MA2BPPGE, 10. ledna 2019
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[1,-4,-5],   S =[-5,4,-5],   C =[-5,4,5],   D = [1,-4,5],   E = [6, 6, 0].
+ Dokážte, že body A, B, C, D leží v jedné rovině a že žádná trojice těchto bodů neleží na přímce. + Určete vzdálenost bodu E od roviny ABCD.
+ Určete souřadnice bodu F, který je souměrný s bodem E podle roviny ABCD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[x1,x2,x3,x4] | xi - 2x4 = 3},
C = {[1,2,0,-1] +í(l, 0,-1,0) +a(0,1,1,-1) +r(0,1,1,0) \t,r,se K}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete odchylku podprostorů B a,C.
3. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (1,0,0,3),   v2 = (0,0,-1,1),   v3 = (1,0,2,1). + Určete vektorový součin vi x v2 x v3 a uveďte nějaký příklad jeho užití.
4. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y\    [y + 4, -x].
+ Dokažte, že tato transformace je shodná a určete všechny její samodružné body a směry. + Určete druh a určující prvky této transformace.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... nepravidelného mnohostěnu s objemem 5.
+ ... dvou podprostorů, které jsou mimoběžné a současně kolmé.
+ ... podobného zobrazení s přímkou samodružných bodů.
6. Dokažte, že...
+ ... vektorový součin je nulový právě tehdy, když určující vektory jsou lineárně závislé. + ... nadrovina v afinním prostoru nemůže být mimoběžná s žádným podprostorem.