MA2BPPGE, 22. ledna 2019
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[-1,1, 3],   S =[2,1,7],   C =[2, 6, 7],   H = [3,6,0].
+ Určete souřadnice bodů D,E,F,G tak, aby všechny tyto body tvořily vrcholy rovnoběžnostěnu
s podstavami ABCD a EFGH. + Určete odchylku úhlopříčky BH od podstavy ABCD. + Určete objem čtyřstěnu ABCH.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[l,l,2,4]+í(l,l,0,0) | tel},
C = {[3,4,0,3] + si(0,l,0,l) + s2(l,0,0,0) | si,s2€R}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (3,0,4),   v2 = (3,5,4). + Určete vektorový součin vi x v2 a ukažte, že platí
||vi x v2||2 = ||Vi H2 • ||v2||2 - (vi . v2)2.
4. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y] ^[2x-y-2, -x + 2y + 2].
+ Určete typ transformace (projektivní/afinní/ekviafinní/podobná/shodná).
+ Určete samodružné body, resp. směry a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... čtyřúhelníku KLMN, jehož těžiště leží uvnitř trojúhelníku KLM. + ... dvou podprostorů s netriviálním průnikem a odchylkou 45°. + ... středového promítání mezi dvěma podprostory, které je afinní.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... každé podobné zobrazení je prosté (injektivní).