Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Lev B. Okuň
O pojmu hmotnost (Hmotnost, energie, relativita)
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 35 (1990), No. 5, 285--301
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139364
Terms of use:
© Jednota českých matematiků a fyziků, 1990
Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to
digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must
contain these Terms of use.
This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and
stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital
Mathematics Library http://project.dml.cz
Hermann Weyl říká: „Vnějškově se nezdá,
že by [tento postoj] škodil naší každodenní
práci a přece musím pro jednou
přiznat, že měl značný praktický vliv na
můj matematický život. Usměrňoval moje
zájmy do oblastí, které jsem pokládal za
poměrně ,bezpečné' a neustále oslaboval
mé nadšení a rozhodnost, se kterými jsem
konal svou vědeckou práci".
Myslím, že lze spravedlivě říci, že bez
jistého druhu víry, která zahrnuje víru ve
skutečnou existenci čísel a množin, a bez
otevřenosti vůči tomu, co Weyl považoval
za teologické myšlení, nebude plně obnovena
tvůrčí energie matematiků. Neboť
tvůrčí matematikové v plném významu
toho slova potřebují mít pocit, že věda
o nekonečnu není pouze užitečným nesmyslem,
ale že je smysluplná, významná
a pravdivá a že v sobě zahrnuje všechny
krásy a všechna tajemství, které nám přislíbili
Newton, Gauss a Cantor.
Přeložil Oldřich Kowalski
(Podzim 1983)
vyučovaní
O POJMU HMOTNOST
(Hmotnost, energie, relativita)
L. B. Okuň
1. Malý test místo úvodu
Einsteinův vztah, určující souvislost
mezi hmotností tělesa a energií v něm
obsaženou, je bezesporu nejvýznamnějším
vztahem teorie relativity. Umožnil nám
nově, hlouběji pochopit svět kolem nás.
Jeho praktické důsledky jsou ohromné.
V jistém smyslu se tento vztah stal symbolem
vědy 20. století.
V literatuře se lze setkat se čtyřmi
rovnicemi, které vyjadřují fyzikální smysl
vztahu mezi hmotností a energií:
(1.1) E0 = mc2
,
(1-2) E = mc2
,
(1.3) Fo = m0
c2
(1.4) E = m0
c2
zde c je rychlost světla, E je celková energie
tělesa, m je jeho hmotnost, E0 je klidová
energie, m0
je hmotnost téhož tělesa
v klidu.
V populárně vědecké literatuře, ve školních
učebnicích a ve většině vysokoškolských
učebnic převládá vztah (1.2) [a jeho
důsledek — vztah (1.3)], který se obvykle
čte zprava doleva a interpretuje se takto:
hmotnost tělesa se zvětšuje s jeho energií
jak vnitřní, tak i kinetickou.
V převážné většině seriózních monografií
a vědeckých pojednání z teoretické
fyziky, především z teorie elementárních
částic, pro nižje teorie relativity pracovním
nástrojem, se zpravidla vůbec nepoužívají
vztahy (1.2) a (1.3). Podle těchto knih
se hmotnost m tělesa při jeho pohybu neLEV
BORISOVIČ OKUŇ, nar. 7. 7. 1929, člen korespondent AV SSSR, profesor. Od r. 1954 pracuje
v Ústavu teoretické a experimentální fyziky v Moskvě v oboru teorie elementárních částic.
Článek je přeložen z časopisu Uspechi fizičeskich nauk, sv. 158, č. 3, červenec 1989.
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 285
mění a za správný se považuje vztah (1.1).
Přitom se samotný termín „klidová hmotnost"
i označení m0 zdají být zbytečné,
a proto se neužívají. Zdá se tedy, jako by
existovala jakási pyramida, jejíž základnu
tvoří populárně vědecké knihy a školní
učebnice, vydávané v miliónových nákladech;
její vrchol tvoří monografie a články
z teorie elementárních částic, jejichž náklad
dosahuje tisíců exemplářů.
Mezi vrcholem a základnou této pomyslné
pyramidy je značný počet knih
a článků, kde se záhadným způsobem udržuje
koexistence všech tří (a dokonce
čtyř!) vztahů. Vzniklou situaci zavinili
především teoretičtí fyzikové, kteří až
dosud nevysvětlili širokému okruhu vzdělaných
lidí tento jednoduchý problém.
Cílem tohoto článku je co možná nejjednodušším
způsobem ukázat, proč je
vztah (1.1) adekvátní podstatě teorie relativity
a vztahy (1.2) a (1.3) nikoli, a tím napomoci
tomu, aby se v učební a populárně
vědecké literatuře používalo jasné terminologie,
která by nevedla k omylům a nedorozuměním.
V dalším budu takovou
terminologii nazývat správnou. Doufám,
že se mi podaří čtenáře přesvědčit o těchto
skutečnostech:
a) termín „klidová hmotnost" m0 je
zbytečný,
b) místo o „klidové hmotnosti" se má
hovořit o hmotnosti m, která je pro
obyčejná tělesa v teorii relativity
i v Newtonově mechanice jedna a táž,
c) v obou teoriích hmotnost m nezávisí
na soustavě souřadnic,
d) pojem hmotnosti závislé na rychlosti
vznikl na počátku 20. stol. v důsledku
neoprávněného rozšíření Newtonova
vztahu mezi hybností a rychlostí také
na oblast rychlostí, srovnatelných
s rychlostí světla, v níž tento vztah
neplatí,
e) koncem 20. století je nutno se s pojmem
hmotnosti závislé na rychlosti rozloučit
s konečnou platností.
Článek sestává ze dvou částí. V první
části (odst. 2 — 12) se jedná o úloze hmotnosti
v Newtonově mechanice. Potom
se probírají základní vzorce teorie relativity;
které spojují energii a hybnost částice
s její hmotností a rychlostí, zavádí se souvislost
zrychlení se silou a je uveden relativistický
výraz pro gravitační sílu. Ukážeme,
jak se definuje hmotnost soustavy
složené z několika částic a uvedeme příklady
fyzikálních procesů, při nichž se
hmotnost tělesa nebo soustavy těles mění
tím, že děj je doprovázen absorpcí nebo
emisí částic s nenulovou kinetickou energií.
Druhá část (odst. 13 — 18) se týká historie
vzniku pojmu hmotnosti tělesa,
zvětšující se s jeho energií, tzv. relativistické
hmotnosti. Ukážeme, že používání
tohoto zastaralého pojmu neodpovídá
čtyřrozměrně symetrickému tvaru teorie
relativity a vede k četným nedorozuměním
v učební i populárně vědecké literatuře.
1. Fakta
2. Hmotnost v Newtonově mechanice
Je známo, že v Newtonově mechanice
má hmotnost mnoho důležitých vlastností
a projevuje se několika způsoby:
i) hmotnost se projevuje jako míra
množství látky;
ii) hmotnost složeného tělesa se rovná
součtu hmotností jeho jednotlivých
složek;
iii) hmotnost izolované soustavy těles se
zachovává tj. nemění se s časem;
286 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. S
iv) hmotnost tělesa se nemění při přechodu
od jedné vztažné soustavy ke druhé,
zvláště pak je hmotnost stejná v různých
inerciálních soustavách souřad­
nic;
v) hmotnost tělesa je mírou jeho setrvač­
nosti;
ví) hmotnosti těles jsou zdrojem jejich
vzájemného gravitačního přitahování.
Dvou posledních vlastností hmotnosti si
povšimněme podrobněji.
Jako míra setrvačnosti tělesa se hmotnost
m vyskytuje v rovnici
(2.1) p = mv
a v rovnicích
i \ i n =
(2.2)
2 . m
m v
Homogenita prostoru a času má za
následek, že se hybnost a energie volného
tělesa zachovávají vzhledem k inerciální
vztažné soustavě souřadnic. Hybnost tělesa
se mění s časem pouze působením
jiných těles:
dp__
át '
(2.3)
kde Fje síla působící na těleso. Uvážíme-li,
že podle definice se zrychlení o rovná
dv
(2.4) o =
dř
pak se zřetelem ke vztahu (2.1) a (2.3)
dostaneme:
(2.5) F - ma .
V této rovnici hmotnost znova vystupuje
jako míra setrvačnosti. V Newtonově
mechanice se tedy míra setrvačnosti definuje
rovnicemi (2.1) a (2.5). Někteří
autoři dávají přednost rovnici (2.1), jiní
zase rovnici (2.5). Pro tento článek je
důležité pouze to, že obě definice jsou
v Newtonově mechanice současně v plat­
nosti.
Věnujme se nyní gravitaci. Potenciální
gravitační energie soustavy dvou těles
o hmotnostech M a m (např. Země a zrnko
písku) je dána vztahem
(2.6) u ш = G
.M .m
Síla, s níž Země přitahuje zrnko písku,
se rovná
(2.7) ғ
g
=
G . M . m . r
kde radiusvektor r, spojující středy obou
těles, směřuje od středu Země ke středu
zrnka písku. (Stejně velikou silou opačného
směru zrnko písku přitahuje Zemi.)
Ze vztahů (2.5) a (2.7) plyne, že zrychlení
tělesa volně padajícího v gravitačním
poli Země nezávisí na jeho hmotnosti.
Zrychlení v gravitačním poli Země obvykle
označujeme o0
:
an
= -fi
(2.8)
g
m
G.M .r
Veličinu a„ na povrchu Země snadno
odhadneme: dosadíme-li do vztahu (2.8)
hodnoty hmotnosti a poloměru Země
(Mz
~ 6. 102 4
kg, Rz =
6,4 . 106
m), dostaneme
hodnotu og
= 9.8 m/s
2
.
Univerzální charakter veličiny og poprvé
formuloval GaUlei, který dospěl
k závěru, že zrychlení volně padající
kuličky nezáleží na její hmotnosti ani na
materiálu, z něhož je vyrobena. S velkou
přesností tuto nezávislost potvrdil počátkem
20. stol. Eótvós. Potvrdila to též
řada experimentů z nedávné doby. NezáPokroky
matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 287
vislost gravitačního zrychlení na hmotnosti
urychlovaného tělesa se ve školních
učebnicích fyziky obvykle charakterizuje
jako rovnost inerciální a gravitační hmotnosti
a přitom se má na mysli, že jedna
a táž veličina m vchází jak do vztahu
(2.5), tak i do vztahů (2.6) a (2.7).
Nebudeme se již zabývat dalšími vlastnostmi
hmotnosti uvedenými na začátku
této kapitoly, a to proto, že se zdají být
zřejmé. Např. nikdo nepochybuje o tom,
že hmotnost vázy se rovná hmotnosti
střepů, které z ní vzniknou:
(2.9) m = ^jrii.
Nikdo také nepochybuje o tom, že hmotnost
dvou automobilů se rovná součtu
jejich hmotností nezávisle na tom, zda
automobily stojí nebo se proti sobě pohybují
maximální rychlost1
'.
3. Galileův princip relativity
Podstatou Newtonovy mechaniky je
princip relativity.
V jedné z Galileových knih je úvaha
o tom, že v lodní kajutě se spuštěnými
záclonami nelze pomocí žádných mechanických
pokusů zjistit rovnoměrný a přímočarý
pohyb lodi vzhledem ke břehu.
Když Galileo uváděl tento příklad, zdůrazňoval,
že žádné mechanické pokusy
nemohou odlišit jednu inerciální vztažnou
soustavu od druhé. Tomuto tvrzení se
dostalo názvu Galileův princip relativity.
Matematicky se tento princip projevuje
v tom, že rovnice Newtonovy mechaniky
se nemění při přechodu k novým souřad­
nicím
r -> ť =-: r - v. t ; t -> ť = t,
kde v je rychlost nové inerciální soustavy
souřadnic vzhledem k původní soustavě.
4. Einsteinův princip relativity
Počátkem 20. stol. byl zformulován ještě
obecnější princip, který dostal název Einsteinův
princip relativity. Podle tohoto
principu nejen mechanické, ale ani žádné
jiné experimenty (optické, elektrické, magnetické
apod.) nemohou odlišit jednu
inerciální soustavu od jiné. Teorie vybudovaná
na tomto principu je teorie rela­
tivity.
Na rozdíl od nerelativistické Newtonovy
mechaniky teorie relativity bere v úvahu,
že v přírodě existuje limitní rychlost c, s níž
se šíří fyzikální signály: c = 3 . 10
8
m/s.
O veličině c se obvykle hovoří jako
o rychlosti světla ve vakuu. Teorie relativity
umožňuje studovat pohyb těles
(částic) s libovolnými rychlostmi v, včetně
v = c. Nerelativistická Newtonova mechanika
je limitním případem relativistické
Einsteinovy mechaniky při vjc ->• 0.
V Newtonově mechanice formálně neexistuje
limitní rychlost šíření signálů,
tj. c —> co.
Zavedení Einsteinova principu relativity
vyžadovalo změnu názorů na takové
fundamentální pojmy jako prostor, čas,
současnost. Ukázalo se, že vzdálenosti
mezi dvěma jevy jak v prostoru r, tak
v čase t nezůstanou neměnné při přechodu
od jedné inerciální soustavy souřadnic
ke druhé, ale chovají se jako složky čtyřrozměrného
vektoru v čtyřrozměrném
časoprostoru Minkowského. Neměnnou,
invariantní při tom zůstává jenom veličina
s, která se nazývá interval: s
2
=
5. Energie, hybnost a hmotnost v teorii relativity
Základní vztahy teorie relativity pro volně
se pohybující částici (pro soustavy částic,
tělesa) jsou
288 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5
(5.1)
(5.2)
E2
-y z
2
= m
2
f> =
v. K
zde E je energie, f> je hybnost, m je hmotnost
a v je rychlost částice (soustavy
částic, tělesa). Nutno zdůraznit, že hmotnost
m a rychlost v částice nebo tělesa,
jsou tytéž veličiny, s nimiž se setkáváme
v kvantové mechanice. Podobně jako
čtyřrozměrné souřadnice t, r jsou energie E
a hybnost p složkami čtyřrozměrného
vektoru. Při přechodu od jedné inerciální
soustavy souřadnic ke druhé se mění v souladu
s Lorentzovými transformacemi.
Hmotnost se při tom nemění, je Lorentzovým
invariantem.
Nutno zdůraznit, že stejně jako v Newtonově
mechanice také v teorii relativity
platí zákony zachování energie i hybnosti
izolované částice nebo izolované skupiny
částic.
Kromě toho podobně jako v Newtonově
mechanice jsou energie a hybnost aditivní:
celková energie a hybnost n volných částic
jsou dány vztahy:
(5.3) E = £ E,, p = t pt.
í = l i=l
V teorii relativity se hmotnost izolované
soustavy zachovává, nemění se v čase,
avšak není aditivní.
Nejdůležitější poznatek, v němž se
teorie relativity liší od nerelativistické
mechaniky je v tom, že energie tělesa je
nenulová A tehdy, je-li těleso v klidu, tj.
při v = 0, p = 0. Jak je patrno z (2.1),
je klidová energie tělesa (obvykle ji označujeme
E0) úměrná jeho hmotnosti:
(5.4) Eo = m .c
2
,
Hlavním praktickým důsledkem teorie
relativity je Einsteinovo tvrzení z r. 1905,
že v tělese nacházejícím se v klidu jsou
ohromné zásoby energie. Na vztahu (5.4)
je založena veškerá jaderná energetika.
6i Limitní případy relativistických rovnic
Pozoruhodnou vlastností rovnic (5.1)
a (5.2) je, že popisují pohyb částic v celém
intervalu rychlostí: 0 ._ v g c. Např. při
v = c plyne z (5.2), že
(6.1) . pc = E.
Dosadíme-H (6.1) do (5.1), dojdeme
k závěru, že pohybuje-li se částice rychlostí
c, je její hmotnost rovna nule a obráceně.
Pro částici s nulovou hmotností neexistuje
soustava souřadnic, vzhledem ke
které by tato částice byla v klidu.
Pro částice s nenulovou hmotností
(dokonči? i při velmi malé hmotnosti) je
vhodnější vyjadřovat vzorce pro energii
a hybnost pomocí hmotnosti a rychlosti.
Za tím účelem dosadíme (5.2) do (5A).
(6.2) E2
(l - ^ = m 2
. c 4
,,2\-l/2
a po odmocnění dostaneme
(6.3) E = m.c
2
(l-
V
-X
112
.
Po dosazení (6.3) do (5.2) dostaneme
/ v2
(6.4) p = my 1 - Ze
vztahů (6.3) a (6.4) je zřejmé, že
těleso s nenulovou hmotností se nemůže
pohybovat rychlostí světla, protože v tom
případě by jeho energie a hybnost rostly
nade všechny meze.
V literatuře o teorii relativity se zpravidla
užívá označení:
(6.5) ß
(6.6) y = (l-pyw.
Použijeme-H výrazu pro y, můžeme
výrazy pro E a p zapsat ve tvaru
(6.7) E = ni .c
2
.y ,
(6.8) p = m . v . y .
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 289
Kinetickou energii Fkin definujeme jako
rozdíl celkové energie E a klidové energie
E0 tělesa:
(6.9) £kin = E - E0 = m . c2
. (y - 1) .
Pro t?/c < 0 , ponecháváme ve vztazích
(6.8) a (6.9) pouze první členy rozkladu
výrazu y. V tom případě se vracíme ke
vztahům Newtonovy mechaniky. Z toho
je zřejmé, že hmotnost tělesa v Newtonově
mechanice a hmotnost téhož tělesa v relativistické
mechanice je jedna a táž veličina.
7. Souvislost mezi silou a zrychlením v teorii
relativity
Lze ukázat, že v teorii relativity platí
rovnice Newtonovy mechaniky
áp
(7.1) F =
àt
Ze vztahu (7.1) a z definice zrychlení
™ - - %
snadno dostaneme
(7.3) F = m . y . a + m . y3
. fi . (/} . a) .
V teorii relativity není tedy vektor
zrychlení souhlasně rovnoběžný s vektorem
síly, ale má také složku ve směru
rychlosti.
Vynásobíme-li (7.3) rychlostí v, dosta­
neme
F v
(7.4) av =
m . y . (1 + y2
. ß2
)
F.v
m . y
Dosazením (7.4) do (7.3) dostaneme
(7.5) F-(F.p)p=m.y.a.
Rovnice (7.3) je z hlediska Newtonovy
mechaniky neobvyklá, avšak z hlediska
teorie relativity správně popisuje pohyb
částic. Její vlastnosti se od začátku tohoto
století mnohokrát prověřovaly v různých
konfiguracích elektrických i magnetických
polí. Tato rovnice je základem inženýrských
výpočtů relativistických uryclťo-
vačů.
Jestliže tedy jsou vektory síly F a rychlosti
v k sobě navzájem kolmé, pak
(7.6) Ғ = m . y ,
jsou-li vektory síly F a rychlosti v souhlasně
rovnoběžné, pak
(7.7) F = m, a .
Pokusíme-li se tedy definovat setrvačnou
hmotnost jako poměr velikostí síly
ke zrychlení, pak v teorii relativity bude
tato veličina závislá na vzájemném směru
síly a rychlosti, a proto ji nelze jednoznačně
určit. Ke stejnému závěru vzhledem
ke gravitační hmotnosti vede vyšetření
gravitačního působení.
8. Gravitační přitahování v teorii relativity
Jestliže je v Newtonově teorii síla gravitační
interakce určena hmotnostmi interagujících
těles, pak v teorii relativity
je situace značně složitější. To proto, že
v teorii relativity je zdrojem gravitačního
pole tenzor energie-hmotnosti tělesa, který
má deset složek. (Pro srovnání uveďme,
že zdrojem elektromagnetického pole je
elektrický proud, který je čtyřrozměrným
vektorem a má čtyři složky).
Prozkoumejme nejjednodušší případ
kdy jedno z těles má značně velkou hmotnost
M a je v klidu (např. Slunce nebo
Země) a druhé těleso má naopak hmotnost
velmi malou (např. elektron) nebo dokonce
nulovou (např. foton o energii É).
Na základě obecné teorie relativity lze
290 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1970), č. 5
ukázat, že v tomto případě bude síla
působící na lehkou částici rovna
(8.1) F = -G.m.-U\ + j S
2
) r ~
c
-(r/*)/T]r-
3
.
Je zřejmé, že pro pomalý elektron, kdy
je j8 <š 1, z výrazu v hranaté závorce
zůstane jenom r a uváž'me-li, že E0lc
2
=
= m, dospějeme opět k nerelativistickému
Newtonovu vztahu. Avšak je-li víc ~ 1
nebo dokonce v\c = 1, setkáváme se
s principiálně novým jevem: veličina,
která hraje úlohu „gravitační hmotnosti"
relativistické částice je závislá nejenom na
energii částice, ale také na vzájemné orientaci
vektorů r a v. Jsou-li vektory v a r
souhlasně rovnoběžné, je „gravitační
hmotnost
4
' rovna Ejc
2
; jsou-li však vektory
v a r k sobě navzájem kolmé, je „gravitační
hmotnost" rovna (K/c
2
)/(l + b
2
)
a pro foton bude rovna 2E/c
2
.
Uvozovky jsme použili proto, abychom
zdůraznili, že pro relativistické těleso je
pojem „gravitační hmotnost" nepoužitelný.
Nemá smysl hovořit o „gravitační
hmotnosti" fotonu, jestliže foton letíci
rychlostí v ve směru souhlasně rovnoběžném
s vektorem r, má tuto veličinu dvakrát
menší než foton letící rychlostí v kolmo
k vektoru r.
Když jsme prozkoumali různé aspekty
dynamiky jedné relativistické částice, vrátíme
se k otázce hmotnosti soustavy částic.
9. Hmotnost soustavy částic
Už dříve jsme poznamenali, že v teorii
lelativity se hmotnost soustavy nerovná
součtu hmotností těles, která soustavu
tvoří. Toto tvrzení lze ilustrovat na několika
příkladech.
i) Mějme dva fotony (z nichž každý má
energii E) pohybující se vůči sobě v opačných
směrech. Celková hybnost takové
soustavy je rovna nule, ale celková energie
(v tomto případě je současně klidovou
energií soustavy dvou fotonů) je 2E.
Je tedy hmotnost této soustavy 2Ejc2
.
Snadno se lze přesvědčit že hmotnost
soustavy dvou fotonů bude nulová pouze
tehdy, jestliže oba fotony letí stejným
směrem.
ii) Mějme soustavu sestávající z n těles.
Její hmotnost je dána vztahem
kde YJEÍ J
e
součet energií těchto těles
a YJPÍ J
e
vektorový součet jejich hybností.
První dva příklady jsou charakteristické
tím, že reprezentují * soustavy volných
částic. Rozměry těchto soustav neomezeně
rostou s časem, jak se jednotlivé částice
od sebe vzdalují. Nyní se věnujme soustavám,
jejichž rozměry se v čase nemění.
iii) Atom vodíku sestává z protonu a elektronu.
Klidová energie E0 atomu může
být s vyhovující přesností vyjádřena
součtem čtyř složek:
(9.2)
K0 = mp . c
2
+ mc.c
2
+ Ek i n + U,
kde mp je hmotnost protonu, me je hmotnost
elektronu, Fkin a U je kinetická a potenciální
energie elektronu.
Potenciální energie U je podmíněna
vzájemným přitahováním elektrických nábojů
protonu a elektronu, které elektronu
nedovolí, aby se od protonu odpoutal.
Z teorie, která je vyčerpávajícím způsobem
experimentálně prověřena, plyne, že
(9.3) £kin + U = ~Ek i n = - i m e . v\ ,
kde ve « c/137 je rychlost elektronu v atomu
vodíku. Odtud plyne
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 291
(9.4)
E0
m н
= — = m + me
c
2
m. • t>e
2
(10.1) 2e + 4p =
4
H e + 2v + Ekin
2.c
2
Hmotnost atomu vodíku je tedy o několik
tisícin hmotnosti elektronu menší
než součet mp
+ me
.
iv) Deuteron sestává z protonu a neutronu.
Proton a neutron se navzájem přitahují
silněji a pohybují se rychleji než
elektron v atomu vodíku. V důsledku
toho je hmotnost deuteronu přibližně
o 0,1 % menší než součet hmotností protonu
a neutronu.
Dva poslední příklady jsme ve skutečnosti
zkoumali na základě nerelativistické
mechaniky. Třebaže v obou případech
je hmotnostní schodek velmi malv vzhledem
ke hmotnostem částic, je přesto
významný.
Nyní je nutno vzpomenout si na rozbitou
vázu z odst. 2. Součet hmotností
střepin se rovná hmotnosti vázy se stejnou
přesností, se kterou je jejich vazební energie
malá vzhledem k jejich klidové energii.
10. Příklady vzájemných přeměn klidové energie
a kinetické energie
V důsledku platnosti zákona zachování
energie se musí klidová energie v jaderných
nebo chemických reakcích přeměnit
v kinetickou energii produktů reakcí,
jestliže je celková hmotnost částic vstupujících
do reakce větší než celková hmotnost
produktů reakce. Prozkoumáme čtyři
příklady:
i) Při aniliilaci elektronu a pozitronu na
dva fotony přejde veškerá jejich energie
v kinetickou energii fotonů.
ii) V důsledku termojaderných reakcí probíhajících
na Slunci, dochází k přeměně
dvou elektronů a čtyř protonů na jádro
hélia a dvě neutrina:
Uvolněná energie je £kin = 29,3 MéV.
Uvážíme-li, že hmotnost protonu je
938 MeV a hmotnost elektronu je 0,5 MeV,
je relativní zmenšení hmotnosti řádu 1 %
{Am\m = 0,8 . IQ"
2
).
iii) Při srážce pomalého neutronu s jádrem
2 3 5
U se jádro rozdělí na dva úlomky
a vyletí 2 nebo 3 neutrony, které jsou
schopné zasáhnout další jádra uranu
a při tom se uvolní energie Fkin
.«
« 200 MeV. Snadno se lze přesvědčit,
že v tomto případě je Amjm = 0,9 . 10~
3
.
iv) V reakci hoření metanu na plynovém
sporáku
(10.2)
CH4
+ 2 O 2
-> CO2
+ 2 H 2
O
se uvolňuje energie 35,6 MJ aa kubický
metr metanu. Uvážíme-li, že hustota
metanu je 0,89 kg/m
3
, snadno zjistíme,
že v tomto případě je Amjm = 10~
10
,
V chemických reakcích je veličina Amjm
o 7 —8 řádů menší než v jaderných reakcích,
ale podstata uvolnění energie je
stejná: klidová energie se přemění na
kinetickou energii.
Abychom zdůraznili, že hmotnost tělesa
se mění vždy, když se mění jeho vnitřní
energie, uvedeme dva všední příklady:
i) při zahřívání železné žehličky na 200 °C
je Amjm = 10"
1 2
(to lze snadno odhadnout
uvědomíme-li si, že měrná tepelná
kapacita železa je 450 J . k g
- 1
. K"
1
).
ii) Roztaje-li led o hmotnosti m, je
Amjm = 3,7. 10"
1 2
.
11. Srovnání úlohy hmotnosti v Einsteinově
a Newtonově teorii
Máme-li shrnout, co bylo dosud řečeno,
je užitečné srovnat úlohu hmotnosti
292 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5
v Einsteinově mechanice s její úlohou
v mechanice Newtonově.
i) Na rozdíl od Newtonovy mechaniky
hmotnost v Einsteinově mechanice není
mírou množství hmoty. Sám pojem hmoty
je v teorii relativity mnohem bohatší než
v Newtonově mechanice. V teorii relativity
není principiální rozdíl mezi látkou (protony,
neutrony, elektrony) a zářením
(fotony). Protony, neutrony, elektrony
a fotony tvoří velkou rodinu tzv. elementárních
částic, které se v přírodě nejčastěji
vyskytují. Je možné, že fotony nejsou
jediné částice s nulovou hmotností. Např.
nelze vyloučit, že nulovou hmotnost mají
některé druhy neutrina. Je možné, že
existují i jiné částice s nulovou hmotností,
které nebyly dosud objeveny jen proto,
že pomocí existujících přístrojů je obtížné
je objevit.
ii) V Newtonově mechanice platí, že čím
více jednotlivých stejných částic (atomů)
soustava obsahuje (např. závaží), tím
větší je její hmotnost. V teorii relativity,
kdy jsou energie částic mnohem větší než
jejich hmotnosti, se hmotnost soustavy
neurčuje jen a právě počtem částic, ale
spíše jejich energiemi a vzájemnou orientací
hybností.
Hmotnost tělesa složeného z několika
jiných těles se nerovná součtu hmotností
těchto těles.
iii) V teorii relativity se stejně jako v Newtonově
mechanice hmotnost izolované
soustavy těles zachovává, nemění se s časem.
Do soustavy těles je však nutno
v teorii relativity zahrnout nejenom atomy
(„látku"), ale také fotony („záření").
iv) Stejně jako v Newtonově mechanice
se i v teorii relativity hmotnost tělesa nemění
při přechodu od jedné inerciální
vztažné soustavy ke druhé.
v) Hmotnost pohybujícího se tělesa není
mírou jeho setrvačnosti. Jednotná míra
setrvačnosti těles pohybujících se relativistickou
rychlostí dokonce ani vůbec
neexistuje, poněvadž odpor kladený tělesem
síle, která ho urychluje, závisí na
úhlu, který spolu svírá síla a rychlost
tělesa.
vi) Hmotnost tělesa, které se pohybuje
relativistickou rychlostí, neurčuje jeho
interakci s gravitačním polem. Tato interakce
je určena vztahem, který je závislý
na energii i hybnosti tělesa.
Nehledě na tato čtyři „ne", je hmotnost
i v teorii relativity nejdůležitější
charakteristikou tělesa. Nulová hmotnost
znamená, že těleso se musí pohybovat
rychlostí světla. Nenulová hmotnost pak
charakterizuje mechaniku tělesa vzhledem
ke vztažné soustavě, ve které se toto těleso
pohybuje velmi pomalu nebo je v klidu.
Taková soustava souřadnic má význačné
postavení mezi jinými vztažnými sousta­
vami.
vii) V souladu s teorií relativity je hmotnost
částice mírou energie „utajené"
v částici, která se nachází v klidu, je mírou
klidové energie: E0 = m . c
2
. Tato vlastnost
hmotnosti nebyla v nerelativistické
mechanice známa.
Jednou z nejdůležitějších charakteristik
elementární částice je její hmotnost. Hmotnost
stabilních nebo dlouhožijících částic
určujeme nezávislým měřením energie
a hybnosti částice a používáme vztah
m
2
= (F2
/c4
- p2
/c2
). Hmotnosti krátkožijících
částic stanovujeme měřením energií
a hybností částic vznikajících při rozpadu
krátkožijících částic nebo „přítomných"
při jejich zrodu.
Údaje o hmotnostech všech elementárních
částic spolu s jejich dalšími charakteristikami
(doba života, spin, způsoby
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 293
rozpadu) jsou obsaženy v tabulkách, které
se pravidelně obnovují.
12. Původ hmotnosti
fyziky
otázka č. 1 současné
V posledních desetiletích došlo k velkému
pokroku v chápání vlastností elementárních
částic. Byla vybudována kvantová
elektrodynamika, tj. teorie interakce elektronů
s fotony; byly položeny základy
kvantové chromodynamiky, která je teorií
interakce kvarků s gluony a teorie elektroslabé
interace. Částicemi, které zprostředkují
interakci, jsou ve všech těchto teoriích
tzv. vektorové bozony, tj. částice se spinem
rovným 1: foton, gluony, bozony W a Z.
Pokud se týká hmotností částic,
jsou výsledky mnohem skromnější. Na
přelomu 19. a 20. století se fyzikové domnívali,
že hmotnost může mít ryze elektromagnetický
původ, přinejmenším v případě
elektronu. Dnes víme, že elektromagnetická
část hmotnosti částice tvoří
zcela nepatrnou část její celkové hmotnosti.
Víme také, že hlavní podíl na hmotnosti
protonu a neutronu nemá hmotnost
kvarků, které jsou součástí jejich vnitřní
struktury, ale silná interakce podmíněná
gluony.
Vůbec nic však nevíme o tom, čím jsou
podmíněny hmotnosti šesti leptonů (elektronu,
neutrina a dalších čtyř jim analogických
částic) a šesti kvarků (z nichž
první tři jsou podstatně lehčí než proton,
čtvrtý je jenom nepatrně těžší a pátý kvark
je pětinásobně těžší než proton; šestý kvark
má tak velkou hmotnost, že se ho dosud
nepodařilo ,,vyrobit" a objevit).
Existují teoretické dohady, že při vytváření
hmotností leptonů a kvarků, ale také
bozonů W a Z hrají hlavní úlohu hypotetické
částice s nulovým spinem. Hledání
těchto částic je jedním z hlavních úkolů
současné fyziky vysokých energií.
II. Artefakty
13. Na přelomu století byly známy čtyři
„hmotnosti"
Vše, o čem se hovořilo v první části článku,
zná každý teoretický fyzik, který se někdy
zabýval speciální teorií relativity. Na
druhé straně každý fyzik a nejen fyzik
slyšel o „znamenitém" Einsteinovu vzorci
E = m . c
2
. Proto je přirozené položit si
otázku, jakým způsobem se v literatuře
i v myslích čtenářů uskutečňuje mírové
soužití dvou navzájem se vylučujících
rovnic (VI) a (1.2).
Dříve než začneme hledat odpověď na
tuto otázku, chci připomenout, že hmotnosti
tělesa nacházejícího se v klidu odpovídá
podle rovnice (1.1) klidová energie
E0
, zatímco podle rovnice (1.2) libovolné
těleso o energii E má hmotnost Ejc
2
.
Podle rovnice (1.1) se hmotnost tělesa při
jeho pohybu nemění. Podle rovnice (1.2)
se hmotnost tělesa s růstem jeho rychlosti
zvětšuje. Podle rovnice (1.1) má foton
nulovou hmotnost, podle rovnice (1.2) má
foton hmotnost Ejc2
.
Abychom mohli na otázku koexistence
rovnic (1.1) a (1.2) odpovědět, musíme si
připomenout historii vzniku, interpretace
a uznání speciální teorie relativity.
Při úvahách o souvislosti mezi hmotností
a energií se jako výchozí bod obvykle
bere článek J. J. Thompsona [1], uveřejněný
v r. 1881. V něm se autor poprvé
pokusil odhadnout, jaký podíl na klidové
hmotnosti elektricky nabitého tělesa má
jeho vlastní elektromagnetické pole.
Vznik teorie relativity se obvykle spojuje
s Einsteinovým článkem z r. 1905 [2],
v němž byla jasně zformulována relativita
současnosti. Je však nasnadě, že práce
na vybudování a interpretaci teorie relativity
začala mnohem dříve před rokem
294 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), Č. 5
1905 a pokračovala velice dlouho potom.
Pokud jde o interpretaci, tento proces
probíhá — jak se zdá — dosud. V opačném
případě by nebylo zapotřebí psát tento
článek. Pokud se týká uznání, lze tvrdit,
že ani koncem roku 1922, kdy Einstein
získal Nobelovu cenu, nebyla teorie relativity
všeobecně uznaná.
Sekretář Švédské akademie věd psal
Einsteinovi, že Akademie mu udělila
Nobelovu cenu za objevení zákona fotoefektu,
„aniž by při tom brala do úvahy
vážnost, která bude přiznána vašim teoriím
relativity a gravitace, poté, co budou v budoucnu
potvrzeny" (citováno podle knihy
A. Paise [3]).
Rovnice E = m . c2
se objevila v roce
1900, ještě před vznikem teorie relativity.
Napsal ji H. Poincaré, který vycházel
z toho, že rovinná světelná vlna nesoucí
energii E má hybnost f>, jejíž absolutní
hodnota je podle Pointingovy věty rovna
Ejc. Poincaré [4] použil Newtonův nerelativistický
vztah pro hybnost p = mv.
Uvědomil si, že pro světlo platí v = c
a dospěl k závěru, že foton musí mít klidovou
hmotnost m = Ejc2
.
Ještě rok předtím, v roce 1899, Lorentz
[5] poprvé zavedl pojmy podélné a příčné
hmotnosti iontů, z nichž první se zvětšuje
s růstem rychlosti jako y
3
a druhá se
s růstem rychlosti zvětšuje jako y. K tomuto
závěru dospěl s použitím Newtonova
vztahu mezi silou a zrychlením F = ma.
Podrobná diskuse těchto hmotností pro
elektron je obsažena v jeho článku [6]
uveřejněném v roce 1904.
Tak se na přelomu století objevila
v důsledku neoprávněného použití nerelativistických
vztahů k popisu relativistických
objektů celá skupina „hmotností" zvětšujících
se s energií tělesa:
„relativistická hmotnost" m = F/c
2
,
„příčná hmotnost" mř
= m .y,
„podélná hmotnost" mt
= m . y3
.
Povšimněme si, že při m =?- 0 se relativistická
hmotnost rovná příčné hmotnosti,
ale na rozdíl od ní se vyskytuje
i u těles s nulovou hmotností (m = 0).
Písmeno m zde používáme v obvyklém
smyslu, jako jsme je používali v první
části tohoto článku. Všichni fyzici však
v prvních pěti letech tohoto století, tj. do
vybudování teorie relativity, a mnozí
z nich i déle, nazývali hmotností a označovali
písmenem m relativistickou hmotnost,
jak to udělal Poincaré v práci z roku 1905.
A tehdy nutně musel vzniknout a také
vznikl ještě čtvrtý název: „klidová hmotnost",
pro kterou se zavedlo označení m0 .
Název „klidová hmotnost" se začal používat
pro obyčejnou hmotnost, kterou při
důsledném výkladu teorie relativity označujeme
m.
Tak vznikla „čtveřice" hmotností, jíž
se podařilo úspěšně proniknout do rodící
se teorie relativity. Tím byly vytvořeny
podmínky pro zmatek, který přetrvává
až do dneška.
Od r. 1900 započaly speciální experimenty
se zářením /? a katodovým zářením,
tj. s vysokoenergetickými elektrony, jejichž
svazky se vychylovaly v elektrických
i magnetických polích (viz knihu A. Millera
[7].
Smyslem těchto pokusů bylo zjistit, jak
závisí hmotnost na rychlosti. Jejich výsledky
během téměř celého prvního desetiletí
našeho století odporovaly Lorentzovým
výrazům pro mř
a ml
a ve skutečnosti
vyvracely teorii relativity a byly v souladu
s nesprávnou teorií M. Abrahama.Později
se dosáhlo souladu s Lorentzovými vztahy,
ale z citovaného dopisu sekretáře Švédské
akademie věd je vidět, že tento soulad
nebyl zcela přesvědčivý.
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 295
14. Hmotnost a energie v Einsteinových článcích
z roku 1905
Ve své první práci o teorii relativity [2]
Einstein -- stejně jako všichni ostatní
v té době — používal pojmů podélná
a příčná hmotnost, ale neoznačoval je
zvláštními symboly a pro kinetickou energii
získal vztah
W = uV
2
I 1
1[1 - (v2
/V2
)]^2
kde fi je hmotnost a V je rychlost světla.
Pojem „klidová hmotnost66
tedy nepouží­
val.
V témže roce 1905 Einstein uveřejnil
krátkou poznámku [8], v níž dospěl
k závěru, že „hmotnost tělesa je mírou
energie v tělese obsažené
66
. Použijeme-li
současných označení, dá se tento závěr
vyjádřit vzorcem E0
= m . c2
. Symbol E0
vlastně figuruje již v první větě, kterou
začíná důkaz: „Nechť se v soustavě
(x, y, z) nachází v klidu těleso, jehož
energie vzhledem k soustavě (x, y, z)
je F0
.66
Toto těleso vyzařuje dvě rovinné
světelné vlny se stejnými energiemi L/2
v opačných směrech. Einstein zkoumá
tento proces v soustavě pohybující se rychlostí
v, využívá té okolnosti, že v této soustavě
se celková energie fotonů rovná
L(y — 1) a klade ji rovnou rozdílu kinetických
energií tělesa před vyzářením a po
vyzáření světla. Potom dospívá k závěru,
že „vydá-li těleso energii v podobě záření,
zmenší se jeho hmotnost o L/V
2
, tj. Am =
= AE0
\c2ii
. V této práci je tedy zaveden
pojem klidové energie tělesa a je zavedena
ekvivalentnost hmotnosti a klidové energie
tělesa.
15%
„Zobecněný Poincaréův vzorec"
Jestliže v práci z roku 1905 byl Einstein
zcela jednoznačný, pak v další práči,
otištěné v r. 1906 [9], se tato jednoznačnost
poněkud vytrácí. Einstein se odvolává
na Poincaréovu práci z roku 1900
[4], navrhuje přehlednější důkaz závěru,
k němuž Poincáré dospěl, a tvrdí, že každé
energii E odpovídá setrvačná hmotnost
EjV
2
, kde V je rychlost světla ve vakuu.
„Elektromagnetickému poli připisuje hustotu
hmotnosti Oe
, která se liší od hustoty
energie faktorem l/V2íS
. Přitom však je
z textu práce [9] patrno, že tato tvrzení
považuje za rozvinutí své práce z roku
1905. Přestože v práci [10], otištěné v roce
1907, Einstein znova jasně hovoří o ekvivalentnosti
hmotnosti a klidové energie
tělesa, nicméně nezavádí přesnou hranici
mezi relativistickým vztahem (1.1) a předrelativistickým
vztahem (1.2). V práci
[11] O vlivu gravitační síly na šíření
světla píše: „... Je-li přírůstek energie E,
je přírůstek setrvačné hmotnosti F/c2
.66
Při vybudování moderního jednotného
prostorově časového formalismu teorie
relativity koncem desátých let sehrály
významnou úlohu práce Plancka [12, 13]
a Minkowského [14]. Přibližně ve stejnou
dobu byla v pracích Lewise a Tolmana
[15, 16] na trůn teorie relativity s konečnou
platností dosazena „předrelativistická
hmotnost66
, rovnající se Ejc2
. Dostalo sejí
titulu „relativistická hmotnost66
a což je
nejsmutnější, usurpovala prostě pro sebe
jméno „hmotnost66
. Skutečná hmotnost
se dostala do role popelky a dostala jméno
„klidová hmotnost66
. Práce Lewise a Tolmana
jsou založeny na Newtonově definici
hybnosti p = m .v a zákonu zachování
„hmotnosti
66
, ale ve skutečnosti se zakládají
na zákonu zachování veličiny Ejc
2
.
Je s podivem, že v literatuře o teorii relativity
zůstává „palácový převrať
6
, který
jsme právě popsali, mimo pozornost a vývoj
teorie relativity se předkládá jako lo-
296 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5
gicky postupující proces. Historikové fyziky
(viz např. [3, 7, 17, 18]) se nezmiňují
o principiálním rozdílu mezi Einsteinovým
článkem [8] na jedné straně a pracemi
Poincarého [4] a Einsteina [9] na straně
druhé.
Kdysi jsem viděl karikaturu, zobrazující
vědecký tvůrčí proces. Vědec, zezadu
podobný Einsteinovi, psal na tabuli.
Nejdříve napsal E = m . a2
a přeškrtl to,
pod tím napsal E = m .b2
a znova to
přeškrtl a nakonec napsal E = m . c2
.
Při veškeré anekdotičnosti je tento obrázek
možná blíže k pravdě než čítankový popis
tvůrčího vědeckého procesu jako nepřetržitého
logického vývoje.
Ne náhodou jsem připomněl popelku.
Hmotnost, zvětšující se s rychlostí, to
bylo opravdu nepochopitelné a symbolizovalo
to hloubku i vznešenost vědy a hypnoticky
působilo na představivost. Co je
ve srovnání s tím obyčejná hmotnost,
taková jednoduchá a pochopitelná!
16. Tisíc a dvě knihy
Název této kapitoly vychází z toho, že
neznáme celkový počet knih pojednávajících
o teorii relativity. Zcela určitě však
převyšuje několik stovek knih a možná
dokonce i tisíc. Ale o dvou knihách, které
vyšly začátkem dvacátých let, stojí za to
se zmínit zvlášť. Obě dvě jsou velice významné
a váží si jich nejedná generace
fyziků. První z nich je encyklopedická
monografie dvacetiletého studenta Wolfganga
Pauliho Teorie relativity [19], která
vyšla v roce 1921. Druhou, nazvanou
Podstata teorie relativity [20], uveřejnil
v roce 1922 sám tvůrce speciální i obecné
teorie relativity Albert Einstein. Problematika
souvislostí mezi energií a hmotností
je v obou knihách vyložena zcela odlišně.
Pauli rozhodně odmítá jako zaostalé
pojmy podélné i příčné hmotnosti (a spolu
s nimi i vzorec F = m . a), ale považuje
za „užitečné" používat vzorec p = m .v,
a tedy také pojem hmotnosti, která je
závislá na rychlosti. Tomu věnuje několik
kapitol. Mnoho pozornosti věnuje „zákonu
ekvivalentnosti hmotnosti a energie"
neboli, jak ho sám nazývá, „zákonu setrvačnosti
energie libovolného druhu";
podle tohoto zákona „každé energii odpovídá
hmotnost m = Ejc2
".
Einstein, na rozdíl od Pauliho, označuje
symbolem m obyčejnou hmotnost. Pomocí
hmotnosti m a rychlosti tělesa v Einstein
vyjadřuje čtyřrozměrný vektor energiehybnosti;
potom zkoumá těleso nacházející
se v klidu a dospívá k závěru, že „energie
E0
tělesa ve stavu klidu se rovná jeho
hmotnosti". Připomeňme, že za jednotku
rychlosti zvolil c. Dále píše: „... kdybychom
za jednotku času zvolili sekundu,
dostali bychom E0
= m . c2
.
Hmotnost a energie jsou tedy svou podstatou
shodné, jde pouze o různé vyjádření
téže skutečnosti. Hmotnost tělesa
není stálá, mění se s jeho energií." Dvěma
posledním větám dodává jednoznačný
smysl slovo „tedy" a ta okolnost, že následují
bezprostředně za rovnicí E0 = m . c
2
.
V knize Podstata teorie relativity se tedy
nemluví o hmotnosti závislé na rychlosti.
Lze předpokládat, že kdyby Einstein
svou rovnici E0 = m . c
2
podrobněji a důsledněji
komentoval, rovnice E = m . c2
by se z literatury vytratila již ve dvacátých
letech. Neučinil to však a většina následujících
autorů přijala hledisko Pauliho,
a proto hmotnost závisející na rychlosti
zaplnila většinu populárně vědeckých knih
a brožur, encyklopedií, školních i vysokoškolských
učebnic obecné fyziky a také
monografie i knihy vynikajících fyziků,
které byly speciálně věnovány teorii rela­
tivity.
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 297
Jednou z prvních učebních monografií,
v níž teorie relativity byla vysvětlena
důsledně relativisticky, byla Teorie pole
Landaua a Lif šice [21]. Za ní následovala
řada dalších knih.
Důležité místo v důsledně relativ isickém
čtyřrozměrovém formalismu kvantové
teorie pole našla Feynmannova metoda
diagramů, kterou vybudoval v polovině
tohoto století [23]. Avšak tradice používání
hmotnosti závislé na rychlosti byla tak
životaschopná, že ve svých znamenitých
přednáškách, uveřejněných počátkem šedesátých
let, ji Feynmann použil jako
základ kapitol věnovaných teorii relativity.
Je však pravda, že diskuse hmotnosti
závislé na rychlosti je v kapitole 16 zakončena
těmito dvěma větami: „Ať je to
jakkoli zvláštní, ale vzorec
m = m0
.{l-v2
]c2
Y112
se používá velice zřídka. Místo toho se
ukazují jako nenahraditelné dva vztahy,
které lze snadno dokázat:
(16.1) E
2
- p
2
c
2
M
2
0.c
4
(16.2) p.c =
E.v
V poslední své přednášce, uveřejněné
ještě za jeho života (byla přednesena
v roce 1986 na počest P. Diraca a má název
„Proč existují antičástice?") [24] se
Feynman nezmiňuje ani o hmotnosti
závislé na rychlosti ani o klidové hmotnosti,
ale hovoří pouze o hmotnosti a označuje
ji m.
17. Imprinting a masová kultura
Proč je vzorec m = Ejc2
tak živoucí ?
Přijatelné vysvětlení pro to nemám. Zdá
se mi však, že osudovou úlohu tu hraje
populárně vědecká literatura. Právě z ní
čerpáme své první dojmy o teorii rela­
tivity.
Etologie zná pojem imprintingu, (Je to
proces, v němž se mládě seznamuje s identifikačními
znaky ostatních příslušníků
téhož druhu — pozn. překl. J. S.) Např.
kuře se během krátké doby po vylíhnutí
naučí následovat kvočnu. Jestliže v tomto
krátkém období kvočnu nahradíme něčím
jiným, např. hračkou, kuře bude následovat
hračku nikoli kvočnu. Z četných
pozorování je známo, že výsledek imprintingu
se později již nedá změnit.
Samozřejmě, že ani děti, ani mládež,
nejsou kuřata. A jako vysokoškoláci se
mohou naučit teorii relativity v kovariantním
tvaru, řekněme „podle Landaua
a Lif šice", bez hmotnosti závislé na rychlosti
a všech dalších nejapností, které
s tím souvisí. Ale jakmile dospějí, začnou
psát brožury a učebnice pro mládež a hned
u nich začne působit imprinting.
Vzorec E = m . c2
se už dávno stal prvkem
hromadné kultury. A to mu dodává
neobyčejnou životaschopnost. Když se
mnozí autoři rozhodnou psát o teorii
relativity, vycházejí z přesvědčení, že
čtenář již tento vzorec zná a mají snahu
tuto okolnost využít. Tak vzniká proces,
který sám sebe podporuje.
18. Proč je nesprávné nazývat výraz Ejc2
hmotnosti?
Občas mi někdo z mých přátel fyziků říká:
„Co máš stále na té relativistické a klidové
hmotnosti? Konec konců, tím, že nějakou
kombinaci písmen označíme nějakým jediným
písmenem a nazveme nějakým slovem
nebo dvěma slovy, se tak mnoho nestane.
Inženýři přece používají tyto, třebaže
zastaralé pojmy, a přece správně spočítají
relativistické urychlovače částic. Důležité
298 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), c. 5
je, aby vzorce neobsahovaly matematické
chyby".
Je ovšem možné používat vzorce,
aniž bychom podrobně chápali jejich fyzikální
smysl a je dokonce možné dělat
správné výpočty a mít při tom ne zcela
správnou představu o podstatě vědy,
která se za těmi vzorci skrývá. Avšak,
za prvé, ne zcela správné představy mohou
dříve či později v nějaké nestandardní
situaci přivést k nesprávnému výsledku.
A za druhé, jasná představa o jednoduchých
a krásných základech vědy je mnohem
důležitější než bezmyšlenkovité dosazování
čísel do vzorců.
Teorie relativity je jednoduchá a krásná,
ale její výklad s použitím dvou hmotností
je zmatený a ošklivý. Vzorce E
2
— p
2
=
= m
2
a p = E . v (teď používáme soustavy
jednotek, v níž je c = 1) jsou jedněmi
z nejjasnějších, nejhezčích a nejmocnějších
vzorců fyziky. A vůbec jsou pojmy
„Lorentzův vektor" i „Lorentzův skalár"
nesmírně důležité, protože odrážejí nádhernou
symetrii přírody.
Na druhé straně však vzorec E = m
(znova užíváme soustavu c = 1) je ošklivý,
protože označuje energii E ještě jiným
písmenem a termínem, a přitom toto
označení spojujeme ve fyzice ještě š jiným
důležitým pojmem. Jedinou obhajobou
tohoto vzorce je obhajoba historická:
na začátku tohoto století tento vzorec
pomohl tvůrcům teorie relativity tuto
teorii vytvořit. Z historického pohledu
lze tento vzorec a vše, co s ním souvisí,
chápat jako zbytky lešení použitého při
výstavbě nádherné budovy současné vědy.
A jestliže usuzujeme podle literatury,
jeví se v současné době téměř jako hlavní
příčina zničení této budovy.
Jestliže první argument proti vzorci
E = m . c
2
,lze nazvat estetickým, „krásné
proti ošklivému'\ pak druhý agrument
lze označit za etický. Čtenář, který se
tento vzorec učí, je klamán, protože se
před ním skrývá přinejmenším část pravdy
a jsou v něm vzbuzovány neodůvodněné
iluze.
1. Před nezkušeným čtenářem se skrývá
fakt, že tento vzorec je založen na libovolném
předpokladu, že Newtonova definice
hybnosti p = m .v platí i v relativistické
oblasti.
2. U čtenáře se vytváří iluze, že veličina
Ejc
2
je univerzální mírou setrvačné
hmotnosti. To vede k představě, že úměrnost
setrvačné hmotnosti veličině v
postačuje k tomu, aby se těleso s nenulovou
hmotností nedalo urychlit do rychlosti
světla, a to ani tehdy, je-Ii jeho zrychlení
definováno vztahem o = Fjm. Ale ze
vztahu
áv(18.1) — - £ - ( T - L
V
' át m0\ c2
plyne, že
2 \ l / 2
-1/2
(18.2) tfdф--- --І-Jïғ.dť.
mn
Považujeme-li sílu za konstantní, snadno
zjistíme, že doba T, za kterou by těleso
dosáhlo rychlosti c, se rovná
(18.3) T = к. m0
l.F.c
Tento chybný výsledek souvisí s tím,
že do vzorce a = Fjm nutno dosadit
nikoli „relativistickou hmotnost", ale „podélnou
hmotnost" úměrnou y
3
, na kterou
si současní autoři zpravidla nevzpomenou.
3. Čtenáři se vnucuje iluze, že veličina
Ejc2
je univerzální gravitační hmotnost.
Ve skutečnosti však,jak jsme viděli, v teorii
relativity univerzální gravitační hmotnost
neexistuje.
4. Uvedený vzorec sice nese Einsteinovo
jménp, ale ve skutečnosti se před čtenářem
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 299
skutečný Einsteinův vzorec E0
= m . c
2
skrývá.
Třetí argument lze nazvat filozofický.
Na rovnici E = m . c
2
jsou založeny
desítky stránek hlubokomyslných filozofických
úvah o úplné ekvivalentnosti
hmotnosti a energie, o existenci jednotné
podstaty „hmoto-energie" apod. Zatímco
podle teorie relativity libovolné hmotnosti
opravdu odpovídá energie, nikoli
však naopak: ne každé energii odpovídá
hmotnost. Proto neexistuje úplná ekvivalentnost
hmotnosti a energie.
Čtvrtý argument je terminologický.
Literatura o teorii relativity obsahuje
takový zmatek v označeních a terminologii,
že připomíná město, v němž se
připouští jak pravostranná, tak levostranná
jízda.
Pátý argument je pedagogický. Ani žák
ani učitel, ani začínající vysokoškolák,
který se dogmaticky naučil, že hmotnost
tělesa roste s jeho rychlostí, nemůže pořádně
pochopit podstatu teorie relativity,,
pokud nevěnuje veliké úsilí na „přeučení".
Ti, kdo se nestali profesionálními fyziky-relativisty,
mají obvykle velice zkreslené
představy o hmotnosti a energii.
Vzorec m = m0[l - (v
2
/c
2
)]"
1/2
je často
to jediné, co jim utkví v paměti, samozřejmě
spolu se vzorcem E = m . c
2
.
Je zřejmé, že libovolný samostatně
myslící žák musí pociťovat intelektuální
nepohodlí při studiu teorie relativity
podle standardní školní učebnice.
L i t e r a t u r a
[1] THOMSON J. J.: Phil. Mag. 11 (1881) 229.
[2] EINSTEIN A.: Ann. d. Phys. 17 (1905) 891.
Překlad do ruštiny: EINSTEIN A.: Sobranie
naučných trudov. Moskva, Nauka, 1965,
sv. 1, str. 1 (dále se cituje jako SNT).
[3] PAIS A.: Sub tle is the Lord: The Science and
the Life of Albert Einstein. Oxford, Clarendon
Press, 1982.
[4] POINCARÉ H.: Lorentz Festschrift. Archieve
Neerland, 1900, sv. 5, str. 252.
[5] LORENTZ H.: Proč. Roy. Akad. Sci., Amsterodam,
1 (199) 252.
[6] LORENTZ H.: Proč. Roy. Acad. Sci., Amsterdam,
6 (1904) 809. Překlad do ruštiny:
1. Princip otnositělnosti: Sborník prací
klasiků relativismu (H. A. Lorentz, H.
Poincaré, A. Einstein, H. Minkowski),
red. V. K. FREDERIKS, D. D. IVANĚNKO,
Leningrad, ONTI 1935, str. 76; 2. Princip
otnositělnosti: Sborník prací o teorii relativity;
šest. A. A. ŤAPKIN, Moskva, Atomizdat,
(1973) str. 76.
[7] MILLER A. L: Albert Einsteirís Speciál
Theory of Relativity: Emergence {1905)
and Early Interpretation {1905—1911).
Addison— Wesley, 1981.
[8] EINSTEIN A.: Ann. d. Phys., 18 (1905) 639.
Překlad do ruštiny: SNT, 1 (1965) 36.
[9] EINSTEIN A.: Ann. d. Phys., 20 (1906) 371.
Překlad do ruštiny: SNT, 1 (1965) 39.
[10] EINSTEIN A.: Ann. d. Phys., 23 (1907) 371.
Překlad do ruštiny: SNT, 1 (1965) 53.
[11] EINSTEIN A.: Ann. d. Phys., 35 (1911) 898.
Překlad do ruštiny: SNT, 1 (1965) 165.
[12] PLANCK M.: Verhandl. Deutsch. Phys.
Ges., 4 (1906) 136. Překlad do ruštiny:
PLACK M., Izbrannyje trudy, Moskva,
Nauka, (1975) str. 445.
[13] PLANCK M.: Sitzungsber. Akad. Wiss.
Berlin, 13 (1907) 542. Překlad do ruštiny:
PLANCK M.: Izbrannyje trudy, Moskva,
Nauka, (1975), str. 467.
[14] MINKOWSKI H : Phys. Zs., 20 (1909) 104.
Překlad do ruštiny: Princip otnositělnosti',
sborník prací klasiků relativismu: H. A.
Lorentz, H. Poincaré, A. Einstein, H.
Minkowski), red. V. K. FREDERIKS, D. D.
IVANĚNKO; Leningrad, ONTI, (1935), str.
167 a 181.
[15] LEWIS G., TOLMAN R.: Phil. Mag. 18 (1909)
510.
[16] TOLMAN R.: Phil. Mag., 23 (1912) 375.
[17] JAMMER M.: Concepts of Mass in Classical
and Modem Physics. Cambridge, Harward
University Press, (1961). Překlad do ruštiny:
JAMMER M.: Ponjatie massy v klassičeskof
i sovremennoj fizike. Překlad a komentář
300 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5
N. F. Ovčinnikov; Moskva, Progress,
(1967).
[18] WHITTAKER E. A.: His tory of the Theories
of Aether and Electricity. London, Nelson,
vol. 2 (1953). Překlad do ruštiny: Princip
otnositělnosti. Red. A. A. ŤAPKIN, Moskva,
Atomizdat, (1973), str. 205. Diskuse otázky
o hmotnosti viz str. 226 a dále.
[19] PAULI W.: Relativitáts Theorie. Encykl.
Math. Wis., Bd. 19. Leipzig, Teubner,
(1921). Překlad do ruštiny: PAULI W.:
Těorija otnositělnosti. Moskva, Leningrad;
Gostěchizdat, (1947); Moskva, Nauka,
(1973), 2 vydání, opravené podle anglického
vydání z r. 1958.
[20] EINSTEIN A.: The Meaning of Relativity:
Four Lee tures Delivered at Přince ton University.
May (1921). Překlad do ruštiny:
SNT, 2 (1965) 5; kromě toho překlad této
knihy vvšel jako samostatná publikace:
EINSTEIN A.: Suščnosť teorii otnositělnosti,
Moskva, Izdat. Inostr. Lit., (1955).
[21] LANDAU L. D., LIFŠIC E. M.: Těorija polja.
Moskva, Gostěchizdat, (1955).
[22] FEYNMAN R.: Phys. Rev., 76 (1949) 749;
769. Překlad do ruštiny: Novějšeje razvitije
kvantovoj' elektrodinamiki. Red. D. D.
IVANĚNKO; Moskva, Inostr. lit., (1954),
str. 138, 161.
[23] FEYNMAN R., LEIGHTON R., SANDS M.:
The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley,
(1963), (1964), vol. \, kapit.
15, 16; vol. 2, kapit. 28. Překlad do ruštiny:
FEYNMAN R., LEIGHTON R., SANDS M.:
Fejnmanovskie lekcii po fizike; Moskva,
(1961), (1966); díl 2, kapit. 15, 16, díl 6,
kapit. 28.
124] FEYNMAN R.: The Reasonfor Antiparticles.
Elementary Particles and the Laws of Physics.
The 1986 Dirac Memoriál Lectures,
Canbridge; New York, New Rochelle,
Melbourne, Sydney, Cambridge Univ.
Press, (1987), str. 1. Překlad do ruštiny:
UFN 157 (1989) 163.
[25] ADLER C : Am. J. Phys., 55 (1987) 739.
[26] EINSTEIN A.: Autobiographical notes. Albert
Einstein: Philosopher-Scientist Edit. by
P A SCHLÍPP Evanston (1949). Překlad
do ruštiny: SNT, 4 (1966 259
Přeložil Jaroslav Sedlák
jubilea
zprávy
Rukopisy článků k osobním výročím nebo k výročím
institucí musí být redakci dodány 9 měsíců
před datem výročí, mají-li být publikovány včas.
K SEDESATINAM AKADEMIKA
KARLA VACKA
Dne 4. srpna jsme si připomněli šedesátiny
profesora RNDr. Karla Vacka, DrSc, člena
Československé akademie věd, vedoucího katedry
chemické fyziky matematicko-fyzikální
fakulty Univerzity Karlovy.
Karel Vacek se narodil 4. srpna 1930 v Havlíčkově
Brodě. Základní vzdělání získal na
gymnáziu v Havlíčkově Brodě, kde vždy patřil
mezi vynikající studenty. Po maturitě v r. 1949
se — jak sám často přiznává — pod vlivem své
tety učitelky rozhodl studovat fyziku a chemii
na přírodovědecké fakultě Univerzity Karlovy.
Vysokoškolské studium ukončil v r. 1953 na
matematicko-fyzikální fakultě UK. Tři roky
pracoval jako asistent na přírodovědecké fakultě.
Od r. 1956 je činný na matematicko-fyzikální
fakultě Univerzity Karlovy, kde se habilitoval
a byl ustanoven docentem v r. 1964. V letech
1962 až 1965 působil jako hostující docent na
katedře fyziky Chartumské univerzity v Súdánu,
kde získal cenné zkušenosti. Profesorem byl
jmenován a ustanoven v roce 1976, když předtím
v roce 1974 obhájil doktorskou disertaci v oboru
experimentální fyzika. V roce 1981 byl jmenován
členem korespondentem ČSAV a v roce 1988
zvolen akademikem — řádným členem ČSAV.
Vědecká činnost akademika Vacka se začala
rozvíjet od r. 1954 ve Fyzikálním ústavu Karlovy
univerzity, vedeném prof. dr. Ladislavem Zachovalem,
členem korespondentem ČSAV. Absolutorium
oboru fyzika a chemie umožnilo
Karlu Vackovi začít se zabývat poměrně složitým
fyzikálně-chemickým problémem, jakým
je tvorba latentního obrazu v iontových krystalech,
tvořících dodnes materiální základnu fotoPokroky
matematiky, fyziky a astronomie, ročník 35 (1990), č. 5 301