MA2BPPGE, 25. ledna 2019
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A= [2,-1,1],   B= [2,1,2],   C= [1,2,3],   D= [3,0,7], £=[-1,4,-1].
+ Dokažte, že body A, B, C tvoří rovinu a že body D,E v této rovině neleží.
+ Určete odchylku rovin ABC a ABD.
+ Určete poměr objemů mnohostěnů ABCD a ABCE.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {x2 — 2x4 = 2, x2 + xs — 2x4 = 2}, C = {[3,9,l,l]+í(3,2,0,l) | teR}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u= (2,1,0),   v =(1,1,-1), w=(2,-4,-2). + Určete vektorový součin u x v, vnější součin [u, v, w] a ukažte, že platí
||u x v|| • ||w|| = ±[u,v,w].
4. Transformace v rovině je dána předpisem
[x,y] >->• [-y-4, -x-2].
+ Dokažte, že tato transformace je shodná a určete její samodružné body, resp. směry. + Určete druh a určující prvky této transformace.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... nepravidelného mnohoúhelníku, který je souměrný podle některé své úhlopříčky. + ... dvou podprostorů, které jsou kolmé a mají společný směr. + ... podobného zobrazení, které nemá žádný samodružný bod.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí právě tehdy, když vektor w je kolmý k u a v. + ... každé ekviafmní zobrazení je prosté (injektivní).