Řešené příklady - geometrie Př 1: Určete souřadnice bodu M = [—2,0,0,2] v soustavě souřadnic S dané repérem (P; elt e2, e3, 0 = 0. Rovnice je tedy splněna pro všechna ř £ R, jde tedy o shodné přímky. Př 9: Určete vzájemnou polohu rovin a) oc: (x,y, z) = [1, -2,3] + ř(-l,0,l) + s(2,l,0) p: (x.y.z) = [-1,0,1] + ť(l,l,2) + s'(-l,3,l) Řešení: Řešíme soustavu rovnic [1, -2,3] + ř(-1,0,1) + s(2,l,0) = [-1,0,1] + ť(l,l,2) + s'(-1,3,1) pro neznáme t, s, ť, s'. Soustavu přepíšeme do rozšířené matice a převedeme na schodovitý tvar <-\ 2-11 0 1-1-3 \\ 0-2-1 -2\ /-l 2-11 2-0 1-1-3 -2/ V 0 0-1 6 -2N -8/ Vidíme, že průnikem je jednorozměrný vektorový prostor, tedy přímka. Roviny jsou tedy různoběžné. b)oc:2x-y + z-9 = 0,£:x + y-z = 0 Průnik tentokrát řešíme jako soustavu rovnic (2 -1 1 9\ íl 1 -1 0\ VI 1 -1 0/ V0 -3 1 9/ Prostor řešení této rovnice má dimenzi 1, tedy je průnikem přímka, rodinou jsou různoběžné. Řešené příklady - geometrie Př 10: V prostoru R4 určete vzájemnou polohu podprostorů p\ X\ ~\~ 2x2 ^3 ~~ ^1 ^3 — 3 p:[3,-l, 0,0] + t(-3,2,l,l). /teifen/íHledáme společný bod obou podprostorů. Vezměme si bod Q £ p, Q = [3 — 3t, — 1 + 2t, t, t], t £ R. Zajímá nás, zda-li bod Q náleží i rovině p,to znamená, že jeho souřadnice musí splňovat rovnice roviny p. A tedy: 3 - 3ř + 2(-l + 2t) + (-í) = 1 3 - 3í + t + 2t = 3 Pomocí ekvivalentních úprav pak dostáváme 0 ■ t = t, pro každé í £ R. Tedy každý bod přímky p je zároveň bodem roviny p. Přímka leží v rovině. Př 11: Určete, zda jsou podprostory B = B + W, B' = B' + W rovnoběžné B = [1,2,3] + L((l, 0,4)), B' = [3,0,1] + L((l, 4, 3), (2,4, 2)) Řešení:Zre)mě dim(VK) = 1. Nyní určíme dim(VK'): (i ! !)-(í ! dlm^2 Pro vzájemnou polohu podprostorů nyní musíme určit dim(VK n W) 1 4 3\ /l 4 3\ 0 1 1-0 1 1, dim(WnW") = 2 1 0 4/ \0 0 0/ Tedy W Q W a podprostory jsou rovnoběžné. Př 12: V názorném afinním prostoru jsou dány podprostory B = B + W, C = {K, L, M). Kde K = [3,4,2], L = [3,4, —1], M = [3,4,5], B = [2,2,1] a VK = {(x1; x2, x3), x3 = 0 }. a) Zjistěte, zda jsou body K, L, M, v obecné poloze. b) Určete vzájemnou polohu podprostorů B, C, případně jejich průnik. c) Určete součet podprostorů B + C. Řešení: a) Zřejmě dim(C) = dim L(KL,KM) = l, neboť KL = (0,0,-3), KM = (0,03). Body K, L, M leží na přímce, nejsou v obecné poloze. b) Z(B) =L (KL) = L ((0,0,1)) je zaměření podprostorů B, Z(C) = L((l, 0,0), (0,1,0)) je zaměření podprostorů C. Dimenze součtu zaměření je tedy 3 a vektor KB je tedy lineární kombinací vektorů ze Z(B) + Z(C). Podprostory se protínají a snadno lze nahlédnout (případně dopočítat), že jejich průnikem je bod P = [3,4,1]. (Nakreslete si celou situaci na obrázku - v souřadném systému s osami xlt x2, x3, je podprostor B zřejmě rovina rovnoběžná s osami xlt x2 procházející bodem B = [2,2,1], resp. [0,0,1] na ose x3l a podprostor C je zřejmě přímka kolmá k této rovině (rovnoběžná s osou x3) procházející uvedenými body K, L, M, P....) c) Součet podprostorů, v případě, že se protínají je B + C =B + Z(B + C) tj. lze vyjádřit např. takto: B + C = [2,2,1] + L((l, 0, 0), (0,1,0), (0,0,1)) Řešené příklady - geometrie Př 13: V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek p: [1,2 — 1] + s(l, —1,1), q- [0,9, —2] + ř(l,0,0) rovnoběžnou s vektorem (1,2,0). Řešení: Protože vektory (1,-1,1), (1,0,0), (1,2,0) jsou lineárně nezávislé, taková přímka existuje. Stačí nalézt průsečík přímky q s rovinou p: [1,2,-1] + s(l, —1,1) + r(l,2,0). Abychom nalezli průsečík, musíme řešit rovnici [0,9, -2] + ř(l,0,0) = [1,2 - 1] + s(l, -1,1) + r(l,2,0) přičemž nám stačí znát hodnotu parametru t. Rozepsáním do složek dostaneme nehomogenní soustavu tří rovnic o třech neznámých t — s — r = 1 s — 2r = —7 -s = 1 Odtud již získáváme parametr t = 3 (s = — 1, r = 3) a bod [3,9, —2] je průsečíkem přímky q s rovinou p. Parametrická rovnice hledané příčka je pak [3,9,-2] + r(l,2,0). Př 14: Nalezněte příčku o mimoběžek p, ^procházející bodem M. Je dáno M = [7,0,4], p(x,y, z) = [2,-1,1] + ř(l,2,l), q(x,y,z) = [1,1,1] + k(2,-1,1). Řešení: Nejprve určíme roviny oc= (M,p) a/3 = (M, q) oc(x,y,z) = [2,-l,l] + ř(l,2,l)+s(5,l,3) P:{x,y,z) = [1,1,1]+ ř'(2,-1,1)+ s'(6,-1,3) Příčka mimoběžek je dána průnikem rovin ocn /?. Řešíme tedy soustavu rovnic [2, -1,1] + ř(l,2,l) + s(5,l,3) = [1,1,1] + ť(2, -1,1) + s'(6, -1,3) pro neznáme t, s, ť, s'. Rozšířená matice této soustavy je ve tvaru f\ 5 -2 -6 2 11 1 \\ 3 -1 -3 -V 0 / a 0 0 0 10 ^0 0 1 2 N Řešením je [0,1,0,1] + ((—2,2,1,1)). Po dosazení ť,s' dostáváme o = [(1,1,1) + 0(2, -1,1) + 1(6, -1,3)] + (1(2, -1,1) + 1(6, -1,3)) Tedy parametrická rovnice příčky mimoběžek p, q je o:[7,0,4] + ř(8,-2,4)