Kartografie pro geografy 2. přednáška Přednášející Ing. Václav Šafář, Ph.D. podzim 2017 Matematická kartografie Matematická kartografie a její úkoly Referenční plochy a tvar Země, geoid, sféroid, elipsoid a koule Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu a kouli Klasifikace kartografických zobrazení podle zkreslení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v ČR Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Země je „kulatá“ Mapy jsou „placaté“ Abychom mapy dobře vyrobili máme matematickou kartografii Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Základní úkol matematické kartografie je vyřešení způsobu zobrazení bodů a čar ze zakřiveného povrchu Země do roviny MK hledá matematický vztah mezi zeměpisnými souřadnicemi φ,λ na referenční ploše a pravoúhlými souřadnicemi x,y v zobrazovací rovině a to při co nejmenším zkreslení zobrazovaných objektů. Řeší‰ způsoby zobrazení referenčních ploch (koule, elipsoid) do roviny mapy a vysvětluje vlastnosti těchto zobrazení.‰ ‰ 3 2 baR 3 2 baR = φ,λ x,y Tvar Země je dán dvěma silami gravitací a rotací Země, geomorfologickými tvary Země, plasticitou materiálu tvořícím zemský plášť a nerovnoměrným rozložením materiálu v něm Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Geoid je fyzikální model povrchu Země při střední hladině světových oceánů. Je definován jako ekvipotenciální plocha vůči gravitaci, to jest plocha se stejnou úrovní tíhového potenciálu, na kterou je vektor tíhového zrychlení kolmý. Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Referenční vztažné plochy aproximující tvar Země - geoid, elipsoid, koule Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Referenční vztažné plochy aproximující tvar Země - geoid, elipsoid, koule Elipsoid Veličina Bessel 1841 Hayford 1910 Krasovskij 1940 1967 WGS-84 a 6 377 397 m 6 378 388 m 6 378 245 m 6 378 160 m 6 378 137 m b 6 356 079 m 6 356 912 m 6 356 863 m 6 356 744 m 6 356 752 m f 1 : 299,15 1 : 297,0 1 : 298,30 1 : 298,25 1 : 298,26 Další elipsoidy Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu a kouli Sférická zeměpisná šířka φ a sférická zem. délka λ Prostorové pravoúhlé souřadnice X,Y,Z bodu P Matematická kartografie a její úkoly Referen ní plochyč a tvar Zem ,ě geoid, sféroid, elipsoid a koule Sou adnicovéř soustavy na referen nímč elipsoidu a kouli Zkreslení kartografických zobrazení Ekvidistantní, ekvivalentní a konformní zobrazení Kartografická zobrazení v RČ Přechod z referenčního elipsoidu na kouli Nahrazení elipsoidu koulí o vhodném poloměru. S je střed referenční koule odvozené od elipsoidu. P0 je bod, kde se přesně ztotožňuje elipsoid a referenční koule. Poloměr se určí ze vztahu: 3 ba2 R 22   . 3 ba2 R 22   3 ba2 R 22   Nejčastěji se používá náhradní koule, která má stejný povrch jako elipsoid. Platí Poloměr koule je pak dán vztahem Transformace zeměpisných souřadnic na souřadnice kartografické. φ je zeměpisná šířka, λ je zeměpisná délka, K je kartografický pól. Vk představuje zeměpisnou délku kartografického pólu. Uk je zeměpisná šířka kartografického pólu. Transformační vztahy mezi zeměpisnými souřadnicemi φ, λ a kartografickými souřadnicemi Š, D při známých zeměpisných souřadnicích nového pólu K se odvozují z cosinové a sinové věty, v které platí pro sférický trojúhelník SKP. sin Š = sin φp sin φk + cos φp cosφk cos (λp – λk ) a Š D p cos cos sin   sin (λp – λk)D Při označení zeměpisných souřadnic bodu P, U2 Vp budou mít transformační rovnice tvar: Sin Š = SinUp SinUk + cosUp cosUk cos(Vp – Vk ) a D Délková zkreslení Základní vztahy a souvislosti délkové zkreslení s měřítkem mapy, elipsa zkreslení – Tissotova indikatrix A konečně Dvojznačnost tangenty …. Plošné zkreslení je poměr plochy elementárního obrazce v obraze a originále. Úhlové zkreslení je poměr plochy elementárního obrazce v obraze a originále. azimut A´ je úhel, který svírá libovolná křivka k na elipsoidu se severní větví poledníku, pak bude platit: kde tg mp a tg m jsou směrnice tečen obrazu poledníku p´ a křivky k´ a tedy: A po několika úpravách je výsledná hodnota úhlového zkreslení Kartografická zobrazení dělíme na: Ekvidistantní (délkojevná) zpravidla nezkresluje zeměpisné poledníky nebo zeměpisné rovnoběžky, případně kartografické poledníky nebo kartografické rovnoběžky Ekvivalentní (stejnoplochá) zachovává správou velikost ploch, zkresluje délky a poměrně značně úhly. Konformní (úhlojevná, stejnoúhlá) zobrazení nezkresluje úhly a zachovává tedy tvar zobrazených území na úkor zkreslení délek a velkého zkreslení ploch. Kompenzační zobrazení jsou zobrazení, které zkresluje vše - délky, plochy i úhly, ale tak, aby byly zmírněny hodnoty větších zkreslení, tedy jde např. o zobrazení blízká plochojevným zobrazením, na nichž jsou zmírněny hodnoty úhlového zkreslení, nebo o zobrazení blízká konformním zobrazením, kde je potlačeno na únosnou míru zkreslení ploch. Ekvivalentní zobrazení Konformní zobrazení Ekvidistantní zobrazení Další známá zobrazení:  Marinovo  Cassini-Solderovo  Obdélníková zobrazení se ným válcemč  Gauss-Krigerovo  Ptolemaiovo  Robinsonovo  Mercatorovo  A dalších asi 350 zobrazení – v praktickém použití asi 50 Křovákovo zobrazení  Jednotná trigonometrická síť katastrální.  Po odtržení od nenáviděného RakouskaUherska (systém Cassini-Soldnerovo) byla potřeba zavést nový souřadný systém pro katastr, mapová díla, ....  Veřejná soutěž.  Zvítězil Josef Křovák Křovákovo zobrazení  je dvojité konformní kuželové zobrazení v obecné poloze  Besselův elipsoid je konformně zobrazen na Gaussovu kouli (nebo též Gaussovým způsobem na kouli) a ta je konformně zobrazena na kuželovou plochu obecně položenou Shrnutí  Souřadný systém svázaný s Křovákovým zobrazením  Navržen v době první republiky pro mapy nejvyšší přesnosti  Kuželové zobrazení  Počátek souřadnic ve vrcholu kužele => záporné souřadnice  Prohozené osy x a y  Jednotky v m  Jednotkou mapy – základní triangulační list v měřítku 1:100000 Geometrická představa válcového příčného konformního zobrazení (Gauss-Krügerovo a Mercatorovo) Rozvinutí 6 stupňových pásů na povrch válce Odsunutí hodnot Y (osy X) o 500km západně Závěr - volba kartografického zobrazení Samotná volba kartografického zobrazení závisí na velikosti území, tvaru území, geografické poloze, obsahu a účelu mapy. Velikost území  s nar stající velikostí území se zv tšuje zkreslení v okrajových ástech, volí seů ě č jednoduchá zobrazení (azimutální nebo kuželová)  pro mapy Zem se používají nepravá nebo mnohokuželová zobrazeníě Tvar území  malé hodnoty zkreslení jsou dosaženy co nejblíže k dotykovým nebo se ným k ivkámč ř  pro okrouhlá území se azimutální zobrazení, pro protáhlá území jsou vhodn jšíě kuželová nebo válcová zobrazení Geografická poloha  co nejmenšího zkreslení se dosahuje na mapách malých území, pro která se volí jednoduchá zobrazení  rovníkové oblasti – válcová zobrazení v normální poloze  oblasti mírného pásu (zvlášt jsou-li rozložena podél rovnob žek) - kuželová zobrazeníě ě v normální poloze  obecn geografické mapy - vyrovnávací zobrazeníě  polární vrchlíky - azimutální zobrazení v normální poloze Obsah mapy  topografické a naviga ní mapy - úhlojevná zobrazení,č  automapy a dopravní mapy - délkojevná zobrazení,  kartogramy a mapy pro srovnání ploch - plochojevná zobrazení Účel mapy  tematické mapy podrobného mapování (náro né na zkreslení), požadovaného zkresleníč (úhly ploch, délky) se dosahuje dokonalým p imknutím zobrazovací plochyř k referen ní plošeč  mapy katastrální a topografické - jednoduchá úhlojevná zobrazení, kde o tvaru rozvinutelné zobrazovací plochy a její poloze rozhoduje tvar a rozsah zobrazovaného území a zobrazení po ástechč  p ehledné mapy - co nejmén zkreslený obraz referen ní plochyř ě č  atlasy a soubory tematických map - srovnatelné druhy zobrazení, nebo stejná zobrazení