RNDr. Jiří HERMAN PaedDr. Vítězslava CHRÁPAVÁ Mgr. Eva JANČOVIČOVÁ Doc. RNDr. Jaromír ŠIMŠA, CSc. Prima | Sekunda Tercie Matematika Osová a středová souměrnost 1 SHODNOST V ROVINĚ ÚVOD Vínu' |lž, jak vypadají a čím jsou určeny základní geometrické útvary, lil d i'.nn pffmka, úsečka, trojúhelník, čtverec, kruh, krychle, jehlan apod. ľovožujeme je za množiny bodů příslušné roviny nebo prostoru. V tomto .1 několika dalších sešitech se postupně seznámíme s důležitými 'ľ n niv i m vztahy, jaké vznikají mezi několika útvary ležícími v jedné i < >v 11 ii ■. Takové vztahy pro nás nejsou úplnou novinkou: víme už například, i u naineuá, že dvě přímky jsou rovnoběžné, že dva úhly jsou vrcholové upnd. Není pochyb o tom, že při „pozorování" útvarů a při jejich srovnávání považujeme za základní zjištění, že dva útvary ležící na různých místech niv jsou „stejné", V geometrii jim říkáme shodné útvary. Takové jsou ty dvojice útvarů, které můžeme vhodným pohybem přemístit tak, aby se I ryly Můžeme rozhodnout o shodnosti dvou útvarů, aniž bychom je přemísťo-llllými slovy, jaké podmínky zaručují, že dva útvary jsou shodné? '1 lnu |loii nadsázky můžeme říci, že odpovědi na tuto otázku tvoří hlavní II > i' I ■ i i ■i-iiiin'1 iiľ Ktorého Kecka, kterou podle jejího tvůrce Eukleida nazý-viiiiiľ euklt>iäonnkou geometrií, W>\> holil dovedli se shodnými útvary dobře pracovat, musíme vědět, i .I . il lodní pohyby v rovině existují a jaké vlastnosti tyto pohyby mají. \ i • ■ ■ 111 • • t iii- Neznámíme se dvěma z nich - s osovou a středovou soumčr-lld ii '/.......niľ vždy H pozorováním souměrných útvarů, teprve pak výlomu1 mmmi most jako přemístění v rovině. Přitom se naučíme konstruovat ni n a.'v základních útvarů v těchto souměrnostech. I >■ »< li ■ 111 n |i ■•.(■•. /c osová i středová souměrnost se uplatňují i mimo matematiku v i.iile praktických oborů. Obě souměrnosti využívají chemici při popisu krystalu různých prvků a nerostů. Prvky souměrnosti uplatňují ve '.vvili pioji-kl.ecli architekti, malíři i jiní výtvarní umělci, inů/eme je pozo-rOVAl v přírodě U některých rostlin a živočichů. V této kapitole vysvětlíme, co v matematice znamená, že dva rovinné geometrické útvary jsou shodné. ('o jsou shodné útvary! Prohlédněte si pozorně obrázky několika listů stromů: Některé listy jsou „stejné" - mají stejný „tvar" i „velikost", liší se pouze svým umístěním. O takových listech říkáme, že jsou shodné. Na obrázku jsou to listy l_2, L.5 a Lfj. Můžeme si představit, že obrysy všech tří vznikly lObkreslením" jediného listu. Na dalším obrázku je několik geometrických útvarů: Sami jistě snadno usoudíte, že shodné by mohly být pouze čtverce U4 a U5. ■hik se o tom přesvědčíte? Zatím jen tak, že pomocí průsvitného papíru porovnáte jejich obrysy. Vyzkoušejte to. •linou metodu pro ^ilťovani uhodnoitl uiviurt uplatníte při řcflcul této úlohy; Nakreslete na milimetrový papír útvary podle obráíku: Vystřihněte je a přikládejte k sobě. Zjistíte, že shodné jsou pouze tyto útvary: Ui a U2; U3 a U4; U5 a U6; U7 a U8. Dva rovinné útvary jsou shodné, jestliže je můžeme přemístit tak. aby se kryly. Několik útvarů je shodných, jsou-li každé dva z nich shodné. Máme-li rozhodnout, zda dva útvary jsou shodné, stačí obkreslit a vystřihnout jen jeden z nich a zkoušet ho přiložit k druhému útvaru tak, aby s ním splynul. Některé útvary stačí při takovém přemístění pouze „posunout" a „natočit" v rovině. V takovém případě hovoříme o přímo shodných útvarech. ľill l.nlcm |miii lil vili v H| n U' / pľ'di llii/llni ulilil/ldl U, I___I ľ, II.. i 'mm h.ťi iviiiiíiii v rovině však nikdy nedosáhneme toho, aby se kryly uhodí útvary Ur, a U«. K tomu potřebujeme navíc jeden útvar (např, U.,> „pl klopit" v prostoru, jak je naznačeno na obrázku. Takovým ul v.-irům i il.m nepřímo shodné. i I i i ! Us i I. Mezi dvojicemi útvarů na obrázku najděte ty, které tvoří útvarj |l nejsou shodné. a) ä 2. Mezi klíči na obrázku najděte shodné. (O) /gvA_niuin 10 12 ( 'd ja OBOVÍ siillliiľi uy ul v.u Následující obrázky si prohlížejte pomoci zrcátka. Přiložte jo l«* každému z nich tak, abyste celý obrázek sestavili z jeho nezakryté časti ;i obrazu této části v zrcátku. Zrcátko se dotýká roviny, ve které obrázek leží, v části přímky, které říkáme osa souměrnosti tohoto obrázku. Osy souměrnosti jsou na dalším obrázku vyznačeny modře. Všechny tři obrázky jsou osově souměrné rovinné útvary. Přesvědčit se o tom můžeme i bez zrcátka, jen pomocí průsvitného papíru. Obkreslete na něj postupně všechny útvary. Překládejte průsvitku tak, abyste přeložením „rozdělili" obkreslený útvar na dvě části, které se po přeložení kryjí. Zkontrolujte, že tímto přeložením jste na průsvitce vyznačili přímku, která je osoví souměrnosti daného útvaru. Osovľ souměrný li tvar s<> skládá ze 'Ivou shodný cli řántl ixlfW leiivrli primkol i osou souměrnosti. ., I 'ícliiiriiie li" loviiiu pucllc této přímky, obě shodné části se kryjí. ...........»t se cizím slovem řekne symetrie (slovo řeckého původu, které /.n.i....."•' 1 >' • ,,l ,.| „„-/.i částmi celku). Proto se také někdy hovoří o osově symetrických nl v.....1« 1 U. niiiimírriosti se říká osa symetrie. i ||i ,1., m symetrie je asymetrie - nesouměrnost, nesoulad. i Rozhlédněte se kolem sebe a jmenujte příklady předmětu, které by HB lolografii měly osově souměrný tvar. Q9, Pomocí zrcátka najděte aspoň jednu osu souměrnosti každého l'itVftJ'11 v. obrázku. ■2Í 2U i OSOVÁ SOUMĚRNOST V minulé kapitole jsme vysvětlili, že osově souměnvj útvar se skládá ze dvou „stejných" částí, které se po „přeložení" roviny podle osy souměrnosti překryjí. Každé dva body, které se při tomto překrytí ztotožní, tvoří tzv. dvojici bodů souměrně sdružených podle osy. Naučíme se nyní, jak takové dvojice určovat, aniž bychom museli rovinu „přehýbat". Co platí pro dvojici bodů souměrně sdružených podle osy? Narýsujte na průsvitný papír obdélník a vyznačte jeho osu souměrnosti o. Pomocí hrotu kružítka nebo špendlíku vyznačte jednu dvojici souměrně sdružených bodů X a Y podle osy o. Zkoumejte polohu úsečky AT a osy o. 0 X Y X 0 Y ... i Je vidět, že úsečka XY je kolmá k ose o a osa o prochází středem této úsečky. Proto je osa o také osou úsečky XY. Objevili jsme základní vlastnost osové souměrnosti, která nám umožňuje jednoduše konstruovat dvojice souměrně sdružených bodů. Příklad 1. V rovině je dána přímka o a bod B, který na ní neleží. Sestrojte bod B', který je s bodem B souměrně sdružený podle osy o. Řešení. Protože osa o je osou úsečky BB', leží bod B' na polopřímce s počátkem B, která osu o protíná a je k ní kolmá. Zároveň průsečík této polo-prímky a osy o je středem úsečky BB'. Postup konstrukce je patrný z obrázků: 28 IIimI //' Mlt/yviiiih' ohni .o/ l)()dll /' v u:nnr nou lllAltiONli h ohoii o. lind li Ne uii/ývá ViOf hodu //' V ItMn ONOVě souměrnosti, Symbolicky zapisujeme: 0(<>): li i > II' n iii'Li \\ i. 11, i ■ (' I n ne: „V 1 isnvé souměrnosti R OSOU <> oř Ihm! U zobrazí do hmlu //'." v/oi ohiTJi i ......c joňl.ř obraz hodu II' v této osově souměrnost.i. .le jím hod // (\\ v 11 leic). Zapíšeme to takto: 0(o): H' i > II i'.........vím Nouinörnost tedy platí: je-li bod Y obrazom bodu X, jo také bod V obři..... Imilii ) I 'rulo Nl.ruřiu* hovoříme o .souměrní* sdružených bodech V, Y .i upi i i/linii|ľiiiľ, i !• i \ / nich jľ vzor a který obraz. /.|iM line ještě, kde leží obraz C bodu C v případě, kdy lnul í ' leží na ose souměrnosti. Přeložením průsvitného [mplni h vyznačenou osou souměrnosti a libovolným hoden <' této osy ověřte, že body C a C splynou: i i 'Iv hod, který splývá se svým obrazem, se nazývá Samodružný ImhI mi, osové souměrnosti. n i ili jsme, že každý bod osy oje samodružným bodem osové souměl iiomI i n onou o. Zádně jiné samodružné body osová souměrnost nemá. \ pivě t li li jsme, jak k libovolnému bodu roviny určit jeho obraz v onovri fioiuuéniosti. Naše poznatky shrneme: I ) iiv.i souměrnost v rovině je určena přímkou o - osou souměniosl i Pro obraz V libovolného bodu X roviny platí: • Poklid hod X leží na ose o. pak Y splývá s A'. Všechny hody osy o | 'mi samodružné. • I 'ok ud hod X neleží na ose o, je přímka XY kolmá k ose o a. střed 11 eeky XY leží na ose o. Ilndy .V a. Y se nazývají souměrně sdružené podle osy o. h. Narýsujte knižnici A' a barevně mi iil vyziiučle oblouk AH, Huntrojte obraz oblouku AH v ohovc souměrnosti h osou o. Vcájemnou polohu oblouku AB a osy o volle podlí' obrázku. 9. Narýsujte dvě různoběžky p, q. Útvar pUq má dvě osy souměrnosti. Sestrojte je a určete, jaký úhel svírají. * 10. Narýsujte osově souměrný a) trojúhelník, b) pětiúhelník, * 11. Kolik os souměrnosti má každá a) úsečka, b) polopřímka, * 12. Z papíru vystřihněte obrazec, který má a) právě jednu osu souměrnosti, b) právě dvě osy souměrnosti, a není to obdélník c) právě tři osy souměrnosti. c) sedmiúhelník, c) přímka? 6 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Některé útvary nám připadají souměrné, i když nemají žádnou osu souměrnosti. Prohlédněte si následující obrázky karty, značky a dvou ornamentů. 40 llllili'lľ li |ľ i li izi ii«iVltf. Mi» ZK álkťlll, ZjImIIIc, /e iiíiově • Ii 1111 ■ u'' i in- IH'imiii, 1 \u\\ |l Iwl/ilv Ulili -Ii >- • 11 /<• ilviMI :.le|ll\ill |)lllllVIII .1,'IIHI In | > I 11.1.1 ■ I \ :li,,L>< nmitiŕrných útvaru. VyHyMIlim', v čem ipofiíva jejich toumlraoil I n |l I i <•( |i i\ < ■ i ) 111111 ■ I ll\ lll Vílľ? i ľ I iľfilľl.ľ :ii na průsvitný papír jedli i lipek z obrázku značky a pa. plHín pohybujte lak, aby splynula, n iliiilinii šipkou. Dokážete vyjádřit., jednoduchý pohyb k tomu stačí? li tu otočení o 180° kolem stredu úlu n/ku, ľniliilinou vlastnost mají i útvary na ostatních obrázcích. Ol.oi'ile h m r |tll i \. i 1111 n nohama", uvidíte stejné obrázky jako pred ol.očenl'in. AI > \ otl obrázok byl přesně na místě původního, musíte učebnici otočil kol bodu, který nazveme středem daného útvaru. 1 i n mu s touto vlastností říkáme středové souměrné. I i v.ir U nazveme středově souměrným, pokud existuje Ukuv) bod S, že při otočení o 180° kolem bodu S přejde útvai II nu obe, Hod 5 se nazývá střed souměrnosti útvaru U. i .......Le si, že osově souměrný útvar se skládá ze dvou shodných iiaíl udili li m .i xouiněrriosti. které po „přehnutí" roviny splynou. li I' uí .středově souměrného útvaru na dvě shodné části, které splymui |><> nl.m 'in I i in 11 i-i lu souměrnosti, je možné nekonečně mnoha způsoby. Za „dělicí" prímk....... ■ | v/il. libovolnou přímku procházející středem souměrnosti: I. Které /. následujících nlua/kú jhoii NtřtnlnvA Nniliiiénié? a) b) <•) «U •') Které útvary jsou středově souměrné? Narýsujte na papír čtverec, obdélník, kruh a trojúhelník se stejně dlouhými stranami. Obkreslete je na průsvitný papír a pomocí špendlíku a otáčení průsvitky o 180° zjistěte, zda jsou středově souměrné. • Čtverec je středově souměrný. Střed souměrnosti je průsečík úhlopříček. Obdélník je středově souměrný. Střed souměrnosti je průsečík úhlopříček • Kruh je středově souměrný. Střed souměrnosti je střed kruhu. Trojúhelník se vám požadovaným způsobem otočit nepodaří. Trojúhelník je příkladem útvaru, který středově souměrný není. Většina středově souměrných útvarů má jediný střed souměrnosti. Má-li útvar dva různé středy souměrnosti, pak jich má nekonečně mnoho. Příkladem středově souměrného útvaru, který má nekonečně mnoho středů souměrnosti, je přímka. Každý její bod je totiž jejím středem souměrnosti. , Nii|ilrli« vt< wvéin ol volikoHl, IHU", l/.ii |n |»rfttiv, Ml S i»i i'iwí <<• .v ľ. Protolc při otáčeni n wdAlenott bodu '»1 itrodti Qtáflwri uwnSní, maji úsečky ,S'.Y a .SY stejnou délku. Znamená l.n, >,v hod ,S' je středem úsečky .YV. I.iln vl;t:;l.iin:il. nám umožňuje jednoduše určovat dvojice hodil souměrně mIi uzených podle Středil, aniž bychom museli hody otáčet. Pfíkhid I. V rovině jsou dány dva různé body TV a S. Sestrojte bod TV' OUmfii no sdružený s hodem TV podle středu S. ľ, :, m. ľľoto/e střed S je středem úsečky TV TV', leží bod TV' na polopřím-Cfl N S a |/V£'| = |STV'|. Postup konstrukce je patrný z obrázků: I I x S N obraz Hod /V' nazýváme obrazem bodu Aľ ve středové souměrnosti se středem S. Bod /V se pak nazývá vzor bodu TV' v této středové souměrnosti. Symbolicky /upisujeme: S(S): N^N' B někdy Laké čteme: „Ve středové souměrnosti sc hrdém S se bod TV zobrazí do bodu TV'." I. jasné, že obrazem bodu TV' v této středové sou- liiči noHti je hod TV: $($): TV' .-> TV B).....um' uaňe poznal k y o nI Tedové hoiiiiiôi iionI.I: Si hdiiv.i souiuéi nosí v rovině je určena hodem S sl ředem souměr flo II I'.....hraz V lihovolnélio hodu X roviny platí: • Pokud hod ,\ splývá se středem S, splývá s ním i bod Y. Bod S ir Namodružný. • Pokud jsou hody -V a S nižné, je bOd S středem úsečky XY. It.id\ A .1 V se nazývají souměrně sdružené podle středu S. I V k iv i i iě zvolte dva různé body C a 5. Sestrojte obraz D bodu C ve stře-dové .souměrnosti se středem S. Zapište symbolicky, že body C a D jsou lOUměrně sdružené podle středu S. 'i, Jsou dány dva různé body U a V. Kde leží střed A souměrnosti, ve které platí S(A): U ^Vl II, V rovině jsou dány čtyři různé body O, P, Q a R. Najděte obrazy bodů /', Q a R ve středové souměrnosti se středem O. I Platí 5(X): Af-íB. Doplňte zápisy: a) S(X): Bh„, b) S(X): X h4 .. . Podol.....Jako pro okovou souměrnost platí i pro souměrnost středovou: je-li bod Y obra- ,..... bodli X, je bod X obrazem bodu Y. Proto stručně hovoříme o souměrně sdružených bodei li V , V li nerozlišujeme, který z nich je vzor a který obraz. /jistíme ještě obraz středu souměrnosti S. Protože při otáčení kolem středu S bod S zůstává na místě, je obrazem bodu S tentýž bod 5. Je to tedy iOtnodružný bod. Sami vysvětlete, že žádné jiné samodružné body středová ■.....ičrnost nemá. II 45