Kapitoía I VEKTOROVÉ PROSTORY § i. DEFINICE VEKTOROVÉHO PROSTORU, PODPROSTORY Definice : Nechf P je pole, nechf V je aditivní abelovská grupa a nechf pro každý prvek p £ P a každý prvek u € F je definován prvek p . u G V tak, že platí i f? . (tj + v) = p.Uřp.T ■ {/? + 0 . 11 = 0 . U + , U ip . q) . u '= p . (q . u) 1 4 u = u Pak F nazýváme vektorovým prostorem nad polem P Prvky množiny F nazýváme vektory , prvky množiny P nazýváme skaláry. Nulový prvek i V nazýváme nulovým vektorem a označujeme 0 , opačný prvek k u €: F nazýváme opačným vektorem k vektoru u a označujeme - a . Prvek p . ií nazýváme součinem skalám p s vektorem u Poznámka ; VýŠe definovaný součin skaláru s vektorem je vlastné? speciálním typem zobrazení, a sice zobrazením P x F -* V , které někdy nazýváme- vnéjší 0-peraci , na rozdíl od (binární) operace na množině, napr, V . což je zobrazení v x které se pak nazývá vnitřní operací V definici vektorového prostoru se setkáváme se třemi vnitrními operacemi 1 jednou vnéjsí operací, při Čemž některé označujeme stejnými symboly (sčítání ve V a sčítání v P symbolem + , resp. násobení v P 3 násobení skaláru 5 vektorem označujeme symbolem „ ) I když nemůže dojit k nedorozuměni (vzhledem k tomu, ře vektory od skalárů odlišujeme graficky) , je třeba si tuto skutečnost dobře uvědomit. Příkiad 1.1 í Nechf £ = (£. + ,) je libovolně pole. nechf T C S je libovolné podpole pole S Pak zřejmé {S , * í je aditivní abelovská grupa, která je vekí ořovým prosí ořem nad polem T, jestliže součinem skalám z T s vektorem z 5 rozumíme součin íčchro prvků v poli S 0) m (iíi) (iv) Takto lze tedy chápat R jako vektorový orosíor nad Q resp R jako vektorový prostor nad R (při obvyklých operacích sčítání & násobtní čísel) i když V obou případech jde o tutéž množinu, totiž R , uvažované vektorové íirostory jsou zřejmí různé. Přiklad 1.2 : Nechf V = {o} je jednoprvková gfUpä a ricchť" P jc- libovomé pole Pro každé pGp definujme p . o = a , ??J: F je vektorovým pros- íoreiTi pad poiem který budeme, nazýva? svalovým vektorovým prostorem (natí polem P ) . Přiklad Í.3 :'. N ech ľ P je libovolné pole. nechf r? je pevjič pSroaeííil Čfefô, Označme : a definujme pro lib. u * ■ , u ) , v - fvis - , ?...)€ p G P : u -ŕ ŕ - = <«! + Piv - . í p. U - (P , i/,. - ,pk wn) Pak zrejmé' u t v G P*"', /> „ m € í^"* i lehce se ověří, že Pin> je vektorovým pros-torem nad polem P Tem o přiklad bude nejčastěji používaným pri kladem wkiorovéhc prostoru, zejména pro P = R . Dalším zajimavým specielním případem tohoto typu je vektorový prostor Z*"* (kde p je prvočislo) , který má zřejmé konečný počet prvku. Příklad 1.4 ; Označme R [x) množinu všech polynomů c neurčité g . s reái^ ný m i koeficienty. Na množině Rjjrj definujme operaci + jakožto oby&jííí ocitáni polynomu, resp. pro iibovolné ó € R f E R(,ic] definujeme p . f jfckožtc obyčejný násobek polynomu f reálným Číslem p Vzhledem k těmto operacím je R [x] vektorovým, orostorem nad pelem. R Nulovým vektorem tohoto vektorového prostoru je pak zřejmé1 nulový polynom, tj polynom, jehož všechny koeficienty jsou nulové Přiklad l.S - Nechf n je pevné přirozené cislo Označme R jJf| množinu sestávající z nulového polynomu ciaie ze všech polynomu o neurčité 5t s reálnými koeficienty, stupně <« Operace definujeme stejně jako v příkladu f.4. Pttíotn sc lehce ovéři, že R [x] je vektorovým prostorem nací polem R - 7 - Věta 1.1 : Nechť V je vektorový prostor nad polem P , necht* pkq E P u,v 6 V Pak piati : 1. p . (u - v)■ = p . u - p . v 2. (p . u = p „ u - q . u 3. p . v' = o # p = 0'nebo u = o 4. (- 1) . u = - u (D ú k a z : ad 1: p . (u v> - p # + q > - u + < . u') = p « u t/ . u ad 3 s " *■ * : je-li p = 0 , pak 0 . u - (0 - 0) . u = = 0.u-0.u = o je-li u = o , pak p t o = p . (o o\ = = p . o - p . o = o " =* " : nechf p „ u = o , p ¥= D . Pak u = K ú -ř (p*1 . p) . u = p"1 (p . u) =.p'1 . o■ = o ad 4: (-1) „ u = (0 l),u = 0.u-l,u = o- u-u i ■ Definice : Nechf V jc vektorový prostor nad polem- P -. Neprázdnou podií množinu W množiny V nazýváme- vektorovým podproslorttn^ (nebo Krátce podprostorem) vektorového prostoru V , jestliže platí i ■ ■ U.) je-li w.w' G W ■ pak w + w'G R' (JÉJ jc-li p G P , w G TV . pak p , v £ W Poznámka I lehce sc overí, že podmínky (i) a (ii> jsou ekvivalentní následující jediné podmínce : (iii) je-Ľ w.w' G W p.q G P pak p . w + q „ 6 W . Dále je viděL žc je-li w G W pak < 1> ,. w * -w G W a w - w -• o. G ív Tcdy každý podprostor W;. vektorového prostoru V ríms: byt (vzhledem k ope raci + .1 podgrupou V a musí mj, vídyc-ky obsahovat nulový vektor ffi vektor O-vétio prostom K . Věta 1.2 : Kař.dp vektorový podprvuor ty vektorového prostoru V WQ polem P je .sám vektorovým prostorem nad polem P [Důkaz: z předchozí poznámky plyne, že W je aditivní abelovská grupa, z definice podprostoru pak vyplývá, že je definováno násobení skaláru i P $ vektorem z W při čemž axiomy (i) - (iv) z definice vektorového prostoru jsou zřejmé splněny. J Přiklad 1.6 : N ech f V je libovolný vekiorový prostor nad polem ř . Pak zřejmé W = V , resp. W = £o| jsou vidy podprostory ve V . Tyto podprostory budenie nazývat triviálními, kdežto všechny ostatní podprostory V budeme nazývat netriviálními podprostory. Příklad 1.7 : Nechť {uíru2,iii) je pevný vektor prostoru R!3) Pak napf ty = {r. (Wj.U2.U3) Ir G R j je podprostorem vektorového prostoru R,3) Jc vídet, že v R<3) existuje nekonečně mnoho různých podprostoru Přiklad 1,8 : Množina W - f f (x) E R\x]\f(x) = tí-*.).} |e podprostorem vektorového prostom R j*] kdežto napf množina M - j r2 + $iŕ -ť .^Sú ŕ & R j podprostorem R I*] není íneboť napr nulový vekior nepatrí dc M'\ Veta 1.3 : Nechť V je vektorový prostor nad polem P . necht" /'•?* © /ť nejaké mdexová množina a nechť W. , í G / ifiŕ podprosíOt ve V Pak C*) W fe podvroaior V /e/ ' [Důkaz: množina f\ W. je zřeime' neprázdná, protože o E ty . orc k-%2-de* f £ / a tedy d e O (V' Dále nechť w.w* € f \ W, p € P - Pak w,v/ e pro každé ■" G / a ted\ podle fez ' definice podprostoru w + w" € IV, . resp p . w G &'ŕ pro každé ' € / ľedy Uvědomme si. že indexová mnoíins 7 je libovolní ('nuprázdna 1 *a žc tedy průnik podprostoru uvažujeiiK pro libovolný, konečný' c* nekonečný, počet podprostoru. Nechf M s£ (ŕ je podmnožina vektorového prostosu ŕ (tzn. obecně, nikoliv podptostor). Pak existuje p od pros t or W. prostoru V , obsahujicí množinu M (napr, prostor V sám má tuto vlasinos*i Podle předchozí věty průnik W t*řfyV-.{WfpftÍ') - 9~ všech takovýchto podprostorú' je pod prostorem ve V Zřejmé je to nejmenší pod-prostor ve V (vzhledem k množinové inkJusi) . obsahující množinu M . Podpros-tor W pak nazýváme podprostorem, g^^wn^mJnnozinou- M-Prvky množiny M nazýváme generátory podprostorú W. Definice; Nechť WlrlV7 jsou podprostory vektorového prostoru V Pak součtem podprostorú WltW3 nazýváme množinu (Wt f W2) definovanou : + ^2 = { w, + w2 | w. G , Wj G W7 } Následujíc] věta ukáže, že součet dvou podprostorú je opSt podprostorem daného vektorového prostoru a navíc podá názornou charakterizací součtu. Veta 1.4 : Nechť* WX,W2 jsou podprostory vektorového prostoru V nad polem P Pak: Wi + ÍV2 je podprostorem ve V , který je roven podprostorú. generovanému mnoíinou (W, U W2) ■ [Důkaz: a) nejprve dokážeme, že Wx + W3 je podprostorem ve V. Ak o G Wi.W-t , tzn. o = o + oGtV,+fV2 Tedy Wt + W2 # . Nechť dále w,w* G tyt + W2 . p ep . Potom existují vektory Wj ,w\ G I*/ E . w2 .Wj G H>3 tak, že platí : w ~ w, + wj , W? = w'i t w5 . Pak ale : w + w' = (w, + w,) + (yt\ + v?\) = (w{ + w\)■+ (w2 + w2) € W< * KV, resp p . w - p . (wA + w2) = p . v»l + p . Wj G ŕľj + (ť, , a tedy + H^a je podprostorem ve V b) musíme dokázat množinovou rovnost r Iťi + Tt's = í) Ul (0\ je podprostor V £ (/, 3 (C< U fej. Ale C Wt f IV2 , poněvadž pro iib. w: G W, je w, - w, * o e jjtfy - H/a. Analogicky W2 C ŕ |^ , tzn IV, U W2 C H/, + R%. Podle a) je vsak H'i podprostorem ve T -tedy j& : O í/, l'U. je podprostor J? a Vf P 5 IV] U H'j) C + Naopak, nechf w e V, -ť If, . Pak existují vektory w, € Wx , Wi G Wi tak. Ze w = w, t w2 Ale ŕfejme Wi,*, G (%f, J W^, tzn. wx , w 2 £ t kde £/; je libovolný podprostor v e p , s vlastností ^. 5 W% U 1?$ - 10 Vik ale w = + w, e U{ , tzji. Wt + W$ C f]^, je podprostor V a ŕ/f O Wj U Iťj). Dohromady platí tedy dokazovaná rovnost.] Součet dvou podprostoru je tedy nejmeníím podprostorem, obsahujícím množinové sjednoceni těchto podprostoru. Je třeba nilt na paměti, Že součet podprostorů obecně není roven jejich množinovému sjednocení. Dále je třeba si uvědomit, že vyjádřeni vektoru w Ů Wt * ve tvaru w = - w, 4 Wj € IC, ; Wj 6 If, obecně není jt-dňoznačné- Obojí ukážeme na následujícím příklade*. Přiklad (.9 : Ve vektorovém prostoru R(íí mějme dány dva podprostory ■ : ■ Zřejmě platí : Wt + fv"3 = R<3> a dále lťt uJťj = {(«,,(í„,íí3 Jluj.u, ,u3 e R a uj - 0 nebo i/3 = 0 } ,; Jc tedy vidět, že Wt U W3 C K/} + ^ , Vyjádřeni vektoru w £ W, + ve tvam w = w, + , w, e . w2 € ^ iie-i>j v tomto případe jednoznačné, neboť např.. (3,1,1) £ W, + W2 , při Čemž ; i <3fl,l) = U.1,0) + (2,0,1) - (4J,0) + (-LOJ) - Poznámka : pojem součtu dvou podprostorů lze obvyklým způsobem rozšířit na libovolný konečný P^cet podprostorů, tzn jsou-li WlrW2. "■■ . N^j podprostory ve V . pak + - + wt Fw e . , i =1,2,-,* j - - ti - pří Čemž součet Wt +■ W3 + " + Wk je zřejmě opět podprostorem ve V a sice podprostorem, generovaným množinou Wí U W7 U •;• U W Definice : Nechť tyfiW?> '" . W (k 2 přirozené čísio) jsou podprosto-ry vektorového prostoru V nad polem P . Součet íjjřt f Wx.'f- "*'^'Wk nazývame přímým součtem podprostoru WtlW2, ■■■ , Wk a označujeme W% + Ws * ■■■ + Pf ; jestliže platí : W. n (IV, * - + W. tř ^+1ř - * Wk} = {o} , pro i= iř2,-.K - Jestliže celý vektorový prostor ^ je přímým součtem dvou podprostoru, izv:. V - Wx W2 - pálí říkáme, ze řj^j a W7 jsou komplementárními podprostory ve V 2 definice vyplývá, že součet dvou podprostoru je přímý, pravě, když jejich, průnik je roven nulovému podprostoru joj Následující věta udává jinou charakterizaci přímého součtu. i Věta 1.5 ; Mech ŕ WltW2 ' Wk (k > 2 přirozené Čisto) jsou podprostory vektorového prostoru V .; nechť W - + W2 + — *■ Wk Pak součet W p pf»- ' mý právě když libovobiý vektor w £ W lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru w = w, + w2 + ■■■ + w , wr 6 ÍV. i" - 1.2. "■ ■, k [Důkaz: a) předpokládejme, že souce? W je přímý g ?e platí w - w, -r 7: ■+ - w*( + " + w,ľ . kde wŕ.ŕw^ 6 ^. Pak o - (w, - w*, ŕ *■ + [wk v/k ) a tedy w. w) - iyr\ - v/-.)* " - * fw;- w. , i + (w;+] >-f -4 ŕw; Wfc j Odsud je vidět, Žc iw, **j e iť, O {W, +_ - * tľ,,/. + + - + = {o} ledy w. - w* pro í = 1,2. ' .k a vyjádření je jednoznačné. b) naopak, předpokládejme, že výsc uvedené vyjádření lib vektoru w ^ je jednoznačné. Nechť \ &W,n{Wí i + íť. , * ^+ V/\), teň: * = w, T-+W, , -r w , + h- w. . kde W- Pak ale _ - i o = w, ■■■ + w. ,. + (—Jí) + w. + •- + a jelikož o = o + o-,-- + o ř z jednoznačnosti vyjádření plyne. Že- x = c To však znamená, že součet. W je přímý.] Príklad 1.10 ; Pódprostory Wv = {(x,y.Q)\x1y £ R} a W2 *» {(0,2.*) |z£R ].' jsou komplementárními podprostory v R^3^ , tzn jejich součet je přímý a je roven R(3} Na druhé straně, podprostory Wt a Wa z příkladu ] 9 nejsou komplementárními podprostory v R(3> (jejich součet je sice roven -R<31 . ale není v:Lk prunýj í 2 LINEÁRNÍ ZÁVISLOST VEKTORŮ. BAZE. DIMENZE Definice : Ne ch f V je vektorový prostor nad polem P . nech f u, , '• , jtí konečna posloupnost vektoru z V Řekneme, že vektor u je lineárni kombinací konečne' posloupnosti vektoru ut; '■• , uk (nebo krátce lineární kombinaci vek toru ult , ufc) , jestliže existují skaláry p,. ■■■ . pk E P takové,-že : - * Množinu všecb vektorů z V, které jsou lineárními kombinacemi daných vektorů Uj, , uft budeme označovat symbolem Liu^ - , ufc) Tedy ! Mui, "' ,ot) = (uG í'lu je lineární kombinací vektoru u,. r ut f Poznámka : nulový vektor o je zřejmí lineární kombinací kaldc- •konečné posloupnosti vektorů (stačí totiž položit pt = "" = pk - 0), Dále jc třeba si uvědomit, že ve výše uvažované konečné posloupnosti vektorů ux ■-- ' ur nemusí vystupovat navzájem různé vektory, Izn. múze se stát. že ur -- u. pro / Veta 2,1 ; Nechť V j c vektorový qrostor nad pylem P . nechť u,. — • :, uř , v,, -■ , vs (E V Je-li u. e L (vr> " vjj . / - K — r . pak platí L iuI. ■" . u.) C [(v, vj [D ú k a ?: podle předpokladu je u. = Pt.. v-, - - f pfŕ f, . p^ £- P i = i. -■ . r Nechť w E L(ut. -, ur> Pak je w --■ ^u, j — -f- qr r uv a nc dosazení dostáváme ■ w - 4, (p,, . v, * -: 4 pu . + — + i v> * fi'v„ - v_r) J .. Veta 2,2 ■ Xechf u,. r.? a. je konečná posloupnost vekiorií vekiorového prosioru V Puk L (u, u I f e podpro.sioremi'e V . který je roven pod pros-tóru generovanému množinou fu,: *- ut | [Důkaz . první část tvrzení je zřejmá, nebof jjstE je h í'u, . j ^ d> a součet, dvou lineárních kombinací vektorů u; - ■ u. , resp'- násobek lineární 14 kombinace Viktoru u, , ufr skalárem z ř jsou opět lineám kombmacwck-lorú u, , . Tedy L (u, , :■■ . ur.) je podprostorem vi V a zbývá dokázal množinovou rovnost ■» Z(u,, - ufr>" Hí/r (t/. jepodprostor P a CA 3 [uj.-".a^J 1 AÍc množina na pravé straně je podprostorem V obsahujícím vektory uF/. ■■ , u fen obsahuje také libovolnou lineami kombinaci těchto vektorů. Tedy je L-(u, ■ . u(. i C._.'f)V. (V. je podprostor V V, D { Uj , - . nk] ) Naopak Hu, - ut> je p od prostorem V obsahujícím vektory u, < u^ tzn musí pak plutit f) (/. (U; je podprostor V V.'Zi f u, " . u ^ > C í)hc dokázané inkluzo pak dohromady dávají Žádanou rovnost.] Definice Nechť V je vektorový orosior nad polem P nechť u; . siř je konečná posloupnost vektoru z V - Řekneme. í e tato posloupnost je íijtetme závislá, jestliže existují skaláry pir pk ^ P z nich? alespoň jeden ie různý od nuly. takové, že. • ■ Pi i d! + pk . uk - o V opačném případě nazýváme posloupnost vektorů u- . , u^ lineárně nezávislou: Poznámka a) přesně vzato, jsou lineární ^ávislosr a nezávislost v las os tm: konečné posloupnost) vektoru, V zájmu stručnějšího vyjadřování budeme * dalším říkat rovne? "lineárně závislé vektory " resp "lineárně nezávislé vektory" t)J pojem lineární nezávislosti je zřejmě negací pojmu lineami' závislosti Explicitně vyjádřeno to znamená roto konečná posloupnost vektorů u, , ' , ut je iincárně nezávislá, jestliže - • ■ . ■ ■ ■ * ■ . pt . u, * " -r.pk\ ,tft. -.© pf pj ="»(),:C Větít.2.5 Nechť V _ jí■■ vektorový'.prostor nad, polerh F~ nechť u, ur y'ŕ' to'mec.riá-posloupnost vektorů "i ■ V- Pak platí \ > - 15 - a» při k > 2 j sov vektory u, ut lineárni závislé «* existuje i í ] --í i < k) lak. že vekwr uy je lineární kombinací zbývajících vektoru (tj vektorů u2, - . uf_A . uf+1, , ut) b) př? - l /t vektor us lineárne závislý ** Uj - o [Důkaz, ad a) * *# " : nechť u1; . ufc jsou lineárne závislé vektory Pak existují skaláry #j. pfc E Z5 tak. že p, . u, -i- *' 4 pk . uk - o při Čemž alespoň jeaen z tŽehtů skalárů je nenulový. Nechť např. p. =ŕ 0 . Pak ale existuje v poli F prvek p 1 a po úprave dostáváme a tedy vektor u. i t lineární kombinací v. bývajících rektorů nechť u. = a, . a, + - * . u.+ , u(+, ■* - - ^ u4 qf ^ P Po přepsání odtud dostávámt- q} . u, + - + 4 u.^ + (-I) . - + '4* . 0- i a protože - 1 * 0 v poli P jsou podle definice vektory u, nk lineárne závislé ad b) - Vektor u, íe lineárne závislý ** existuje p ^ 0 ■ p , u.-o-^u^-o poált wĚy-.l \ ! Poznámka je třeba sí uvědomit, žť pro k > :í předchozí včta uouz?* sas lisfujt existenci vektoru, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajícícb vektorů Nelz>: tedy obecně" tvrdú, že každý z rektorů ftj..-, " . uk se dá vyjádřit jako hnťární kombinace zbývajících Například vektorv u( = (0.1) \x2 -il.ij., u 3 H J, í) jsou lineárně íavislé v R(2> neboť u. -■ 0 . t (- í) . ti* Pr? tom ie ale vidot. Že vektor u3 nelze vyjádřit jako lineární kombinací u, a u; Důsledek ; \ecnť V je vektorový prostoi ti ad fcoÍeif> P -nechť (1) u» u je konečná posloupnost vektorů z V Pak platí i 1 obsahuje-li posloupnost íl) nulový vektor, pak je lineárne* závislá 1. obsahuje-li posloupnost (1) dva stejné vektory, pak je lineárně" závislá 3. je-li nejaká posloupnost vybraná z (1) lineárně závislá, pak je i (II lineárně závislá 4. je-li (1) lineárně nezávislá, pak každá posloupnost vybraná z (1) je lineárně nezávislá. [Důkaz : všechna tvrzení důsledku plynou přímo z definice lineami závisLosti resp. z předchozí vety.) Věta 2A í (Steinitzova věta o výměně) Nechf V je vektorový prostor nad polem P , necht ut, " ■ , uř , v j. ■" , vj £ V Necht" u, , u, jsou lineární' nezávislé a nechť u, £ L (v,, — , vf) . pro i = 1, — . r Pak platí 1. r o Pak ale aspoií jeden ?,e skalárů p (1 < i: *£■ í) musí být nenulový. Prečíslujme vektory - , vf tak. že bude pl ^ 0 Potom ■ tzii v, G jf. (u, ,v5. v..') Jelikož triviálním způsobem platí :■ v, - . e €ii(u1:vi, ■ v J .. pak podle vrty -2.1. je Z, (v,, v() C Ku, .v2, \; . vJ Dokazme nyní opačnou inkhízi podlo předpokladu je. však u; £L(vi:r vf> p. ví "'• V eí,(v,,V2. "•' . v ) platí triviálně Tedy opět pod k. věty 2.1. dostáváme ^ (U|-,¥.j, " vrJ C í. (v,, v^j Dohromady pak platí rovnost £- (v,, v.; ~ -/.{Uj.v^ - v ) . i'edy.ohé částí tvrzení věty isme dokázali pro r - \ - 17 - Předpokládejme dále, že veta platí pro všechna přirozená ť : ] < ť < r ~ 1 a dokažme ji pro r Ale vektory u1( - ř n jsou lineární nezávislé (podle předchozího důsledku, neboť vektory uls -■ „ uri ;pf jsou lineami nezávislé) , tm, podle indukčního předpokladu^ při vhodném přečíslování vektorů vlt *■■vf je L (v,. - , vj* * £ (t>i , ui<_3 .f^j — ■ v^) Podle předpokladu vety je vsak ur € L (v^ , — , vf) , fzn. lze pak psát . .. • - ■ ■ Odsud vsak dostáváme, že především r < s a dále, že alespoň jeden i prvků pr, -ie různý od nuly (jinak spor s tím. íe u,, - , ur jsou lineárne nezávislé) - Přečíslujme vektory - ■ tak, že p, =ŕ 0 . Potom vrak : ■ tzn. yf£i (ut, , u^v^j, -1 , vf) . Triviálním způsobem opět piatl ie ut " up_(, fm . . v, € Ĺ íut, -., d^v^ -. , vt). Tedy dostáváme ; Inkluse i(u1( , u,^, • v,} C Ĺ (vu " , v,) je vsak mviáln.r \ využitím před-pokladu vety} , tzrf oohromadv t>ak d ostávám e Žádanou rowost Definice ; Konečná posloupnost vektoru alľ ' -■ vj^ vektorového oros-oru V nad polem P se iiazývá bází prostoru P jestliže ■ (i) ut xi, i sou lineárne nezávislá tu) ut. - , uB- jsou generátory prostom V , izn V - Ĺ (utí " , urt) PoznámK; temnice lít neříká o tom. kolik Dází má daný vektorový prostor Naor . í',0 0 0 ÍM , (0 0,1) , resp. (1.1,1'} , Í0JS1) , (0,0,1} jsou dvě různé bá-'£ d20srori> 9^ . Je ;euy vidět, že obecné nemá daný vektorový prostor jedinou bází **apr 'jK-:oro>ý prostor K(3' má zrejme nekonečně mnoho bází Muže se aie ta*, kŕ stát Že vektorový prosto. ~ieiná žádnou oázi jako je tomu v případe vektorového pro*tora R [x] všech polynómd neucrate x , s reálními koeficienty (jestliže hy totií konečna* pcsbupiw&i polynomu f,, .f^ by la bází R [x] . pak by se každý polynom Jal napsat jako lineární kombinace fj, > fe , co2 však zrejme není mvínÍL Rovmřř miíoyý vektorový prostor V = { o} nemá* baz L * * * Definice : Řekneme. íe konečna posloupnost vektoru ut* — , ut vektorového prostora ť je maximální lineám? nezärisíott posloupností vektoru v? V. jestliže1 (i) posloupnost ulf — ý »t je lineární nezávislá (ii) pro libovolné w € P" je posloupnost u,, — r ut ,w lineárne zavisla. V nechť"' u,. *** , je bází prostoru K Pak jsou vektory U). , lineárně nezašle a pro libovolnŕ w E V je w E t (u,-; , u^) , jak plyne z definice baze. Podle vety 23. jsou pak vektory Uj, — v un ,w lineárna zŕ-vis! e b) naopak, necht* Uj, — ; un je maximálni lineárne nezávislá posloupnost vektoru y e y P:tk u,, ' - , u„ jsou lineárne* nezávisle. Neehf w € p je libovolný vektor. Pak podle predpokladu jsou Ui. ' , (w lineární závislý tm existují prvky pt, . pn.p E P tak. ze alespoň jeden z nich je nenulový a platí P, . u, + - +pw . ttB + p. w - o ale p (jinok'spor.s lineárni nezávislottf vektoru u, i *" . u^).. tzh. existuje á platí : w - ŕffíp-i - u, - - p~lPm . .-což znamená, ie w€Í (u,, - .un) Tím jsjne dokázali inklusi V C i (u,, un) , Protoíc vsak opačná mWuse je tri-viální. platí rovnost : V = L (u,. ~," , um) .] Veta 2,6 : Néchř V /e vektútavý prostor nud potfth P ; necht* u, t r u,, /ť fráze prostoru V Pak piati: . - 19 - 1, je-li v- — i v bází y . pak rn ~ n 2, jsou-li Wj, ' , wr generátory prostoru V . pak z nich lze. vybrat bázi. 3, každou konečnou posloupnost lineárne nezávislých, vektorů z V lze do-plnit na bazt V [D ú k a z : ad 1 : aplikujctne-li dvakrát Stcínítzovu větu, dostáváme n <, m a m < n . Tedy m = n . ad 2 . podle predpokladu vety má prostor V báztt tzn. V není nulovým prostorem. Necht* nyní w1( '" > w jsou generátory prostoru V Pak aiespon jeden z nich je různý od o a zrejme je lze přečíslovat tak, že w,. "■ , wf jsou lineámě nezávislé a w, , •■■ , w,.w jsou lineárne' závislé pro j > í . Pak pro / > i je € ; -~m£> a užitím vety 2.1. dostáváme (neboť Wj. " , wf e £fw(, — , wf) triviálne) : V ~ L (w,, " , w ) C Z. (w,. " y wj C V tzn. musí platit rovnost & dostáváme V = L (w,, , wf) . Tedy w,. ■-■ T wŕ je báze k ad 3 : plyne ihned ze Steinitzovy vety a z věty 2.5.] Poznámka : předchozí věta mj. říká, ze má-lj vektorový prostor bázi, pak všechny jeho báze mají stejný počet vektoru. Věta 2.7 i Nechť ttt„ — , ú tě báze vektorového prostoru V nad pokw% P , nechť w /e libovolný vektor z V Pak "m lze vyjádřit ve tvaru W=Pi .lij + +■ p ~ „ ií . p e P 1 <4ŕ < n _ při čemž toto vyjádření je jednoznačne \D ú k a 2 : z definice baze plyne, že veKtoi w lze vyjádřit v jvedenérr, tveru Dokazme, že takovéto vyjadrení je práve jedno, Nechf tedy ; ■ ■ t Pak odečtením a úpravou dostáváme : ■ f - 20- Vektory aí. — un jsou však lineárně' nezávislé, tzn. musí být pi - qt - 0 , neboli pf - qt pro í = 1, - , n, \ Definice : Nechť V je vektorový prostor nad polem P Pak : (i) je-li V nulovým vektorovým prostorem, tzn. V = { o} , říkáme, ze má dimenzi nula ; (ii) cxistuje-li báze u,, ' , un prostoru V , říkáme, že V ma dimenzi n , (iií 1 je-li V =ŕ {o}'a nemá-lt žádnou bázi, říkáme, že má dimenzi nekonečno Píšeme pak : dim V = 0 , resp. dim V - n , resp. dim V . Vektorové prostory (i) a nazýváme koneenČdimentionálm vektorové prostotou) nazýváme nekonečnědimenziondlnl • Příklad 2.1 : V prostoru P^ je .iřejmě posloupnost vektoru : u, - U.Ol- ,0) . xi2 ~ (0,1,0.""-0) ,V,b = (0. -,0J) bází, což znamená, že dim/"1"* * n Specielně tedy dim R<3> - 3 , dimK(5) = 5 . dimZV0 = 4 , atd. Příklad 2.2 : Vektorový prostor R [x] nemá bázi a při tom zřejmě R|*l ŕ % f oj , tzn. dim R\x] = Příklad 2.3 : V prostoru RJx} je bází např. posloupnost f0 - 1 , f, - x f2 = x1. . f = x" To tedy znamená žc dimRJJt] = n + \ Příklad 2.4 a) uvažujemolj K jako vektorový prostor nad K íviz přiklad . 1.1) , pak např, 1 je jeho bází, tzn. dim K ~ 1 b) uvazujeme-ii vsak K jako vektorový1 prostor nad R . pak napf 1,/ je jeho bází, tzn. dim K - 2 Uvědomme si, že v těchto případech sice symbol K značí stejnou množtnu. ale dva tuzaé vektorové prostory (jednou nad K , podruhé nad R) \bý nedošle k nedorozumění, musíme v tfchio situacích uvarovaný vektorový prostor vždy fádne popsat OMLUVA : Všude v daisím se budeme zabývat pouze koneenčdimenzjonální-mi vektorovými prostory Řeíoicme-ii tedy ie V je vektorový prosícr nad polem P bude to automaticky znamenat, Že V je konečnědimcnzionální vektorový prostor nad ľ tzn. buďto nulový postor nebo prostor, v nemž existuje báze Veta 2.8 : Nechť V fé vektorový prostor nad polem P . nechť W p pod-promor ve % Pak platí. :i - l dim Mr < Jim V l Z. dimft'- dim ľ* W ~ V . [Důkaz : je-li V ~ { o} nebo W = { o } , pak celá věta zřejmě platí, Nechť ledy je dim V = n # 0 . neehť v,, - . t je baze j' a nechť H' {o} . ad 1 : jsou-li Wj, ~" , wf UneáYne nezávislé vektory z W , pak jistí také w,. — . iir e V = L (vlř — , v ) 3 podle Steinitzovy věty je r < n Necht" /■ je ne j vetší přirozené číslo s touto vlastností. Pak je zřejmě W - L (velr - , *r) , tzn. drhl Hŕ = r < n = dim K . ad ľ ; nechť dim \V - dim V = n , Pak existují lineárně nezávislé vektory W|. w e H' takové, že £ (wt, ' . wn) = Iť Podle Steinitzovy vety pak platí L (v,. — . vb> = Z (vy,, "" . wn ) . nebo-tí iť = í£ Tím jsme dokázali jednu implikaci, při čemž druhá implikace je zřejmě triviální.] Věta 2.9 : Nechť Wx , W2 jsou pod pros tory vektorového prostoru V nad 'x)lem P Pak platí ; dim < B', * M'j 1 + dim (\V, řl W2) - dim B', 4 dim 1^ . {D ú k a z : je-li jeden z podprostorú nulový, pak tvrzení věty zřejmé platí. Před po klá dejme tedy. že dim Wt ~ r ^ 0 . dim K/j = í ^ 0 Průnik H*j n TV, je podprostorem ve ľ . tedy buďje Iť, f\ W2 = {o} nebo existu je báze tyy n K'3 , tzn lineárne nezávislé vektory w,, , wf s vlastností W, C\ W2 = Podle věty 2.6 l3-část) existují vektory , urEWl tak. že wlv - , vt . u . ■ ■ u je baze IV\ . resp. vektory v^,, - , v € tak, že w,, - , w , vf+(, . v^ je baze h'3 (v případe H/l n = {o} položíme zřejmě í - 0) Nyní ukážeme že vektory ■ tvoří bázi H\ + fľ, a) ukážeme lineární nezávislost vektoru (2) Nechť - 22 O* Px . w, + -+př, wrf +p^s , 11^ + + p,. u + tf^, . v^-f - + i^, *r - o Označme w * p, . w, + - + Pf, wf + p^, s 11^ + - * p, . u. Pak ale je w = . - - qg . vf G n IV, a podle víty 2.7, dostá- \ íme ^protože vektory w,. - wr,tt^|» "*, jsou lineárne nezávislej : ■ Prv, * " ^Pr = 0 . !>>>adíme*lí tyto hodnotí do (3>dostáváme : - - p, w, + + pt. w, + 9m . V, + " + qt 1 v M o Odtud vsak z lineární nezávislosti těchto vektorů dostáváme : Pí * - = P, - "= » 0 ■ t Tedy vektory (2) jsou lineárně nezávislé*. M vekiory \2) patří zťejroé do (ť, + W7 . tzn. je L iw,, — , ^tt^, uř. v . — , v^) C li'i + W2 '. Naopak, nechť x € li', + W2 . tzn existují vektory x, € e H'j ä x, e té, takové, í e x - xt> x3 - ■ Ale zrejme" xt e L(w,, " , ^^j* "* . UP> é i(»Sí i wf<", a analogicky pro x3 Tedy x = xt + x3 € L(t*i, - , wr,um> « , u^v^, f -tzn Jťt t IC3 C í (w,, - , wi:>M^t „ - , uřvV, . ' , \) a dohromady dostávame rovnost. _ Dokázali jsme íedy, že vektory (2) jvorCbázi IV, + W2 což znamená, ze dhrHlť( 4 W2 ) = r + í - í Pak ale : dim + dim(lť, n ÍV,) - {r* s - ŕ) + ŕ = f + s ■= dim 4 ■ + dim W2 ,| t- ■ Poznamenejme, Že předchozí vetu neíze přímo zobecnit pro k podprostorú (k > 1) daného vektorového prostoru, jak plyne z následujícího příkladu - 23 - Príklad 2.5 : Ve vektorovém prostoru r<3) jsou W, = { (kJ,0)\kJ e r } , íťj = ( (m,Q,n)\m.n € r } , = { (0/,s)|r,í € r} dvoudimenzicnálními podpros-tory Zřejmé je W: + W2 + W3 = rc3j , resp. H\ n W2 n íť3= f b } Pak tedy dirrUR', + Wt + + dim (W3 O B/j O W3) - 3 , ale dim + dim W% * + dim H'j = ťs Pro přímé součty sc vsak v jistém smyslu podobné tvrzení dá vyslovit i pro více než dva p odpros tory, jak ukazuje následující věta. Veta 2.10 : Nechť W},W2, ■' , WK {k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru ľ nad polem P ; nechťsoučet podprostorú Vř'lmWi. " ■. W.t /ť P$f$ Pak platí : dim(H> = I W2 + + dim + dim W2 + " + dim Wk [D ú k ä z : provedeme matematickou indukcí vzhledem ke k Pro i - 2 tvrzení věty olyne z vety 2.9. a z definice přímého součtu. Nechť tedy tvrzení platí pro všechna přirozená k' - 2 < k ^ k -• 1 Pak ale : dim(Wx $ W7 ^"l^f * dimťW, + (W2 + ' + Wk)) = dim IV, + dim.rWj + ■ 1 = dim * dim fť; + + dimjt' j Poznámka i % oředchozí vety plyne jednoduchá konstrukce báze přímého souč-__tu pňtiipmsifiťi' SrjiřÍTotiy vftdiŕierje vypsat, házčv&ch uvažovaných podprostorú které bázi majíítzn. jsou nenulové) a rýno vektory pak dohromady tvoří bázi přímé* ho součtu těchto počprostorO.