A. Ve 4-rozměrném afinním prostoru jsou dány podprostory
& = {[1,1,0,0]+ fi (2, a,1,1) + fe(0,1, -2,1) | tu fe eR], C = {*í + 2x2 = 2, x2 - x3 - x4 = 1 }.
Chceme zjistit jejich vzájemnou polohu, a to v závislosti na hodnotě a e R.
Vzájemnou polohu lze vždy jednoznačně určit podle společných bodů a vektorů:
	~B n C = max	~BcvC ± max
	incidentní	různoběžné
^nC = 0	rovnoběžné	mimoběžné
Vzhledem k tomu, že oba podprostory jsou dvourozměrné, je maximální možná dimenze průniku rovna 2.
Společné body íBnC odpovídají řešení soustavy 2 lin. rovnic o 2 neznámých:
(1 + 2*0 + 2(1 +aři + r2) = 2 (1 +aři +ř2)-(ři -2ř2)-(ři + r2) = 1
(2a + 2)U + 2ř2 = -1)      í (2a + 2)U + 2ř2 = -1 (a-2)ŕ1+2fc = 0 J     { (a + 4)ři =-1
Odtud je vidět, že
soustava má řešení        a ^ -4, a v takovém případě je řešení jednoznačné, tedy SnC — bod.
Společné vektory !B n C odpovídají řešení homogenizované soustavy:
(2*0 + 2(3*1 + r2) = Oj | (23 + 2)*! +2ř2 =0
(aři + fe) - (*i - 2ř2) - (*! + ř2) = 0 J ~ "' ~ j (a + 4)*!        = 0
Odtud je vidět, že
soustava má netriviální řešení <^^> a = -4, a v takovém případě má S n C dimenzi 1.
Celkem tak dostáváme:
• pro a = -4je£nC = 0adim(£nC) = 1,
tedy SaC jsou mimoběžné (a mají společný směr),
• pro a ± -4 je Sn C = bod a~S nC = {o},
tedy SaC jsou různoběžné (a mají společný bod).
Pro úplnost můžeme dořešit odpovídající soustavy:
• pro a = -4 odpovídán n C řešení t2 = 3U, kde U = lib.,
tedy společný směr je generován vektorem (2, -1, -5,4),
• pro a ^ -4 odpovídá íBnC řešení ^ = --J-r a f2 = "2
tedy společný bod jest [§±§,     . ^±1.
a+4      ^      2a+8' a+6   -a+1    a-4 ] 2a+8 ' a+4 ' 2a+8 J"
B. Předpokládejme, že oba podprostory jsou dány parametricky,
S = {[1,1,0,0] + ři(2,a,1,1) + fe(0,1,-2,1)|ř1,fe gR),
C = {[2,0,0,-1] + S!(-2,1,0,1) + $2(0,0,1,-1) |si,s2 e r).
Myšlenky jsou stejné, akorát technické provedení se různí...
Společné body !BnC odpovídají řešení soustavy 4 lin. rovnic o 4 neznámých:
1 +2ři 1 + aři + ř2 ři - 2ř2 ři +ř2
2-2si
Si
s2
-1 +Si
- s2
2ři       +2S! = 1
aři + ř2 - Si = -1
ři -2ř2 - s2 = 0
ři + ř2 - Si + s2 = -1
(a + 4)ř!
(a-2)ř! +2ř2
2ři -Í2
ři +ř2
Si
Si + s2
-r o
-i -i
Odtud je vidět, že
soustava má řešení <^^> a ^ -4, a v takovém případě je řešení jednoznačné, tedy íBnC = bod.
Společné vektory É n C odpovídají řešení homogenizované soustavy:
'(a + 4)f! = (T
(a-2)ři +2ŕ2 = 0
2ři  - ř2 - Si =0
ři + - si + % = 0
Odtud je vidět, že
soustava má netriviální řešení <^^> a = -4, a v takovém případě rr\á~S n~C dimenzi 1.
Závěry jsou samozřejmě stejné jako na str. 3.
Pro úplnost můžeme dořešit odpovídající soustavy:
K vyjádření průniku SnC, resp. průniku zaměření^? cvC můžeme dojít dvojím způsobem, a to buď dosazením ři a ř2 do parametrického vyjádření OB, nebo dosazením Si a s2 do C.
V obou případech dostaneme totéž, což navíc bude souhlasit s výsledky uvedenými výše...
C. Předpokládejme, že oba podprostory jsou dány rovnicově,
S = {3*1 - 2x3 - 4x4 = 3, (a - 1 )^ - 2x2 + 2x4 = a - 3}, C = {*i + 2x2 = 2, x2 - x3 - x4 = 1 }.
Myšlenky jsou pořád stejné, akorát technické provedení se různí...
Společné body !BnC odpovídají řešení soustavy 4 lin. rovnic o 4 neznámých:
3*1 -2x3 -4x4 3
(a - 1 )xí -2x2        +2x4 = a - 3 xi +2x2 - 2
X2 - x3   - x4 = 1
(a + 4)xi = a - 2 1
Xi +2x2 = 2
(a-1)xi -2x3 =a-1
*2 - x3 - x4 = 1
Odtud je vidět, že
soustava má řešení <^^> a ^ -4, a v takovém případě je řešení jednoznačné, tedy íBnC = bod.
Společné vektory !B n C odpovídají řešení homogenizované soustavy:
f (a + 4)x! (a - 1 )xí -2x3
X2   — X3 — X4
0" 0
o o
Odtud je vidět, že
soustava má netriviální řešení <^^> a = -4,
a v takovém případě má^nC dimenzi 1
Závěry jsou samozřejmě stejné jako na str. 3.
Pro úplnost můžeme dořešit odpovídající soustavy:
Vyjádření průniku SnC, resp. průniku zaměření $ n~C bude souhlasit s výsledky uvedenými výše...