•  hltd*™*- CL08A ť/s t nifl/fňvr? tfHpié* jj- .*
IT^TT-     '   t*/^' OTT—ľ~ í—g   STA-t-lófAG-fx   B o off)  s   r-f /~4*vi '" 5»   í Al t^J?
..... ^7
■ ■
u ti m fcii
U??
- i/íy - "2. i/T
A o r /hť, fK
i —>
ttnlľ 11*11
H>—N
vT
^h^/z   Vi o r < c < 4 ■
Opakování
Rovnoběžníky se stejnými základnami a stejnými výSkami mají stejný obsah.
4        f D F
- Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výSkami mají stejný objem.
*H Opakování
Fomér obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stajný Jako pomér déiek jejich základen.
Poměr objemů rovnoběžnostěnli se stejnou výákou |e stejný }aKo poměr obsahů jejich základen.
rPř—
o3. Opakování
jr i/ i o * * c lääjfŕ
i
Odljd:
kde S — obsah rovnoběžníku, b = velikost strany, v = velikost odp. výsky, kde ^ — objem rovnoběžnostěnu. S   obsah stěny, w = velikost odp. výfiky.
Obecne pomoc f vektoru
Objem rovnobežrroslenu určeného vektory v^, Va,.., je nezáporné r&átné čľslo, ozn. V(v! r v£ŕ...) i takové, že
* V(v1lví)i=V(iř1rwr) = |tvJ|| ||*fe||s^ 7 kde wa - kolmý průmět vektoru vj do
krie w3 = koímý průmět vektoru v3 do <vt, v;)*.
* atd...
1« »4
Počítáni
- Pra k - 2 např.
7>
V(vt,va> = llv, ||. liv^lť sln~^>
7
káei* = <(vi,va).....„
Pro obecné fc napr: ^
- podle definice, tj. pomoci Kolméhg.j^úmětu,
- podle vlastností, tj. pomocí determinantu, vektorového součinu, apod, r,. &
(naučíme) f
11 MAQ*± Cl t *'
Vlastnosti obsahu/objemu se nápadné podoba]ľ vlastnostem determinantu:
---*-v   — Q
—t
ta*
o
V(vl.va)=V(w1.iíz) + V^,gv1) =
—í^v
-o
Determinant
v P A \C o y A V 1
Determinant chápeme buď   Mat(n xn)-fR
Definice.........1
nebo
R,  kde V - Rn.
Vlastnosti rákladní: * anti-symetrické
det{vi. v2, <..) = -detív^Vi,...)
lineární
í IoíCa'cĺ^     det(v1,vřH-we,r,.) = dei(vi,v2,...) + důt{v,,wa,J.
Vlastnosti odvozené:
det^,*^..) = 0 í=> Vt,vř,... jsou lineárne závisia
'viz a:cfflbra (Dlí)
--1
Vnější součin
det:      - ■ x V —* R závisí na sou rad ni co vém vyjádření vektoru, tj. na zvolené bázi., .s
Pro orlonormáJní báze je výsadek tentýž;
Vnějšfrn součinem n-tice vektorů {vu____vri) v n-rozměrném eukleidovském
prostoru je determinant matice tvořené souřadnicemi těchto vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bází; ozn.
[Ví.....vj :=det(vi.....v„).
Z předchozího ptyne, že C * * r *' * *      ^ *    " *  * J
fO pro   > n
V(Vi*t>it»v*) = ^,. „ p v*]     pro Je = n *\ ^Qy
pro J< <
aviz matic* průcíiwu a Caucfiyava véts (a souoinu determinantů ^
1^/^-^--
/Kouzlo (k - 2)
Víme, že
VL ■ U
V(v1lva) = Hv,|j IM ■ sJn oř,
sin a = V1 - cos* a,     cos íi = -—-—=-
Odtu<
tal-tall
n^-ntxir- " V /i ^,f\fi/tri
7
V(vf,vř) = ■■■ =
^llv,lKl|v2||2-{v,.vs)ř= ^
Vl - V,    Ví . «í
zase determinant,.,,
Kouzlo (obecné)
. .tzv. Gramúv determinant, ozn.
G(vi-----vk) :=
v, .v, VlV*
Věta
Pra tíĎowD/nou -írd vekíon) ť eufcíafcfcjvsfeáŕTi prasfaru ptat f
V( Ví.....v*) = -^Q{Vii—
*1&
Kouzlo (důkaz)
1) Pro navzájem kalme vektory (kvádr):
Ví - V!
0 0
0 0 0      wa. wa
.    f       =l]v1l|2-|twĚ|Ml^lt2 = Vtvltw2.w3)2.
( ^ti^      wk. & w^f-------
2) Pro lib. našikmené vektory v2 = w2 +,ätu v3 = ws -Kíí>f^ MŠ*^
VtV, VtVj Ví .Ys
V2 . Ví Vz - v3. v3
VS.^ V3-V2 Vg.Vg
V, .Ví Ví . Va    Ví , v3
Ýi3 - wa. v2   w5 . v3
Vt . Ví Ví . Wn     Ví . wľ
WÄ .Ví W2 . WL    w2. wa
W3.V! W3>W2 W3-Wä
-v AasL{ r    i* * fix.
= G(vi,w2,wg). □
Vektorový součin (n = 3)
( l^r*      *     ŕ "J }
Ze 5Š známe Jako operaci V x V -» V s několika užHečnými vlastnostmi.
Sice nevime proč, ale pro u = (u^u^ua) a v = (i/,. vřl v$] počítáme takto
u x v =
k						
F*		■	^3		^	
Vektorový součin (obecně)
Návod K předehru im n sou ŕ. vyjádřeni — Laplaceův rozvoj determinantu:
Důležitá fbezsouradricGváj interpretace:
[u,vřx] = (uxv).ítfs f f
Obecná definice:
tvarovým souč/nem (rí - 1 )-tice vektoru (Ví.....v^-,) v rvrozrnérném
eukleidovském prostoru je vektor w ^ViX ■ xvM splňující
[vt.....v^xj^w.a
pro všechna x e V.
2natevo vnéjSi součin, nBpfBVO trv/smnĚený sflufrn''
n3
Vektorový součin (vlastnosti)
Věta
(ti
O^/t. w := v, x ---xv*-,, n - dim V.
► Tóío je antí-symů/rícfcá muíír-/rrtůámj' zobrazeni V x - ■ ■ x V -* V.
17-1
s^=* Ví. - - -,     jsou lineárně závislé.
*■ Yi r...,     jsou Hneámé nezávislé => (^____,    ,w) je kladná twe.
- wiekofrnýke všem vektorům v^.^v^i-
► IN| = .....v^)- - ^ É /
Důkaz.
Váechno plyne z definující rovnosti a vlastnosti determinantu.
I      i    r r í* J" 1
if -       ^ ~     «3        ■   *   * é*
. n W   ....   _ tí
3 ^       > *
C-e.)     II w K - i"
Poznámky
*    K vektorovému součinu pro f7 = 3:
kde« = <{u,v).
||uxv|| = j|u||-||v|l-sina.
H___f
K aplikacím: vzdáleností pod prostorů bez řešení soustav rovnic.
-- ^ ,   - *