3N − v, tedy nezávislé
parametry takové, že pro libovolnou jejich hodnotu (z vhodného definičního oboru) jsou
všechny holonomní vazby φν = 0 identicky splněny. Z věty o implicitní funkci pak za předpokladu
dostatečné hladkosti vazeb dostaváme, že musí existovat funkce (1.2), tedy
xi
= xi
(qj
, t) . (1.15)
Odtud ihned plyne
xi
(t) = xi
(qj
(t), t) , takže
dxi
dt
=
∂xi
∂qk
dqk
dt
+
∂xi
∂t
, (1.16)
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 7
kde používáme Einsteinovo sumační pravidlo v indexu k. Dosazením do výrazu (1.14) dostáváme
T (qj
, ˙qj
, t) = 1
2
3N
i=1
mi
∂xi
∂qk
˙qk
+
∂xi
∂t
2
, (1.17)
kde funkce ∂xi
∂qk a ∂xi
∂t závisejí dle (1.15) jen na qj
a případně na t. V tomto vyjádření již vystupují
zobecněné rychlosti ˙qj
a zobecněné souřadnice qj
jako nezávislé parametry, viz (1.3). Parciálními
derivacemi (1.17) tedy dostáváme
∂T
∂ ˙qj
=
3N
i=1
mi
∂xi
∂qk
˙qk
+
∂xi
∂t
∂xi
∂qj
→
3N
i=1
mi
dxi
dt
∂xi
∂qj
, (1.18)
∂T
∂qj
=
3N
i=1
mi
∂xi
∂qk
˙qk
+
∂xi
∂t
∂
∂qj
∂xi
∂ql
˙ql
+
∂xi
∂t
→
3N
i=1
mi
dxi
dt
∂
∂qj
dxi
dt
, (1.19)
kde šipka naznačuje proceduru „zpětného dosazení funkcí qk
(t) za parametry qk
a funkcí dqk
dt (t)
za parametry ˙qk
a pak následné využití vztahu (1.16). Odtud již snadno plyne
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
=
3N
i=1
mi
d2
xi
d t2
∂xi
∂qj
+
dxi
dt
d
dt
∂xi
∂qj
−
dxi
dt
∂
∂qj
dxi
dt
=
3N
i=1
mi
d2
xi
d t2
∂xi
∂qj
=
3N
i=1
Fi
∂xi
∂qj
≡ Qj , (1.20)
Tím jsme odvodili Lagrangeovy rovnice II. druhu v jejich nejobecnějším tvaru
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
= Qj . (1.21)
Jedná se o vyjádření pohybových rovnic soustavy v libovolných zobecněných souřadnicích qj
.
Matematicky jde o soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu pro n neznámých funkcí
qj
(t), jež popisují trajektorie částic. Dynamika je přitom určena jedinou skalární veličinou, totiž
celkovou kinetickou energií T soustavy, a složkami působících zobecněných sil Qj.
1.2.3 Potenciál a Lagrangeova funkce
Za příhodných okolností lze Lagrangeovy rovnice ještě více zjednodušit. Především ve fyzikálně
důležitých situacích, kdy na hmotné body působí jen konzervativní síly,3
lze obecně komplikované
složky zobecněných sil Qj vyjádřit pomocí jediné skalární funkce, totiž potenciálu V (přesněji
bychom měli říkat „potenciální energie ). Opravdu, v takovém případě je
Qj ≡
3N
i=1
Fi
∂xi
∂qj
= −
3N
i=1
∂V
∂xi
∂xi
∂qj
= −
∂V
∂qj
. (1.22)
Když dosadíme toto vyjádření zobecněných sil na pravou stranu rovnice (1.21) a uvážíme-li, že
členy ∂V
∂ ˙qj jsou identicky nulové (síly jsou konzervativní a potenciál V proto nemůže záviset na
zobecněných rychlostech), můžeme Lagrangeovy rovnice II. druhu přepsat do jednoduchého tavru
d
dt
∂L
∂ ˙qj
−
∂L
∂qj
= 0 , (1.23)
3Připomeňme, že silové pole F je konzervativní právě tehdy, když vykonaná práce nezávisí na dráze (pouze na
koncových bodech), neboli práce po libovolné uzavřené dráze je nulová. To je ekvivalentní podmínce, že rot F=0,
což nastává právě tehdy, když existuje potenciál V takový, že F=–grad V .
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 8
kde funkce L(qj
, ˙qj
, t) je definována jako rozdíl kinetické a potenciální energie
L ≡ T − V (1.24)
a nazývá se Lagrangeova funkce daného mechanického systému. Vidíme, že pohybové rovnice lze
získat přímočarou kombinací (1.23) parciálních derivací z jediné skalární funkce L. V tom je užitečnost
Lagrangeova formalismu: oproti obvyklému newtonovskému postupu již není třeba provádět
složité rozklady působících sil do směrů jednotlivých souřadnic. Navíc automaticky dostaneme
právě tolik rovnic, kolik je stupňů volnosti studovaného systému. Lagrangeovy rovnice (1.23)
lze použít ve standardních situacích s konzervativním polem, zejména v homogenním gravitačním
poli (V = mgz), v centrálním gravitačním poli (V = c
r ), v případě harmonického oscilátoru
(V = 1
2 k(x − x0)2
) atd.
1.2.4 Zobecněný potenciál
Jednoduchý tvar (1.23) Lagrangeových rovnic II. druhu platí dokonce i v obecnějších situacích,
kdy silové pole již není konzervativní, ale existuje takzvaný zobecněný potenciál. Tím myslíme
situaci, kdy působící síla má takový charakter, že k ní existuje funkce V (qj
, ˙qj
, t) taková, že
Qj ≡
d
dt
∂V
∂ ˙qj
−
∂V
∂qj
. (1.25)
Zobecnění spočívá v tom, že připouštíme také závislost na zobecněných rychlostech a čase (obyčejný
potenciál smí záviset pouze na souřadnicích). Je zjevné, že dosazením (1.25) na pravou stranu
obecných pohybových rovnic (1.21) opět dostaneme Lagrangeovy rovnice II. druhu ve tvaru (1.23),
kde Lagrangeova fce je dána L = T − V = T (qj
, ˙qj
, t) − V (qj
, ˙qj
, t), tedy opět předpisem (1.24).
Pro případ konzervativních sil se (1.25) samozřejmě redukuje na jednodušší vztah (1.22).
Zdálo by se, že zde popsaný případ je umělý, neboť předpokládá platnost poměrně složitého
vztahu (1.25). Podivuhodná příroda ale kupodivu takovouto speciální možnost opravdu realizuje,
například ve velmi důležitém případě elektromagnetické interakce. Opravdu, přímým výpočtem
lze ukázat (viz cvičení), že pro elektromagnetickou Lorentzovu sílu F = e (E + v × B) existuje
zobecněný potenciál V (qj, ˙qj, t) tvaru
V = e (ϕ − v · A) , (1.26)
kde ϕ je skalární (elektrický) potenciál, zatímco A je vektorový potenciál. Souvislost vektorových
elektomagnetických polí a příslušných potenciálů je dána známými vztahy E = −gradϕ − ∂A
∂t a
B = rot A. Možnost popsat pohyb částic v obecném elektromagnetickém poli pomocí Lagrangeovy
funkce je velmi vítaná po stránce teoretické i praktické a nachází své přirozené zobecnění také v
relativistické či kvantové teorii.
1.2.5 Příklad: částice v centrálním poli
Lagrangeova praktická „kuchařka pro sestavení pohybových rovnic tedy zní takto:
1. Určíme počet stupňů volnosti n a zavedeme vhodné zobecněné souřadnice qj
, j = 1, . . . , n
(tedy n parametrů qj
jednoznačně popisujících pohyb soustavy v souladu s vazbami).
2. Vyjádříme kartézské souřadnice xi
pomocí zobecněných souřadnic qj
,
t.j. určíme vztahy xi
(qj
, t), kde i = 1, . . . , 3N, j = 1, . . . , n.
3. Vypočteme kartézské rychlosti dxi
dt ≡ d
dt [xi
(qj
(t), t)].
4. Dosazením do definice kinetické energie T = 1
2
3N
i=1 mi
dxi
dt
2
získáme T (qj
, ˙qj
, t).
5. Dosazením xi
(qj
, t) do potenciální energie V (xi
) vypočteme V (qj
, t) .
6. Stanovíme Lagrangeovu funkci L = T − V .
7. Jejím derivováním získáme Lagrangeovy pohybové rovnice d
dt
∂L
∂ ˙qj − ∂L
∂qj = 0.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 9
Ilustrace: pohyb hmotného bodu v poli centrální síly
Budeme postupovat přesně podle výše uvedených bodů:
1. Máme jediný hmotný bod ve třírozměrném prostoru a žádnou vazbu, takže n = 3. Síla v centrálním
poli je vždy radiální a její velikost závisí pouze na vzdálenosti od centra. Za tři zobecněné
souřadnice q1
, q2
, q3
je tedy přirozené zvolit standardní sférické souřadnice r, ϑ, ϕ.
2. Vztahy xi
(qj
) jsou obvyklá vyjádření kartézských souřadnic pomocí sférických, tedy
x1
= r sin ϑ cos ϕ ,
x2
= r sin ϑ sin ϕ , (1.27)
x3
= r cos ϑ .
3. Kartézské složky rychlosti získáme úplnou časovou derivací (1.27):
dx1
dt
= ˙r sin ϑ cos ϕ + r cos ϑ ˙ϑ cos ϕ − r sin ϑ sin ϕ ˙ϕ ,
dx2
dt
= ˙r sin ϑ sin ϕ + r cos ϑ ˙ϑ sin ϕ + r sin ϑ cos ϕ ˙ϕ , (1.28)
dx3
dt
= ˙r cos ϑ − r sin ϑ ˙ϑ .
4. Dosazením (1.28) do výrazu pro kinetickou energii T = 1
2 m dx1
dt
2
+ dx2
dt
2
+ dx3
dt
2
zjistíme, že řada členů vypadne a zbylé se zkombinují do jednoduchého výrazu pro kinetickou
energii ve sférických souřadnicích:
T = 1
2 m( ˙r2
+ r2 ˙ϑ2
+ r2
sin2
ϑ ˙ϕ2
) . (1.29)
(Povšimněte si, že T je kvadratickou diagonální formou zobecněných rychlostí ˙qj
.)
5. Centrální silové pole je sféricky symetrické, a proto příslušná potenciální energie V nemůže
záviset na úhlových zobecněných souřadnicích ϑ, ϕ. Proto je V = V (r). Opravdu: provedením
gradientu na tuto skalární funkci dostaneme, že příslušná síla má pouze radiální složku,
přičemž její velikost závisí jen na vzdálenosti r od centra.
6. Lagrangeova funkce L ve sférických souřadnicích tedy je
L = 1
2 m( ˙r2
+ r2 ˙ϑ2
+ r2
sin2
ϑ ˙ϕ2
) − V (r) . (1.30)
7. Parciální derivace této Lagrangeovy funkce podle zobecněných rychlostí ˙qj
a zobecněných
souřadnic qj
jsou
∂L
∂ ˙r
= m ˙r ,
∂L
∂r
= mr ˙ϑ2
+ mr sin2
ϑ ˙ϕ2
−
dV
dr
,
∂L
∂ ˙ϑ
= mr2 ˙ϑ ,
∂L
∂ϑ
= mr2
sin ϑ cos ϑ ˙ϕ2
, (1.31)
∂L
∂ ˙ϕ
= mr2
sin2
ϑ ˙ϕ ,
∂L
∂ϕ
= 0 .
Lagrangeovy rovnice II. druhu (1.23) jsou tedy explicitně:
m¨r − mr ˙ϑ2
− mr sin2
ϑ ˙ϕ2
+
dV
dr
= 0 ,
(mr2 ˙ϑ)˙ − mr2
sin ϑ cos ϑ ˙ϕ2
= 0 , (1.32)
(mr2
sin2
ϑ ˙ϕ)˙ = 0 ,
kde tečka zde značí úplnou časovou derivaci příslušné funkce. Z matematického hlediska je
to tedy soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic pro tři hledané funkce r(t), ϑ(t), ϕ(t).
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 10
Nyní obrátíme pozornost na řešení pohybových rovnic (1.32). Soustava vypadá dosti složitě:
proměnné jsou navzájem provázány a rovnice jsou nelineární. Při bližším pohledu ovšem můžeme
učinit důležitý exaktní závěr: pohyb částice v libovolném centrálním poli je nutně rovinný.
Důkaz této skutečnosti není těžký. Diferenciální rovnici (1.32) přepíšeme do explicitního tvaru
¨ϑ = sin ϑ cos ϑ ˙ϕ2
− 2
˙r
r
˙ϑ . (1.33)
Bez újmy na obecnosti však můžeme předpokládat počáteční podmínky ϑ = π
2 a ˙ϑ = 0 v čase
t = 0. (Využijeme vlastně volnosti při zavádění sférických zobecněných souřadnic: stačí na počátku
orientovat kartézskou osu x3
v (1.27) tak, aby mířila kolmo na „rovníkovou rovinu definovanou
vektorem polohy r částice vůči centru a vektorem rychlosti v této částice v počátečním čase t = 0.)
Při této volbě pak z diferenciální rovnice (1.33) ihned plyne, že v t = 0 je ¨ϑ = 0. To znamená,
že složka zrychlení částice ve směru mimo rovinu ϑ = π
2 je nulová, a proto částice nemůže tuto
rovníkovou rovinu nikdy opustit. Matematicky tento fakt plyne z věty o jednoznačnosti řešení
rovnice (1.33) ve tvaru ϑ(t) ≡ π
2 pro dané počáteční podmínky.4
Pohyb v poli centrální síly je tedy nutně rovinný. Přestože jsme začali obecnou možností pohybu
částice ve třírozměrném prostoru, její skutečný pohyb je efektivně jen dvourozměrný: omezuje se na
jedinou rovinu. Později uvidíme, že z fyzikálního pohledu je tato skutečnost důsledkem zachování
momentu hybnosti l = r × mv částice v daném systému (moment síly M = r × F totiž vymizí,
protože vektor F je radiální, a tedy kolineární s polohovým vektorem r).
⊠⊠⊠
Bez újmy na obecnosti se tudíž naše úloha redukuje na dvojrozměrný problém. Je přirozené
v rovině pohybu za zobecněné souřadnice q1
, q2
zvolit standardní polární souřadnice r, ϕ, které
s kartézskými souřadnicemi souvisejí vztahy
x1
= r cos ϕ ,
x2
= r sin ϕ , (1.34)
(je to vlastně speciální případ (1.27) pro ϑ = π
2 ). Když nyní aplikujeme kuchařku uvedenou
v úvodu této části textu, dostaneme Lagrangeovu funkci ve tvaru
L = 1
2 m( ˙r2
+ r2
˙ϕ2
) − V (r) (1.35)
a odtud získáme Lagrangeovy rovnice
m¨r − mr ˙ϕ2
= −
dV
dr
,
(mr2
˙ϕ)˙ = 0 . (1.36)
Rozborem jejich řešení se budeme zabývat v následující části 1.4.
4Podstatou důkazu je rozvinutí funkce ϑ(t) do Taylorova rozvoje, tedy ϑ(t) = ϑ(0) + ˙ϑ(0) t + 1
2
¨ϑ(0) t2 + . . ., kde
ϑ(0) = π
2
a ˙ϑ(0) = 0. V důsledku rovnice (1.33) je ¨ϑ(0) = 0, a v důsledku derivací této rovnice také v počátečním
čase t = 0 vymizí všechny vyšší derivace funkce ϑ(t).
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 11
1.3 Metody řešení pohybových rovnic a integrály pohybu
Lagrangeovy rovnice II. druhu poskytují jasný a praktický algoritmus pro efektivní sestavení pohybových
rovnic. Obecně existují tři možné přístupy, jak takto získané diferenciální rovnice vyřešit:
• numerické řešení: V dnešní době velmi výkonných počítačů není problém napsat tvar
příslušné soustavy obyčejných diferenciálních rovnic do vhodného programovacího prostředí
(např. Mathematica, Maple, Famulus atd.) a po zvolení konkrétních počátečních podmínek
odpovídající numerické řešení vykreslit. Je však třeba mít na paměti, že při numerickém
řešení vyvstává problém spolehlivosti získaných výsledků. Nutně vznikají numerické chyby,
které mohou v okolí nestabilních bodů rychle narůstat: získané řešení pak neodpovídá skutečnému.
Vždy je proto užitečné mít teoretický vhled do charakteru řešení a výsledek pomocí
něj pečlivě testovat, například vhodnými zachovávajícími se veličinami.
• přibližné řešení: Soustava pohybových rovnic je obecně složitá, a tak není snadné najít
její přesné řešení. Největším problémem je, když jsou diferenciální rovnice nelineární, neboť
pak neplatí princip superpozice elementárních řešení. V takovém případě obvykle namísto
přesného řešení hledáme jen řešení přibližné: zanedbáme nelineární členy a pak standardním
postupem řešíme příslušné aproximované lineární rovnice. Provedení správné linearizace je
svého druhu „umění , neboť teprve praxí lze získat zkušenost, které zanedbání členů je
fyzikálně oprávněné a konzistentní.
Ilustrace linearizace: matematické kyvadlo
Je-li zobecněnou souřadnicí výchylka ϕ z rovnovážné polohy, má Lagrangeova funkce tvar
L = 1
2 ml2
˙ϕ2
+mgl cos ϕ. Příslušná rovnice (1.23) pak je ¨ϕ+ g
l sin ϕ = 0. Tato nelineární diferenciální
rovnice nemá jednoduché řešení, ale snadno můžeme provést její linearizaci pro malé
výchylky ϕ ≪ 1. Taylorův rozvoj říká, že v takovém případě sin ϕ ≈ ϕ, takže ¨ϕ + g
l ϕ ≈ 0.
To je jednoduchá lineární rovnice známá jako rovnice harmonického oscilátoru: jejím řešením
jsou harmonické kmity ϕ(t) = ϕ0 cos g
l t + δ , kde ϕ0, δ jsou integrační konstanty odpovídající
maximální amplitudě a fázi. Poznamenejme, že linearizovanou pohybovou rovnici
lze získat předpisem (1.23) také z Lagrangeovy funkce, když ji rozvineme do druhého řádu
v proměnné ϕ, tedy L ≈ 1
2 ml2
˙ϕ2
+ mgl(1 − 1
2 ϕ2
).
• přesné řešení: Je samozřejmě ideální, když se nám podaří najít exaktní řešení přesných
pohybových rovnic. To je veskrze úloha matematická, při níž musíme uplatnit zručnost a
zkušenosti získané v kurzech matematické analýzy. Doporučuje se použít také speciální literaturu
a tabulky řešení diferenciálních rovnic.
Je přitom pozoruhodné, že Lagrangeův formalismus, který umožňuje efektivně sestavit pohybové
rovnice, nám současně poskytuje triky pro jejich řešení ! Jedná se především o konstruktivní
postup nalezení tzv. integrálů pohybu (neboli „prvních integrálů pohybových rovnic ),
což jsou speciální veličiny, které v průběhu pohybu nemění svoji hodnotu. Začněme jejich
definicí a pak uvedeme několik základních vět:
Integrál pohybu je výraz tvaru f(qj
, ˙qj
, t), který v každém okamžiku t nabývá konstantní hodnoty,
když ho vyčíslíme podél libovolné trajektorie qj
(t) řešící pohybové rovnice daného systému.
Přesněji řečeno: jestliže do funkce f dosadíme za zobecněnou souřadnici qj
funkci qj
(t) popisující
skutečný pohyb, a za zobecněnou rychlost ˙qj
její časovou derivaci dqj
(t)
dt , dostaneme funkci
f(t) ≡ f(qj
(t), ˙qj
(t), t). Hodnota této funkce je konstantní, tedy na čase nezávislá (pro různé trajektorie
qj
(t) je ale příslušná hodnota f(t) = konst. obecně různá). Pro integrál pohybu tedy platí
f(t) ≡ f(qj
(t), ˙qj
(t), t) = konst. neboli
df(t)
dt
= 0 . (1.37)
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 12
Uveďmě nyní dvě významné věty:
Pokud Lagrangeova funkce L nezávisí na některé zobecněné souřadnici qi
(v takovém případě
říkáme, že qi
je tzv. „cyklická souřadnice ), pak výraz
∂L
∂ ˙qi
je integrálem pohybu.
Důkaz je snadný: z Lagrangeových rovnic II. druhu (1.23), kde j = 1, . . . , i − 1, i, i + 1, . . . , n,
vezmeme právě i-tou, tedy d
dt
∂L
∂ ˙qi − ∂L
∂qi = 0. Dle předpokladů věty vymizí druhý člen, takže
d
dt
∂L
∂ ˙qi
= 0 .
Porovnáním s (1.37) ihned vidíme, že f ≡ ∂L
∂ ˙qi je integrál pohybu, čímž je důkaz dokončen.
⊠⊠⊠
Příklady: pro volnou částici je V = 0, a proto L = T, neboli v kartézských souřadnicích
L = 1
2 m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) .
Všechny tři souřadnice jsou zjevně cyklické, a tak věta ihned implikuje tři integrály pohybu:
∂L
∂ ˙x
= m ˙x = a ,
∂L
∂ ˙y
= m ˙y = b ,
∂L
∂ ˙z
= m ˙z = c ,
kde a, b, c jsou konstanty. Jedná se samozřejmě o zákon zachování hybnosti.
Kdybychom uvažovali částici v homogenním gravitačním poli, měli bychom Lagrangeovu funkci
L = 1
2 m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) − mgz .
V tomto případě jsou cyklické pouze souřadnice x a y. Ve svislém směru souřadnice z zákon
zachování hybnosti neplatí, protože veličina m ˙z při volném pádu částice narůstá.
Pokud Lagrangeova funkce L nezávisí explicitně na čase t, pak výraz
h(qi
, ˙qi
) =
n
j=1
∂L
∂ ˙qj
˙qj
− L (1.38)
(tzv. „zobecněná energie ) je integrálem pohybu.
Důkaz: přímo z definice dostaneme
dh
dt
=
n
j=1
d
dt
∂L
∂ ˙qj
˙qj
+
∂L
∂ ˙qj
¨qj
−
∂L
∂qj
˙qj
−
∂L
∂ ˙qj
¨qj
,
přičemž v souladu s předpokladem věty již nepíšeme člen −∂L
∂t . Druhý a čtvrtý člen se navzájem
vyruší a zbylé dva lze přepsat do tvaru
dh
dt
=
n
j=1
d
dt
∂L
∂ ˙qj
−
∂L
∂qj
˙qj
.
Výraz v hranaté závorce je ovšem levá strana Lagrangeovy rovnice (1.23), která je pro skutečný
pohyb rovna nule, a proto dh
dt = 0, takže h je integrálem pohybu.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 13
⊠⊠⊠
Příklad: pro částici v kartézských souřadnicích je
L = 1
2 m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) − V (x, y, z) ,
takže
h =
∂L
∂ ˙x
˙x +
∂L
∂ ˙y
˙y +
∂L
∂ ˙z
˙z − L = m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) − 1
2 m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) + V = T + V .
V tomto případě se tedy v průběhu děje zachovává celková mechanická energie.
Není ale pravda , že zachovávající se zobecněná energie h je vždy rovna součtu kinetické energie
T a potenciální energie V . Například rheonomní vazby soustavě energii dodávají nebo ji odebírají
(ilustrací je třeba korálek na drátu otáčejícím se konstantní úhlovou rychlostí).
Můžeme však vyslovit například následující jednoduchou větu:
Pokud jsou síly konzervativní a pokud jsou vazby holonomní a současně skleronomní,
pak h = T + V = konst. (celková mechanická energie soustavy se tedy zachovává).
Důkaz: holonomní a skleronomní vazby mají tvar φ(xi
) = 0, a tudíž xi
= xi
(qj
), viz (1.15). Pak
T = 1
2
3N
i=1
mi
dxi
dt
2
= 1
2
3N
i=1
mi
n
r=1
∂xi
∂qr
˙qr
n
s=1
∂xi
∂qs
˙qs
=
n
r,s=1
3N
i=1
1
2 mi
∂xi
∂qr
∂xi
∂qs
˙qr
˙qs
.
Definujeme-li (symetrickou) matici
Ars(qj
) ≡
3N
i=1
1
2 mi
∂xi
∂qr
∂xi
∂qs
,
můžeme kinetickou energii soustavy vyjádřit
T =
n
r,s=1
Ars ˙qr
˙qs
.
To je zjevně kvadratická funkce ve zobecněných rychlostech, a proto
n
j=1
∂T
∂ ˙qj
˙qj
=
n
j,r,s=1
Arsδr
j ˙qs
+ Ars ˙qr
δs
j ˙qj
= 2
n
r,s=1
Ars ˙qr
˙qs
= 2T
(ve skutečnosti jsme právě dokázali speciální případ tzv. Eulerovy věty o homogenních funkcích).
Nyní už snadno pro potenciál nezávislý na rychlostech z definice (1.38) odvodíme, že
h =
n
j=1
∂T
∂ ˙qj
˙qj
− L = 2T − T + V = T + V .
⊠⊠⊠
V následující části nyní ukážeme aplikaci předchozích vět, a to na příkladě pohybu hmotného
bodu v centrálním poli. Jak uvidíme, jedná se o fyzikálně důležitou úlohu, která souvisí nejen
s pohybem planet, ale také například s rozptylem elementárních částic.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 14
1.4 Pohyb v poli centrální síly
V předchozí části 1.2.5 jsme dokázali, že pohyb částice v centrálním poli je nutně rovinný, a proto
postačuje zavést polární souřadnice r, ϕ v „rovině ekliptiky . V těchto zobecněných souřadnicích
má Lagrangeova funkce tvar (1.35), tedy L = 1
2 m( ˙r2
+ r2
˙ϕ2
) − V (r).
K nalezení možných pohybů s výhodou použijeme integrály pohybu:
• souřadnice ϕ je cyklická, takže veličina ∂L
∂ ˙ϕ je integrál pohybu. To konkrétně znamená, že
mr2
˙ϕ = l = konst. (1.39)
Jedná se zjevně o zákon zachování momentu hybnosti |l| = |l| = |r × mv|.
• Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, takže se zachovává zobecněná energie, která
je v tomto případě rovna celkové mechanické energii T + V = E, neboli
1
2 m( ˙r2
+ r2
˙ϕ2
) + V (r) = E = konst. (1.40)
Namísto řešení pohybových rovnic 2. řádu (1.36) tedy bez újmy na obecnosti stačí řešit jen integrály
pohybu (1.39) a (1.40). To jsou dvě obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (obsahující již dvě
integrační konstanty l a E) pro hledané funkce r(t) a ϕ(t). Nabízí se z rovnice (1.39) vyjádřit
˙ϕ =
l
mr2
(1.41)
a pak dosadit do rovnice (1.40); po úpravě tak dostaneme
˙r2
=
2
m
E − V (r) +
l2
2mr2
. (1.42)
Po odmocnění lze tuto rovnici vyřešit separací proměnných:
t − t0 =
dr
2
m E − V (r) + l2
2m r−2
. (1.43)
Stačí tedy najít tento jediný integrál (provést tzv. kvadraturu), a to například numericky. Pro
obecný tvar potenciálu V (r) je to analyticky obtížné, explicitně se dají vyčíslit jen jisté speciální
případy, a i ty obvykle nejsou v explicitním nýbrž parametrickém tvaru. Teoreticky však lze takto
integrovanou a invertovanou funkci r(t) dosadit do rovnice (1.41) a po provedení další integrace
separací proměnných získat funkci ϕ(t), čímž je úloha nalézt trajektorii hmotného bodu v daném
centrálním poli kompletně vyřešena.
Je zajímavé, že pro určení tvaru trajektorie v polárních souřadnicích r(ϕ) není často nutné
úlohu nejprve dle předchozího postupu vyřešit a následně pak vyloučit časovou závislost z funkcí
r(t) a ϕ(t). Můžeme postupovat přímo užitím Binetova vzorce
d2
u
dϕ2
+ u = −
m
l2
dV
du
, (1.44)
kde proměnná u je inverzní radiální vzdálenost
u =
1
r
. (1.45)
Důkaz: Protože r = 1
u(ϕ) , dostáváme časovou derivací a užitím vztahu (1.41)
˙r =
d
dt
1
u(ϕ(t))
= −
1
u2
du
dϕ
˙ϕ = −
1
u2
du
dϕ
l
mr2
= −
l
m
du
dϕ
.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 15
Dosazením do rovnice (1.42) získáme
l2
m2
du
dϕ
2
+
l2
m2
u2
=
2
m
[E − V (u)] , (1.46)
jehož derivací podle proměnné ϕ a zkrácení konstantami obdržíme
du
dϕ
d2
u
dϕ2
+ u
du
dϕ
= −
m
l2
dV
du
du
dϕ
.
Pro případ du
dϕ = 0 lze tímto společným faktorem vydělit, čímž opravdu dospějeme k (1.44).
⊠⊠⊠
Po zadání konkrétního potenciálu V (r(u)) do Binetova vzorce získáme obyčejnou diferenciální
rovnici 2. řádu pro funkci u(ϕ), jejímž převrácením r(ϕ) = 1
u(ϕ) získáme hledaný tvar trajektorie.
1.4.1 Pohyb planet aneb Keplerova úloha
Důležitým příkladem pohybu v centrálním poli jsou trajektorie planet a jiných astronomických těles
obíhajících v gravitačním poli Slunce. Ukážeme nyní, jak z výše uvedené Lagrangeovy formulace
mechaniky snadno plynou Keplerovy zákony.
Gravitační pole Slunce hmotnosti M je dáno potenciálem
V (r) = −
α
r
, α = GMm je kladná konstanta. (1.47)
V reciproké souřadnici (1.45) má potenciál tvar V = −αu a jeho derivace je dV
du = −α, takže
Binetův vzorec (1.44) je nyní explicitně
d2
u
dϕ2
+ u =
αm
l2
.
Ihned najdeme obecné řešení této lineární diferenciální rovnice s konstantní pravou stranou.
Obecné řešení homogenní rovnice je u0 = C cos ϕ (bez újmy na obecnosti můžeme položit počáteční
fázi ϕ0 = 0) a partikulární řešení úplné rovnice je zjevně up = αm
l2 . Kompletní řešení tedy
je 1
r = u = up + u0 = αm
l2 + C cos ϕ = αm
l2 (1 + ε cosϕ), kde konstanta ε nahrazuje C. Máme tedy
r =
p
1 + ε cosϕ
, (1.48)
kde konstanty jsou dány
p =
l2
αm
=
l2
GMm2
, (1.49)
ε2
− 1 =
2l2
E
α2m
=
2l2
E
G2M2m3
. (1.50)
Důkaz: Dosazením kompletního řešení (1.48), tedy u = 1
p (1 + ε cos ϕ), a z něj plynoucí derivace
du
dϕ = −ε
p sin ϕ do rovnice (1.46) dostaneme
1
p2 (ε2
sin2
ϕ + 1 + 2ε cosϕ + ε2
cos2
ϕ) = 2m
l2 [E + αu] = 2m
l2 [E + α
p (1 + ε cos ϕ)] ,
což po úpravě dává 1 + ε2
+ 2ε cosϕ = 2mp2
l2 E + 2(1 + ε cosϕ), a tedy ε2
− 1 = 2mp2
l2 E. Důvod,
proč je integrační konstanta ε z Binetova vzorce takto jednoznačně učena, spočívá v tom, že
Binetova diferenciální rovnice 2. řádu (1.44) vznikla derivací původní rovnice (1.46) 1. řádu, kde
jako fyzikální parametr vystupuje integrál pohybu E, který při derivování vypadl.
⊠⊠⊠
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 16
Dospěli jsme tak k pěknému výsledku: tělesa se ve sluneční soustavě pohybují po kuželosečkách,
protože rovnice (1.48) není nic jiného než obvyklé vyjádření kuželoseček v polárních souřadnicích
s ohniskem v počátku r = 0, kde je umístěno Slunce. V závislosti na parametru ε zvaném
numerická excentricita totiž funkce (1.48) popisuje kružnici (ε = 0), elipsu (0 < ε < 1), parabolu
(ε = 1) resp. hyperbolu (ε > 1). Podle (1.50) tyto čtyři možné situace odpovídají případům, kdy
celková zachovávající se mechanická energie je E = Emin ≡ −G2
M2
m3
2l2 < 0, Emin < E < 0, E = 0,
resp. E > 0. Druhý parametr p, který určuje velikost kuželosečky, je podle (1.49) určen (kromě
hmotností Slunce a obíhajícího tělesa) zachovávajícím se momentem hybnosti l. Výše uvedeným
postupem jsme tedy odvodili první z Keplerových zákonů:
1. Keplerův zákon : Planety se pohybují po elipsách se Sluncem v ohnisku.
2. Keplerův zákon : Spojnice Slunce a planety opisuje za stejné časové intervaly stejné plochy.
3. Keplerův zákon : Pro všechny planety je podíl T 2
a3 stejná konstanta.
Důkaz: Celková mechanická energie E každé planety je záporná, a proto se nemůže vymanit z
gravitačního potenciálu Slunce. Dle (1.50) je proto nucena obíhat kolem něj po eliptické orbitě
(1.48) s ε < 1. Je to uzavřená trajektorie, která je 2π periodická.5
Perihelium (přísluní) nastává pro ϕ = 0 (odpovídající přirozené volbě počáteční fáze ϕ0 = 0) a
má hodnotu rp = p
1+ε . Naopak afelium (odsluní) nastává pro ϕ = π a má hodnotu ra = p
1−ε .
Geometricky je elipsa určena hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b. Protože excentricita e je
dána vztahem e ≡ εa, můžeme z jednoduchého vztahu rp = a − e případně ra = a + e odvodit, že
p = a(1 − ε2
). Dosazením z (1.49) a (1.50) tak ihned dostáváme
a =
GMm
2|E|
. (1.51)
Hlavní poloosa eliptické dráhy a je tedy (kromě konstantních hmotností) určena celkovou energií
planety E a nezávisí na jejím momentu hybnosti l.
Druhý Keplerův zákon je vlastně jen geometrickým vyjádřením zákona zachování momentu
hybnosti (1.39). Plošná rychlost (tedy plocha opsaná spojnicí planety se Sluncem za krátký čas)
je dána výrazem dS
dt = 1
2 r2
˙ϕ. Užitím vztahu (1.41) tak okamžitě dostáváme
dS
dt
=
l
2m
, (1.52)
což je opravdu konstanta úměrná momentu hybnosti planety.
Konečně třetí Keplerův zákon získáme přímou integrací druhého. Ze vztahu (1.52) tak plyne
S = dS = l
2m dt = l
2m T, kde T je doba oběhu planety. Protože plocha elipsy je určena vzorcem
S = πab a díky známému vztahu a2
= e2
+ b2
můžeme vyjádřit b = a
√
1 − ε2, dostáváme
T 2
= 4π2 m2
l2 a4
(1 − ε2
) = 4π2 m2
l2 p a3
= 4π2
GM a3
, neboli
T 2
a3
=
4π2
GM
. (1.53)
5Uzavřenost trajektorií je důsledkem newtonovského tvaru potenciálu. Pro jiné potenciály V (r) nemá příslušné
řešení Binetovy rovnice periodický charakter a dochází k posuvu perihelia. Podle tzv. Bertrandova teorému pouze
potenciály V ∼ 1/r a V ∼ r2 vedou na uzavřené periodické trajektorie.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 17
Podíl druhé mocniny oběžné doby planety a třetí mocniny hlavní poloosy její eliptické dráhy je
tedy (až na univerzální konstanty) dán pouze hmotností Slunce. Ze vzorce (1.53) lze tedy snadno
stanovit hmotnost objektu budícího centrální gravitační pole: chceme-li například zjistit hmotnost
Slunce, stačí do tohoto vzorce dosadit příslušné hodnoty T a a pro libovolnou planetu, chceme-li
zjistit hmotnost Země, použijeme odpovídající hodnoty T a a Měsíce, chceme-li zjistit hmotnost
planety, stačí dosadit oběžnou dobu a hlavní poloosu kterékoli její oběžnice (pochopitelně jen v
případě, že lze zanedbat působení ostatních těles).
⊠⊠⊠
1.4.2 Historická vsuvka z rudolfínské Prahy
Keplerovy zákony bez nadsázky stojí u kolébky fyziky a moderní přírodovědy, neboť právě z nich
Newton vyvodil a roku 1687 v Principiích v ucelené podobě prezentoval svůj gravitační zákon.
Můžeme považovat za čest, že první dva z těchto zákonů zformuloval císařský matematik
Johannes Kepler během svého plodného dvanáctiletého pobytu na dvoře císaře Rudolfa II. v Praze.
Johannes Kepler
(∗ 27. 12. 1571 Weil der Stadt, † 15. 11. 1630 Řezno)
Osmadvacetiletý Kepler přichází do Prahy v lednu roku 1600 a stává se asistentem věhlasného
císařského astronoma Tychona Brahe. Tím začala, jak praví Z. Horský ve své výtečné monografii
Kepler v Praze (Mladá fronta, Praha, 1980), „osobní spolupráce nejlepšího pozorovatele dané
epochy s jejím nejlepším teoretikem (byť nebyla zcela bez problémů a trvala jen krátce do Brahovy
smrti 24. 10. 1601). Kepler pak postupně utřídil a vyhodnotil Brahova pečlivá pozorování pohybu
planet, zejména Marsu. Na základě těchto systematických dat dosud nebývalé přesnosti odvodil po
četných peripetiích své tři geometrické zákony pohybu nebeských objektů. První a druhý Keplerův
zákon byl publikován v rozsáhlém díle Astronomia nova (Nová astronomie) z roku 1609, třetí
Keplerův zákon pak v roce 1619 v Linci v díle Harmonice mundi (Harmonie světa).
Především první Keplerův zákon přinesl podstatné vylepšení Koperníkova heliocentrického
systému.6
Zásluhou Mikuláše Koperníka začal „vesmírný stroj pracovat v rozumném uspořádání,
ale ještě ne dokonale. Stále bylo totiž nutné skládat kruhové pohyby epicyklů po deferentu vůči
ekvantu, aby bylo dosaženo stejné přesnosti předpovědí, jaké dosahovala dosavadní Ptolemaiova
geocentrická soustava. Kepler nahradil celý tento složitý systém kruhových pohybů jedinou elipsou.
Inspirací mu přitom byly nejspíš jeho práce z optiky: Kepler teoreticky studoval odrazy světla na
kuželosečkách a jako první zavedl pojem ohniska. Není však vyloučen ani nepřímý vliv z oboru
architektury, konkrétně eliptický půdorys tzv. Vlašské kaple (dnes součást komplexu Klementina),
nejstarší raně barokní stavby v Čechách budované v letech 1590–1597 italskými staviteli.
6Koperníkovo fundamentální dílo De revolutionibus orbium coelestium (O obězích nebeských sfér) vyšlo r. 1543.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 18
1.4.3 Metoda efektivního potenciálu
Vraťme se nyní ke vztahu (1.42), který popisuje trajektorie v obecném centrálním poli. Zavedeme
užitečnou a jednoduchou metodu, pomocí níž lze provést správný kvalitativní rozbor možných
pohybů, aniž bychom museli příslušnou diferenciální rovnici explicitně vyřešit.
Definujme pomocnou veličinu zvanou efektivní potenciál vztahem
Vef (r) = V (r) +
l2
2mr2
. (1.54)
Vlastně jsme jen k potenciálu centrální síly V (r) přičetli „odstředivý člen , který souvisí se zákonem
zachování momentu hybnosti l, viz substituce (1.41). Potom můžeme rovnici (1.42) přepsat
˙r2
=
2
m
E − Vef (r) , (1.55)
kde konstanta E vyjadřuje zachovávající se celkovou mechanickou energii, zatímco ˙r je rychlost
planety v radiálním směru. Podstata metody spočívá v následujícím triviálním tvrzení:
Pohyb je možný jen pro taková r, kde Vef (r) ≤ E ,
jinak by pravá strana (1.55) byla záporná, takže by nemohla být druhou mocninou reálné veličiny.
Uvedenou podmínku lze velmi dobře analyzovat graficky, jestliže vykreslíme graf efektivního
potenciálu (pro daný moment hybnosti l). Například pro newtonovské gravitační pole (1.47) má
efektivní potenciál tvar znázorněný na tomto obrázku (pro velké hodnoty r převládá Newtonův
potenciál ∼ −1
r , zatímco pro malé hodnoty r dominuje odtředivý člen ∼ + 1
r2 ):
Pod grafem funkce Vef (r) se nachází zakázaná oblast, kam se planeta nikdy nemůže dostat, protože
by byla porušena výše uvedená podmínka. Pro danou hodnotu energie E, kterou má těleso stejnou
pro každé r (protože se zachovává), existují body obratu určené průsečíkem vodorovné přímky
E = konst. s grafem efektivního potenciálu. V bodech obratu je E = Vef (r), takže ˙r = 0, což
znamená, že radiální rychlost je právě nulová: planeta (v daný okamžik) zastaví své přibližování
ke Slunci anebo své vzdalování od něj (ocitne se v periheliu resp. afeliu). Počet bodů obratu a
tím i kvalitativní charakter pohybu pochopitelně závisí na hodnotě E. Z obrázku vidíme, že pro
E > 0 existuje jen jeden bod obratu (perihelium) a že pohyb je neomezený — těleso může odletět
do nekonečna, což je v souladu se vztahem (1.50), který v takovém případě vede na hyperbolický
pohyb. Mezní (parabolický) případ nastává pro E = 0. Pokud E < 0, existují dva body obratu
(perihelium i afelium), což odpovídá omezenému eliptickému pohybu planet. Vidíme také, že existuje
unikátní kruhový pohyb na hodnotě poloměru r0 = p, jenž je právě minimem efektivního
potenciálu Vef . Protože se jedná o minimum, je kruhová dráha zjevně stabilní orbitou.
Zde popsaná metoda efektivního potenciálu je velmi názorná a užitečná pro kvalitativní analýzu
možných pohybů v obecných potenciálech V (r), včetně rozboru stability drah. (Například kruhový
pohyb v místě maxima příslušného efektivního potenciálu je nestabilní — to nastává např. pro
pohyb objektu v blízkém okolí černé díry v kontextu Einsteinovy obecné teorie relativity.)
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 19
1.4.4 Rozptyl nabitých částic
Jiným významným případem pohybu v centrálním poli je rozptyl částic v coulombickém poli. Tento
problém sehrál klíčovou roli počátkem 20. století, kdy se fyzika vydala na cestu do mikrosvěta a
začala zkoumat strukturu atomů.
Uvažujme dvě nabité bodové částice, které se elektrostaticky odpuzují. Coulombický potenciál
V (r) = −
α
r
, α = −
Q1Q2
4πǫ0
je záporná konstanta , (1.56)
má stejný tvar jako newtonovský gravitační potenciál (1.47) až na to, že konstanta α má nyní
opačné znaménko. Předpokládejme, že částice s nábojem Q1 je pevná (je to těžké „jádro atomu ),
zatímco na ni nalétávající částice s nábojem Q2 je mnohem lehčí (jde např. o „α-částici ). Její
trajektorii v centrálním poli již známe, neboť musí mít stejný tvar jako (1.48).7
Protože E > 0,
podle (1.50) je ε > 1 — jde tedy o hyperbolu.
Zde nás zajímá především směr vstupní a výstupní asymptoty, které jsou dány podmínkou
r → ∞, což podle (1.48) odpovídá hodnotám cos ϕa = −1
ε . Celková odchylka θ částice (úhel mezi
vstupní a výstupní asymptotou) je dána podmínkou 90◦
+ θ/2 = ϕa , viz obrázek:
Jednoduchými úpravami a pak užitím vztahu (1.50) odtud plyne
tan
θ
2
= tan(ϕa − 90◦
) = −
cos ϕa
sin ϕa
=
1
ε
1 − 1
ε2
=
1
√
ε2 − 1
=
α2m
2l2E
.
Když nyní dosadíme za α z (1.56) a vyjádříme zachovávající se veličiny E a l pomocí asymptotických
hodnot E = 1
2 mv2
∞ a l = bmv∞, kde b je impaktní parametr, dostaneme nakonec
tan
θ
2
=
Q1Q2
4πǫ0 mv2
∞
1
b
. (1.57)
Tento vzorec udává velikost odchylky θ směru letu částice, jestliže nalétává na centrum „v kolmé
vzdálenosti b. V limitním případě b = ∞ částice není centrálním polem vůbec ovlivněna, a tak je
θ = 0. Pokud naopak nalétává na centrum přímo (tedy radiálně), je b = 0 a vychází θ = 180◦
, což
odpovídá jejímu odrazu zpět.
V typickém rozptylovém experimentu existuje proud mnoha nabitých částic, které při průletu
terčíkem (např. tenkou kovovou fólií) individuálně interagují s příslušnými centry. Mají při tom
různé impaktní parametry b, a tudíž i odpovídající úhly rozptylu θ dané vzorcem (1.57). Máli
částice impaktní parametr z intervalu (b, b + db), rozptýlí se pod úhlem ležícím v intervalu
(θ, θ + dθ), jak je naznačeno na tomto obrázku:
7Poznamenjme, že zde α < 0, takže dle (1.49) je p < 0. Musí proto být 1 + ε cos ϕ < 0, neboli cos ϕ < − 1
ε
.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 20
Obvykle definujeme tzv. účinný průřez rozptylu dσ do intervalu (θ, θ + dθ) vztahem
ndσ =
dN
N
,
kde N je celkový počet nastřelených částic, dN je počet částic, které se odchýlí do intervalu
(θ, θ + dθ), a n je počet rozptylových center na 1 m2
. Veličina dσ má podle obrázku evidentně
rozměr plochy: je to „efektivní plocha, kterou musí částice zasáhnout, aby se odchýlila do daného
elementárního mezikruží kolem úhlu θ, t.j. dσ = dS = 2πb db. Dosazením z invertované funkce
(1.57), tedy b(θ) = Q1Q2
4πǫ0 mv2
∞
cot θ
2 , dostáváme8
dσ = π
Q1Q2
4πǫ0 mv2
∞
2
cos θ
2
sin3 θ
2
dθ . (1.58)
Vyjádřeno pomocí prostorového úhlu dΩ = 2π sin θ dθ tedy platí
dσ =
Q1Q2
8πǫ0 mv2
∞
2
dΩ
sin4 θ
2
, (1.59)
což je slavný Rutherfordův vztah pro pružný rozptyl v coulombickém poli. Rutherford ho nejprve
odvodil teoreticky a poté (v roce 1911) se svými spolupracovníky experimentálně ověřil rozptylem
α-částice na atomech zlata. Experiment jasně prokázal, že dochází ke coulombickému rozptylu na
bodovém kladně nabitém centru (nikoli například na rozptýleném nábojovém oblaku), čímž byl
učiněn objev atomového jádra o velikosti řádově 10−15
m.
1.5 Problém dvou těles
Uvažujme nyní dva navzájem gravitačně interagující volné objekty (např. dvojhvězdný systém)
o hmotnostech m1 a m2. Oproti Keplerově úloze tedy již nepředpokládáme, že centrum je pevné.
Máme proto celkem 6 stupňů volnosti. Ukážeme ale, že po vhodném rozseparování na 3+3 stupně
volnosti lze tuto úlohu převést na problém pohybu v poli centrální síly, který jsme již vyřešili
v části 1.4.
8po vypuštění znaménka „− , což souvisí s tím, že b(θ) je klesající funkce
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 21
Trik spočívá v přechodu ke vhodným zobecněným souřadnicím: namísto polohových vektorů
r1, r2 obou objektů zavedeme polohu těžiště R a relativní polohu r, a to vztahy
R =
m1r1 + m2r2
m1 + m2
, r = r1 − r2 , (1.60)
t.j. inverzně
r1 = R +
m2
m1 + m2
r , r2 = R −
m1
m1 + m2
r . (1.61)
Lagrangeova funkce pak má tvar
L = 1
2 m1 ˙r2
1 + 1
2 m2 ˙r2
2 +
Gm1m2
|r1 − r2|
= 1
2 (m1 + m2) ˙R
2
+ 1
2
m1m2
m1 + m2
˙r2
+
Gm1m2
|r|
. (1.62)
Vidíme, že tři souřadnice (složky vektoru) R jsou cyklické, takže (m1 + m2) ˙R = konst. Platí tedy
zákon zachování celkové hybnosti soustavy. Pohyb těžiště je proto rovnoměrný (bez zrychlení) a
bez újmy na obecnosti můžeme přejít do těžišťového systému, kde R = 0, neboli dle (1.61) platí
r1 = m2
m1+m2
r, r2 = − m1
m1+m2
r. V této těžišťové soustavě pak má Lagrangeova funkce (1.62) tvar
L = 1
2 µ ˙r2
+
Gm1m2
r
, (1.63)
kde jsme zavedli veličinu
µ =
m1m2
m1 + m2
(1.64)
zvanou redukovaná hmotnost. Porovnáme-li nyní tvar Lagrangeovy funkce (1.63) s (1.30), vidíme,
že problém dvou těles byl efektivně převeden na předchozí problém pohybu jediné (fiktivní) částice
hmotnosti µ v centrálním gravitačním poli pevného centra. Z předchozích kapitol víme, že výsledný
pohyb musí být nutně rovinný. Je tedy výhodné zavést polární souřadnice, ve kterých
L = 1
2 µ( ˙r2
+ r2
˙ϕ2
) +
G(m1 + m2)µ
r
, (1.65)
kde jsme využili ekvivalence Gm1m2 a G(m1 + m2)µ . Pro případ m2 ≪ m1 je zjevně µ ≈ m2
a r1 ≈ 0, r2 ≈ −r, limitně tedy dostáváme Keplerovu úlohu vyřešenou v části 1.4. V obecném
případě srovnatelných hmotností obou hvězd postupujeme při řešení naprosto stejně jako v části
1.4.1, provedeme pouze formální substituci M → (m1 + m2) a m → µ. Například 3. Keplerův
zákon (1.53) bude mít pro dvojhvězdy tvar
T 2
a3
=
4π2
G(m1 + m2)
. (1.66)
Tento výraz se v astronomii používá k určování hmotností dvojhvězd.
Víme, že orbity vázaného systému mohou být jen kruhové anebo eliptické. V prvním případě
jsou obě hvězdy stále stejně daleko od sebe, ve druhém se navzájem přibližují a zase vzdalují dle
„eliptického pravidla . Výslednou dráhu obou těles ovšem musíme vykreslit tak, aby jejich těžiště
zůstávalo stále na stejném místě. Pokud mají obě hvězdy naprosto stejnou hmotnost, budou obíhat
po stejně velkých kružnicích resp. elipsách. Pokud je však m1 > m2, bude první hvězda obíhat po
menší dráze než druhá hvězda, jak je naznačeno na následujícím obrázku:
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 22
1.6 Problém tří těles
Mohlo by se zdát, že přidáním dalšího hmotného bodu do gravitačně interagujícího systému se
problém nalezení jeho pohybu příliš nezkomplikuje. Ukazuje se kupodivu, že tomu tak není. Problém
tří těles (který má 9 stupňů volnosti) již není obecně analyticky řešitelný. Tím chceme říci,
že neexistuje žádná metoda, kterou by se tato úloha dala — po vzoru předchozí kapitoly — redukovat
například na tři jednočásticové situace nebo na jinou rozumnou, obecně řešitelnou soustavu
rovnic. Poincaré již v roce 1889 dokázal, že neexistuje dostatečný počet integrálů pohybu umožňujících
nalézt řešení kvadraturami t.j. převést problém tří těles na výpočet pouhých integrálů. Kromě
některých speciálních explicitních periodických řešení nezbývá tedy jiná možnost, než integrovat
příslušné pohybové rovnice numericky anebo použít sofistikované aproximativní metody.
Dokonce ani tzv. omezený problém tří těles není obecně řešitelný. V něm se předpokládají dodatečné
omezující podmínky: uvažuje se jen situace, kdy všechna tři tělesa obíhají ve stejné rovině,
dále že dvě tělesa o hmotnostech M1 a M2 obíhají navzájem po kružnicích, a že třetí těleso má vůči
nim zanedbatelnou hmotnost m, tedy že poruchy jím způsobené v pohybu obou těžkých těles jsou
zanedbatelné. V takovém případě se úloha redukuje na pohyb jedné testovací částice v daném poli
dvou přitažlivých center. Potenciálové pole je však netriviální a navíc se otáčí. Tím se do hry efektivně
zapojují také neinerciální síly, např. Coriolisova. Výsledkem je neintegrovatelný systém, pro
nějž je typické složité „chaotické chování: hovoříme o tzv. systému s deterministickým chaosem.
Pohyb je sice matematicky jednoznačně určen soustavou (nelineárních) diferenciálních rovnic, příslušné
řešení je ale obecně velmi komplikované. Jeho podstatnou vlastností je extrémně citlivá
závislost na volbě počátečních dat. Takovýchto systémů existuje v teoretické mechanice celá řada
(např. dvojkyvadlo, težký nesymetrický setrvačník atd.) a jejich studiem se zabývá rychle se rozvíjející
moderní obor dynamiky nelineárních systémů.
KAPITOLA 1. LAGRANGEŮV FORMALISMUS 23
Více podrobností o této problematice lze nalézt například v učebnicích:
P. Andrle: Základy nebeské mechaniky, Academia, Praha, 1971; Nebeská mechanika, 1987.
J. Horák, L. Krlín: Deterministický chaos, Academia, Praha, 1996.
V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978.
A. J. Lichtenberg, M. J. Lieberman: Regular and Stochastic Motion, Springer, New York, 1983.
E. Ott: Chaos in dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.