Teoretická mechanika Jiří Langer a Jiří Podolský Studijní text k přednášce NOFY003 „Teoretická mechanika Ústav teoretické fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze říjen 2015 c Jiří Langer, Jiří Podolský Obsah 1 Kinematika tuhého tělesa 2 1.1 Vektory a tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Relativita otáčivého pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Zavedení úhlové rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Zrychlení v neinerciální soustavě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Dynamika tuhého tělesa 9 2.1 Tenzor setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Eulerovy dynamické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Odvození pomocí Lagrangeova formalizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Aplikace: setrvačníky 15 3.1 Volný setrvačník (bezsilový) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Těžký symetrický setrvačník s pevným bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 Kapitola 1 Kinematika tuhého tělesa V Newtonově mechanice se tuhým tělesem rozumí soustava hmotných bodů navzájem pevně spojených: je tedy tvořeno body, jejichž relativní vzdálenosti se nemění. Tuhé těleso dobře aproximuje skutečný makroskopický objekt, jehož deformaci lze v průběhu děje zanedbat. Můžeme jej chápat jako soustavu vázanou holonomními skleronomními vazbami a tedy užívat obvyklou teorii soustavy hmotných bodů. Obecný pohyb tuhého tělesa má šest stupňů volnosti, z nichž tři reprezentují translační pohyb jistého bodu, například těžiště, a tři popisují rotaci tělesa (tzv. Chaslesova věta). Úkolem kinematiky tuhého tělesa je nalézt vhodný popis otáčení. Jak uvidíme, opírá se tento popis o matematický formalismus vektorového a tenzorového počtu. Předpokládáme, že čtenář jej dobře zná z lineární algebry. Přesto však považujeme za užitečné připomenout na tomto místě základní pojmy, symboly a vztahy, které budeme dále v textu používat. 1.1 Vektory a tenzory • vektor w: prvek vektorového prostoru V (zde dim V = 3), je definováno αw, v + w • báze {ei}: pro ∀w ∈ V je w = wiei, kde wi jsou složky w v dané bázi (užíváme Einsteinovu sumační konvenci pro i = 1, 2, 3) • skalární součin: v · w ≡ viwi = δijviwj, kde δij je Kroneckerův symbol • vektorový součin: v × w definován (v × w)i ≡ εijkvjwk, kde εijk je Levi-Civitův symbol ε123 = ε231 = ε312 = 1, při prohození sousedních indexů je hodnota −1, jinak rovno 0 (hlavní užitečné identity: δii = 3, δijεijk = εiik = 0, εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl) • ortonormální báze: ei · ej = δij (tedy 3 kolmé jednotkové vektory) • rotace kolem počátku je speciální transformace mezi ortonormálními bázemi {ei} a {e′ i} daná e′ i = Aikek, kde Aik jsou prvky transformační matice A, jež je ortogonální, At = A−1 , neboli vyjádřeno po složkách platí relace ortogonality AikAjk = δij a AkiAkj = δij (Důkaz: δij = e′ i · e′ j = Aikek · Ajlel = AikAjlek · el = AikAjlδkl = AikAjk. Druhá část: δji = δt ij = (AikAjk)t = At jkAt ik = AkjAki) • některé důsledky: det A = ±1 , neboť (det A)2 = (det A)(det At ) = det(AAt ) = det(AA−1 ) = det E = 1 (volíme matice s det A = +1, neboť pak obsahují identitu a soubor těchto matic tvoří grupu) ej = Aije′ i , neboť Aije′ i = At jie′ i = A−1 ji Aikek = δjkek = ej w′ i = Aikwk , neboť w′ ie′ i = w = wkek = wkAike′ i wj = Aijw′ i , neboť wjej = w = w′ ie′ i = w′ iAijej 2 KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 3 • tenzor (2. řádu, v euklidovském prostoru): klasické „fyzikální zavedení (pomocí transformačních vlastností): „veličina s více složkami (pro 2 indexy je to matice T ), které se při rotaci báze e′ i = Aikek transformují lineárně (jako vektor) v každém indexu: T ′ ij = AikAjlTkl moderní abstraktní zavedení (elegantní, nezávislé na souřadnicích): tenzor (2. řádu) T je bilineární zobrazení z V × V → R, tj. T (v, w) = reálné číslo souvislost: zjevně platí T (v, w) = T (viei, wjej) = viwjT (ei, ej) Definujeme-li tedy složky tenzoru T vůči bázi {ei} jako matici čísel Tij ≡ T (ei, ej) , pak T (v, w) = viwjTij. Ihned též dostáváme transformační vlastnosti složek: T ′ ij ≡ T (e′ i, e′ j) = T (Aikek, Ajlel) = AikAjlT (ek, el) = AikAjlTkl zobecnění je přímočaré: tenzor n. řádu je multilieární zobrazení T : V × · · · × V → R, jež implikuje T ′ i1i2...in = Ai1j1 Ai2j2 . . . Ainjn Tj1j2...jn • operace s tenzory: sčítání: ve složkách přirozeně: Tij + Uij úžení: vysčítání přes dva indexy: Tii= skalár, neboť T ′ kk = AkiAkjTij = δijTij = Tii rozklad na symetrickou a antisymetrickou část (je invariantní): Tij = 1 2 (Tij + Tji) + 1 2 (Tij − Tji) ≡ T(ij) + T[ij] = sij + aij symetrický tenzor sij = sji má 6 nezávislých složek antisymetrický tenzor aij = −aji má 3 nezávislé složky: pomocí Levi-Civitova symbolu lze antisymetrickému tenzoru přiřadit (pseudo)vektor ai ≡ 1 2 εijkajk a naopak aij ≡ εijkak tj. a1 = a23, a2 = a31 = −a13, a3 = a12, tedy   a1 a2 a3   =   a23 −a13 a12   neboli   0 a12 a13 −a12 0 a23 −a13 −a23 0   =   0 a3 −a2 −a3 0 a1 a2 −a1 0   Jako důležitou aplikaci můžeme nyní například elegantně dokázat d ′ Alembertovu–Eulerovu větu: Otočení tuhého tělesa kolem bodu lze nahradit otočením kolem osy procházející tímto bodem. Důkaz: Každé otočení kolem bodu je popsáno transformací x′ i = Aik xk, kde xk jsou souřadnice „původní polohy, x′ i jsou souřadnice „otočené polohy se společným počátkem a A je ortogonální matice, t.j. At = A−1 neboli AAt = E. Stačí ukázat, že existuje invariantní směr určený xi, který transformace zachovává, tedy že xi = x′ i = Aik xk. Z lineární algebry je známo, že homogenní rovnice Aik xk = xi má netriviální řešení xi, pokud je nulový determinant det(A− E). Pro každou ortogonální matici A však je det(A−E) = det(A−AAt ) = det(A(E −At )) = det A det(E −At ) = 1 · det((E − A)t ) = det(E − A) = − det(A − E), takže opravdu platí, že det(A − E) = 0. ⊠⊠⊠ Pro úplnost ještě učiňme následující dvě poznámky ohledně zde použité konvence: 1. Protože se omezíme výhradně jen na kartézské báze v plochém prostoru, kde má metrika triviální tvar gij ≡ g(ei, ej) = δij, nemusíme rozlišovat „dolní a horní indexy veličin, protože příslušné kovariantní a kontravariantní složky tenzorů jsou číselně stejné. Pro zjednodušení zápisu tedy všechny indexy budeme psát dole. Einsteinova sumační konvence pro skalární součin pak je v · w = g(v, w) = gij viwj = viwi ≡ 3 i=1 viwi = v1w1 + v2w2 + v3w3, atd. 2. V lineární algebře se někdy zavádí transformační vztah mezi otočenými ortonormálními bázemi ve formě e′ i = Aki ek, kde Aki jsou prvky ortogonální matice přechodu A. To je opačný vztah než naše konvence e′ i = Aikek, kde Aik jsou prvky ortogonální transformační matice A. Zjevně ale stačí identifikovat A = At . KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 4 1.2 Relativita otáčivého pohybu Nejenom v teorii relativity ale již v newtonovské mechanice nemá smysl mluvit o pohybu vzhledem k prázdnému „absolutnímu prostoru”: vždy musíme hovořit jen o pohybu vzhledem k vztažnému systému. V newtonovské mechanice je výhodné představit si vztažný systém jako „mříž” tvořenou tuhými tyčemi jednotkové délky, která nám zároveň realizuje kartézský systém souřadnic. Trojice kolmých tyčí v každém bodě realizuje ortonormální bázi, tzn. že každý vektor lze psát jako lineární kombinaci těchto vektorů báze. Vztažných systémů, které se vůči sobě navzájem pohybují, můžeme ovšem vytvořit nekonečně mnoho. Newtonovská dynamika mezi nimi vybírá speciální třídu tzv. inerciálních systémů, ve kterých pohybové zákony mají privilegovaně jednoduchý tvar. Popis otáčivého pohybu tuhého tělesa omezíme zde na případ, kdy s tělesem lze spojit pevný bod, který splývá s počátkem některého inerciálního systému. Ortonormální bázi {ei} v počátku tohoto inerciálního systému budeme v souladu s tradicí označovat jako „bázi pevnou v prostoru”. S tělesem samým současně spojíme obecně jinou trojici ortonormálních vektorů {e′ i}, které určují pevné směry vzhledem k tělesu — ty tvoří tzv. „korotující bázi”. Poloha tělesa pak bude jednoznačně určena, bude-li určeno natočení korotující báze vzhledem k bázi pevné v prostoru. Jak jsme již uvedli, obě báze musí být navzájem spojeny ortogonální transformací, tj. poloha korotující báze vzhledem k pevné je v daném okamžiku určena ortogonální maticí A representující zmíněnou transformaci. Každá ortogonální matice je přitom určena třemi parametry (neboť 9 prvků matice je svázáno 6 nezávislými relacemi ortogonality), například Eulerovými úhly, jež zavedeme v části 1.4. Vzájemné natočení bází se však mění, takže prvky matice A jsou funkcemi času. Každý vektor w lze vyjádřit v obou bázích, přičemž složky daného vektoru budou v obou bázích samozřejmě různé. Podobně jako nemůžeme mluvit o pohybu bodu aniž řekneme, vzhledem k čemu tento pohyb vztahujeme, nemůžeme hovořit ani o časové změně vektoru, aniž řekneme, vzhledem ke kterému vztažnému systému se změna odehrává. Například polohový vektor určitého bodu tělesa se nemění vzhledem ke korotující bázi, mění se ale vzhledem k bázi pevné v prostoru. Naopak bod v klidu vzhledem k bázi pevné k prostoru se vzhledem ke korotující bázi pohybuje: Rychlost bodu vzhledem k inerciálnímu systému a jeho rychlost vzhledem k rotujícímu tělesu jsou tedy dva různé vektory, nikoli tentýž vektor ve dvou různých bázích! Každý z obou vektorů však můžeme vyjádřit v obou bázích. Totéž platí i pro obecné časové změny libovolného vektoru w. 1.3 Zavedení úhlové rychlosti Uvažujme nyní libovolný časově závislý vektor w = w(t). Tento vektor lze vyjádřit v obou již zmíněných přirozených ortonormálních bázích: {ei} . . . báze pevná v prostoru {e′ i(t)} . . . báze spojená s tělesem (korotující) Je tedy w(t) = wi(t) ei = w′ i(t) e′ i(t), přičemž obě ortonormální báze jsou navzájem jen pootočené, takže platí e′ i(t) = Aik(t) ek, resp. ek = Ajk(t) e′ j(t). Zde Aij jsou prvky ortogonální matice A, takže At = A−1 , což ve složkách dává relace ortogonality AikAjk = δij. Časová derivace vektoru w(t) vzhledem k inerciálnímu systému — vyjádřená však v korotující bázi e′ i(t) — je potom vektor dw dt = dw′ i dt e′ i + w′ i de′ i dt = dw′ i dt e′ i + w′ i dAik dt ek = dw′ i dt e′ i + w′ i dAik dt Ajk e′ j . (1.1) KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 5 Je proto přirozené a výhodné definovat matici Ω = dA dt At s prvky Ωij ≡ dAik dt Ajk , (1.2) takže dw dt = dw′ i dt e′ i + w′ i Ωij e′ j . (1.3) Protože na levé straně tohoto vztahu je vektor, musí být i napravo, takže matice Ω s prvky Ωij je tenzor 2. řádu: nazýváme ho tenzor úhlové rychlosti. Derivováním relací ortogonality dostáváme vztah dAik dt Ajk = − dAjk dt Aik, takže Ωij = −Ωji . Matice Ω je tudíž antisymetrická, má jen tři nezávislé složky, a proto k ní lze standardním způsobem přiřadit duálně sdružený (pseudo)vektor Ω zvaný vektor úhlové rychlosti předpisem Ωk ≡ 1 2 εkijΩij , (1.4) neboli Ω = (Ω1, Ω2, Ω3) ≡ (Ω23, Ω31, Ω12). Vztah opačný k (1.4) evidentně je Ωij = εijkΩk . Takto definované veličiny Ωk jsou složky vektoru Ω vůči výchozí bázi ek pevné v prostoru. Pro tenzor i vektor úhlové rychlosti ale platí další pozoruhodná věc: Při otočení daném ortogonální maticí A(t) mají stejné složky jak vůči korotující bázi e′ k, tak vůči pevné bázi ek ! Důkaz: Uvažme tenzor úhlové rychlosti příslušející inverznímu otočení danému maticí A−1 = At . Podle definice (1.2) tedy je Ω(A−1 ) = d(A−1 ) dt (A−1 )t = dAt dt (At )t = dAt dt A = −At dA dt , (1.5) kde poslední rovnost je důsledkem časové derivace relací ortogonality At A = E. Nyní využijeme faktu, že tenzor úhlové rychlosti Ω(A−1 ) je opačný k tezoru ΩA , jenž přísluší matici A, neboli ΩA = −Ω(A−1 ) . Dosazením z (1.5) dostaneme vztah ΩA = At dA dt , který zleva vynásobíme maticí A a zprava maticí At , takže A ΩA At = AAt dA dt At = dA dt At = ΩA . Protože výraz A ΩA At není nic jiného než transformace složek tenzoru ΩA z pevné báze ek do korotující báze e′ k (ve složkách ΩA′ ij = AikAjlΩA kl), dokázali jsme, že opravdu platí ΩA′ = ΩA neboli ΩA′ ij = ΩA ij, tedy Ω′ ij = Ωij. ⊠⊠⊠ Protože Ω′ ij = Ωij, z definice (1.4) ihned užitím faktu, že Levi-Civitův symbol je (pseudo)tenzor, který má stejné složky v obou bázích (ε′ kij = εkij), dostáváme Ω′ k = Ωk . (1.6) Složky (pseudo)vektoru Ω vůči korotující bázi e′ k jsou shodné s jeho složkami vůči pevné bázi ek. Z toho plyne, že vektor úhlové rychlosti Ω definovaný (1.4) a (1.2) míří do invariantní osy otáčení. Užitím vztahu Ωij = εijkΩk = ε′ ijkΩ′ k a identity ε′ ijk = ε′ jki lze nyní výraz (1.3) přepsat dw dt = dw′ i dt e′ i + ε′ jkiΩ′ kw′ i e′ j = dw′ i dt e′ i + (Ω × w)′ j e′ j , jenž explicitně vyjadřuje časovou derivaci libovolného vektoru w vzhledem k pevnému inerciálnímu systému prostoru, vyjádřenou ovšem v bázi e′ i(t) pevně spojené s tělesem pomocí složek w v téže bázi a pomocí vektoru úhlové rychlosti Ω. Platí-li však vztah mezi určitými vektory v jedné bázi, platí v každé bázi, a proto můžeme psát důležitý vektorový vztah dw dt prostor = dw dt těleso + Ω × w , (1.7) KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 6 bez reference k určité bázi. Znovu ale zdůrazněme, že dw dt prostor a dw dt těleso jsou dva různé vektory, nikoli tentýž vektor ve dvou bázích. (Tento fakt lze opět demonstrovat na triviálním případu, kdy w = r, tj. poloha pevného bodu v tělese; pak dr dt těleso = 0, zatímco dr dt prostor = Ω × r.) Oba tyto vektory lze ovšem vyjádřit v obou bázích: první vektor se samozřejmě nejpřirozeněji vyjadřuje v pevné bázi ( dw dt prostor = dwi dt ei ), zatímco druhý vektor je naopak snadné vyjádřit v korotující bázi ( dw dt těleso = dw′ i dt e′ i ). Příklady: Geometrický význam vektoru úhlové rychlosti je dobře vidět z následující jednoduché ilustrace: je-li x3 osa otáčení a ϕ(t) příslušný úhel otočení v daném čase, pak A =   cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   , dA dt = ˙ϕ   − sin ϕ cos ϕ 0 − cosϕ − sin ϕ 0 0 0 0   , Ω =   0 ˙ϕ 0 − ˙ϕ 0 0 0 0 0   , (1.8) takže Ω = (0, 0, ˙ϕ), což je zcela v souladu s intuitivní představou. Méně elementárním příkladem je otáčení o úhel ϕ(t) podél osy x1 = x2, x3 = 0, pro které je A = 1 2   1 + cos ϕ 1 − cos ϕ − √ 2 sin ϕ 1 − cos ϕ 1 + cos ϕ √ 2 sin ϕ√ 2 sin ϕ − √ 2 sin ϕ 2 cosϕ   , dA dt = 1 2 ˙ϕ   − sin ϕ sin ϕ − √ 2 cos ϕ sin ϕ − sin ϕ √ 2 cos ϕ√ 2 cos ϕ − √ 2 cos ϕ −2 sin ϕ   , Ω = 1 √ 2   0 0 − ˙ϕ 0 0 ˙ϕ ˙ϕ − ˙ϕ 0   , což dává Ω = 1 √ 2 ( ˙ϕ, ˙ϕ, 0) . (1.9) Vektor úhlové rychlosti tedy i v tomto případě míří do invariantní osy otáčení, zde 1√ 2 (1, 1, 0), a jeho velikost je |Ω| = | ˙ϕ|. Pro další diskuzi je nutno ještě uvážit pravidla pro skládání rotací a vektorů úhlových rychlostí. Uvažujme dvě otočení: první je dáno ortogonální maticí A představující transformaci e′ i = Aikek, druhé je dáno ortogonální maticí B a určuje transformaci e′′ j = Bjie′ i. Složení obou těchto otočení je dáno ortogonální maticí C = BA, neboť e′′ j = BjiAikek = Cjkek. Nechť ΩA je vektor úhlové rychlosti příslušející první transformaci A, zatímco ΩB je vektor úhlové rychlosti příslušející druhé transformaci B. Vektor úhlové rychlosti ΩC výsledného otočení C = BA je dán prostým vztahem ΩC = ΩB + ΩA . (1.10) Důkaz: Podle definice (1.2) je matice ΩC dána ΩC = dC dt Ct = d(BA) dt (BA)t = dB dt A + B dA dt At Bt = dB dt Bt + B dA dt At Bt = ΩB + B ΩA Bt , neboli ve složkách ΩC′′ jk = ΩB′′ jk + BjlBknΩA′ ln. Prvky ΩA′ ln jsou složky matice vůči bázi e′ i a BjlBknΩA′ ln představuje transformaci těchto složek do báze e′′ j (BjlBknΩA′ ln = ΩA′′ jk), v níž jsou vyjádřeny složky ΩC′′ jk a ΩB′′ jk. Ve výsledné bázi tedy platí ΩC = ΩB +ΩA , což jsme měli dokázat. ⊠⊠⊠ KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 7 1.4 Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice Ortogonální matice A jednoznačně určující vztah mezi dvěma libovolně natočenými bázemi je určena pouhými 3 nezávislými parametry (matice 3 × 3 obsahuje obecně 9 prvků, relace ortogonality však představují 6 vazeb). Libovolnou rotaci kolem počátku můžeme přitom realizovat třemi po sobě jdoucími jednoduchými rotacemi kolem vhodné pevné osy. Za úhlové parametry zmíněných tří jednoduchých rotací zvolil Euler (1738) ϕ ... precesní úhel ϑ ... nutační úhel ψ ... rotační úhel Jejich význam plyne z následující konstrukce matice A: 1. Vyjdeme z báze ei pevné v prostoru a provedeme otočení kolem osy x3 o úhel ϕ. Otočení je dáno maticí (1.8) D =   cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   . 2. Následně provedeme otočení kolem osy x′ 1 o úhel ϑ dané maticí C =   1 0 0 0 cos ϑ sin ϑ 0 − sin ϑ cos ϑ   . 3. Nakonec provedeme otočení kolem osy x′′ 3 o úhel ψ dané maticí B =   cos ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ 0 0 0 1   . Výsledná matice A transformace od báze pevné v prostoru do báze korotující s tělesem je pak samozřejmě dána maticovým součinem A = BCD. Její tvar explicitně neuvádíme, neboť naším hlavním záměrem zde je vyjádřit celkový vektor úhlové rychlosti Ω odpovídající transformaci A. Protože jsme dokázali vztah (1.10) o skládání vektorů úhlových rychlosti, je výsledný vektor Ω dán součtem dílčích vektorů úhlových rychlostí odpovídajících transformacím D, C a B, přičemž z (1.8) je zřejmé, že ΩD = (0, 0, ˙ϕ), ΩC = ( ˙ϑ, 0, 0), ΩB = (0, 0, ˙ψ). Nesmíme ovšem zapomenout, že složky uvedených vektorů se vztahují vždy k příslušné výsledné bázi. Abychom tedy dostali všechny složky vyjádřené ve výsledné bázi korotující s tělesem (v níž je již vyjádřen vektor ΩB ), musíme přetransformovat složky vektoru ΩC maticí B a složky vektoru ΩD dokonce maticí BC, t.j. Ω = ΩB + BΩC + BCΩD . Explicitním výpočtem dostáváme nyní již snadno tzv. Eulerovy kinematické rovnice (1760) (1.11) Ωx = ˙ϕ sin ϑ sin ψ + ˙ϑ cos ψ , Ωy = ˙ϕ sin ϑ cos ψ − ˙ϑ sin ψ , Ωz = ˙ϕ cos ϑ + ˙ψ , kde jsme označili osy výsledného systému korotujícího s tělesem jako (x, y, z). Zavedení Eulerových úhlů je velmi přirozené, protože jejich geometrický význam, zřejmý z výše uvedeného obrázku, dovoluje názornou interpretaci. Rotační úhel ψ měří „vlastní rotaci tělesa kolem jeho osy z, zpravidla ztotožněné s osou symetrie. Tato osa se ovšem sama natáčí kolem KAPITOLA 1. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 8 pevného bodu, přičemž její okamžitá poloha je jednoznačně určena nutačním úhlem ϑ určujícím odklon osy od svislého směru a úhlem precesním ϕ hrajícím roli „zeměpisné šířky (povšimněme si, že zavedení Eulerových úhlů ϑ a ϕ je totožné se standardním zavedením sférických souřadnic). Přesněji vzato měří ϕ natočení tzv. uzlové přímky x′ 1 dané průsečíkem výchozí roviny (x1, x2) s rovinou kolmou k ose z tělesa (x′′ 1 , x′′ 2 ) ≡ (x, y); evidentně však platí, že úhel průmětu osy z do roviny (x1, x2) je ϕosa = ϕ − π 2 . 1.5 Zrychlení v neinerciální soustavě Obecné identity (1.7) můžeme také s výhodou použít k rychlému odvození všech zrychlení, jež působí v neinerciální soustavě. Nejprve za vektor w zvolíme polohový vektor r libovolného bodu. Označíme-li rychlost jeho pohybu vůči prostoru symbolem vp ≡ dr dt prostor a jeho rychlost vůči tělesu symbolem vt ≡ dr dt těleso , ihned dostáváme vztah vp = vt + Ω × r. Nyní aplikujme identitu (1.7) ještě jednou, tentokrát na vektor rychlosti vp, čímž vyjádříme zrychlení bodu vůči prostoru ap ≡ dvp dt prostor = dvp dt těleso + Ω × vp = dvt dt těleso + dΩ dt těleso × r + 2 Ω × vt + Ω × (Ω × r) . Je přirozené označit zrychlení vůči tělesu symbolem at ≡ dvt dt těleso a časovou změnu úhlové rychlosti ˙Ω ≡ dΩ dt těleso . Tím dostáváme vztah ap = at + ˙Ω × r + 2 Ω × vt + Ω × (Ω × r) , (1.12) který lze interpretovat takto: zrychlení ap libovolného bodu vůči prostoru je vektorový součet jeho zrychlení vůči tělesu at plus Eulerovo zrychlení ˙Ω × r způsobené časovou změnou ˙Ω úhlové rychlosti otáčení tělesa plus Coriolisovo zrychlení 2 Ω × vt plus odstředivé zrychlení Ω × (Ω × r) (spíše bychom však měli říkat „odosové zrychlení”). Kapitola 2 Dynamika tuhého tělesa Již tedy víme, jak výhodně popisovat kinematiku tuhého tělesa například pomocí Eulerových úhlů. Abychom mohli zformulovat dynamický zákon pro otáčející se těleso (pohybovou rovnici), je nutno zavést veličinu vystihující příslušné setrvačné vlastnosti tuhého tělesa. Podobně, jako hmotnost m tělesa je „mírou odporu tělesa vůči translačnímu urychlení”, je moment setrvačnosti I „mírou odporu tuhého tělesa vůči roztáčení” kolem dané osy. Ukazuje se však, že setrvačné vlastnosti tělesa při obecném roztáčení mají poněkud složitější strukturu, kterou nyní zcela popíšeme pomocí tzv. tenzoru setrvačnosti. Jak uvidíme, půjde o tenzor 2. řádu, který bude možné definovat „matematickým způsobem , elegantně a invariantně (nezávisle na souřadnicích) jako bilineární zobrazení přiřazující dvojici vektorů jisté reálné číslo. 2.1 Tenzor setrvačnosti Vyjdeme z momentu hybnosti L tuhého tělesa L = a ra × pa = a ma ra × (Ω × ra ) , (2.1) kde sumace probíhá přes všech N bodů tělesa, a = 1, 2, · · · , N, majících hmotnosti ma v místech ra . Ve vzorci jsme použili vztah va = (dra /dt)|prostor = Ω × ra , který plyne z (1.7), neboť rychlost bodů vůči tělesu je nulová. Směr vektoru L je možné charakterizovat vůči jiným vektorům. Vezměme proto nyní libovolný vektor ξ a promítněme L na ξ, L · ξ = a ma ra × (Ω × ra ) · ξ = a ma (ξ × ra ) · (Ω × ra ) , (2.2) kde v posledním vztahu jsme využili pravidlo o cyklické záměně ve smíšeném součinu vektorů ra , (Ω × ra ) a ξ. Je tedy přirozené pro dané těleso definovat funkci I(ξ, Ω) ≡ a ma (ξ × ra ) · (Ω × ra ) = L · ξ . (2.3) Funkce I(ξ, Ω) definovaná tímto vztahem přiřazuje dvojici vektorů (ξ, Ω) reálné číslo rovné L · ξ. Evidentně je lineární v obou argumentech a symetrická. Je to tedy podle „algebraické” definice tenzor, navíc symetrický, a nazývá se tenzor setrvačnosti. Dosadíme-li do (2.3) i za vektor ξ též vektor Ω, dostaneme I(Ω, Ω) = a ma (Ω × ra ) · (Ω × ra ) = a ma va · va = 2T , (2.4) kde T je kinetická energie otáčejícího se tělesa. 9 KAPITOLA 2. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 10 Již jsme uvedli, že souvislost mezi „algebraickou a „složkovou definicí tenzoru najdeme, když vektory ξ a Ω vyjádříme v bázi {ei} a využijeme bilineárnosti tenzorového zobrazení, I(ξ, Ω) = I(ξiei, Ωjej) = ξiΩjI(ei, ej) = IijξiΩj , (2.5) kde složky Iij tenzoru I jsou definovány jako obrazy vektorů báze ei a ej, Iij ≡ I(ei, ej) = a ma (ei × ra ) · (ej × ra ) . (2.6) Polohové vektory jednotlivých bodů tělesa lze ovšem také vyjádřit v bázi {ei}, ra = xa i ei, takže Iij = a ma (ei × ek) · (ej × el)xa kxa l = a ma (ei × ek)r(ej × el)rxa kxa l = a ma εrikεrjlxa kxa l = a ma (δijδkl − δilδkj)xa kxa l = a ma (δijxa kxa k − xa i xa j ) , resp. pro spojité prostředí Iij = (δij xkxk − xixj) ρ dV , (2.7) což je obvyklý tvar složek tenzoru setrvačnosti uváděný v učebnicích. Z (2.5) a (2.3) pro složky momentu hybnosti (Liξi = L · ξ = I(ξ, Ω) = IijΩjξi) a z (2.4) pro kinetickou energii (2T = I(Ω, Ω) = IijΩiΩj) dostáváme velmi důležité vztahy (2.8) Li = IijΩj , T = 1 2 IijΩiΩj . Z lineární algebry je známo, že každou symetrickou matici lze převést ortogonální transformací na diagonální tvar. Totéž samozřejmě platí i pro matici Iij. V privilegované bázi reprezentující tzv. hlavní osy, ve které je tenzor setrvačnosti diagonální, se proto výraz pro moment hybnosti a kinetickou energii podstatně zjednoduší: L1 = I1Ω1 , L2 = I2Ω2 , L3 = I3Ω3 , T = 1 2 (I1Ω2 1 + I2Ω2 2 + I3Ω2 3) , (2.9) kde Ii značí diagonální členy tenzoru v této bázi, Iij = diag(I1, I2, I3). Diagonalizace se provádí standardním postupem nalezením vlastních čísel λ a vlastních vektorů v matice Iij (pro něž platí Iijvj = λvi). Vlastní čísla λ nalezneme řešením charakteristické rovnice det(I − λE) = 0, poté dopočítáme vi příslušející λi. Mezi vlastními vektory lze vybrat tři navzájem kolmé a jednotkové. Ty tvoří zmíněnou bázi hlavních os, ve které má matice Iij diagonální tvar, přičemž na diagonále se nacházejí právě vlastní čísla, Ii = λi. Označme nyní Ω = Ωn, kde n je jednotkový vektor ve směru okamžité osy otáčení. Porovnáním T = 1 2 IijΩiΩj = 1 2 IijninjΩ2 se známým vzorcem T = 1 2 InΩ2 dostáváme In = Iijninj , (2.10) kde In je obvyklý moment setrvačnosti tělesa při otáčení kolem osy vedoucí zvoleným počátkem soustavy. Výraz je zjevně konzistentní s definicí In ≡ I(n, n) = I(niei, njej) = ninjI(ei, ej) = ninjIij. Navíc platí In = Iijninj = (xkxknini − xinixjnj) ρ dV = (r · r − (r · n)2 ) ρ dV = r2 (1 − cos2 ϑ) ρ dV = r2 ⊥ dm, kde r⊥ = r sin ϑ je kolmá vzdálenost elementu hmotnosti dm od osy otáčení, což je známý vzorec. Ze vztahu (2.10) je vidět, že i když má těleso sebesložitější tvar a i když je nehomogenní, stačí určit (třeba experimentálně) moment setrvačnosti In vůči šesti různým libovolným osám n procházejícím těžištěm. Vyřešením lineární soustavy rovnic (2.10) pak dopočítáme tenzor setrvačnosti Iij, který již kompletně určuje setrvačné vlastnosti daného tělesa, tj. moment setrvačnosti KAPITOLA 2. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 11 při otáčení vůči libovolné jiné ose procházející těžištěm. Formalismus je tedy i praktický a je z něj vidět pozoruhodná prediktivní síla teoretické mechaniky. Z výrazu (2.10) dále plyne, že Iij ni √ In nj √ In = 1 . Označíme-li ξi ≡ ni/ √ In, pak v bázi hlavních os má podmínka tvar Iijξiξj = I1ξ2 1 + I2ξ2 2 + I3ξ2 3 = 1 . V prostoru parametrů (ξ1, ξ2, ξ3) tato podmínka určuje povrch elipsoidu s osami 1√ I1 , 1√ I2 , 1√ I3 , kterému říkáme elipsoid setrvačnosti. Zvolíme-li libovolný směr osy otáčení n, je tím určen též směr vektoru ξ ∼ n. Jeho délka |ξ| je jednoznačně určena průsečíkem daného směru s elipsoidem setrvačnosti. Odtud lze tedy již určit hodnotu momentu setrvačnosti In při otáčení podél dané osy pomocí vztahu |ξ| = |n|/ √ In, neboli In = 1/|ξ|2 . Pokud má těleso jistou symetrii, pak se tenzor setrvačnosti dále zjednodušuje. Například pro osově symetrické tuhé těleso (podél 3. hlavní osy) bude I1 = I2, takže elipsoid setrvačnosti bude degenerován na rotační elipsoid. Ve výjimečných případech může být dokonce I1 = I2 = I3, takže elipsoid setrvačnosti bude dále degenerován na sféru. Pro takové těleso je moment setrvačnosti stejný pro všechny osy procházející jeho těžištěm. To je případ nejen homogenní koule, ale (překvapivě) též krychle, pravidelného čtyřstěnu atd. Na závěr této části ještě připomeňme transformační vlastnosti tenzoru setrvačnosti. Vůči rotacím se chová jakožto tenzor, tedy I′ ij = AikAjlIkl . Pokud jde o translace, tedy posuv počátku souřadnic o konstatní vektor a bez otočení os, pak ze souřadnicové definice (2.7) substitucí xi = x0 i + ai, kde x0 i označuje souřadnice vůči těžišti a ai složky vektoru posunutí a vůči těžišti, můžeme přímým výpočtem odvodit, že Iij = I0 ij + (δij akak − aiaj) m + 2δijakπ0 k − aiπ0 j − ajπ0 i , kde I0 ij = (δij x0 kx0 k − x0 i x0 j ) ρ dV jsou složky tenzoru setrvačnosti vůči těžišti, m = ρ dV je celková hmotnost tuhého tělesa a π0 i = x0 i ρ dV je jeho hmotový dipólový moment vůči těžišti. Ten však dle definice těžiště musí být nulový, čímž jsme odvodili obecnou tenzorovou Steinerovu větu Iij = I0 ij + (δij akak − aiaj) m . (2.11) Přenásobením složkami ninj jednotkového vektoru n a užitím (2.10) dostáváme In = I0 n + a2 ⊥m, kde I0 n je moment setrvačnosti vůči těžišti a a2 ⊥ = akak − ainiajnj = a · a − (a · n)2 , tedy a⊥ je kolmá vzdálenost mezi paralelními osami otáčení. KAPITOLA 2. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 12 2.2 Eulerovy dynamické rovnice Nyní již můžeme zformulovat pohybové rovnice určující otáčivý pohyb tuhého tělesa. Vyjdeme ze známého Newtonova vzorce pro soustavu hmotných bodů, z 2. věty impulzové: dL dt = M . Musíme však být opatrní. Moment působících sil je zde chápán jako působící v inerciálním systému „absolutního prostoru, tedy i levou stranu je nutno chápat jako časovou změnu vektoru L vůči referenčnímu inerciálnímu systému {ei}, neboli dL dt prostor = M. Naproti tomu, L lze nejlépe vyjádřit v neinerciální bázi pevně spojené s tělesem: pokud speciálně zvolíme tuto bázi {e′ i} ve směru hlavních os tenzoru setrvačnosti (x, y, z), dostaneme z (2.8) vztahy Lx = I1Ωx , Ly = I2Ωy , Lz = I3Ωz , (2.12) přičemž složky Ii jsou konstanty. Proto lze velmi snadno spočítat časovou změnu L vůči korotující bázi, tedy dL dt těleso . Naštěstí však již máme k dispozici důležitý vztah (1.7), dávající do souvislosti časové změny vektoru vůči oběma bázím, dL dt prostor = dL dt těleso + Ω × L . Odtud okamžitě dostáváme Mx = I1 ˙Ωx + (ΩyLz − ΩzLy) , My = I2 ˙Ωy + (ΩzLx − ΩxLz) , Mz = I3 ˙Ωz + (ΩxLy − ΩyLx) , neboli (2.13) I1 ˙Ωx − (I2 − I3) ΩyΩz = Mx , I2 ˙Ωy − (I3 − I1) ΩzΩx = My , I3 ˙Ωz − (I1 − I2) ΩxΩy = Mz . To jsou tzv. Eulerovy dynamické rovnice (1758). Z matematického hlediska představují soustavu tří nelineárních diferenciálních rovnic 2. řádu. Za Ω = (Ωx, Ωy, Ωz) je totiž nutno dosadit z Eulerových kinematických rovnic (1.11) takže rovnice obsahují až 2. derivace Eulerových úhlů ϕ, ϑ, ψ. Složky momentu sil M = (Mx, My, Mz) musí být rovněž vyjádřeny vůči korotující neinerciální bázi pevně spojené s tělesem. Zatímco M má obvykle jednoduchý tvar v nerotujícím inerciálním systému, jeho promítnutí do báze spojené s otáčejícím se tělesem je složité a obecně je dáno funkcemi Mi(ϕ, ϑ, ψ). Eulerovy dynamické rovnice lze s výhodou použít, když Mx = My = Mz = 0. To je situace příkladu řešeného v části 3.1, kde spočítáme charakter otáčivého pohybu Země případně gyroskopu v Cardanově závěsu, zanedbáme-li momenty sil na ně působící. 2.3 Odvození pomocí Lagrangeova formalizmu Eulerovy dynamické rovnice lze odvodit i aplikací Lagrangeova formalizmu, tedy užitím Lagrangeových rovnic d dt ( ∂T ∂ ˙qj ) − ∂T ∂qj = Qj, kde za zobecněné souřadnice qj vezmeme Eulerovy úhly ϕ, ϑ, ψ. Kinetická energie T rotujícího tuhého tělesa je dána obecným vzorcem (2.8), který se v bázi hlavních os (x, y, z) tenzoru setrvačnosti redukuje na výraz T = 1 2 (I1Ω2 x + I2Ω2 y + I3Ω2 z), viz (2.9). Díky Eulerovým kinematickým rovnicím (1.11) jsou složky vektoru úhlové rychlosti funkcemi Ωi(ϑ, ψ, ˙ϕ, ˙ϑ, ˙ψ). KAPITOLA 2. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 13 Nejprve vyčíslíme Lagrangeovu rovnici pro souřadnici ψ. Užitím relací ∂ ∂ ˙ψ Ωx = 0, ∂ ∂ ˙ψ Ωy = 0, ∂ ∂ ˙ψ Ωz = 1 a ∂ ∂ψ Ωx = Ωy, ∂ ∂ψ Ωy = −Ωx, ∂ ∂ψ Ωz = 0 plynoucích z (1.11) získáme pohybovou rovnici I3 ˙Ωz − (I1 − I2) ΩxΩy = Qψ . (2.14) Lagrangeova rovnice pro zobecněnou souřadnici ϑ dává podobně užitím (1.11) rovnici (I1 ˙Ωx − I2 ΩyΩz) cos ψ − (I2 ˙Ωy + I1 ΩxΩz) sin ψ + I3Ωz ˙ϕ sin ϑ = Qϑ , (2.15) a třetí Lagrangeova rovnice pro ϕ po úpravách, při nichž se opět využijí Eulerovy kinematické rovnice (1.11) a výraz I3 ˙Ωz se vyjádří pomocí (2.14), poskytuje vztah (I1 ˙Ωx − I2 ΩyΩz) sin ψ + (I2 ˙Ωy + I1 ΩxΩz) cos ψ − I3Ωz ˙ϑ = 1 sin ϑ (Qϕ − Qψ cos ϑ) . (2.16) Nyní stačí již jenom sečíst rovnici (2.15) přenásobenou cos ψ s rovnicí (2.16) přenásobenou sin ψ, resp. rovnici (2.15) přenásobenou − sin ψ s rovnicí (2.16) přenásobenou cos ψ, a dostaneme první dvě Eulerovy dynamické rovnice (2.13) [ třetí rovnicí je (2.14) ]: I1 ˙Ωx − (I2 − I3) ΩyΩz = Qϑ cos ψ + sin ψ sin ϑ (Qϕ − Qψ cos ϑ) , (2.17) I2 ˙Ωy − (I3 − I1) ΩzΩx = −Qϑ sin ψ + cos ψ sin ϑ (Qϕ − Qψ cos ϑ) . (2.18) Zbývá pouze dokázat, že pravé strany rovnic (2.17), (2.18), (2.14) jsou složky (Mx, My, Mz) momentu sil v korotující bázi. Nejprve vyjádříme zobecněné síly Qj pomocí složek (M1, M2, M3) v pevné bázi. K tomu použijeme explicitní vyjádření souřadnic (x1, x2, x3) polohového vektoru v pevné bázi pomocí jeho složek (x, y, z) v bázi korotující s tělesem, jenž je dán inverzní maticí k transformační matici A = BCD za sekce 1.4. Protože je ortogonální, platí A−1 = Dt Ct Bt , takže x1 = f cos ϕ − ( g cos ϑ − h sin ϑ) sin ϕ , f = x cos ψ − y sin ψ , x2 = f sin ϕ + ( g cos ϑ − h sin ϑ) cos ϕ , kde g = x sin ψ + y cos ψ , x3 = g sin ϑ + h cos ϑ , h = z , odkud plynou vztahy ∂ x1 ∂ ϕ = −x2 , ∂ x2 ∂ ϕ = x1 , ∂ x3 ∂ ϕ = 0 , ∂ x1 ∂ ϑ = x3 sin ϕ , ∂ x2 ∂ ϑ = −x3 cos ϕ , ∂ x3 ∂ ϑ = g cos ϑ − h sin ϑ , ∂ x1 ∂ ψ = −g cos ϕ − f cos ϑ sin ϕ , ∂ x2 ∂ ψ = −g sin ϕ + f cos ϑ cos ϕ , ∂ x3 ∂ ψ = f sin ϑ . Užitím definice zobecněných sil Qj ≡ F1 ∂x1 ∂qj + F2 ∂x2 ∂qj + F3 ∂x3 ∂qj a Mi ≡ εijk xjFk spočteme že (2.19) Qϕ = M3 , Qϑ = M1 cos ϕ + M2 sin ϕ , Qψ = (M1 sin ϕ − M2 cos ϕ) sin ϑ + M3 cos ϑ , neboli inverzně M1 = Qϑ cos ϕ − Qϕ cos ϑ − Qψ sin ϑ sin ϕ , M2 = Qϑ sin ϕ + Qϕ cos ϑ − Qψ sin ϑ cos ϕ , (2.20) M3 = Qϕ . KAPITOLA 2. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 14 Nakonec vyjádříme složky (Mx, My, Mz) momentu sil v korotující bázi pomocí složek (M1, M2, M3) v pevné bázi aplikací transformační matice A = BCD. Navíc si můžeme z (2.20) všimnout, že složky (M1, M2, M3) se získávají ze složek Qϑ, (Qϕ cos ϑ − Qψ)/ sin ϑ, Qϕ aplikací ortogonální matice Dt = D−1 , takže od Qϑ, (Qϕ cos ϑ − Qψ)/ sin ϑ, Qϕ k (Mx, My, Mz) se přechází aplikací matice ADt = BCDD−1 = BC, což ihned dává (2.21) Mx = Qϑ cos ψ + sin ψ sin ϑ (Qϕ − Qψ cos ϑ) , My = −Qϑ sin ψ + cos ψ sin ϑ (Qϕ − Qψ cos ϑ) , Mz = Qψ . Právě to jsme ale měli dokázat, neboť jde o pravé strany rovnic (2.17), (2.18), (2.14) a nezávisle jsme tedy odvodili Eulerovy dynamické rovnice (2.13). Nadto jsme získali explicitní vyjádření (2.21) složek momentu sil M = (Mx, My, Mz) v korotující bázi. Závěrem připomeňme, že jsou-li síly konzervativní, existuje Lagrangeova funkce L = T − V , kde V (ϕ, ϑ, ψ) je příslušný potenciál, takže Qj = − ∂V ∂qj . Složky momentu sil lze potom jednoduše psát Mx = sin ψ sin ϑ cos ϑ ∂V ∂ψ − ∂V ∂ϕ − cos ψ ∂V ∂ϑ , My = cos ψ sin ϑ cos ϑ ∂V ∂ψ − ∂V ∂ϕ + sin ψ ∂V ∂ϑ , (2.22) Mz = − ∂V ∂ψ . Kapitola 3 Aplikace: setrvačníky 3.1 Volný setrvačník (bezsilový) V případě bezsilového setrvačníku je moment M nulový, takže Eulerovy dynamické rovnice (2.13) se redukují na nelineární rovnice 1. řádu v proměnných Ωi. Pro symetrický setrvačník se dále velmi zjednodušují: je-li z (hlavní) osa symetrie axiálně symetrického tělesa, pak I1 = I2, takže I1 ˙Ωx = (I1 − I3) ΩyΩz , I1 ˙Ωy = (I3 − I1) ΩzΩx , I3 ˙Ωz = 0 . Odtud Ωz = ωz 0 = konst a zbylé dvě rovnice dávají ˙Ωx = I1 − I3 I1 ωz 0 Ωy ≡ ω0 Ωy , ˙Ωy = I3 − I1 I1 ωz 0 Ωx ≡ −ω0 Ωx , kde ω0 = I1−I3 I1 ωz 0 = konst. Zderivováním a dosazením získáme rovnici harmonického oscilátoru ¨Ωx + ω2 0 Ωx = 0 , takže obecné řešení lze psát Ωx = A sin(ω0t + δ) , Ωy = A cos(ω0t + δ) , (3.1) Ωz = ωz 0 , kde A, δ, ωz 0 jsou tři libovolné integrační konstanty a ω0 = I1−I3 I1 ωz 0 (ω0 i ωz 0 mohou být i záporné či nulové). Eulerovy úhly pak již lze snadno dopočítat z (1.11): ϑ = ϑ0, kde tan ϑ0 = I1A I3ωz 0 , ϕ = A sin ϑ0 t + ϕ0, ψ = ω0t + δ. Získali jsme tedy úplné řešení úlohy, musíme jej však ještě interpretovat geometricky a fyzikálně. Protože |Ω| = Ω2 x + Ω2 y + Ω2 z = A2 + (ωz 0)2, vidíme, že |Ω| i Ωz se zachovávají. Lze tedy časový vývoj vektoru úhlové rychlosti Ω(t) znázornit geometricky jako pohyb po kuželi, jehož osa je totožná s osou symetrie setrvačníku a jehož vrcholový (polo)úhel ϑΩ je dán tan ϑΩ = Ω2 x + Ω2 y/Ωz = A/ωz 0. Protože směr Ω určuje okamžitou osu otáčení, nezůstává osa otáčení tuhého tělesa konstantní v čase, ale opisuje vůči tělesu výše zmíněný kužel s úhlovou rychlostí ω0. Tento efekt se nazývá regulární precese. (Pro zajímavost: na povrchu Země je to nepravidelná trajektorie podobná kružnici, jež se od pólu nevzdaluje více než 5 metrů, a experimentálně zjištěná perioda precese činí průměrně 427 dní.) Samozřejmě, pro speciální volbu ωz 0 = 0 nebo A = 0 nebo při I1 = I3 precese nenastává. 15 KAPITOLA 3. APLIKACE: SETRVAČNÍKY 16 Zbývá ještě interpretovat pohyb okamžité osy rotace vůči pevnému vnějšímu inerciálnímu systému. Je třeba zvolit vhodný pevný směr, jímž může být například směr zachovávajícího se vektoru momentu hybnosti L. Ze vztahů (2.12) vidíme, že vektory L a Ω nemíří stejným směrem, konkrétně Lx = AI1 sin(ω0t + δ) , (3.2) Ly = AI1 cos(ω0t + δ) , Lz = I3 ωz 0 , což popisuje pohyb L po kuželi s vrcholovým (polo)úhlem ϑL vzhledem k osám spojeným s tělesem, přičemž tan ϑL = L2 x + L2 y/Lz = I1A/I3ωz 0 (povšimněte si, že ϑL = ϑ0). Vůči inerciálnímu systému však je L fixován a uvedené vztahy naopak určují precesní pohyb os tělesa: kolem pevného směru vůči „hvězdám daného vektorem L se tedy rovnoměrně otáčí osa z axiální symetrie tělesa a kolem této osy z koná precesi okamžitá osa otáčení určená Ω. Výsledek tedy není úplně jednoduchý, lze jej však hezky znázornit graficky. Z řešení (3.1) a (3.2) plyne vztah L = I1Ω + (I3 − I1)Ωzez. Vidíme, že vektory L, Ω a osa symetrie z tělesa leží v každém okamžiku vždy ve stejné rovině (jež se stáčí). Navíc platí tan ϑL = I1 I3 tan ϑΩ. Celou situaci lze tedy znázornit jako valení dvou kuželů po sobě, přičemž okamžitá přímka jejich dotyku určuje směr vektoru Ω. Pro případ I1 < I3 je ϑL < ϑΩ a kužel spojený s L se valí uvnitř kužele spojeného s osou z, zatímco pro I1 > I3 je ϑL > ϑΩ a kužele se valí vně sebe. < > KAPITOLA 3. APLIKACE: SETRVAČNÍKY 17 3.2 Těžký symetrický setrvačník s pevným bodem V této kapitole chceme na konkrétním příkladu demonstrovat užitečnost alternativního přístupu k řešení dynamiky tuhého tělesa, totiž použití Lagrangeova formalismu. Ten je založen na sestavení Lagrangeovy funkce L = T − V ve vhodných zobecněných souřadnicích, jimiž budou Eulerovy úhly. Uvažujme tedy osově symetrické těleso hmotnosti m, které se může volně otáčet v homogenním gravitačním poli g kolem pevného bodu vzdáleného l od těžiště tělesa. Kinetická energie rotujícího tělesa je dána T = 1 2 IijΩiΩj, viz (2.8). Zvolíme-li za kartézské osy rotujícího systému hlavní osy tenzoru setrvačnosti tělesa, vymizí deviační momenty (Iij = 0 pro i = j); netriviální budou pouze složky I3 a I1 = I2, takže Izz = I3 a (užitím Steinerovy věty) Ixx = Iyy = I1 + ml2 . Kinetická energie je proto dána T = 1 2 (I1 + ml2 )(Ω2 x + Ω2 y) + 1 2 I3Ω2 z. Dosadíme-li za Ωi z Eulerových kinematických rovnic (1.11) a uvážíme-li potenciální energii, dostáváme Lagrangeovu funkci L = 1 2 (I1 + ml2 )( ˙ϑ2 + sin2 ϑ ˙ϕ2 ) + 1 2 I3( ˙ψ + cos ϑ ˙ϕ)2 − mgl cos ϑ . (3.3) Protože souřadnice ψ a ϕ jsou cyklické, dostáváme ihned dva integrály pohybu ∂L ∂ ˙ψ = I3( ˙ψ + cos ϑ ˙ϕ) = Lψ , ∂L ∂ ˙ϕ = [(I1 + ml2 ) sin2 ϑ + I3 cos2 ϑ] ˙ϕ + I3 cos ϑ ˙ψ = Lϕ , (3.4) kde Lψ a Lϕ jsou konstanty. Protože navíc L nezávisí explicitně na čase a je kvadratický v rychlostech, zachovává se celková mechanická energie E = T + V = konst, 1 2 (I1 + ml2 )( ˙ϑ2 + sin2 ϑ ˙ϕ2 ) + 1 2 I3( ˙ψ + cos ϑ ˙ϕ)2 + mgl cos ϑ = E . (3.5) Soustavu (3.4) lze rozřešit vzhledem k ˙ψ a ˙ϕ, ˙ϕ = Lϕ − Lψ cos ϑ (I1 + ml2) sin2 ϑ , ˙ψ = Lψ I3 − cos ϑ Lϕ − Lψ cos ϑ (I1 + ml2) sin2 ϑ . (3.6) Dosazením (3.6) do (3.5) dostáváme po přímočarých úpravách 1 2 (I1 + ml2 ) ˙ϑ2 = ˜E − Vef (ϑ) , (3.7) kde ˜E = E − L2 ψ/2I3 a „efektivní potenciál Vef (ϑ) je dán Vef (ϑ) = (Lϕ − Lψ cos ϑ)2 2(I1 + ml2) sin2 ϑ + mgl cos ϑ . (3.8) KAPITOLA 3. APLIKACE: SETRVAČNÍKY 18 Integrací rovnice (3.7) a její inverzí obdržíme ϑ(t) a po dosazení do (3.6) lze dalšími dvěma integracemi získat ψ(t) resp. ϕ(t), čímž je úloha v principu vyřešena. Úplný rozbor a konkrétní výpočty (vedoucí na komplikovaná vyjádření pomocí eliptických integrálů) ovšem přesahují rámec tohoto krátkého studijního materiálu; lze je nalézt např v knize V. Trkala, Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, NČSAV, Praha, 1956. Zde se omezíme jen na hlavní zajímavé vlastnosti v chování studovaného setrvačníku, které lze odvodit i bez znalosti explicitního řešení: 1) Existují speciální jednoduchá řešení ϑ = ϑc = konst. V důsledku (3.6) pak je ϕ(t) = ωϕ t + ϕ0, ψ(t) = ωψ t + ψ0, kde ωϕ, ωψ, ϕ0, ψ0 jsou konstanty. Setrvačník rotuje kolem své osy symetrie konstantní úhlovou rychlostí ωψ, přičemž tato osa se rovnoměrně pohybuje po povrchu svislého kužele — setrvačník koná regulární precesi. Pohyb se dá znázornit dráhou průsečíku osy symetrie s jednotkovou sférou opsanou kolem pevného bodu setrvačníku, Hodnota ϑc musí být extrémem efektivního potenciálu Vef a musí platit ˜E = Vef (ϑc). 2) Obecně pro |Lϕ| = |Lψ| = 0 existují právě dvě řešení ϑ1 < ϑ2 rovnice Vef (ϑ) = ˜E představující body obratu při evoluci ϑ, což je zřejmé z průběhu Vef (ϑ): Nutační úhel ϑ(t) periodicky osciluje mezi hodnotami ϑ1 a ϑ2 představujícími nejmenší resp. největší odklon osy symetrie setrvačníku od svislého směru. Vztah (3.6) pro ˙ϕ navíc ukazuje, že nabyde-li ϑ(t) přesně hodnoty ϑs, kde cos ϑs ≡ Lϕ/Lψ, precese setrvačníku se zastaví, neboť pak ˙ϕ = 0 (předpokládáme Lψ > 0). Pro hodnoty ϑ(t) > ϑs je ˙ϕ > 0, zatímco pro ϑ(t) < ϑs je ˙ϕ < 0. Protože ϑ(t) ∈ ϑ1, ϑ2 , mohou nastat následující případy: a) ϑs < ϑ1: Pak je ϕ(t) monotónně rostoucí funkcí času a dráha průsečíku osy symetrie s jednotkovou sférou má vzhled znázorněný na Obr. a). b) ϑs = ϑ1: Funkce ϕ(t) je nadále rostoucí, avšak v bodech ϑ(t) = ϑ1 dochází k pozastavení precese; proto se tvar dráhy průsečíku zobrazený na Obr. b) vyznačuje špičkami na vrchní „rovnoběžce ϑ1. KAPITOLA 3. APLIKACE: SETRVAČNÍKY 19 c) ϑ1 < ϑs < ϑ2: Tvar dráhy průsečíku znázorněný na Obr. c) má podobu smyček, přičemž „rovnoběžka ϑs vymezuje ony body, v nichž přestává funkce ϕ(t) růst a začne dočasně klesat (tedy „levý a „pravý kraj smyček). a) b) c) 3) Pro Lϕ = 0 = Lψ se rovnice (3.7) redukuje na 1 2 (I1 + ml2 ) ˙ϑ2 + mgl cos ϑ = E. Zavedením proměnné Θ = π − ϑ a derivováním dostáváme přesnou rovnici matematického kyvadla ve tvaru (I1 + ml2 )¨Θ + mgl sin Θ = 0, takže osa symetrie setrvačníku kývá jako matematické kyvadlo. Linearizované řešení pro nutační úhel je samozřejmě ϑ = π − Θ0 cos(ωt + δ), kde ω2 = mgl/(I1 + ml2 ).