Akce grupy na množině - 3 týdny

Motivace: Cayleyho věta (každá grupa G je izomorfní s vhodnou podgrupou grupy permutací na množině
G) je dokazována tak, že se sestrojí injektivní homomorfismus grupy G do grupy permutací na nosné
množině G. Zobecněním je akce grupy na množině, tedy homomorfismus grupy G do grupy permutací na
nějaké množině X. Definice: stabilizátor, orbita. Věty: množina všech orbit je rozkladem na X,
stabilizátor libovolného prvku je podgrupou grupy G, index stabilizátoru daného prvku je počet
prvků jeho orbity (je-li konečná), Burnsidovo lemma. Aplikace Burnsidova lemmatu na řešení
kombinatorických úloh, případně i některé aplikace akce grupy v teorii grup (centrum grupy a jeho
souvislost s grupou vnitřních automorfismů, netriviálnost centra grup, jejichž řádem je mocnina
prvočísla, Cauchyova věta, Sylowovy věty).


Opakování pojmu grupa, příklady včetně S[n], D[n]: []

Přednáška o grupách str. 2-10, aplikace: hra 15 (vysvětlení proč v posledním řádku nevyměníme dvě
čísla - pozici ve hře lze chápat jako permutaci v S[16], na tabulce rozmístíme šachovnicově čísla 1
a -1, parita pozice vynásobená číslem z volného pole je invariant).


Eukleidův algoritmus, Bezoutova rovnost

Přednáška o grupách str. 12


Kongruence, zbytkové třídy, aditivní a multiplikativní grupy zbytkových tříd

Přednáška o grupách str. 17-19, 22.


Základní vlastnosti grup, mocnina a řád prvku, podgrupa, homomorfismus grup

Přednáška o grupách str. 23-26, 29, 33, 35-36, 37 (jen název: izomorfní grupy).


Rozklad grupy podle podgrupy

Přednáška o grupách str. 38-39.


Cayleyho věta, akce  grupy na množině, aplikace v kombinatorice

Přednáška o grupách str. 51-55.

Soubor Burnside.pdf str. 1-3 (případně i 4 a 5)