RNDr. Jiří HERMAN, Ph.D. PaedDr. Vítězslava CHRÁPAVÁ Mgr. Eva JANČOVIČOVÁ Doc. RNDr. Jaromír ŠIMŠA, CSc.
	Prima Sekunda
	Kvarta 1
Matematika	
■■ Podobnost a funkce úhlu	
PROMETHEUS
Vyznačme jcšlŕ libovolný bod A'i čtyřúhelníku M| | [•mu odpovídající lnul \j Ctyfúhelníku Mji
A-a------m*
Po oudíme nyní, jakým zvětšením čtyřúhelníku Mi je čtyřúhelník M2. Provedeme to tak, že změříme nejprve vzdálenost některých dvou bodů Čtyřúhelníku Mj a pak vzdálenost odpovídajících bodů čtyřúhelníku M2, například délky úseček AiBi a A2B2 nebo A\C]_ a A2C2 nebo D-^Xx <> D%X2\
A2^----___M^__
Z|ImII....., že platí:
2 ■ |A2C2| = 2-|/l1C1|,    \D2X2\ = 2-\D1X1\
lech rovnostech vystupuje totéž číslo 2, které vyjadřuje, že čtyřúhelník M.. ji- dvojnásobným zvětšením čtyřúhelníku Mi. Znamená to, že pro libovolné body X\ a Y\ čtyřúhelníku Mi a jim odpovídající body X2 a Y2 Btyl úhelníku M2 platí:
\X2Y2\ = 2-\XlY1\
ftíkáme, /c čtyřúhelník M2 je 'podobný čtyřúhelníku M| h km /n /< rtii rrj ;»« iIiiIiuokIi rovným číhIii 2.
Kdybychom posuzovali, jakým zmciíňcním člyřúliclníku M2 je čtyrúhcl nik M|, každá /, niviioHl.1
} • lAaBal,  |AiCi| - } • \MC*\t = | • |£>3X3|
1, přivedla I'. závěru, že člyrúhelník M, je podobný čtyřúhelníku M2
m Lncllclcntem podobnosti ^.
Itel.iiruie, že Útvar Uj je podobný útvaru Ui, pokud lze všechny jtijli li body sdružil do dvojic (kterým říkáme dvojice odpovídajících 1 ImmIii) tak, že pro některé kladné číslo k platí rovnosti
\XsYa\=?k-\Xi¥íl
kde \ 1. V, J80U libovolné body útvaru Ui a X2, Y2 odpovídající bo-
civ ni varu U2.
• 1 iu /, m nazývá koeficient podobnosti (útvaru U2 vzhledem k útva-ru 11,).
1. li útvar U., |>odol)iiý útvaru U| s koeficientem podobnosti fc, je také ,1   ,1 II, podobný útvaru U2, a to s koeficientem podobnosti |. PlotO Stručně hovoríme o podobných útvarech Uj a U2 (aniž rozlišujeme |i ,m I, pořadí) ii jejich podobnost zapisujeme pomocí symbolu ~ (čti „je podobný"):
Ui ~ U2   znamená totéž co   U2 ~ U, pol ,1.1 vlak uvádíme koeficient podobnosti, musí být pořadí útvarů jasně stanovním (často právě vazbou „co je podobni'' čemu").
I I
15
I lohodneme se, že při zápisu podobnosti dvou mnohoúhelníků pomocí jejich vrcholů a znaku ~ budeme odpovídající si vrcholy zapisovat na stejných .......cli před i za znakem ~:
ABCDE ~ KLMNO
V našem příkladu vrcholu A odpovídá vrchol K, vrcholu B vrchol L atd. (Stejnou dohodu jsme učinili dříve při zápisu shodnosti mnohoúhelníků pni nocí symbolu = .) Slovně však shodnost nebo podobnost mnohoúhelníků vyjadřujeme volněji. K předchozímu obrázku například můžeme říci, že pěl iulicliiík CBAED je podobný pětiúhelníku LMNOK.
13. H tvary U | a U2 na obrázku jsou podobné. Pomocí pojmenovaných bodů doplňte úměry:
a) |///| : \BC\ = \IJ\ : ? b) \KL\ : \EF\ = ? : \AF\
c) : 7    |.//| : \I)C\ d) ?: \BF\ = \IK\ : \CE\
lv<l\ |i< podobnost zvětšením a kdy zmenšením? lun I 11 jsou narýsovány trojúhelníky 1\ a T2.
11 •> 1111 ■• -1111 k b,, je podobný trojúhelníku Ti s koeficientem podobnosti |: 1 rri l (tldě dva body Xi, Yi trojúhelníku Ti a jim odpovídající body X2, Y2 lni|iilii<liiíkii Ta platí rovnost
\X2Y2\ = %-\X1Y1\.
.......n.i in, že úsečka X2Y2 je vždy delší než úsečka Proto je troj-
mIi. hul   I .   vrh.rmm. trojúhelníku Ti- Můžeme také říci, že trojúhelník Ti |e  ,,,, n;i ním trojúhelníku T2 (koeficient podobnosti je |). .......1, /,dii je podobnost; zvětšením, či zda je zmenšením, rozhoduje hodnotu /, Imelicientu podobnosti. Je-li k > 1, jde o zvětšení; je-li k < 1, jde n /menšení.
Předpokládejme, že útvar Ua je podobný útvaru U[ s koeficientem podobnosti k.
li h I,     I. je iitvar U,> zvětšením útvaru U|. ,le li A' •   I, je Útvar      zmenšením Útvaru U:.
1,
lvi iúlielník P2 je dvojnásobným zvotňciiliii pfll Inlixlnllui ľ,   Mŕivníni se
přeNvědrUc, že platí:
<n ■ fv2,   A = /?2,   71 = 72,   <m ■ <Sy,   f| ■ ta Také obdélníky 0| a Oj /, dalšího obrá/ku uiují shodné vnitrní úhly (jako ostatně každé dva obdélníky), nejsou však podobné. Liší se například v Úhlech, které svírají jejich úhlopříčky.
ľro každé tři body Xi, \\, Yi útvaru takové, že V1 =é XL .1 V\ fi Yi, a jim odpovídající body X2, V%% Y2 podobného útvaru U2 platí:
\ÍXlV1Y1\ = HX2V2Y2\
Na. obrázku jsou podobné čtyřúhelníky Mx a M2. Pomocí pojmenovaných bodu doplňte úměry:
a) \MN\ : \ML\ = \EF\ : ? b) \U<\ : ľ    \IK '| : \ľl>\
c) \EC\ : \FD\ = \MK\ : ? d) \CE\ : \CF\ - ? I \KN\
|'n |i linuli .1 iii-jiiiin.il podobnost?
Ne11 ' ■ pl Ipome......., které dva útvary se nazývají přímo shodné a které
run I■<>< 11k-. Na obrázku vidíte tři shodné útvary Ui, U2 a U3.
11   li, jt. [Ij jsou přímo shodné. Útvar Ux stačí totiž „natočit" a „posu-
.....ii   v rovino tak, aby se kryl s útvarem U2-
mlr.ľováiiiiii v rovině však nikdy nedosáhneme toho, aby se kryly útva-il, ,1 II, (1 když jsou, jak jsme uvedli, shodné). K tomu potřebujeme li iMv.tný útvar „překlopit" v prostoru. Útvary Ui a U3 jsou nepřímo «ln n Im''
1'iHlolinyin /.působeni budeme rozlišovat -přímo podobné a nepřímo podobné ni vin y
r <Imilm portrétu chlapce Im l\ /hotoveny dvě zmen-IHtlllIY
21
10. Rozhodnete, zda existují dva oltdrihilky, 1.1< imají hI.«*jih' obsahy] a které
a) jsou podobné, b) jsou podobne a nejsou shodné.
2   PODOBNÉ TROJÚHELNÍKY
V této kapitole se budeme věnovat důležité otázce - kdy jsou podobné] dva trojúhelníky. Výsledky výkladu shrneme do několika vět, které jsoin obdobami známých tvrzení o shodnosti dvou trojúhelníků. Proto všechny běžné věty o shodnosti trojúhelníků nejprve připomeneme.
Kdy jsou dva trojúhelníky shodnél
Na obrázku jsou narýsovány dva shodné trojúhelníky A\B\C\, AiB-iC^ a obvyklým způsobem jsou označeny jejich strany a vnitřní úhly.
Víme, že platí šest rovností:
«i = «2,   h = h,   ci = c2 oíi = a2,    Pi = /?2,   7i = 72
Představme si opačnou situaci. Máme rozhodnout o shodnosti dvou daných trojúhelníků. Přitom víme, že pro ně platí pouze některé z uvedených šesti rovností. Kdy máme zaručeno, že trojúhelníky jsou skutečně shodné? Víme, že je to v případech, kdy platí tři vhodně vybrané rovnosti:
• a\ = a2,   fri = í>2,   ci = c2 (věta sss)
b2/
02
'li;
(věta huh)
li, A
(věta usu)
• iij,   íi|    b-i,   fV| = «2j   jestliže navíc   Oj > ř>i
h
(věta Ssu)
" i
Z? L ^2
i   i ■ ilim . vel o shodnosti trojúhelníků vyslovte, aniž použijete označení ......lilu (pomozte si výrazy „sevřený úhel" apod.).
I.<l. . |,n iinriii mají strany a. úhly podobných trojúhelníků?
n Ji JMiiie dva podobné trojúhelníky A\B\C\ a, A2B2C2. I když jsme i mluvili puu/.c o odpovídajících ni hodech, podobných trojuholníku, budeme luké fikat, ze hí odpovídají jejich strany a vnitrní úhly. Například
Co stačí k podobnosti trojúhelníků?
Nyní budeme hlodat podmínky, které zaručuji | >< >.I. .1.....;ii dvou trojúhelníků AxB\C\ a A2B2C2. Jejich strany a vnitrní uhly o/,n......ie běžným
způsobem:
Budeme postupovat tak, že jeden z trojúhelníků, například A\B\C\, nejí prve zvětšíme nebo zmenšíme s jistým koeficientem k, který určíme později. (Číslo k bude rovno koeficientu podobnosti trojúhelníku A2B2C2 vzhledem k trojúhelníku AiB\C\, pokud to vůbec jsou podobné trojJ" úhelníky.) Získáme tak „pomocný" trojúhelník A3B3C3 podobný troj^J úhelníku A\B\Ci (AA3B3C3 ~ AAiB^Ci). Poté budeme vypisovat různé podmínky, kdy platí AA3S3C3 = AA2.B2C2- Tehdy totiž bude platit t\A\B\C\ ~ AA2B2C2. Použijeme k tomu postupně známé věty o shodnosti trojúhelníků - větu sss, větu usu a větu sus.
k-ci
'B3 A2
• Kdy platí AA3B3C3 S AA2B2C2 podle věty .sss?
Víme, že je to v případě, kdy současně platí tři rovnosti:
feffll = a2,   kbi — b2,   kc\ = C2 Pro číslo k odtud dostáváme podmínky:
d] Oj C\
w ■plnil pním- v případe, kily plutí
«a 6a f,a di     /j, f|
'In podmínky JlOU I TO j Úhelníky A\B\C\ a A2B2C2 podobné.
1 nu- tak I-vrženi, které se nazývá veta asa o podobnosti troj-
ť Ml 1 pni trojúhelníky A\B\C\ a A2B2C> platí rovnosti
\.\,ih\ = \B2C2\ = IC2/I2I |BiC',| Id^iľ 1 .1 1 "u tyto trojúhelníky podobné: AA\B\C\ ~ AA2B2C2
\ CTEJNÍ VŠECHNY TfÚ \$T£JNC STRAN,
1  M\ pláli A.4;,7?;,C3 = AA2B2C2 podle věty usu?
>• IhIv, když se oba trojúhelníky shodují v jedné straně a obou k ní MmIi vnitřních úhlech, například:
< '1
A    'i Ai
Ar,     03,    q\ = (»a,    /í| = r^a
30
:n
Co je sinus ostrého úhlu?
Na obrázku vidíte čtyři pravoúhlé trojúhelníky Tj, T2, T3 a T4 se shod vnitřním úhlem a:
Podle věty uu jsou všechny čtyři trojúhelníky Ti, T2, T3 a T4 navasí podobné. Vyberme libovolné dva z nich, např. Ti a T2, a popišme obvyi způsobem jejich strany a vrcholy:
Víme, že poměry odpovídajících si stran jsou stejné:
ai _ b\ _ ci
0,2 í»2
Rovnost „krajních" zlomků — = — iwY^mc pfwpmit do tvaru
a2 ca
íii . 21
i i   ii.mé teto rovnosti je poměr délek dvou stran trojúhelníku Ti, na ni' poměr délek dvou stran trojúhelníku T2. V obou případech i .....       odvěsny protilehlé úhlu a a přepony.
Hit', },c ve všech pravoúhlých trojúhelnících se stejným ostrým iililrin a má poměr odvěsny protilehlé úhlu a a přepony stejnou i li.) hodnota tedy závisí pouze na velikosti úhlu a. Říkáme jí ) Hhlu «i a značíme siná (čti „sinus alfa").
protilehlá odvěsna
■ i■ iHiviul názvu sinus většina historiků matematiky? Staří Indové používali luku iiľliu knižnice slovo džíva. Od Indů ho převzali Arabové, kteří toto cizí
■ nll vn nvých spisech stejně jako arabské slovo džajb (v arabštině se totiž iHiiililAnky), které má více významů: záliv, ňadra, výstřih, vypuklost apod.
filitn významů má i latinské slovo sinus, které tak pří překladu arabských
■ ■■ u|.|,iinil Robert z Cheáteru kolem r. 1145. Podle jiného názoru vzniklo * Inllnukr zkratky s.ins. pro spojena semis inseripta znamenající půl tětivy.
n mu úhlů S a e pomocí délek stran trojúhelníku DEF: ^1 F
d
mIuiih íililu íp pomocí délek stran trojúhelníku z obrázku:
b)
ON
(»1»
T»    KOSINUS OSTKtilK) I MM
V minulé kapitole JHIIIC SC HC-/iiniiiili h<> sinem ostrého úhlu piko ti pomčrem odvěsny pro-l llchlé tomuto úhlu n přepony pmvoulileliu i lojúhclníku.
Tukovou funkci ostrého úhlu I r 1111«' mohli definoval, díky tomu, ze každé dva pravoúhlí trojúhelníky se stejným Ostrým vnitrním úhlem jsou
podobni.
\ \ u,minou úlohu v matematice hrají i funkce úhlu určené jinými poinf bran pravoúhlého trojúhelníku. V této kapitole se budeme zabýval pm
inu pfllehlé odvěsny a přepony, v následující kapitole pak pomčrem oť •n Výklad V obou kapitolách povedeme obdobně jako v kapitole předci
proto budeme místy stručnější.
<'o |i kotinus ostrého úhlu?
Nii obrázku jsou pravoúhlé trojúhelníky AlB\C'\ a AAi^C^ se r^li-juvni
ml......i úhlem o  K11 ii m' ni i In m jsou \ obou trojúhelnících modře vy/ll4j
čeny přilehlé odvěsny a přepony.
Z podobnosti obou trojúhelníků plyne rovnost, ktorou přeplletnc clo tvaru
Cl      0| '
......, |« v obou trojúhelnících mi porn* odvimy přilehli uhlu a
i, ......i hodnotu, která závisí pouze na velikosti úhlu O. Říkáme
lou  oblii n a značíme cos o (čti „kosinus alfa").
přepona
C   přilehlá odvěsna
cos a
vv„1. Umíiliis ulovcm kótidživa (předpona koti znamená zbytek, v tomto i .1,, 'in")  Podle toho se v Evropě v 15. století ujal pro kosinus latinsky
.....„,,/,,„,■„/,, t,j. hí.iuk doplňku. Změnou pořadí obou slov a zkrácením vznikl
„lkávám.' ho 8 ním poprvé v roce v r. 1620 u anglického astronoma
■U|M i, |,, .iiiiis úhlu e a (/? pomocí délek stran trojúhelníku DEF:
i)
ililu iji pomocí délek stran trojúhelníku z obrázku:
Q
H|