MA2 cvičení – pokud mohu předjímat, že tyto věci se budou probírat (pokud ne, tak na to upozorním); materiály: a) Dula, Hájek: Mat. analýza cvičení – nekonečné řady … zákl. mat. b) Došlá Novák: Nekonečné řady – spíše pro přednášku c) strojarna01-06 … přednáška i cvičení, hutné, ale dobré … pozor, v souboru 03 v př. 2.8 je chyba – obr. 2.1 má mít grafy vzhledem k zadání posunuté o jednu jednotku nahoru – jinak vynikající materiál) Otázky musíte znát – některé i do cvičení, protože Vám pomohou s řadami pracovat. Otázka 1: Definice nekonečné číselné řady; definice součtu nekonečné číselné řady; řada konvergentní, divergentní, oscilující Otázka 2: Odvoďte vzorec pro výpočet součtu geometrické řady ) Otázka 3: Co říká nutná podmínka konvergence pro číselné řady? Respektive její logická obměna? Otázka 4: Kritéria konvergence pro řady s kladnými členy: a)srovnávací, b) limitní podílové, c) limitní odmocninové, d) integrální Poznámky ke cvičení 1 (odkazy do zákl. mat. Dula, Hájek): sc = soubor cvičení SC 01-a,b,g,h,i ... příklady na geometrickou řadu: a),b),g) … součet pomocí geometrické řady; h),i) … převod desetinného čísla na zlomek SC 02-a,f,g ... kejkle s částečným součtem, všechny tři doporučované příklady se řeší analogicky jako př.4 ve cvičení na str.10 (Dula, Hájek: MA cvičení nekonečné řady) - řešený příklad (násobením a odčítáním násobku rovnic pro částečný součet převádíme na geometrickou řadu) SC 03-a,b,c ... rozklad na parciální zlomky, pak v částečném součtu se některé zlomky odečtou a dostaneme výraz, jehož limitu dokážeme spočítat, analogický řešenému příkladu 6/str. 11 Poznámky ke cvičení 2: SC 04-a,b,c,d,e,f, 05-a,b, 06-f,j ... užití kritérií pro důkaz, zda řada konverguje nebo ne; prosím přidejte jim nějaký příklad řady, která nesplňuje nutnou podmínku konvergence, např. Došlá-Novák, str.11(pdf-strana 16), příklad 1.3 závěrem těchto tří SC by měli zhruba vědět, jaké kritérium použít podle tvaru členu á-ká, popřípadě nezapomenout na obměnu nutné podmínky konvergence (limita z n-tého členu je nenulová … z toho plyne, že řada konvergovat nemůže) Otázka 5: schopnost rozvinout řadu ze vzorce do prvních pěti členů VERSUS schopnost rozvinutou řadu zapsat vzorcem pro n-tý člen (příklady na procvičení: z SC 10, který je opakovací, zkuste zapsat vzorec pro n-tý člen u příkladů a,d,e. Otázka 6: Pro která p konverguje řada SUMA_(k=1)^nekonečno 1/(k na p)? Příklad provedený pomocí integrálního kritéria, řešení viz přednáška nebo sada strojarna02 (IS), příklad 1.10. Otázka 7: Leibnizovo kritérium konvergence pro alternující řady + příklad (Leibnizova řada) Otázka 8: Grandiho řada – příklad různých součtů při různém uzávorkování + Věta: kdy lze dvojice sousedních členů uzávorkovat, aniž je ovlivněn výsledek součtu řady? Otázka 9: Definice absolutní a neabsolutní konvergence číselné řady. - K čemu je absolutní konvergence dobrá? [odpověď: lze užít kritéria pro řady s kladnými členu bez ohledu na znaménko] - Uveďte příklad řady, která konverguje neabsolutně Otázka 10: komutativní zákon pro řady: - Pro které řady může nastat: přeházením pořadí členů lze získat různé součty? - Kdy lze přehazovat pořadí členů řady „beztrestně“, tj. dostáváme stále stejný součet? Otázka 11: kritéria pro odhad zbytku řady: a) odhad zbytku podle srovnávacího kritéria, b) podle integrálního kritéria, c) podle Leibnizova kritéria Poznámky ke cvičení 3: SC 07-a,b,d,f, SC 08-a,b,c,e, SC 10 … opakující soubor cvičení, příklady a,b,c,d,e,f,g,h,i (pozor, výsledek 10 f je jinak: řada konverguje podle podílového kritéria, limita vyjde menší než 1!!) Ve cvičení nebo v rámci přípravy na písemky lze udělat ještě příklady ze sady strojarna02 (viz IS), příklady 1.3, 1.16, 1.18, 1.19, 1.20, 1.22, 1.25, 1.26 Otázka 12: řady funkcí – definice součtu, definice oboru konvergence funkční řady Otázka 13: příklady součtů nekonečných řad … vzorce, které dostaneme z věty 1 (součtu geometrické řady) Otázka 14: Zjišťování oboru konvergence funkční řady pomocí limitního podílového nebo odmocninového kritéria: (použijeme kritérium podílové nebo limitní pro absolutní hodnotu funkce f[k](x), tj. a[k]=|f[k](x)|, vypočteme limitu pro k jdoucí do nekonečna, a tu položíme menší než jedna … vyřešením této nerovnice dostaneme ta x, která leží v oboru konvergence; PLUS krajní body intervalu konvergence musíme vyšetřit zvlášť, protože limitní kritérium pro hodnotu limity rovnu 1 neumí rozhodnout o konvergenci) Poznámky ke cvičení 4: nekonečné řady funkcí (soubory cvičení jsou znovu číslovány od čísla 1, k číslu jsou přidány další dvě nuly, aby bylo naznačeno že se jedná o soubor cvičení v hlubině textu, v jeho druhé půlce): soubor cvičení 0001/str.33 - určete obor konvergence, podílové kritérium ... b,c,f (krajní body vyšetřete zvlášť dosazením za x) soubor cvičení 0002/str.34 - určete obor konvergence, odmocninové kritérium ... b),d) (pozor u příkladu b) … i krajní bod (-4/3) patří do oboru konvergence, ve výsledku ve skriptech je chyba) nedělejte soubor cvičení 0003,0004 (ověření stejnoměrné konvergence, Weierstrassovo kritérium) Otázka 15: k čemu je dobrá integrace a derivace funkční řady člen po členu? Odpověď: Dostáváme vzorce pro další součty řad, které už nejsou geometrické … příkladem je určení hodnoty π (pí) integrací rozvoje + (viz cvičení v posledním týdnu) Otázka 16: a) co je to mocninná řada? Důležitá věta: mocninné řady ve vnitřních bodech svého oboru konvergence lze derivovat i integrovat člen po členu, přičemž integrovat určitým integrálem lze na každém uzavřeném podintervalu oboru konvergence Otázka 17: Rozvoj funkce do Taylorovy nebo Maclaurinovy nekonečné řady: a) vzorec pro Taylorovu řadu b) odvození Taylorovy řady známých funkcí e^x, sin x, cos x, ln (x+1) Otázka 18 (pouze na přednášce, na cvičení na ni asi nezbyde čas): Binomická řada (1+x)^(alfa)=... tato řada je speciální případ Taylorovy řady pro rozvoj funkce (1+x)^(alfa) a je užitečná pro rozvoj některých funkcí v nekonečnou řadu, a tedy např. pro výpočet přibližných hodnot těchto funkcí; objevuje se v SC 0006, příklad e, a v SC 0009, příklady a,b,c (nejprve teorie a řešené příklady na str. 52-53). musíte umět: vzorec binomické řady pro obecné alfa, pak se Vám snadno budou rozvíjet následující: odmocnina z (1+x) ... alfa = 1/2 odmocnina z (1-x) ... alfa = 1/2, subst. t=-x odmocnina z 1/(1+x) ... alfa = -1/2 odmocnina z 1/(1-x) ... alfa=-1/2, subst. t=-x odmocnina z 1/(1-x^2) ... alfa=-1/2, subst. t=-x^2 integrací předchozího řádku dostaneme rozvoj funkce arcsin x ... remember! Poznámky ke cvičení 5: - integrace a derivaci řad člen po členu (s využitím tvrzení že ve vnitřních bodech oboru konvergence mocninné řady lze integrovat nebo derivovat člen po členu): SC 0005-a,b,c, a také řešené příklady 07,08-str.38-39; SC 0006-a,d ... jen tyto dva příklady - Taylorova řada … SC 0007-a,b,c; 0008-b,c,f (pokud se Tayolorova řada neprocvičí, zůstává jen jako teoretická otázka na přednášce)