Tohle nebylo příliš těžké, že ano? Viděli jsme, v jaké formě se může souvislost projevit v jedné skupině proměnných. Ale souvislost může mít ještě jiné formy. Zkusme si ještě jiný příklad.
A teď se podívejme na jinou tabulku. Sloupce v této tabulce představují proměnnou X, která má kategorie A, B, C, a D. Řádky reprezentují proměnnou Y. Ta má kategorie J, K, L a M. Všechna čísla jsou jenom v jejích tmavých polích. Je nějaká souvislost mezi proměnnými v tabulce 8.2.7
Tabulka 8.2. Proměnná X
Proměnná Y
	A	B	C	D
J				
K				
L				
M				
Dr. Wat.wtn .ve horlivě hlásí:
To je jednoduché. Tudy není žádná pořádná souvislost. Nu diagonále není doslovně, nic. Ani na jedné z nich!
Dr. Watson byl stvořen tak, aby se mýlil, tedy za jeho omyly můžeme my. Tenhle je docela typický. Tahle souvislost má prostě jinou formu. Ale řešení je opět docela prosté. Řekněme, že proměnná X v tabulce 8.2. představuje nějakou územní dimenzi, že kategorie A až D
reprezentují volební obvody. Proměnná Y reprezentuje politické Strany, pro které by respondent mohl hlasovat. A teď se podívejme znovu na distribuci dat v tabulce. Vidíme, že všichni respondenti z obvodu A preferují politickou stranu K, že všichni z obvodu B hlasují pro stranu M atd. V každém sloupci jsou pozorování nahromaděna do jediného pole a pozice tohoto pole je pro každý sloupec jiná, jedinečná pouze pro tento sloupec. Když známe hodnotu X, odhadneme hodnotu Y bez jakéhokoliv omylu. Tedy naše fiktivní data představují jinou formu perfektní, deterministické souvislosti.
Ve skutečnosti by taková souvislost měla jinou formu. V jakékoliv společností s minimální úrovní demokracie by - doufejme - prázdná pole neexistovala. Pokud bychom zjistili, že proporce respondentu hlasujících pro určitou politickou stranu v určitém obvodu se podstatně liší od proporcí v jiných obvodech, pak by se zvýšila pravděpodobnost správného odhadu voSby politických stran na základě znalosti volebních obvodů. Celá řada důležitých statistických operací je v podstatě založena na srovnání nalezené distribuce pozorování do polí tabulky s takovou distribucí, jakou bychom obdrželi, kdyby byla pozorování zařazena do polí tabulky náhodně.
A teď se podívejme na ještě jinou formu, ve které může být souvislost vyjádřena. Chtěli bychom řešit následující důležitý problém: kdo mezi studenty sociologie konzumuje více piva, muži nebo ženy? Následující čísla se týkají průměrného počtu půllitrů vypitých během jednoho týdne:
Tabulka 8.3.
Aritmetický průměr:
muzi ženy
Můžeme na základě těchto dat uzavřít, že existuje souvislost mezi proměnnými "pohlaví" a "spotřeba piva'".' Zdravý rozum a Dr. Watson navrhují, že ano: muži v našem vzorku pijí pivo čtyřikrát více než ženy. Zdá se, že opravdu existuje souvislost mezi proměnnými "pohlaví" a "spotřeba piva". Ale taková data jako je aritmetický průměr nebo údaje vyjádřené
184
185
v procentech představují velice podstatnou redukcí informace. Zamyslete se třeba nad následující pohádku:
Tabulka 8.3.
Pohádka pro odrostlejší děti 19.
O pohřešovaném kuřeti
Tuhle historku jste už asi slyšeli. Nevím, jaký je její původ, ale vypráví se po univerzitách a výzkumných ústavech celého svita. Je to v podstate citát z výzkumné zprávy:
"Po aplikaci preparátu B se 33.3% kuřat uzdravilo, 33.3% uhynulo a o zbývajících 33.3% nejsme schopni poskytnout uspokojující informaci. Dosud se nám nepodařilo to třetí kuře chýlit."
Morálka téhle pohádky je pro náš problém docela jasná: více bychom věřili průměru, který by byl vypočítán na vzorku 500 pozorování, než průměru vypočítaném pro vzorek pěti jedinců. Vzpomínáte, co jsme si řekli v kapitole 4. o intervalu spolehlivosti?
To ale ještě není všechno. Aritmetický průměr, stejně jako jiné podobné reprezentace středních hodnot redukuje informaci o mnoha jedincích do jednoho jediného údaje, a to je pěkné silná redukce, při které můžeme ztratit důležitý kus informace: Studujeme opét konzumaci piva ve dvou populacích. Pro obě populace jsme obdrželi zcela shodný průměr: R piv za týden. Můžeme tedy navrhnout, že jsou obě populace vzhledem ke konzumaci piva shodné? Pro spolehlivý /ivěr potřebujeme vědět, jak dobře průměr popisuje původní data. Uvedme si dva extrémní příklady, ilustrující původní data, ze kterých byl průměr vypočítán. Abychom ušetřili místo, předstírejme, že oba vzorky sestávaly jen z pěti jedinců;
JEDINEC	Populace A: počet piv:	Populace B: počet piv
Jedinec 1.	8	0
Jedinec 2.	8	0
Jedinec 3.	8	0
Jedinec 4.	8	0
Jedinec 5.	8	40
Součet: Aritmetický průměr:	40 8	40 8
Je zřejmé, že průměr 8 reprezentuje skupinu A perfektně. Ale skupina B, to je docela jiná záležitost. To je vlastně skupina abstinentů, do které se vloudil jediný pivní hrdina, který nese obtížné břemeno: udržet průměrnou konzumací piva na úrovni srovnatelné se skupinou A.
Je nesporné, že rozdíl mezi dvěma průměry signalizuje přítomnost souvislosti mezi proměnnou, podle které byli jedinci rozděleni do dvou subpopulací, a proměnnou popsanou jako průměr. Problém je lennm v tom, jak zjistit, že ten rozdíl mezi dvěma průměry je dostatečně významný. Teď už víme, ž,e nestačí vzít v úvahu jen velikost vzorku, ale i 10, jak je populace homogenní. Za chvíli se seznámíme s konceptem směrodatné chyby, která měří homogennost populace, ale hlavně, její diskuse nám umožní pochopit jiný důležitý koncept: statistickou významnost.
187
Ale ještě, než sc podíváme, jak se souvislost opravdu měří, podívejme se, proč může mít souvislost tak mnoho nižných tváří.
8.2. Statistika je třídní...
Vlastně třídní není ani tak statistika, ale proměnné, které můžeme, a jak uvidíte, musíme klasifikovat do několika skupin, které jsou vzájemně v hierarchickém vztahu. Je to důležité proto, že pro každou tu třídu proměnných můžeme použít jenom určitý soubor statistických operací. Skutečný statistik by vám předložil poněkud složitější třídění znaků a probral by i jiné principy pro klasifikaci proměnných, ale pro naši diskusi nám postačí podívat se na tři základní rodiny: nominální, pořadové a intervalové proměnné. (Zatajil jsem vám ještě jednu skupinu proměnných, alternativní znaky. Schoval jsem si to jako příjemné překvapení. Tak se, prosím, tvařte potěšené, až je uvedu ve výkladu regresní analýzy.)
Nominální proměnné:
Říká se jim také kvalitativní proměnné. Jejích kategorie jsou pouhá jména a nedává mnoho smyslu se ptát, zda určitá kategorie je vyšší nebo nižší než jiná. Příkladem nominální proměnné je třeha respondentovo pohlaví, jeho barva vlasu, rodiště. To jsou proletáři mezí proměnnými. Radu statistických operací, které můžeme používat pro ordinální a intervalové proměnné, nemůžeme zde uplatnit.
Pořadové proměnné
Říká se jim také ordinální proměnné. U těchto proměnných mohou být jejich kategorie seřazeny do nějaké hierarchie. Můžeme se smysluplně plál. zda sledovaná vlastnost je u určitého jedince vyšší (nižší, silnější, lepší atd.) než u jiného respondenta. Nevíme však, o kolik je větší. Víme kupř.. že stříbrná medaile je lepší než bronzová, ale ne tak dobrá, jako zlatá. Otázka, kolikrát je stříbrná medaile lepší než bronzová, však nedává smysl.
Intervalové proměnné
Ty mají takové kategorie, že nejen dává smysl se ptát, zda určitá kategorie je vyšší než jiná, ale také otázka, kolikrát je vyšší, je zde smysluplná. Příjem, věk, počet dětí jsou typickými ukázkami tohoto typu proměnných. Intervalové proměnné jsou aristokracií mezi ostatními proměnnými. Statistika s nimi může provádět taková kouzla, která nejsou dovolena pro nižší úrovně měření. Bohužel, intervalových proměnných není ve světě sociálního výzkumu mnoho.
Vidíme tedy, že by nemělo být obvykle příliš obtížné rozhodnout, do které skupiny určitá proměnná náleží. Stačí na ni aplikovat obě zmíněné kritické otázky a zamyslet se, zda jejich aplikace dává nějaký rozumný smysl.Následující shrnutí hy nám mělo tento proces ulehčit.
Kritické otázky:
(A) Je určitá kategorie proměnné větší (menši) než jiná kategorie?
(B) Kolikrát je větší (menší)?
Jsou tyto otázky smysluplné? A B
ne ne nominální proměnná
ano ne pořadová proměnná
ano ano intervalová proměnná
A opět slyšíme dr, Watsona brumlat někde v pozadí, k čemu je to všechno vůbec dobré. Důvod, proč potřebujeme vědět, do jaké skupiny určitá proměnná patří, je opravdu vážný: pro každou ze tří skupin proměnných můžeme použít jen určitý soubor statistických operací. Jako máme nominální, pořadové a intervalové proměnné, máme také nominální, pořadové a intervalové statistické operace. Jenže ty mají zajímavou hierarchii:
Nominální statistické operace nedovedou mnoho z toho, co dovedou operace vyššího řádu. Ale mají jednu příjemnou vlastnost: můžeme je aplikovat na nominální, právě tak jako na pořadové nebo intervalové proměnné.
1SS
189
Pořadové operace dokáží více než nominální, ale zdaleka ne tolik, co intervalové. Můžeme je aplikovat jen na ordinální a intervalové proměnné, ne však na nominální.
Intervalové statistické operace dokáží daleko více, než obě předchozí. Můžeme je však aplikoval výhradně jen na proměnné intervalového charakteru.
A zde je tato hierarchie vyjádřena v tabulce:
Proměnné	Nominální operace:	Pořadové operace:	Intervalové operace:
nominální	ANO	NE	NE
pořadové	ANO	ANO	NE
intervalové	ANO	ANO	ANO
Smysl našeho výkladu snad pochopíme lépe na následujícím příkladu, který nepatří dn ublasli měření souvislosti mezi znaky, ale do oblasti popisné statistiky. Často je pro nás výhodné vyjádřil informaci o vzorku nebo o celé populaci v co nejjednodušSÍ formě. Chceme kupí. říci nčco o počiu dětí v rodině v Praze. Publikovat seznam všech rodin s poetem dělí by poskytlo velmi úplnou informaci, ale bylo by to dosti nepohodlné, nepřehledné, a z mnoha důvodu i prakticky nemožní. Proto se obvykle spokojíme s informací o průměrném poetu dětí. Aritmetický průměr je intervalový popis střední hodnoty. Můžeme jej ledy použít jenom pro popis intervalových dal, jako počel dětí. příjem, věk anod. Ale zjistit, jaká je průměrná barva oCÍ studentů sociologie by byl z hlediska statistiky docela absurdní úkol. Pro proměnné na různé úrovni měření používáme odpovídající indikátory centrální lendence:
intervalová dala aritmetický průměr
pořadová dala medián nominální dala modus
Aritmetický průměr, len umíme všichni vypočítal: prostě sečteme pozorované hodnoty a vydělíme je počtem sledovaných jedinců.
Medián je ta hodnota, která je právě v prostředku všech pozorování, která jsme seřadili podle jejich velikosti. Seřadíme třeba děti ve třídě podle velikosti a velikost dítěte, které je právě uprostřed řady, reprezentuje medián.
Modus je prostě kategorie s nejvyšší četností, Zjistíme-li třeba, že studenty mají nejčastěji modré očí, "modrá" bude modus.
A led se podívejme, zda opravdu platí to, co jsme si řekli o aplikovalelnosti různého typu statistik. Nominální měřítko, modus, by měl být a opravdu je aplikovatelný samozřejmě na nominální, ale i na pořadová data. Ale je aplikovatelný kupí. i jako charakteristika intervalové proměnné, jako kupř. počel dělí v rodině. Mohli bychom kupí. roztřídit rodiny v našem vzorku do kategorií podle počlu dětí. Kategorie, ve které jsme nalezli nejvyšší počet pozorování, t.zv. modálni kategorie, může být pak použita jako charakteristika dané populace.
Někdy může být dokonce výhodné použít statistiky nižší úrovně. Jsou totiž méně citlivé k extrémním hodnotám. Podívejte se znovu na tabulku 8.4. a sledujete data pro populaci B. Aritmetický průměr už známe, ale 8 není právě přesvědčivou reprezentací této populace. Jaký bude medián? Jedinec číslo tři je právě v prostředku, hodnota sledované proměnné se rovná nule. To je, alespoň intuitivně, lepší reprezentace vzorku. Mezi odpověďmi na naši otázku se nejčastěji objevuje nula. Tedy modus se rovná nule. Prostě, medián a modus nebyly ovlivněny atypicky vysokou hodnotou odpovědi jedince číslo 5. Jistě jste si všimli, že pro zcela homogenní populaci a ze stejné tabulky aritmetický průměr, medián a modus mají stejnou hodnotu: osm.
Nejčastěji je však výhodnější zvolil "nejvyšší" typ statistické operace z těch, které smíme použít; tyto operace prostě dovedou mnohem více, než operace "nižší". Už víme, že střední hodnoty charakterizují vzorek tím lépe, čím je tenlo vzorek homogennější. Pracujeme-li s intervalovými proměnnými, můžeme popsat homogenitu vzorku docela chytrým způsobem. Nabízí se nám tu dva koncepty: rozptyl (variabilita) a jeho mnohem rafinovanější příbuzná, směrodatná odchylka. Rozptyl nám poskytne informaci, jak se pozorování v průměru liší od průměru. Ale...
1911
Dr. Watson nás přerušuje:
Já už vím, jako to udělat: Nejdřív vypočítám aritmetický průměr, pro každého jedince odečtu pozorovanou hodnotu od toho průměru. Pak sečtu všechny ty odchylky dohromady a výsledek vydělím a dostanu...
A teď musíme přerušit my; "Nulu, pokaždé nulu, doktore!" Když hy průměr vypočítán správně, součet negativních odchylek musí být přesně stejně veliký, jako součet pozitivních odchylek. Ale s výjimkou jediného kroku mi) dr. Watson pravdu. Ukažme si led, jak se to skutečně dělá. Protože jsem vám slíbil, že nebudu používat (skoro) žádné vzorečky, budeme si prostě povídat, jak to uděláme:
Návod k výpočtu směrodatné odchylky (speciálně pro Dr. Watsona)
Co uděláme:	Co to znamená
1, Pozorovanou hodnotu pro každého jedince odečteme od vypočítaného průměru.	Vypočítali jsme soubor odchylek pro celý vzorek.
2. Odchylku vypočítanou pro každého jedince umocníme.	Negativní číslo násobené samo sebou ním dá vždy pozitivní hodnotu. Tím překonáme problém, na který narazil dr. Watson. Součet neumocněných odchylek by nám musel pokaždé dát nulu.
3. Umocněné odchylky sečteme	Součet představuje souhrnnou velikost (umocněných) odchylek.
m
4. Součet vydělíme počtem jedinců ve vzorku.	Často potřebujeme porovnat homogenitu souborů různé velikosti. Abychom kontrolovali rozdíly ve velikosti vzorků, vypočítáme, kolik z celkové sumy čtvercových odchylek připadá v průměru na každého jedince. Výsledek tohoto kroku je rozptyl, neboli variabilita sledovaného souboru.
5. Výsledek dělení odmocníme.	Rozptyl není měřen v jednotkách, ve kterých bylo pozorování prováděno, ale v mocninách těchto jednotek. Původně jsme pro každého jedince odchylky od průměru umocnili. Nyní kumulovaný průměrný výsledek opět odmocníme a dostaneme směrodatnou odchylku.
Cvičení 8.3.
Zkuste vypočítat rozptyl a směrodatnou odchylku pro populaci A a B z naší tabulky 8.4.
Směrodatná odchylka je svým způsobem magické číslo. Většina jevů v přírodě (bohužel ne tak docela automaticky ve Společenských védách) má tak zvané normální rozložení: Na stromě je nejméně hodně malých lístků. S přibývající velikostí stromových lístků jejich frekvence přirůstá a dosáhne maxima u listů střední velikosti. Když velikost lístků překročí průměrnou hodnotu, jejich četnost ubývá a opět, podobně jako tomu hylo s nejmenšími lístky, nejméně bude opět těch nejvělšTch stromových listů. Podobnou distribuci - i když. ne tak soustavně - objevíme i u řady sociálních jevů, jako výše příjmu, počet dětí v rodině, léta školního vzdělání atd. Můžeme si to snadno graficky znázornil. Na vodorovnou osu naneseme hodnoty, které může studovaná proměnná nabývat. Na kolmou osu pak naneseme množství případů (pozorování, jedinců) kteří mají danou hodnotu proměnné. Pak spojíme nalezené průsečíky křivkou. Máme-li hodně pozorování, dostaneme ladnou křivku zvonovitého tvaru.
[93
Má-li studovaná proměnná alespoň přibližně takové normální rozdělení, směrodatná odchylka může začít dělat své divy. Magické operace začínají asi takto. Nejdříve odečteme standardní odchylku od priiměru. Pak ji opět přičteme k průměru. Mezi těmito dvěma hodnotami bude vždycky přibližně 68% ze všech pozorování. Nezáleží na tom, má-li naše křivka tvar profilu hory Řípu, nebo je velice plochá, nebo ění příkře do výše ve formě jakéhosi ťalického symbolu, v rozsahu definovaném průměrem í směrodatná odchylka bude vždy 68% pozorování. Když od průměru odečteme a přičteme místo jedné směrodatné odchylky dvě, v rozmezí definovaném těmito novými hodnotami bude 95% pozorování.
A teď si asi říkáte "No, a co z toho?" Kupodivu hodně. Právě tato vlastnost směrodatné odchylky nám umožní dělat některá zajímavá kouzla. Přirozeně, směrodatná odchylka měří homogennost souboru. Umožní nám definoval, jak dobře vypočítaný průměr charakterizuje populaci. Nechá nás formulovat kupř. tvrzení tohoto typu: "Měsíční příjem osob našeho vzorku byl 1.480,- Kčs průměrně. Můžeme předpokládat, že průměrný příjem populace spadá s 959c pravděpodobností do oblasti mezi 1.410,- a 1.550,- Kčs." (Vzpomínáte? O podobných operacích jsme již hovořili v naší kapitole 5. v souvislosti s problémy výběrové chyby.) To je příklad důležité role, kterou směrodatná odchylka hraje pro definování statistické významnosti našich výsledků. Díky směrodatné odchylce jsme třeba schopni říci, že existuje jen pětiprocentní pravděpodobnost, že rozdíly v průměrné konzumaci alkoholu ve dvou zkoumaných skupinách jsou náhodné a že pro zbývajících 959? procent můžeme doufat, že rozdíly jsou skutečně funkcí nějaké vlastnosti (třeba pohlaví), podle kleré byly zkoumané osoby zatříděny do obou skupin.
Tolik tedy o zdánlivě tak jednoduché věci, jako je aritmetický průměr. Jednoduché, ale představující intervalovou statistickou operaci, a to nám umožní aplikoval na ní lakové účinné triky jako je měření rozptylu, nebo směrodatnou odchylku. Medián a modus nám to lak lehce neumožní.
V oblasti měření souvislostí jsou rozdíly mezi jednotlivými úrovněmi statistických operací jeslí markantnější. Právě z tohoto důvodu je výhodné používat měření na intervalové úrovni co nejčastěji a musíme o tom začít ve výzkumném procesu přemýšlel velmi brzy
Uveďme si alespoň jeden příklad. Jaká proměnná je "vzdělání"? Nominální, pořadová, nebo intervalová? Jediná odpověď kterou můžeme navrhnout, je: přijde na to, jak jsme vzdělání definovali v naší operační definici. Velice často je vzdělání popsáno v kategoriích jako "neukončené základní vzdělání", "ukončené základní vzdělání" atd. Tedy nejčastěji bude vzdělání patři mezi pořadové proměnné. Pro některé účely může být výhodná definice vzdělání jako nominální proměnné; kupř. když chceme studovat vliv určitého typu vzdělání na kariéru bývalých studentů: jak se srovnává deset let po dokončení školy pla.1 absolventů průmyslovky s platem absolventů gymnázia, platem absolventů techniky a - nedej Bože -s příjmem studentů s titulem bakaláře v sociologii. Svého času se mnohé doktorské práce studentů v USA zabývaly vlivem prestiže university na budoucí status studentů. Porovnávaly se kupř. platy absolventů nejpresiižnějších universit (Big Ten a Ivy League) s platy absolventů jiných univerzit. Mimochodem, časlo se ukázalo, že zjištěné rozdíly v platech mizí, konlrolujeme-li sociální status studentových rodičů. (Pamatujete si ještě koncept nepravé korelace?)
Hodláme-li použít proměnnou "vzdělání" jako element respondentova sociálního statusu (ale i pro mnohé jiné účely), měli bychom vážně uvažovat o takové operační definici vzdělání, která hy nám umožnila jednat se vzděláním jako s intervalovou proměnnou. Je lo jednoduché. Proč nepopsat vzdělání jako počel úspěšné dokončených lei formálního školního vzdělání? Pro účely mezinárodního srovnávání je to naprosto nezbytné. Čemu v našem vzdělávacím systému odpovídá absolvování "lycea" v Itálii? Čemu odpovídá dokončené středoškolské vzdělání získané v Kanadě? V Ontariu je to 12 nebo 13 let, ve většině jiných provincií 11 nebo 12 lei. (A jako hy situace nebyla již lak dost komplikovaná, toto středoškolské vzdělání je v Kanadě povinné.) Ale i pro každý jednoduchý docela domácí výzkum je velice výhodné míl vzdělání definováno v lelech. Zejména proto, že intervalové proměnné nám, mimo jiné, umožní odpověď na řadu docela zajímavých problémů, jako kupř. "Jak hy se typicky zvýšil příjem jedince v závislosti na faktu, že jeho vzdělání vzrostlo o jeden rok, ale všechny ostatní studované faktory, ovlivňující příjem by zůstaly nezměněny?" Nebo: "Co ovlivňuje dosaženou výši jedince více: jeho pohlaví, jeho věk, povolání jeho rodičů?" V naší deválé kapitole uvidíme, že to není tak jednoduché, a že na úrovni intervalového měření mohou mít tyto operace mnohem jednodušší a přehlednější logiku než obdobné operace na nominálních či ordinálních datech.
194
195