Okruhy Definice. Množina R spolu se dvěma operacemi + a • se nazýva okruh, jestliže platí: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?, •) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c G R je a • (b + c) = a • b + a • c, (b + c)-a = b- a + c- a (užíváme obvyklou konvenci o tom, že násobení má přednost před sčítáním). Příklady. (Z, +, ■), (Q, +, •), (R, +, •), (C, +, •) jsou okruhy. Pro libovolné m G N je (Zm, +, •) okruh. Množina všech čtvercových matic Mn^n(R), kde R značí Z, Q, ffi. nebo C a r? G N, tvoří okruh (Mnjn(R), +, •)■ Množina všech polynomů /?[x], kde /? značí Z, Q, ffi. nebo C, tvoří okruh (/?[x],+, •)■ Příklad. (N, +, •) okruhem není. Okruhy Definice. (/?, +, •) je okruh, jestliže: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?, •) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c G R je a • (b + c) = a • b + a • c, (b + c) • a = b • a + c • a. Označení. Neutrální prvek grupy (/?,+) značíme 0 a nazýváme nula okruhu R, zatímco neutrální prvek pologrupy (/?, •) značíme 1 a nazýváme jednička okruhu R. Inverzní prvek k prvku a G /? v grupě (/?, +) se nazývá opačný prvek, značíme —a. Symbolem a — b rozumíme a + (—b). Mocninu prvku a G /? v grupě (/?,+) nazýváme násobek prvku a značíme na pro libovolné r? G Z. Součet a± + — - + an prvků okruhu R lze stručně zapsat X)ľ=i a'- Základní vlastnosti okruhů Definice. Okruh (/?,+,•) se nazývá triviální, má-li R jediný prvek. Věta. Necht R je okruh. Pak platí ► Va G R : 3-0 = 0- 3 = 0, ► ya.be R: (-3) • b = 3 • (-b) = -(3 • b), ► Va, t, c G /? : 3 • (b — c) = 3 • b — 3 • c, (b — c) • a = b • 3 — c • 3, ► Vr?, m e N Vai,..., 3„, bi,..., bm G /? : (*i + • • • + *„) • (61 + • • • + bm) = Eľ=i EjLi 3i ■ bJ' ► Vr?, m e Z Va, b * b — c. [věta 1.10, str. 59] Definice. Nechť R je okruh. Invertibilní prvek pologrupy (/?,•) se nazývá jednotka okruhu R. Množinu všech jednotek okruhu R značíme Rx. Poznámka. Nezaměňujte pojmy jednička a jednotka okruhu. Okruh má jedinou jedničku, kdežto jednotek může mít více. Vždy je jednička jednotkou. Okruhy s jedinou jednotkou jsou výjimečné (například okruh Z2). Nezaměňujte R* a Rx. Uvědomte si, že nové označení je v souladu s užívaným Z*. Tělesa R* = R — {0} ... množina nenulových prvků okruhu R, Rx = {a G R; 3b G R : a • b = b • a = 1} ... množina invertibilních prvků pologrupy (/?,•)■ Vgŕa. A/ecbŕ /? je oW?. Pak (/?x, •) je grupa. [[Věta 4.7, str. 25] je užita pro pologrupu (/?, •).] Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazývá těleso, pokud je každý jeho nenulový prvek jednotkou. Věta. Netriviální komutativní okruh R je těleso, právě když R* = Rx, tedy právě když (/?*, •) je grupa, [věta í.u, str. eo] Důsledek. Každé těleso je oborem integrity, [věta 1.13, str. eo] Příklad. Okruh celých čísel Zje oborem integrity, který není tělesem. Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem, [věta 1.17, str. ei] Věta. Okruh zbytkových tříd Zm je oborem integrity právě když je tělesem, což nastane právě když m je prvočíslo, [věta í.ie, str. ei] Charakteristika okruhu Poznámka. Připomeňme, že v okruhu R pro libovolné a G R, r? £ N je na = a + a + • • • + a. Protože jedničku a nulu okruhu R •v-' r? značíme 1 a 0, v následující definici je rovností nl = 0 nutno rozumět, že v okruhu R platí 1 + 1 + -- - + 1 = 0. -' n Definice. Nechť R je okruh. Nejmenší přirozené číslo n takové, že nl = 0, se nazývá charakteristika okruhu R. Pokud takové n neexistuje (tedy pro všechna k £ N platí kl ^ 0), řekneme, že charakteristika okruhu R je nula. Označení. Charakteristiku okruhu R značíme char R. Príklady, char Z = char Q = char IR = char C = 0, charZm = m. Věta. Nechť R je okruh, m = char R. Pak pro každé a G R platí ma = 0. [Věta 2.4, str. 62] Věta. Necht R je obor integrity, pak char R je buď 0, nebo prVOČÍslO. [Věta 2.5, str. 62] Homomorfismus okruhů Definice. Nechť (/?, +, •) a (S, +, •) jsou okruhy, f : R —> S zobrazení. Řekneme, že f je homomorfismus okruhu R do okruhu S, jestliže ► pro každé a, b e R platí f (a + b) = f (a) + ► pro každé a, b e R platí f (a • b) = f (a) • f (b), ► ŕ(l) = l. Injektivnŕ homomorfismus se nazýva vnoření, bijektivní izomorfismus. O okruzích R, S řekneme, že jsou izomorfní, píšeme R = S, existuje-li alespoň jeden izomorfismus R —> S. Příklad. Pro libovolné m G N je zobrazení tt : Z —>> Zm, určené předpisem 7r(a) = [a]m pro libovolné a G Z, homomorfismus okruhu (Z, +, •) celých čísel do okruhu (Zm, +, •) zbytkových tříd modulo m. Vera. Jsou-li f : R —> S a g \ S —> T homomorfismy okruhu, pak také g o f \ R —> T je homomorfismem okruhu, [veta 4.4, str. 73] Homomorfismus okruhů, jeho jádro Věta. Necht f : R —> S je izomorfismus okruhu. Pak i inverzní zobrazení f ~ľ : S —> R je izomorfismus okruhu, [veta 4.5, str. 73] Důsledek. Pro libovolné okruhy /?, S, T platí: R^ R; z R^ S plyne S = R; a konečně zR^SaS=T plyne R^ T. Poznámka. Zapomeneme-li v okruhu R, jak se násobí, zůstane nám aditivní grupa (/?, +). Každý homomorfismus okruhů f : R —> S je také homomorfismem aditivních grup, je tedy f(0) = 0, pro každé a E R platí f{—a) — — f (a), a máme jeho jádro: Definice. Necht f : R —>> S je homomorfismus okruhů. Množina ker f = {a G /?; f (a) = 0} se nazývá jádro homomorfismu ŕ. Vera. Homomorfismus okruhu f : R ^ S je injektivní, právě když ker ŕ = {0}. [Věta 4.9, str. 74] Př/ft/ac/. Zobrazení ŕ : C -> M2,2(R). kde f (a + b/) = ( _^ ^ pro libovolné a, b £ IR, je vnoření tělesa C komplexních čísel do okruhu M2?2(K) matic typu 2x2. Podokruh okruhu Definice. Nechť (/?, +, •) je okruh, H podmnožina množiny R. Řekneme, že H je podokruh okruhu /?, jestliže ► 0,1gW, ► pro každé a g H platí —a g H, ► pro každé a, b g H platí a + b, a - b G H. Poznámka. Největším podokruhem okruhu R (vzhledem k c) je celý okruh R, nejmenším podokruhem je {r?l; n g Z}. Věta. Nechť H je podokruh okruhu (/?, +, •). Pak + a • určují operace na množině H, přičemž H je okruh vzhledem k těmto operacem. Je-li okruh R komutativní, pak je i okruh H komutativní. Je-li R obor integrity, pak je i H obor integrity, [veta 3.2, str. 66] Důsledek. Každý podokruh tělesa je oborem integrity. Příklad. Podokruh tělesa nemusí být těleso: vždyť Zje podokruhem Q. Věta. Jestliže H je podokruh okruhu R a K je podokruh okruhu H, pak je K také podokruh okruhu R. [Zřejmé, vždyť operace + a • se v okruhu H počítají jako v R.] Podokruh okruhu generovaný podmnožinou okruhu Věta. Necht R je okruh, I neprázdná množina taková, že pro každé i G / je dán podokruh H\ okruhu R. Pak průnik H/e/ všech těchto podokruhů je opět podokruhem okruhu R. Definice. Nechť M je podmnožina okruhu R. Symbolem (M) označíme průnik všech podokruhů okruhu R, jejichž podmnožinou je množina M. Podle předchozí věty je (M) podokruhem okruhu R obsahující množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností. Podokruh (M) nazýváme podokruh generovaný množinou M, množinu M nazýváme množina generátorů podokruhů (M). Poznámka. Zřejmě (R) = R, (0) = {nl\ n G Z}. Označení. Je-li M = H U {a}, kde H je podokruh okruhu R a a G R, píšeme též H[a] místo (M). Věta. Necht H je podokruh komutativního okruhu R a a G R. Pak H[a] = {h0 + hxa + h2a2 + ••• + hnan\ n G N, h0, hľ,..., hn G H}. [Věta 3.12, str. 71] Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Necht R je komutativní okruh, a, b G /?. Řekneme, že prvek b dělí prvek a, neboli že prvek a je dělitelný prvkem b, píšeme b | a, jestliže existuje prvek q G /? takový, ze a — q - b. V opačném případě říkáme, že prvek b nedělí prvek a, neboli že prvek a není dělitelný prvkem b, píšeme b\ a. \/eŕa. Necht R je komutativní okruh, pak platí ► Va G /? : 1 a, a a; ► Va, b, c e R: a b, b c = > a ► Va, b, c e R: a b, a c = > a c; b+c; ► Va e /? : a e Rx a 1; b E R X ► Va,bG /?: aG /?x, b ► Va, b G /? : a G /?x =4> a [Věta 2.11, str. 63] Důsledek. Necht R je komutativní okruh, ai,..., an, b G /?, ui,..., un E R libovolné. Jestliže b | a/ pro každé i — 1,..., r?, pa/c Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Necht R je komutativní okruh, a, b g R. Řekneme, že prvky a, b jsou asociované, píšeme a ~ b, jestliže a | b a současně b | a. \/eŕa. Necht R je komutativní okruh. Relace asociovanosti ~ je relací ekvivalence na množině R. [věta 2.13, str. 63] Věta. Nechť R je obor integrity, a, b g R. Pak platí a ~ b, právě když existuje jednotka c g Rx tak, že a — c - b. [věta 2.15, str. 64] Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b g R. Libovolný prvek cg/? splňující c I a, c I b, se nazývá společný dělitel prvků a, b. Libovolný prvek d g R se nazývá největší společný dělitel prvků a, b, jestliže ► d I a, cf I b, ► Vc g /? : c I a, c I b =4> c | d. Tedy největší společný dělitel prvků a, b je takový jejich společný dělitel, který je dělitelný každým jejich společným dělitelem. Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b g R. Libovolný prvek cg/? splňující a | c, b | c, se nazývá společný násobek prvků a, b. Libovolný prvek d g /? se nazývá nejmenší společný násobek prvků a, b, jestliže ► a | d, b | c/, ► V c g /? : a I c, b I c =4> c/ | c. Tedy nejmenší společný násobek prvků a, b je takový jejich společný násobek, který dělí každý jejich společný násobek. Poznámka. Předchozí definice mírně pozměňují dříve definované pojmy „největší společný dělitel" a „nejmenší společný násobek" v Z. Definovali jsme je totiž pomocí uspořádání podle velikosti, které v obecném okruhu nemáme k dispozici. Dále budeme tyto pojmy používat podle nové definice, avšak zavedené označení (m. n) a [m. n] ponecháme. Tedy (m. n) značí nezáporný největší společný dělitel čísel m, n g Z. Podobně [m, n] značí jejich nezáporný nejmenší společný násobek. Dělitelnost v komutativních okruzích Věta. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Největší společný dělitel prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. Také nej menší společný násobek prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. [věta 2.17, str. 64] Definice. Necht R je obor integrity, a G R. Řekneme, že a je ireducibilní prvek okruhu /?, jestliže a 7^ 0, a ^ Rx a pro každé b, c G /? takové, že a = b • c, platí bG/?xac~a anebo c G /?x a b ~ a. Příklad. Ireducibilními prvky okruhu Z jsou právě prvočísla a čísla k nim opačná. Příklad. Je-li 7" těleso, pak v T neexistují žádné ireducibilní prvky. Věta. Necht R je obor integrity, a, b G R. Je-li a ireducibilní prvek okruhu R a b ~ a, pak je také b ireducibilní. Důkaz. Víme, že existuje jednotka e G Rx, že a = e • b. Zřejmě b 7^ 0, b £ Rx. Pro každé x, y G /?, b = x • y, je a = (e • x) • y. Okruhy s jednoznačným rozkladem Definice. Řekneme, že R je okruh s jednoznačným rozkladem, jestliže ► R je obor integrity, ► každé a G R, a ^ 0, a ^ Rx, lze rozložit na součin několika ireducibilních prvků, přičemž tento součin je jednoznačný až na pořadí a asociovanost. Příklad. Víme, že Zje okruh s jednoznačným rozkladem (například rozklady 6 = 2- 3 = 3- 2 = (-2) • (-3) = (-3) • (-2) se liší jen pořadím a asociovaností). Příklad. Každé těleso je okruh s jednoznačným rozkladem, neboť neobsahuje žádný prvek, který by byl nenulový a nebyl jednotka. Příklad. V okruhu Z[/] je možné dokázat větu o dělení se zbytkem (aby se dalo říct, že zbytek je „menší" než číslo, kterým se dělilo, je třeba nějak měřit velikost zbytku; v tomto případě to lze udělat pomocí absolutní hodnoty), [veta 3.4, str. 67] Stejnou úvahou jako v Z, tedy pomocí Euklidova algoritmu a Bezoutovy rovnosti lze pak ukázat, že Zf/1 je okruh s jednoznačným rozkladem. Příklad Nechť R = Z[iy/5] = {a + biVŠ; a, b e Z}. Pak R je obor integrity, protože je podokruhem C. Definujme zobrazení N : R —> Z takto: pro libovolné a = a + bi\/5 klademe A/(a) = \a\2 = a2 + 5b2. Jestliže f3 \ a v R, existuje 7 G R tak, že a = /3 • 7, a tedy A/(«) = |/3 • 7|2 = \f3\2 ■ |7|2 = N{P) ■ A/(7), tudíž A/(/3) | N(a) v Z. Je-li a = a + biVŠ e Rx, pak a | 1 v R, a proto A/(o) | A/(l) = 1. Odtud a2 + 5b2 = 1, proto b = 0, a = ±1. Je tedy /?x = {1, -1}. Platí 6 = 2 • 3 = (1 + /'v5)(l — 'v5), přitom tito všichni čtyři činitelé jsou ireducibilními prvky okruhu R. Je totiž A/(2) = 4, A/(3) = 9, A/(l + /-y/5) = A/(l - /'VŠ) = 6. Kdyby například 1 + iy/5 = 7 • S pro nějaké 7, 5 G /? - Rx, platilo by A/(7) > 1, A/(5) > 1, A/(7) • A/(5) = 6. Proto A/(7) G {2,3}, což je spor, protože rovnice x + 5y2 = 2 a x2 + 5y2 = 3 nemají řešení v Z. Jsou tedy 2 • 3 = (1 + /VŠ)(1 - iy/Š) součiny ireducibilních prvků lišící se více než poradím a asociovaností, proto R není okruh s jednoznačným rozkladem. Pokračovaní příkladu Označme a = (1 + /VŠ)2 = 2(-2 + /'VŠ), /3 = 2(1 + /VŠ) a ukažme sporem, že a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Předpokládejme tedy, že 7 = x + yi^/b je největší společný dělitel čísel a, (3. Pak platí 7 | a, 7 | (3 v R, a tedy A/(7) | A/(a) = 36, A/(7) I A/(/3) = 24 v Z, tedy A/(7) | 12. Na druhou stranu 2 a 1 + jsou společní dělitelé čísel a, /3, a tedy 2 I 7 a 1 + / VŠ | 7 v /?, a tedy 4 = A/(2) | N{^) a 6 = A/(l + / VŠ) I A/(7) v Z, tedy 12 | A/(7). Dohromady 12 = N{^) — x2 + by2. Taková x,y £ Z však neexistují. Proto a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Polynomy nad libovolným okruhem R Poznámka. Abychom nemuseli definovat, co je to výraz a kdy jsou si dva výrazy rovny, nezavedeme polynom jako výraz určitého tvaru, ale pomocí posloupnosti koeficientů. To lze udělat nad libovolným okruhem R. Definice. Nechť R je okruh. Polynomem nad okruhem R rozumíme nekonečnou posloupnost f = (ŕo, fi, • • •), kde f j E R pro každé / = 0,1, 2,... a platí, že množina {/ e N U {0}; f; ^ 0} je konečná. Prvky ŕo, fi, ŕ?,... nazýváme koeficienty polynomu f. Množinu všech polynomů nad okruhem R označujeme symbolem R[x\. Dohoda. Koeficienty polynomu f budeme automaticky označovat symboly /b, ŕi, ... . Věta. Necht R je okruh. Na množině R[x] definujeme operace +, • vztahy (f + g)i = fi+ gh (f ' g)i = EUo fkgi-k pro každé f,g£ R[x], i e Z, i > 0. Pak (/?[x], +, •) je okruh. Je-li R komutativní, pak R[x] je také komutativní, [věta 5.2, str. 78] Polynomy nad libovolným okruhem R Definice. Okruh R[x] se nazývá okruh polynomů nad okruhem R. Věta. Necht R je okruh. Zobrazení k : R —>> R[x] určené předpisem k(a) — (a, 0, 0,...) je vnoření, [veta 5.4, str. 79] Ztotožnění. Polynomy tvaru (a, 0,0,...) se nazývají konstatntní. Předchozí věta nám umožňuje ztotožnit a £ R s konstantním polynomem (a, 0, 0,...). Tím se okruh R stává podokruhem okruhu R[x]. Polynom 0 = (0, 0, 0,...) se nazývá nulový, ostatní polynomy se nazývají nenulové. Definice. Nechť ŕ je nenulový polynom nad okruhem R. Největší n > 0 takové, že fn 7^ 0, se nazývá stupeň polynomu f', značíme st(f). (Takové n existuje, vždyť množina {/ e N U {0}; f; 7^ 0} je konečná.) Koeficient fn se pak nazývá vedoucí koeficient polynomu f. Stupeň nulového polynomu klademe roven — 00, jeho vedoucí koeficient nedefinujeme. Příklad. Polynomy stupně 0 jsou právě nenulové konstantní polynomy. Polynomy nad libovolným okruhem R Definice. Polynomy stupně 1 se nazývají lineární, polynomy stupně 2 kvadratické, polynomy stupně 3 kubické. Lineární polynom (0,1, 0, 0,...) budeme označovat symbolem x. Příklad. Zřejmě x2 = (0,0,1,0,0,...), x3 = (0,0,0,1,0,...) atd. Věta. Nechť R je okruh a ŕ G R[x] nenulový polynom stupně n. Pak platí f = fn • xn + • • • + f\ • x + ŕo, kde koeficienty f\ polynomu f chápeme jako konstantní polynomy a operace + a • jsou operace V Okruhu R[x] . [Věta 5.8, str. 80] Poznámka. Přestože jsme polynomy nedefinovali jako výrazy, předchozí věta nám umožňuje s nimi tak pracovat. Dohoda. V následující větě budeme potřebovat tyto vztahy pro počítání s nekonečnem: —oc < n, (—oc) + (—oc) = (—oc) + n = n + (—oc) = —oc pro libovolné n G Z, n > 0. Polynomy nad libovolným okruhem R Věta. Nechť R je okruh a f,g E R[x]- Pak platí ► st(f + g) < max{st(r),st(s)}f ► st(f -g) n a že pro polynomy stupně menšího než m již bylo dokázáno. Polynom g • a"1 • bm • xm_n má stejný stupeň i vedoucí koeficient jako f, proto pro polynom h = f — g • a"1 • bm • xm_n platí st(h) < m. Z indukčního předpokladu existují p,r G /?[x] tak, že st(r) < st(g-) a platí h = g - p + r. Pak dosazením a úpravou dostaneme f = g ■ a"1 • bm ■ xm~" + h = g- (a"1 • bm ■ xm~" + p) + r. Stačí označit q = a"1 • bm ■ xm~n + p. Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Necht R je okruh, f,g E R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g ^ 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q,r G R[x] taková, že st(r) < st(g") a platí f = g • q + r. Důkaz jednoznačnosti q, r. Předpokládejme, že q, r, g, ř G R[x], přičemž st(r) < st(g-) a st(ř) < st(g-), splňují f — g - q + ľ — g • q + r. Pak g - {q — q) — r — ľ. Vedoucí koeficient polynomu g není dělitel nuly, tedy st(g) + st(q - q) = st(g • (q - q)) = st(r - 7) < st(g). Pak tedy st(q — q) < 0, tj. q = q, odkud ľ — r. Euklidův algoritmus v okruhu polynomů nad tělesem Poznámka. Je-li R je těleso, je v R[x] vedoucí koeficient každého nenulového polynomu jednotkou. Proto pro libovolné nenulové polynomy f,g E R[x] lze postupovat podle Euklidova algoritmu f = g ' Qo + r0, g = r0 • qi + ri, ro = ri • q2 + r2l n = r2 • q3 + r3j 0?-2 = /Vi-1 • <7n + /Ví, Oi-l = ' + 0. Přitom st(g-) > st(ro) > st(ri) > st(r2) > ..., proto skutečně po několika děleních nastane rn+i = 0. Největší společný dělitel v okruhu polynomů nad tělesem Věta. Necht R je těleso. Pak libovolné dva nenulové polynomy f,g£ R[x] mají v R[x] největší společný dělitel d £ R[x], který je možné spočítat pomocí Euklidova algoritmu (jako poslední nenulový zbytek v prováděných děleních) a vyjádřit jej Bezoutovou rovností, tj. existují a, b £ R[x] tak, že d — a • f + b • g. [Věta 5.18, str. 83], [Věta 5.20, str. 84] Definice. Nenulový polynom se nazývá normovaný, je-li jeho vedoucí koeficient roven 1. Poznámka. Je-li R těleso, je R[x] obor integrity a platí (/?[x])x = Rx = R*. Je tedy každý nenulový polynom z R[x] asociovaný s právě jedním normovaným polynomem. Definice. Nechť R je těleso, f,g£ R[x] nenulové polynomy. Označme (f,g) normovaný největší společný dělitel polynomů f a g. O polynomech f a g řekneme, že jsou nesoudělné, je-li (f,g) = 1. Věta. Nechť R je těleso, f,g,h£ R[x] nenulové polynomy. Jestliže f | g • h a současně (ŕ, g) = 1, pak f | h. [věta 5.23, str. 85] Ireducibilní polynomy Věta. Nechť R je těleso, f G R[x]. Polynom f je ireducibilní prvek okruhu R[x], právě když f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R[x]. [věta5.24,str.85] Definice. Nechť R je okruh, f G R[x] se nazývá ireducibilní polynom nad /?, jestliže f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R[x\. Varování. Pozor, rozlišujte pojmy „ireducibilní polynom nad okruhem R" a „ireducibilní prvek okruhu " Příklad. Je-li R těleso, jsou ireducibilní polynomy nad R právě ireducibilními prvky okruhu R[x\. Příklad. Konstantní polynom 2 je ireducibilním prvkem okruhu Z[x], ale není ireducibilním polynomem nad Z. Polynom 2xje ireducibilní polynom nad Z, ale není ireducibilním prvkem okruhu Z[x]. Věta. Nechť R je těleso, f,g, h G R[x] polynomy, přičemž f je ireducibilní nad R. Jestliže f g • h, pak f I g nebo f h. Okruh polynomů nad libovolným tělesem je okruhem s jednoznačným rozkladem Věta. Nechť R je těleso, f £ R[x] nenulový polynom. Pak existuje k £ Z, k > 0, a £ R* a normované ireducibilní polynomy Pii • • • , Pk £ R[x] tak, že f = a • pi • ... • pk. Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů. [Věta 5.27, str. 86] Důsledek. Jestliže R je těleso, je R[x] okruh s jednoznačným rozkladem. Poznámka. Předchozí důsledek lze značně zesílit, platí totiž následující věta: Věta. Nechť R je okruh. Pak okruh polynomů R[x] je okruhem s jednoznačným rozkladem, právě když okruh R je okruhem s jednoznačným rozkladem. [Větu uvádíme bez důkazu.] Důsledek. Okruh Z[x] je okruhem s jednoznačným rozkladem. Kořen polynomu Definice. Nechť R je okruh, f = anxn + • • • + a\x + ao G R[x], c G R. Pak prvek an • cn + • • • + a\ • c + ao G /? značíme ŕ(c) a nazýváme hodnota polynomu ŕ v prvku c. \/era. Nechť R je komutativní okruh, f,g G R[x], c G R. Pak platí ► {f + g){c) = f{c)+g{c), ► (f ' g)(c) = f(c) ' g(c). [Věta 6.2, str. 87] Poznámka. Předpoklad o komutativitě byl podstatný pro násobení: jestliže pro a, c G /? platí a-c/c-a, pak pro ŕ = x, g" = a je {f • g)íc) = (* ' = (ax)(c) = a-c^c-a = f{c) • #(c). Důsledek. Nechť R je komutativní okruh, c G R. Pak zobrazení a : R[x] R určené předpisem a(f) = f(c) pro každé f G /?[x] je homomorfismus okruhů. Definice. Necht /? je okruh, f G /?[x], c G R. Řekneme, že c je kořenem polynomu f, jestliže f (c) = 0. Násobnost korene polynomu Věta. Necht R je komutativní okruh, f G R[x], c G R. Pak platí: c je kořenem polynomu f, právě když (x — c) | f v okruhu R[x]. [Věta 6.5, str. 87] Definice. Necht R je komutativní okruh, f G R[x], f ^ 0, c G R, f (c) = 0. Přirozené číslo k se nazýva násobnost kořene c polynomu f, jestliže (x — c)k \ f a (x — c)k+1 {ŕ v okruhu R[x]. Kořeny násobnosti 1 se nazývají jednoduché. Poznámka. Podmínka (x — c)k | f znamená, že existuje g G R[x] tak, že (x — c)k - g — f. Protože (x — c)k je normovaný polynom stupně k, platí k + st(g) = st(r). Přitom g ^ 0, tedy st(g-) > 0, odkud plyne k < st(ŕ). Proto nenulový polynom nemůže být dělitelný každou mocninou polynomu x — c a předchozí definice jednoznačně určuje násobnost každého kořene libovolného nenulového polynomu nad komutativním okruhem. Příklad. Kvadratický polynom x2 — [1]q G Zq[x] má čtyři jednoduché kořeny [—l]si [3]s, [—3]s- Počet kořenů polynomu nad oborem integrity Věta. Necht R je obor integrity, f £ R[x], f ^ 0. Polynom f má nejvýše st (ŕ) kořenů v R, počítáno i s násobností. Přesněji: součet násobností všech kořenů polynomu f v R je menší nebo roven st(r) Důkaz. Nechť ci,..., cs jsou různé kořeny polynomu f v R, nechť k\ je násobnost kořene q. Pak (x — q)ki | f v R[x]. Označme K podílové těleso oboru integrity R, tedy R je podokruhem tělesa K. Pak (x — q)ki | f v K[x]. Přitom x — ci, ..., x — cs jsou různé normované ireducibilní polynomy v K[x]. Rozložíme-li f na součin vedoucího koeficientu f a normovaných ireducibilních polynomů v K[x], z jednoznačnosti rozkladu plyne, že se mezi nimi polynom x — q objeví alespoň /c,-krát pro každé / = 1,..., s. Proto ri/=i(x - ci)ki I f- Protože K je těleso, platí J21=i ki < st(r)- Podtělesa Definice. Nechť T je těleso. Libovolný podokruh R tělesa T takový, že pro každé a G /?, a / 0 platí a-1 G R, nazýváme ___ -v ___ podtělesem tělesa T. Říkáme též, že T je rozšířením tělesa R. Anebo také, že R C T je rozšírením těles (v literatuře se hojně používá zápis: T/R je rozšířením těles). Jinými slovy: podokruh R tělesa T je podtělesem, jestliže R je těleso. Príklad. Každé těleso charakteristiky p 7^ 0 obsahuje podtěleso izomorfní s Zp. \/eŕa. Necht R je těleso a T netriviální okruh. Pak každý homomorfismus okruhů p : R —> T je injektivní. Důkaz. Nechť p : R —> T je homomorfismus okruhů, stačí ukázat, že ker p = {0}. Kdyby nějaké a G ker p bylo nenulové, existoval by v R inverzní prvek a~ľ. Pak by 1 = p(l) = p(oi • c^_1) = = p(oi) • = 0, a tedy by T byl triviální okruh, spor. Podtěleso generované množinou Věta. Necht I ^ 0 je libovolná množina taková, že pro každé i G / je dáno podtěleso R; tělesa T. Pak f]je/ R; je podtěleso tělesa T. Definice. Nechť T je těleso. Předchozí věta nám umožňuje definovat podtěleso tělesa T generované množinou M C T jako průnik všech podtěles tuto množinu obsahujících. Je to tedy nejmenší podtěleso tělesa T obsahující M. Je-li M = R U {ci,..., cn}, kde R je podtěleso tělesa T a ci,..., cn G T, pak podtěleso generované množinou R U {ci,..., cn} značíme /?(ci,..., cn). Poznámka. Připomeňme, že je-li T okruh, R jeho podokruh a ci,..., cn G 7", pak podokruh generovaný množinou /? U {ci,..., cn} značíme R[c±,..., cn\. V situaci z definice mají tedy smysl oba zápisy, zřejmě platí R[c±,..., cn] C /?(ci,..., cn). Vektorový prostor nad tělesem R Definice. Necht R je těleso, (V,+) komutativní grupa. Necht pro každé r G R a každé v G V je definován prvek r - v G V tak, že pro každé ri, r2 G R a každé vi, v2 G V platí ► (i + r2) • vi = ri • vi + r2 • vi, ► 1 • (vi + v2) = ri • vi + ri • v2l ► a • (r2 • ui) = (n • r2) • ► 1 • vi = vi, pak říkáme, že V je vektorový prostor nad R, prvky tělesa R v této souvislosti nazýváme skaláry, prvky grupy V nazýváme vektory. Neutrální prvek grupy V se nazývá nulový vektor, inverzní prvek k libovolnému vektoru u v grupě V nazýváme opačný vektor k u a značíme —u. Poznámka. Přiřazení (r,v)\->r-vz definice vektorového prostoru je zobrazením R x V —> V, nejde tedy o operaci na množině, protože R a V jsou obecně různé množiny. Přesto r • v nazýváme součin skaláru r a vektoru v. Pod prostor vektorového prostoru Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R a 1/1/ je podmnožinou V. Řekneme, že 1/1/ je podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí ► 1/1/^0, ► pro každé u, v G 1/1/ je u + v G l/l/, ► pro každé r G /? a každé l/ G 1/1/ je r • u e l/l/. Vera. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R, I neprázdná množina taková, že pro každé i G / je dán podprostor l/l// vektorového prostoru V. Pak průnik P|/G/ l/l// všech těchto podoprostorů je opět pod prostorem vektorového prostoru V. Definice. Nechť M je podmnožina vektorového prostoru V nad tělesem R. Pak průnik všech podprostorů vektorového prostoru V, jejichž podmnožinou je množina M, je podle předchozí věty pod prostorem vektorového prostoru V obsahujícím množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností. Tento podprostor nazýváme podprostor generovaný množinou M, množinu M nazýváme množina generátorů podokruhů (M). Lineární kombinace Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R a jsou dány iii,...,^e V. Řekneme, že vektor v E V je lineární kombinace vektorů ui,..., Uk, jestliže existují skaláry ri,..., G /? tak, že v — r\ - u\ -\-----\- rk • Uk- Množinu všech lineárních kombinací vektorů ui,...,Uk budeme značit L(ui,..., l//c). VEŕa. A/echť V je vektorový prostor nad tělesem R a jsou dány ui,..., Uk & V. Pak L(i7i?..., Uk) je podprostor vektorového prostoru V generovaný množinou {u±,..., l/^}. VEŕa. A/echť V je vektorový prostor nad tělesem R a jsou dány Úl,..., l//c, vi,..., vt G V tak, že vi,..., vt G /.(^í,..., Uk). Pak Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R a jsou dány ííi,...,^^ V. Řekneme, že vektory ui,...,Uk jsou lineárně závislé nad tělesem /?, jestliže existují skaláry ri,..., /> G /? tak, že ri • L/i H-----h r/c • íí/c = 0 a současně je alespoň jeden ze skalárů ri,..., /> nenulový. V opačném případě řekneme, že vektory ui,...,Uk jsou lineárně nezávislé nad tělesem R. Poznámka. Vektory ui,...,Uk jsou tedy lineárně nezávislé nad tělesem R, právě když pro každé skaláry ri,..., r k G R platí ri • ui + • • • + ľk • Uk = 0 ri = • • • = ľk = 0. Poznámka. Přesnější než o vektorech ui,...,Uk by bylo hovořit o posloupnosti těchto vektorů - některý vektor se totiž může mezi těmito vektory zopakovat. V takovém případě jde vždy o lineárně závislé vektory. Stejně tak i v situaci, kdy je některý z vektorů nulový. Věty o lineární závislosti a nezávislosti vektorů Věta. A/echť V je vektorový prostor nad tělesem R a jsou dány L/l, . . . , U k G V. ► Je-li /c = 1, pak vektor u\ je lineárně závislý, právě když ui = 0. ► Je-li k > 2, pak vektory ui,...,Uk jsou lineárně závislé, právě když existuje / G {1,..., k} tak, že je lineární kombinací ostatních vektorů (tj. vektorů l/i, ..., l//_i, ..., tf/c)- Váta (Steinitz). A/echť V je vektorový prostor nad tělesem /? a jsou dány l/i,..., Uk, vi,..., vt G V, přičemž vektory vi,..., vt jsou lineárně nezávislé a splňují vi,..., vt G /.(^í,..., Uk). Pak platí ► t < k. ► Při vhodném přečíslování vektorů l/i, ..., Uk je • • • ,Uk) = L(vi,... ,vu Ut+l, ..., Uk). Báze a dimenze vektorového prostoru Definice. Konečná posloupnost u±,..., Uk vektorů vektorového prostoru V nad tělesem R se nazývá bází prostoru V, jestliže ► ui,...,Uk jsou lineárně nezávislé, ► V = L(u\,..., u/f), tj. množina {l/i, ..., u^} generuje vektorový prostor V. Poznámka. Ze Steinitzovy věty plyne, že jsou-li 1/1,..., Uk a vi,... ,vt dvě báze téhož prostoru V, pak /c = t. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R. ► Je-li V = {0}, pak říkáme, že vektorový prostor V má dimenzi nula. ► Jestliže existuje báze u±,..., u k prostoru V, řekneme, že vektorový prostor V má dimenzi k. ► Jestliže V {0} a současně neexistuje žádná báze prostoru V, řekneme, že vektorový prostor V má dimenzi oc. Stupeň rozšírení těles Je-li R podtělesem tělesa 7, pak můžeme aditivní grupu (7", +) chápat jako vektorový prostor nad tělesem R\ skalárním násobkem vektoru t G 7 skalárem r G R je součin r • t počítaný v tělese 7. Axiomy vektorového prostoru jsou splněny: pro každé skaláry ri, r2 G R a každé vektory ti, t2 G 7 platí ► (i + r2) • ti = ri • ti + r2 • h, ► a • (ti + t2) = a • ti + ri • t2i ► 1 • (r2 • ti) = (ri • r2) • ti, ► 1 • h = ŕi, (v 7" platí distributivní zákony, násobení je asociativní a 1 je jednička). Máme tedy definovánu dimenzi dim/? 7 G N U {oc}, zřejmě tato dimenze nemůže být nula. Definice. Nechť R C T je rozšířením těles. Jeho stupněm [7~: /?] rozumíme dimenzi vektorového prostoru T nad tělesem R, tj. [7: R] = dimfi 7. Multiplikativnost stupně rozšírení Věta. Nechť R C S, S C T jsou rozšírení těles. Pak platí [T : R] = [7 : S] • [S : /?], 7 [t:s] S [s:/?] [t:/?] /cc/e užívame konvence n • oc = oc • n = oc pro každé r? G N U {oc} Důkaz. Je-li [S : /?] = oc, pro každé r? G N v S existuje r? lineárně nezávislých prvků nad /?, protože S C 7, jsou tyto prvky v 7 a platí [7 : /?] = oc. Je-1i [7 : S] = oc, pro každé r? G N v 7 existuje n lineárně nezávislých prvků nad S. Ty jsou lineárně nezávislé i nad R, a proto [7 : R] = oc. Necht n = [7 : S] G N, m = [S : R] G N. Necht ai,...,an je báze 7 nad S, fii,... ,/3m báze S nad R. Ukážeme, že a;/3/ (1 < / < r?, 1 < y < m) je bází 7 nad R. Necht 7 G 7 je libovolný. Pak existují 5i,..., Sn G S, že 7 = X)ľ=i ■ Existují tedy £,y G /?, že Sf = X)>=i Pro každé /. Dosazením n / m \ nm 7 = Y (Y euPj )ai = Y Y eáaiPj)- /=i V j=i J í=ij=i Tedy a//3y (1 < 1: < n, 1 < j < m) je množina generátorů 7 nad R. Je-li X)ľ=i ^2jLi£ij{aifij) Pro nějaké £,y G /? nulový vektor, pak z lineárni nezávislosti cti,... ,an nad S dostaneme, že YljLi sijPj — 0 pro každé / = 1,..., n a z lineárni nezávislosti Ä, • • •, fim nad /? dostaneme, že e-,j — 0 pro každé i J. Tedy a;/3; (1 < / < r?, 1 < j < m) je báze 7 nad /?. Algebraické a transcendentní prvky Mějme rozšírení těles /? C 7~ a polynom f = anxn H-----\- aľx + a0 e R[x]. Pak je také f G 7"[x], a proto pro každé c G T můžeme uvažovat hodnotu f (c) — an • cn + • • • + a\ • c + ao G 7". Pripomeňme, že c se nazýva kořenem polynomu f, je-li ŕ(c) = 0. Definice. Necht /? C T je rozšírením těles, c G 7". Řekneme, že prvek c je algebraický nad tělesem /?, jestliže existuje nenulový polynom f G R[x], jehož je c kořenem. V opačném případě říkáme, že prvek c je transcendentní nad tělesem R. Poznámka. Je-li c kořenem polynomu f = anxn + • • • + aix + ao G R[x] stupně n, je an ^ 0, a tedy existuje a"1 G /?, proto c je také kořenem normovaného polynomu a"1 • f = xn + • • • + a~xa\x + a~1ao G ft[x]. Poznámka. O komplexním čísle c říkáme, že je algebraické (resp. transcendentní), je-1i c algebraické (resp. transcendentní) nad tělesem racionálních čísel Q. Minimální polynom algebraického prvku Věta. Necht R C T je rozšírením těles, c G T algebraický prvek nad R. Pak c je kořenem právě jednoho normovaného ireducibilního polynomu f G R[x]. Navíc platí 1. pro libovolný h G R[x] je h{c) — 0, právě když f \ h v R[x], 2. R(c) = R[c] v T, 3. 1, c, c2,..., cn~ľ, kde n = st f, je bází vektorového prostom R[c] nad R, 4. stupeň rozšíření [R (c) : R] = str. Důkaz. Protože c je algebraický prvek nad R, můžeme mezi všemi normovanými polynomy z R[x], jejichž je c kořenem, zvolit polynom co možná nejmenšího stupně a označit jej f. Označme n = st f. Zřejmě n > 0. Kdyby f — g - h pro nějaké nekonstantní polynomy g,h G /?[x], tak by bylo možné je zvolit oba normované a dostali bychom spor, protože st g < n, st h < n a přitom c by byl kořenem alespoň jednoho z nich. Je tedy f ireducibilní. Zvolme libovolný h G R[x] takový, že h(c) — 0. Vydělíme-li polynom h polynomem f se zbytkem, dostaneme polynomy q,r G R[x] takové, že h = q • f + r, přičemž st r < n. Protože 0 = h(c) = q(c) • f (c) + r(c) = r(c), kdyby r nebyl nulový polynom, existoval by v R[x] normovaný polynom stupně str mající kořen c, což by byl spor s naší volbou polynomu f. Proto f | h v R[x]. Protože opačná implikace je zřejmá, dokázali jsme bod 1. Je jasné, že normovaný polynom s kořenem c splňující bod 1 je jediný (kdybychom měli takové polynomy dva, každý z nich by dělil toho druhého). Podle věty o podokruzích generovaných množinou platí, že libovolný prvek a G R[c] je tvaru a = h(c) pro nějaký polynom h G R[x\. Dělením se zbytkem opět dostaneme polynomy q, r G R[x] takové, že h = q • f + r, přičemž st r < n. Opět a = h(c) = q(c) • f (c) + r(c) = r(c). Proto 1, c, c2,..., cn_1 generují vektorový prostor /?[c] nad /?; kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, existoval by v R[x] nenulový polynom stupně menšino než n, který by měl c za kořen, a to by byl spor. Dokázali jsme bod 3. Zbývá ukázat, že R(c) = R[c], jinými slovy, že R[c] je těleso. Víme, že libovolný nenulový prvek a G R[c] je tvaru a = h(c). Protože h(c) — a ^ 0, tak f \ h, a protože ŕ je ireducibilní, tak jsou f a h nesoudělné. Proto jejich největší společný dělitel 1 lze vyjádřit Bezoutovou rovností, tedy existují polynomy a, b G R[x] tak, že 1 = a • f + b • h. Dosazením c odtud dostaneme 1 = a(c) • f (c) + b(c) • /?(c) = b(c) • /?(c) = b(c) • a Je tedy b(c) G /?[c] inverzní prvek k prvku a v okruhu /?[c]. Dokázali jsme bod 2, díky níž z bodu 3 plyne bod 4. Definice. Polynom ŕ G /?[x] z předchozí věty nazýváme minimální polynom algebraického prvku c G T" nad /?. (Ne)řešitelnost geometrických úloh pravítkem a kružítkem Z antiky pocházejí tři problémy, jejichž řešení pravítkem a kružítkem nebylo známo: ► trisekce úhlu (rozdělit daný úhel na třetiny), ► zdvojení krychle (k dané krychli sestrojit krychli dvojnásobného objemu, tj. k úsečce dané délky najít úsečku v^-krát delší), ► kvadratura kruhu (k danému kruhu sestrojit čtverec o stejném obsahu). Abychom mohli dokázat, že žádné řešení těchto úloh neexistuje, musíme přesně specifikovat, co to znamená řešit úlohu pravítkem a kružítkem. Předpokládejme, že v rovině je zadáno konečně mnoho bodů popisujících zadání úlohy. Těmto bodům budeme říkat význačné. Smíme sestrojit libovolnou přímku procházející dvěma význačnými body a libovolnou kružnici, jejímž středem je význačný bod a poloměrem vzdálenost některých dvou význačných bodů. Libovolný průsečík sestrojených kružnic či přímek můžeme přidat k význačným bodům. Jde o to, jestli po konečně mnoha krocích lze docílit toho, že mezi význačnými body je bod, který popisuje řešení dané úlohy. Zavedeme v této rovině soustavu souřadnic, rovinu tedy ztotožňujeme s kartézským součinem IR x IR. Označme 7q podtěleso tělesa K. generované x-ovými a y-ovými souřadnicemi všech zadaných bodů. Pokud bylo přidáno celkem n význačných bodů, definujeme tělesa 7~i,..., Tn takto: těleso 7/ je generováno tělesem T;_i a souřadnicemi /-tého význačného bodu. Naším cílem je dokázat, že rozšíření těles 7q C Tn je konečné a jeho stupeň [Tn : 7q] | 2n. Označme [x/,y,-] souřadnice /-tého význačného bodu. Tento bod byl získán jako průsečík sestrojených přímek či kružnic, rovnice takové přímky je tvaru ax + by = c, kde a, í), c G 7"/_i, rovnice takové kružnice tvaru (x — m)2 + (y — n)2 — u, kde m, r?, u £ 7"/_i. Proto [x/,y,-] je řešením soustavy dvou lineárních rovnic anebo soustavy jedné lineární a jedné kvadratické rovnice s koeficienty v T;_i (případ dvou kružnic vede sice na soustavu dvou kvadratických rovnic, jejich odečtením však dostaneme rovnici lineární). Dosazením z lineární rovnice do druhé rovnice získáme rovnici lineární nebo kvadratickou pro jednu ze souřadnic [x/,y,-] s koeficienty v T;_i. Minimální polynom získaného řešení nad tělesem T;_i má stupeň 1 nebo 2, druhou ze souřadnic dopočítáme z lineární rovnice. Proto [T; : T;_i] < 2. z věty o násobení stupňů rozšíření dostáváme [Tn : 7q] | 2n. Neřešitelnost úlohy zdvojení krychle Jsou dány dva body o souřadnicích [0,0] a [0,1], cílem je získat bod [0,^2]. Je tedy 7~o = Q. Protože x3 — 2 je minimální polynom čísla y/2 nad Q, platí [Q(^2) : Q] = 3. Jestliže tedy y2 e Tn, pak 3 | [Tn : To]. Tn Q(v^) T0 = Q To spolu s odvozenou dělitelností [Tn : To] | 2" dává spor 3 | 2". Neřešitelnost úlohy trisekce úhlu Ukážeme, že nemůžeme sestrojit pravítkem a kružítkem úhel |. Vzhledem k tomu, že umíme sestrojit úhel ^ jako vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníka, bude to znamenat, že nelze rozdělit na třetiny libovolný zadaný úhel. Jsou dány dva body o souřadnicích [0,0] a [0,1], cílem je získat bod [cos |, sin |]. Opět máme Tq = Q. K nalezení minimálního polynomu čísla cos | využijeme vzorec cos 3a = cos3 a — 3 cos a sin2 a = 4 cos3 a — 3 cos a. Pro a = ^ dostáváme, ze c — 2cos| je kořenem polynomu x3 — 3x — 1. Tento kubický polynom nemá racionální kořen (±1 kořen není), a tedy je ireducibilní nad Q. Odtud [Q(cos f) : Q] = 3 a stejně jako v předchozím případě dostáváme spor. Neřešitelnost úlohy kvadratury kruhu V tomto případě využijeme toho, že tt je transcendentní číslo (tento fakt zde nebudeme dokazovat). Jsou dány dva body o souřadnicích [0,0] a [0,1]. Kruh jednotkového poloměru má obsah 7r. Cílem je získat bod [0, y/Ťr\. Opět máme Tq = Q. Předpokládejme, že y/Ťr £ Tn, pak tv e Tn. Protože 7T je transcendentní nad Q, plyne odtud [Tn : Q] = oc, což je spor s tím, že Q C Tn je konečné rozšíření.