MA2BPCGE, CVIČENÍ Z GEOMETRIE
PODZIM 2018
Obsah
Pokyny a požadavky 1
1. Úvod 2
2. Polohové úlohy — afinní geometrie 2 Vyjadrení podprostoru 3 Vzájemné polohy 4 Příčky 4 Poloprostory a konvexní obaly 5
3. Měřičské úlohy — eukleidovská geometrie 5 Vzdálenost 5 Kolmost a odchylka 6 Obsahy a objemy 7
4. Transformační úlohy — zobrazení 8 Vyjádření zobrazení 8 Základní zobrazení 9 Skládání 10
5. Nápady 10
Pokyny a požadavky
K zápočtu bude třeba:
• aktivní spolupráce na cvičeních,
• aspoň 50% úspěšnost z každé písemky,
• samostatná domáci práce podle vlastního výběru.
Písemky budou dvě, termíny se upřesní na cvičeních (první zhruba v první půlce listopadu, druhá v posledním týdnu výuky). Opravné termíny se budou organizovat hromadně na konci semestru.
Samostatnou domácí prací se myslí stručné, ale srozumitelné písemné zpracování vybraného problému. Forma nehraje roli, obsah musí vyhovovat následujícím požadavkům:
• vybraný problém je ilustrován aspoň jedním konkrétním příkladem,
• v řešení je použit aspoň jeden postup, který překračuje školský rámec a využívá nástrojů tohoto kurzu, tj. vektorové algebry,
• text je srozumitelný každému interesovanému čtenáři s podobným vzděláním (zejména obsahuje víc českých slov než matematických a jiných symbolů),
• jsou uvedeny hlavní použité zdroje,
• sám autor je se svým výtvorem spokojen.
Date: 4. prosince 2018, V. Žádník.
1
Několik vhodných témat ke zpracování uvádíme v části 5.
1. ÚVOD
0. Uvažte situaci jako na obrázku:
A,..., H = vrcholy krychle, K,L,M = středy hran, přímka p = AF, rovina a = KLM.
Určete:
(a) průnik (resp. vzájemnou polohu) přímky p a roviny a,
(b) odchylku přímky p a roviny a, odchylku přímky p a nějaké hrany,
(c) vzdálenost bodu F od roviny a, vzdálenost jiného vrcholu krychle od přímky p apod.,
(d) těžiště trojúhelníku KLM, čtyřstěnu KLM F apod.,
(e) obsah trojúhelníku KLM, objem čtyřstěnu KLM F apod.,
(f) obrazy vrcholů vzhledem k souměrnosti podle roviny a, resp. podle přímky p,
(g) obrazy vrcholů vzhledem k takovému otáčení kolem přímky p, které je symetrií krychle (tzn. permutuje její vrcholy).
Poznámky:
• většinu těchto úloh umí nějak vyřešit každý, a to i na začátku semestu a bez nápovědy,
• řešení, a tedy i odpovědi, mohou být rozličné: ledacos umíme z loňska konstrukčně, mnohé lze spočítat bez souřadnic, něco o souřadnicovém počítání umíme ze SS, ...
• díky dost speciálnímu zadání lze hodně věcí uhodnout (a pak zdůvodnit),
• jak by fungovaly naše nápady pro obecnější zadání?
Výhled:
• předchozí úlohy chceme umět řešit obecně,
• základní pomůckou v tomto semestru bude lineární algebra:
o vektory a jejich lineární kombinace,
o soustavy lineárních rovnic,
o determinanty, skalární součin apod.
• překlad geometrie <~~> algebra zajišťuje volba souřadné soustavy:
o bod <~~> n-tice čísel, resp. systém n lin. nezávislých rovnic,
o přímka      n-tice čísel s jedním volným parametrem, resp. systém n — 1 lin. nezávislých
rovnic, o atp.
• mnoho nápadů nebude nezáviset na dimenzi n.
2. Polohové úlohy — afinní geometrie
Rozlišujeme body (= prvky afinního prostoru) a vektory (= prvky vektorového prostoru). Základní vztahy:
2
• dvojice bodů A, B určuje vektor A~É, také ozn. B — A,
• bod A a vektor u určuje koncový bod B, u = AĚ , také ozn. B = A + u,
• toto prirazení je kompatibilní se sčítaním vektorů: A~É + BÔ = AÔ.
Odtud pojem obecného afinního prostom A, jeho zaměření V = J.a dimenze dimA = dimX Vyjádření podprostoru.
První dvě úlohy slouží k procvičení překladu geometrie <~~> algebra.
1. V úloze 0 zvolte souřadnou soustavu a vyjádřete souřadnice všech relevantních bodů.
2. Řešte znovu úlohu 1 pro jinou volbu souřadné soustavy, porovnejte výsledky.
Pokud jste tak neučinili v rámci úlohy 1, zamyslete se, jak všelijak lze nahlížet pojem souřadné soustavy a odpovídajících souřadnic bodů.
Způsoby vyjádření podprostoru, se kterými budeme nejčastěji počítat, jsou dva.
3. Vzhledem k volbám z úlohy 1 vyjádřete přímku p, resp. rovinu a, a to:
(a) parametricky, tj. s několika volnými parametry,
(b) obecně, tj. jako řešení soustavy lin. rovnic.
Obecný afinní podprostor B C A je taková podmnožina, která je sama afinním prostorem. Afinní podprostor je vždy určen několika body, bodem a vektorovým podprostorem (v zaměření celého prostoru) nebo soustavou lin. rovnic.
4. Uvědomte si, že jeden a týž podprostor může být zadán mnoha a mnoha různými způsoby.
Určete, kolik nejméně a kolik nejvíce volných parametrů, příp. rovnic se může v řešení úlohy 1 vyskytovat.
Zobecněte pro obecný k-rozměrný podprostor v n-rozměrném afinním prostoru.
Zde si musíme všimnout vlivu lineární ne-/závislosti určujících vektorů, resp. rovnic. S tím souvisí obecná/speciální poloha určujících bodů.
5. Ve čtyřrozměrném afinním prostoru A jsou dány body pomocí souřadnic vzhledem k nějaké souřadné soustavě:1
A = [1,-1,0,2],   B = [4,1, 0,2],   C =[2,-1,1,1].
Rozhodněte zda jsou body A,B,C v obecné poloze. Určete dimenzi podprostoru B Q A určeného těmito body. Určete parametrické vyjádření tohoto podprostoru.
První nesamozřejmá úloha se týká rovnicového vyjádření podprostoru:
6. Určete rovnicové vyjádření podprostoru B Q A z předchozí úlohy, a to:
(a) přímo, tj. uhodnutím,
(b) systematicky, tj. pomocí řádkových/sloupcových úprav,
(c) ještě jinak, např. pomocí subdeterminantů matic.
[ Všechny nápady v této úloze jsou založeny na různých ekvivalentních vyjádřeních toho, že obecný bod X £ A je prvkem právě podprostoru B C A. ]
Opačná úloha, tedy určit parametrické vyjádření podprostoru z rovnicového, je triviální — stačí vyřešit danou soustavu rovnic. Jistá ostražitost je však na místě, nejčastěji se kupodivu chybuje u nej jednodušších zadání:
^Většina zadání je vztažena k nějaké souřadné soustavě, což nebudeme vždy důsledně opakovat.
3
7. Určete parametrické vyjádření podprostoru B čtyřrozměrného afinního prostoru A určeného soustavou rovnic
B={x1 = 1, x2 = 2}.
Vzájemné polohy.
Dosud jsme obcovali s jednotlivými afinními podprostory. Nyní studujeme vzájemné polohy dvou podprostoru.
8. V úloze 0 zvolte souřadnou soustavu a vyjádřete souřadnice všech relevantních bodů. Určete průnik (resp. vzájemnou polohu) přímky p a roviny a.
Zde samozřejmě čekáme jednobodový průnik p n a, tedy různoběžnost.
Kromě této možnosti by v trojrozměrném afinním prostoru mohlo ještě nastat:
maximální průnik pľ\a = p, tedy incidentnost, nebo prázdný průnik p n a = 0, tedy rovnoběžnost.
Na mimoběžnost není v této dimenzi dost místa...
9. V trojrozměrném afinním prostoru jsou dány přímky p = AB a q = CD, kde
A= [1,-3,4],   S = [3,-1,5],   C =[3,0,-1],   D= [3,1,2]. Určete vzájemnou polohu přímek p a q.
V tomto případě je mimoběžnost nejen možná, ale navíc generická (tj. nejobecnější a nejpravdě-podobnější) poloha.
10. Pozměňte zadání úlohy 9 tak, abyste vyčerpali všechny možné vzájemné polohy.
Nejpozději tady si uvědomujeme, že vzájemnou polohu podprostoru B a, C lze vždy jednoznačně určit podle společných bodů a společných vektorů, tedy podle průniku Bľ\C (prázdný/neprázdný, maximální/nemaximální) a průniku zaměření (maximální / nemaximální).
Obě tyto informace dolujeme naráz z jednoho počítání...
11. Ve čtyřrozměrném afinním prostoru jsou dány podprostory
B = {[-1, 7, 0, a] + r(l, 0, 0,1) + s(3, 0,1, 2) 11, s e R},    C = {x1 - 2x3 = 0, x3-x4 = -2}.
V závislosti na hodnotě a e M určete vzájemnou polohu podprostoru B a C. Pokud to půjde, popište všechny společné body a vektory B a C.
Příčky.
Dosud jsme obcovali s jednotlivými nebo s dvojicemi afinních podprostoru. Nyní přidáme další — příčky. Příčka dvou podprostoru je přímka, která je s oběma podprostory různoběžná.
I pro malé podprostory je příček obvykle velké množství. S jistými dodatečnými podmínkami může být příčka určena jednoznačně. Postupně budeme diskutovat několik takových podmínek...
12. V úloze O uvažte přímky AH a BC.
Určete takovou příčku těchto dvou přímek, která prochází středem krychle.
Bez názorné opory v krychli, řešme následující skupinu úloh:
13. V trojrozměrném afinním prostoru jsou dány přímky
p = {[t, 1, ŕ] I ŕ e R},   q= {[s,-í, -s]\se R}.
Ukažte, že přímky p a q jsou mimoběžné a popište nějak množinu všech jejich příček. Zamyslete se, jak by vypadala množina všech příček pro jiné vzájemné polohy přímek p a q.
14. Pro přímky z úlohy 13 určete příčku, která prochází bodem M = [—1,0, 0].
4
Zvídaví jedinci mohou nahradit bod M jiným bodem na přímce m = {[— 1, r, r] \ r e R} a zamyslet se nad nápadem 2 v části 5.
Jiná omezující podmínka:
15. Pro přímky z úlohy 13 určete příčku, která je rovnoběžná s vektorem w = (1,1,0).
Zvídaví jedinci mohou nahradit vektor w jiným vektorem z roviny uj = {xi — x2 = 0} a zamyslet se nad analogií nápadu 2 v části 5.
Další úlohy tohoto typu budeme řešit v části 3... Poloprostory a konvexní obaly.
Dosud jsme se zabývali celými afinními podprostory, nyní se podíváme na jejich části — poloprostory, úsečky, konvexní obaly apod.
16. V úloze O ukažte analyticky, že
(a) bod F leží v opačném poloprostoru vymezeném rovinou a než bod A,
(b) průsečík p Ha leží mezi body A a F,
(c) průsečík p ľ\a leží v těžišti trojúhelníku KLM,
(d) střed krychle neleží v konvexním obalu bodů K,L,M, F,
V podobných úlohách se báječně hodí tzv. barycentrické souřadnice bodu vzhledem k dané množině bodů — ty interpretujeme pomocí jakýchsi „vah"...
Bez názorné opory v krychli, řešte následující úlohu:
17. Ve čtyřrozměrném afinním prostoru jsou dány body
A = [1,-1,0,2],   S =[4,1,1,1],   C =[2,-1,1,3], D = [3, 0,1,2],    E = [5,1, 2, 2],    F = [4, —1, 0, 2]. Pokud je to možné, tak určete barycentrické souřadnice bodů D, E a F vzhledem ke trojici A, B, C. Rozhodněte, zda body D, E a F náleží konvexnímu obalu bodů A, B, C.
Zvídaví jedinci se mohou zamyslet nad tím, jaký (známý) útvar tvoří konvexní obal všech šesti bodů z předchozí úlohy...
3.  MĚŘIČSKÉ ÚLOHY — EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE
K měření potřebujeme metriku. Eukleidovská metrika je metrika kompatibilní s afinní strukturou. K jejímu popisu stačí skalární součin na zaměření: V x V —>• R.
Základní vlastnosti skalárního součinu jsou bi-lineárnost, symetričnost a pozitivní definitnost. Odtud velikost vektoru, kolmost a odchylka dvou vektorů, ...
Vzdálenost.
Vzdálenost dvou bodů je rovna velikosti odpovídajícího vektoru. Vzdálenost dvou podmnožin je rovna infimu všech možných vzdáleností mezi body z jedné a druhé podmnožiny.
Chceme umět měřit vzdálenosti lib. podprostorů — v tomto případě se vzdálenost vždy realizuje v nějaké dvojici bodů (tedy infimum = minimum).
Základní geometrická charakterizace pro, B e B a C e C, je tato:
\BC\ = min BÔ L B &B(^ _L C.
(Česky: úsečka BC je nejkratší příčkou podprostorů, právě když je k oběma kolmá.)
18. Ověřte, zda vaše volba v úloze 1 je kartézská.
Pokud náhodou není, zvolte kartézskou souřadnou soustavu a vyjádřete souřadnice všech relevantních bodů.
5
Uvědomte si, že volba měřítka odpovídá volbě velikosti hrany krychle...
19. V úloze 0 určete vzdálenost
(a) bodů \AC\, \AF\, \AL\ apod.,
(b) bodu A od přímky EH, G F apod.,
(c) bodu K od přímky AF,
(d) bodu F od roviny KLM,
(e) přímek AH a BC, AH a CF, AF a BG apod.,
(f) přímek AF a BC,
a to nejprve bez souřadnic, poté analyticky (vzhledem k volbám z úlohy 18).
Uvědomte si, že každou z předchozích úloh umíme řešit několika (mnoha) způsoby:
20. Řešte některou z předchozích úloh nějak jinak.
Dobře si rozmyslete, nakolik jsou jednotlivé nápady obecné/specifické.
Uvědomte si, že z (téměř jakéhokoli) výpočtu vzdálenosti dvou podprostorů lze vždy rozpoznat jejich vzájemnou polohu!
Bez názorné opory v krychli, řešte následující úlohu:
21. Ve čtyřrozměrném eukleidovském prostoru, vzhledem ke kartézské souřadné soustavě, jsou dány podprostory
B = {[1,2, 0, 0] + í(0, 0,1,1) | í G R}, C = {[-1,0, 2, 0] + r(-l, 0, 2,1) + s(í, 0, -1, 0)\r,se K}. Určete vzdálenost a vzájemnou polohu B a C.
Kolmost a odchylka.
Pomocí skalárního součinu umíme měřit odchylku dvou vektorů; speciálním případem je kolmost... Se zobecněním těchto pojmů pro obecné podprostory je trochu potíž, viz přednáška... Omezíme se jen na několik nevinných úloh.
22. V úloze O určete
(a) všechny možné podprostory, které jsou kolmé k přímce AF a prochází bodem K,
(b) všechny možné podprostory, které jsou kolmé k rovině KLM a prochází bodem F.
Nejpozději na tomto místě si musí každý uvědomit, že v rovnicovém vyjádření podprostorů jsou vidět souřadnice k němu kolmých vektorů (sr. s úlohou 3).
23. V úloze O určete odchylku
(a) přímek AF a FC, AF a BC, KM a KL apod.,
(b) přímky K F od roviny KLM,
(c) rovin ABC a KLM.
Odchylka přímky od lib. podprostorů je rovna odchylce směrového vektoru přímku od jeho kolmého průmětu do onoho podprostorů.
Pokud jste to tak v některé z předchozích úloh neudělali, rozhodně zkuste např.:
24. V úloze O určete kolmý průmět vektoru KF do zaměření roviny KLM.
Mnoho nezávisle formulovaných úloh spolu úzce souvisí, což by nikdo neměl přehlížet! Viz např. následující postřeh:
25. Ozn. if = odchylku přímky KF od roviny KLM a v = vzdálenost bodu F od roviny KLM. Ukažte, že v = \KF\ ■ simp.
6
Obsahy a objemy.
Z algebry si pamatujeme, že obsahy rovnoběžníků, resp. objemy rovnoběžnostěnů nějak souvisí s determinanty. Tento poznatek si osvěžíme a dále rozvineme...
Vzhledem k předchozímu však nemůžeme začít jinak než
26. V úloze 0 určete
(a) obsah trojúhelníku KLM,
(b) objem čtyřstěnu KLMF,
a odtud vzdálenost bodu F od roviny KLM. Nyní jeden výchovný příklad v rovině:
27. Vzhledem ke kartézské souřadné soustavě jsou dány vektory
v! = (3,3),   v2 = (7,l). Určete obsah rovnoběžníku určeného těmito vektory, a to
(a) zcela elementárně (počítáním čtverečků),
(b) pomocí vhodných transformací (např. na obdélník se stranami ve směrech souřadných os),
(c) pomocí determinantu (vnějšího součinu),
(d) pomocí výšky na některou ze stran,
(e) pomocí odchylky vektorů u a v (a odtud výšky ...),
(f) pomocí determinantu (Gramová).
Navazující příklad v prostoru:
28. Vzhledem ke kartézské souřadné soustavě jsou dány vektory
V! = (3,3,0),    v2 = (7,l,0),    v3 = (-l,l,2).
Určete
(a) obsah rovnoběžníku určeného vektory vi, v2,
(b) obsah rovnoběžnostěnu určeného vektory vi, v2 a v3.
Dobře si rozmyslete, které nápady z úlohy 27 jsou použitelné, které nikoli a zda nemáme nějaké další.
Cestou si připomínáme několik sympatických algebraických zobrazení:
• vnější součin = determinant chápaný jako V x ... x y —>• R,
n
• vektorový součin: V x ... x V ^ V,
n-l
kde n = dim V, všechno je antisymetrické, lineární ve všech složkách, ...
Všimněte si, že ve vyjádřeních vektoru výšky znovu vidíme kolmý průmět...
Po této masáži se můžeme vrátit k úloze 26 a ověřit výsledek mnoha různými způsoby...
Na závěr jeden příklad ve vícrozměrném prostoru:
29. Vzhledem ke kartézské souřadné soustavě jsou dány vektory
v1 = (3,3,0,0),   v2 = (7,0,l,0),   v3 = (0,-1,1,2), body B = [2,1, 0, -3], C = B + v3 a podprostory B = {B + ŕvi 11 e R}, C = {C + sv2 | s e R}. Dokažte, že umíte z jedné vody vyřešit následující úlohy:
(a) ukažte, že podprostory B a C jsou mimoběžné,
(b) určete vzdálenost B a C,
(c) ukažte, že podprostor B + C je nadrovina,
(d) určete rovnicové vyjádření nadroviny B + C.
7
[ Vektorový součin vi x V2 x V3 se může hodit ... ]
4. Transformační úlohy — zobrazení
Chceme analyticky pokrýt shodná, podobná, (ekvi-)afinní a projektivní zobrazení, o nichž víme vše podstatné z minulého semestru. Základní úkoly jsou v podstatě jenom tři:
• pro dané geometrické zobrazení najít odpovídající souřadnicové vyjádření,
• pro dané souřadnicové vyjádření najít odpovídající geometrické zobrazení,
• mezi všemi možnými zobrazeními bezpečně rozpoznat ta základní.
Vyjádření zobrazení.
Nemůžeme si pomoct a musíme zase začít s krychlí:
30. V úloze 0
(a) rozhodněte, zda jsou body B a G souměrné podle přímky p,
(b) určete bod souměrný s B (příp. s dalšími vrcholy krychle) podle přímky p,
a to nejprve bez souřadnic, poté analyticky (vzhledem k volbám z úlohy 18).
Z řešení (b) uvíme vyvodit řešení (a), řešení (a) je snazší. Řešení (a) i (b) umíme vyvodit z řešení následující obecné úlohy:
31. V úloze 0 určete souměrný obraz obecného bodu podle přímky p, tj. popište tuto souměrnost jakožto zobrazení celého prostoru (vzhledem k volbám z úlohy 18).
V tomto případě stačí (vzhledem k řešení úlohy 30(b) (a několika málo užitečným poznatkům!)) doplnit jenom pár věcí...
Obecně:
• souměrnost podle přímky je shodnost, a tedy afinní zobrazení,
• afinní zobrazení v prostoru dimenze 3 je zcela určeno obrazy 4 bodů v obecné poloze,
• dosazení 4 odpovídajících si dvojic bodů do obecného analytického vyjádření vede k soustavě 4 • 3 = 12 lineárních rovnic a 3 - 3 + 3 = 12 neznámých,
• která má jednoznačné řešení, ...
Ve vhodné souřadné soustavě může být souřadnicové vyjádření obzvlášť snadné:
32. Ukažte, že ve vhodné souřadné soustavě lze zobrazení z úlohy 31 vyjádřit takto:
x = x,    y = —y,    z' = —z. Určete alespoň milión takových souřadných soustav.
Maticový zápis předchozího vyjádření vypadá takto:
33. V úloze 0 uvažte souřadnou soustavu s počátkem v bodě d a bázovými vektory ei = \dá, e2 = \dČ a e3 = \dÓ. Vzhledem k této souřadné soustavě uvažte zobrazení zadané předpisem
Ukažte, že toto zobrazení je souměrností podle přímky p = AH.
34. Uvědomte si, že souřadná soustava v úloze 33 je kartézská a řešte zbytek úlohy bez nápovědy. Tzn. z daného vyjádření
(a) rozpoznejte typ zobrazení (tj. shodné/podobné/(ekvi-) afinní/projektivní),
(b) rozhodněte, zdaje regulární/singulární,
(c) rozhodněte, zda je přímé/nepřímé,
(d) určete všechny samodružné body a směry,
(e) určete druh zobrazení (tj. souměrnost, otáčení, stejnolehlost apod.). Na rozloučenou s krychlí:
35. Vzhledem k souřadné soustavě jako v úloze 33 jsou dány tři zobrazení pomocí rozšířených
	0	0	°\		0	0	°\		0	0	°\
3	0	0	-1	3	0	0	-1	0	1	0	0
3	-1	0	0 '	0	0	1	0 '	0	0	0	-1
V°	0	1	0/	V°	1	0	0/	\3	0	-1	0/
Ukažte, že každé z těchto zobrazení je symetrií krychle a určete která.
Zvídaví jedinci si hned spočítají, kolik je všech symetrií krychle a jakých jsou druhů... Abychom vyčerpali všechny slibované typy zobrazení, doplňujeme ještě pár úloh v rovině: 36. Vzhledem ke kartézské souřadné soustavě jsou dány body
A= [0,0],	B	= [2,0],	C* =	= [0,2],	D =	[2,2]
a jejich obrazy						
(a) A' = [6,2],	B'	= [9,2],	C	= [7,4],	D'	= [9,3],
(b) A1 = [6,2],	B'	= [9,2],	c	= [7,4],	D'	= [10,4],
(c) A1 = [9,4],	B'	= [9,1],	c	= [6,4],	D'	= [6,1],
(d) A1 = [9,4],	B'	= [9,2],	c	= [7,4],	D'	= [7,2].
Pro každý z těchto případů určete analytické vyjádření odpovídající projektivní transformace a řešte všechny podúlohy v 34-
Uvědomte si, že v rovině si vše snadno znázorníte, odkud téměř vše snadno odhalíte.2 Všechny výpočty je proto vhodné konfrontovat s příslušným znázorněním...
Základní zobrazení.
Základní je takové zobrazení, které má nadrovinu samodružných bodů (tzv. nadosu).
Zobecněná Desarguesova věta nás poučuje, že projektivní zobrazení má nadosu, právě když má střed. Jak nadosa, tak střed mohou být jak vlastní, tak nevlastní.
Základní zobrazení může být jak regulární (např. stejnolehlost), tak singulární (např. promítání do menšího podprostoru).
37. Mezi zobrazeními z předchozích úloh vyberte všechna základní, pojmenujte je a popište jejich určující prvky.
Podle typu zadání tento úkol řešíme geometricky (bez počítání) nebo algebraicky. O základnosti zobrazení rozhoduje, zda má dost samodružných prvků. V této souvislosti si uvědomte, že samodružné směry ukazují na samodružné body v nekonečnu...
38. V úloze O rozhodněte zda existuje základní zobrazení, které je symetrií krychle a zobrazuje vrchol F na vrchol A (resp. B, C, ...). Pokud ano, pojmenujte je a popište jeho určující prvky.
V této úloze nutně pátráme mezi shodnými zobrazeními.
Pro kterýkoli z dalších typů můžeme řešit následující úlohu, kde — na rozdíl od předchozí situace — máme obrovskou volnost:
2aplikace na následujícím odkazu může pomoct: https://ggbm.at/WpijCH4E
9
39. V úloze O určete alespoň milión základních zobrazení, která zobrazují vrchol F na vrchol A. Z obdobných důvodů jako výše zmiňujeme ještě pár úloh v rovině:
40. Pozměňte body v každé podúloze 36 tak, aby odpovídající transformace byla stejného typu a současně byla základní.
Nezapomeňte, že o základních zobrazeních v rovině víme úplně všechno (včetně konstrukcí a mnoha aplikací)...3
Skládání.
Skládání projektivních zobrazení odpovídá násobení jim příslušných matic.
41. Uvažte všemožné složeniny symetrií krychle v úloze 35 a určete druhy nově vzniklých symetrií. Ještě několik jednoduchých zobrazení v rovině (vesměs posbíraných z různých písemek):
42. V eukleidovské rovině, vzhledem ke kartézské souřadné soustavě, jsou dána následující zobrazení:
(a) osová souměrnost podle osy určené body A = [0, —2] a B = [2, 0],
(b) posunutí o vektor v = AB,
(c) otáčení kolem bodu C = [0,2] o 90° v kladném směru,
(d) stejnolehlost se středem v bodě D = [—2,0] a koeficientem k = —2,
(e) osová afinita s osou určenou body C a D, směrem w = CA a modulem m = +|,
(f) středové promítání ze středu C do přímky BD.
Uvažte všemožné složeniny těchto zobrazení a určete druhy nově vzniklých zobrazení.
Skládáním základních zobrazení jistého typu umíme vyjádřit jakékoli zobrazení tohoto typu. (To je taky důvod, proč se základním zobrazením říká právě tak.)
43. Nezákladní zobrazení v úloze 1^2 (resp. 36) vyjádřete pomocí základních zobrazení. Ještě jedna krychle na rozloučenou:
44. Nezákladní symetrie krychle v úloze 35 vyjádřete pomocí základních symetrií. No a to je zhruba všechno...
5. NÁPADY
Tady uvádíme pro inspiraci několik možných a osvědčených témat k samostatné domácí práci:
1. Diskutujte změnu analytického vyjádření vzhledem ke zvolené souřadné soustavě (viz např. cvičení 5.2)}
2. Určete všechny společné příčky tří navzájem mimoběžných přímek. Představte, příp. znázorněte přímkovou plochu určenou těmito příčkami (viz např. úlohu H).
3. Řešte jednu úlohu několika různými způsoby, porovnejte výsledky, diskutujte možnosti a výhody/nevýhody toho kterého postupu (viz např. vzdálenosti podprostorů, objemy mnohostěnů apod.).
4. Řešte některou z úloh zmiňovaných na přednášce, na něž se však na cvičení nedostalo (viz např. odchylku obecných podprostorů).
5. Řešte některou ze standardních úloh v homogenních souřadnicích a porovnejte s odpovídajícím řešením v souřadnicích afinních (viz např. vzájemné polohy podprostorů).
3viz též https://ggbm.at/az7e9qsC
4odkaz míří do osnovy k přednášce, http://is.muni.cz/el/1441/podzim2018/MA2BP_PGE/um/osnova.pdf
10
6. Srovnejte elementární a algebraický přístup k nějakému klasickému geometrickému tvrzení nebo problému (viz např. Thaletova věta, střed kružnice vepsané apod.)}
7. Srovnejte konstrukční a početní řešení nějaké stereometrické úlohy (viz např. úvodní úlohu O).
8. Srovnejte konstrukční a početní řešení nějaké transformační úlohy (viz např. skládání základních transformací, obraz pravidelného mnohoúhelníku apod.).
9. A tak dále a tak podobně...
6užitečným zdrojem může být http://is.muni.cz/th/13813/prif_d/dizerJE.pdf
11