Teorie čísel – příklady k procvičení na zápočtovou písemnou práci

1.       Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 5x – 17y = 3.

2.       Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 16x – 11y = 5.

3.       Najděte největší společný dělitel čísel 1496 a 2024.

4.       Najděte nejmenší společný násobek čísel 156 a 1287.

5.       Jak můžeme rozdělit 50 litrů vody do čtyřlitrových a desetilitrových nádob tak, aby každá
z nich byla plná?

6.       Najděte všechna trojciferná čísla, která při dělení číslem 19 dávají zbytek 4 a při dělení
číslem 13 dávají zbytek 2.

7.       Zaměníme-li pořadí číslic ve dvojciferném čísle (zapsaném v desítkové soustavě), dostaneme
číslo o 1 menší než dvojnásobek původního čísla. Které je původní číslo?

8.       Řešte lineární kongruenci  7x ≡  9 (mod 10).

9.       Řešte lineární kongruenci  14x ≡  23 (mod 31).

10.  V bedně jsou učebnice. Víme, že je jich více než 500 a méně než 600, a že se dají roztřídit do
tašek po 14 a po 24 kusech beze zbytku. Kolik je učebnic je v bedně?

11.  Nalezněte poslední cifru čísla  3^125 zapsaného v dekadickém zápise.

12.   Dokažte, že pro libovolné  n Î N je číslo n^3 – 7n dělitelné číslem šest.


Řešení:

1.       (x,y) = (17k + 4, 5k + 1), kde k Î Z

2.       (x,y) = (11k + 1, 16k + 1), kde k Î Z

3.       NSD(1496,2024) = 88

4.       NSN(156,1287) = 5148

5.       (x[1],y[1]) = (5,3); (x[2],y[2]) = (10, 1);  tzn. 2 způsoby

6.       Hledaná čísla jsou: 327, 574, 821

7.       Původní číslo je 37.

8.       x = 7 + 10t, kde t Î Z

9.       x = 26 + 31t, kde t Î Z

10.   V bedně je 504 učebnic.

11.   3

12.   Lze provést např. matematickou indukcí a následnou úvahou.