MA2BPPGE, 31. ledna 2019
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 39 bodů.
1. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[-2,0,6],   S =[8,0,6],   C = [8,6,-2],   D = [—2,6, —2],   E = [3, —5, —4]. + Dokážte, že ABC DE je pravidelný čtyřboký jehlan.
+ Určete odchylku některé hrany jehlanu procházející vrcholem od jeho podstavy. + Určete souřadnice bodu F, který je souměrný s bodem E podle roviny ABCD.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[-l,l,-4,l]+í(l,l,2,0) | tel},
C = {[xi, x2, x3, x4] | 2xi — x3 = 5, xi — x2 — 2x4 = — 10, 2x2 — x3 + x4 = 22}.
+ Určete vzdálenost B a,C.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C.
3. Ve dvourozměrném prostoru jsou dány vektory
u =(3,2),   v =(2,-1). + Určete vnější součin [u, v], odchylku a = <(u, v) a ukažte, že platí
[u, v] = ||u|| • ||v|| • sin a.
4. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy bodů
[0,1][-3,4],    [0,-1] ^ [-1,0],    [-1,0][-4,3],    [1,0] ^ [0,1].
+ Dokažte, že tato transformace je afinní, a určete obraz obecného bodu [xi,x2].
+ Určete samodružné body, resp. směry a rozhodněte, zda je tato transformace základní.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní příklad...
+ ... nepravidelného mnohoúhelníku, jehož těžiště splývá s počátkem souřadné soustavy.
+ ... dvou mimoběžných podprostorů, které mají společný směr.
+ ... středového promítání mezi dvěma podprostory, které je podobné.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... pokud má afinní transformace (vlastní) samodružné body, potom všechny tyto body tvoří afinní podprostor.