MA2BPPGE, 2. ledna 2019
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A= [1,2,5],   B= [1,-1,-1],   C= [3,1,7],   D= [-1,3,3].
+ Dokažte, že body A,B,C jsou v obecné poloze, avšak body A,B,C,D nikoli. + Rozhodněte, zda jsou body C a, D souměrné podle přímky AB. + Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a ABD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[l,l,-l,2] + r(l,0,0,l)+a(0,1,0,-1) | r, s e R},
C = {[xi,x2,x3,x4] | 2xi - x3 = 3, 2x2 - x3 = -1, x4 = 4}.
+ Určete vzájemnou polohu B a, C. + Určete odchylku B a, C.
3. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (2,0,-1,0),   v2 = (0,2,-l,0),   v3 = (0,0,0,l). + Určete vektorový součin vi x v2 x v3 a ukažte, že tento vektor je kolmý k vi, v2 a v3.
4. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy bodů
[1,1][0,5],    [-1,1] ^ [-4,5],    [-1,-1] ->[-4,l],    [1,-1] ->[0,1].
+ Dokažte, že tato transformace je podobná, a určete obraz obecného bodu [x\, x2]. + Určete samodružné body, resp. směry transformace a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... mnohostěnu, který není pravidelný a přitom má aspoň 2 stěny shodné.
+ ... dvou netriviálních podprostorů, které mají vzdálenost 3.
+ ... neidentické transformace, která má aspoň 4 různé samodružné body.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... obecné středové promítání mezi dvěma podprostory není afinní.