Množiny - Vennovy diagramy
Množiny často znázorňujeme pomoci tzv. Vennových 2 diagramů. Tato schémata umožňují výhodně řešit řadu úloh o množinách.
Zadání úloh
S využitím Vennových diagramů řešte následující úlohy.
1. Zjednodušte množinové zápisy
(a)
\a u b)' n (B u c)']' -(A u C),
(b)
[(B - C) U (A n B)] U ÄAUBUC .
2. Rozhodněte, zda pro libovolné množiny A, B a C platí
(a)
A U (B n C) = (A U 5) n (A U C) ,
(b)
(A' - 5') n C = (A n B)^BUC ,
(c)
(A-C)UB = (AnB)UC.
V případě, že nikoliv
i. uveďte konkrétní příklad množin, pro něž tato rovnost neplatí,
ii. zdůvodněte, zdaje místo symbolu = možné použít vhodný symbol množinové inkluze (c,C,d,Z>) tak, aby uvedený zápis byl pravdivý.
3. Ze 129 posluchačů 1. ročníku přírodovědecké fakulty chodí do menzy na obědy nebo večeře 116 studentů. Nejvýše na jedno jídlo chodí 62 studentů a na obědy chodí o 47 studentů více než na večeře.
• Kolik studentů chodí jen na oběd?
• Kolik studentů chodí na obě jídla?
• Kolik studentů chodí na večeři?
4. O letních prázdninách bylo ze třídy, která má 35 žáků, na dovolené v Itálii 7 žáků, v Německu 7 studentů a Francii navštívilo 5 studentů. V žádné z těchto zemí nebylo 21 žáků. Do Německa i Francie cestovali 2 žáci, ve Francii a Itálii byl 1 student. Všechny tři uvedené státy navštívil jeden žák.
• Kolik studentů se rekreovalo jen v Itálii?
• Kolik studentů bylo v právě jednom z uvedených států?
• Kolik studentů cestovalo do Německa nebo Itálie?
1 Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu). 2John Venn (1834 - 1923) britský matematik
1
5. Okolo nižšího gymnázia jezdí tři tramvajové linky. Linkou číslo 5 jezdí 55, linkou číslo 3 jezdí 65 a linkou číslo 9 jezdí 135 studentů. Žádnou z těchto linek nepoužívá 80 studentů, všechny tři linky využívá jediný student. Linkou 3 a 9 jezdí současně 40 studentů, linkou 3 i 5 jezdí 5 studentů, linkou 5 nebo 9 jezdí 155 studentů.
• Kolik studentů navštěvuje nižší gymnázium?
• Kolik studentů používá právě 2 uvedené tramvajové linky?
• Kolik studentů jezdí pouze linkou číslo 9?
6. Při podrobné kontrole součástek bylo zjištěno, že z 240 kusů bylo 72 rezavých, 16 pokřivených a 24 naražených. Všechny naražené byly též rezavé. Polovina pokřivených byla rezavá a čtvrtina z celkového počtu pokřivených byla nejen rezavá ale také naražená.
• Kolik součástek bylo bez vady?
• Kolik součástek bylo jen rezavých?
• Kolik procent součástek mělo alespoň jednu vadu?
• Kolik procent součástek mělo právě dvě vady?
Návody a výsledky
1. Situaci rozkreslete, vhodné je barevné rozlišení při diagramech.
(a) B - (A U C) = (B - A) - C,
(b) BUC.
2. Tvrzení
vyznačování jednotlivých množin ve Vennových
(a) obecně platí (jedná se o tzv. distributivní zákon),
(b) o rovnosti obecně neplatí (např. pro množiny A = {1; 2}, B = {2; 3; 4}, C = {1; 3; 5} je levá stana rovnosti {1; 3} zatímco pravá {1; 3; 4; 5}), obecně však platí
(A' 4- B') n C c (An B)'AUBUC  i  (A'-B')nCc(An B)'AUBUC ,
(c) obecně neplatí a neplatí ani žádná inkluze, což je vidět též z příkladu množin A = {1; 2}, B = {3; 4}, C = {1; 3; 5}, kdy je levá stana rovnosti {1; 2; 3; 4}, zatímco pravá {1; 3; 5}.
3. Jen na oběd chodí 48 studentů, na obě jídla 67 a na večeře 68.
4. Uvědomte si, že ten student, který navštívil všechny tři uvedené země, je také jediným ze třídy, který byl v Itálii i Francii. Jen v Itálii byli 4 studenti, právě jeden ze zmíněných států navštívilo 10 studentů a do Německa nebo Itálie cestovalo 11 žáků.
5. Nižší gymnázium navštěvuje 256 studentů, z nichž 77 využívá právě dvě z uvedených linek. Pouze linkou 9 cestuje 61 studentů.
6. Bez vady bylo 160 součástek, zbytek (tj. třetina tedy 33,3%) měla alespoň jednu vadu. Jen rezavých bylo 44 součástek. Právě dvě vady mělo 10% součástek.
2