Množiny
Základní pojmy
Podmnožina. Množina B se nazýva podmnožinou množiny A, jestliže je každý prvek množiny B současně prvkem množiny A, píšeme B C A a, hovoříme o tzv množinové inkluzi. V opačném případě říkáme, že B není podmnožinou A a píšeme B ^ A.
Každá neprázdná množina M má dvě tzv. nevlastní (též triviální) podmnožiny: 0 a M. Ostatní její podmnožiny nazýváme vlastní.
Rovnost množin.   Říkáme, že množiny A a B se rovnají, pokud A C B a také B C A. Píšeme A = B.
V opačném případě říkáme, že se množiny A a B nerovnají, což zapisujeme A ^ B.
Chceme-li zdůraznit skutečnost, že množina B je podmnožinou množiny A a přitom A ^ B, píšeme B C A.
Číselné množiny.
Přirozená čísla N = {1; 2; 3;...}, celá čísla Z = {0; ±1; ±2;...}, racionální čísla („zlomky") Q, reálná čísla IR. Platí NcZcQcl.
Intervaly. Jedná se o podmnožiny množiny reálných čísel. Např. otevřený interval (a; b) je množinou všech reálných čísel větších než a a současně menších než b, pro uzavřený interval (a; b) platí (a; b) =
{x E IR; a < x < b}, atd.
Operace s množinami
Sjednocení Sjednocením množin A a B rozumíme množinu, která obsahuje všechny prvky ležící v alespoň jedné z množin A, B. Píšeme A U B.
Průnik Průnikem množin A a B rozumíme množinu, která obsahuje všechny prvky ležící v každé z množin A, B. Píšeme A n B.
Pokud A n B = 0 nazývají se množiny A a B disjunktní.
Rozdíl Rozdílem množin A a B rozumíme množinu, která obsahuje všechny ty prvky, které leží v množině A a přitom neleží v množině B. Píšeme A — B.
Doplněk Nechť B C A ^ 0. Doplňkem množiny B v množině A rozumíme množinu, která obsahuje všechny ty prvky množiny A, které neleží v množině B. Píšeme B'A.
V případě, kdy máme na mysli doplněk v největší množině A, která v dané situaci připadá v úvahu, píšeme místo B'A pouze stručněji B'. Například (—1; oo)' znamená (—1; oo)^, tedy (—1; oo)' = (—oo; —1).
Symetrický rozdíl   Symetrickým rozdílem množin A a B rozumíme množinu, která obsahuje všechny ty
prvky, které leží v právě jedné z množin A, B. Píšeme A 4- B.
Platí tedy A 4- B = (A - B) U (B - A) = (A U B) - (A n B) = (A n B)'AuB.
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
Úlohy Zadání
1. Udejte příklad množin tak, aby platilo
(a) A n B = A U B,
(b) B'A^A-B,
(c) 0 Ý Ä + B = A.
Dále učiňte obecný závěr o tom, co musí být v daném případě splněno, aby požadovaná vlastnost platila.
2. Nechť jsou dány množiny A = (—2; 3), B = (1; 5). Určete
A n B ,   AU B',   A' n B ,    (A-B)' ,   A + B.
3. Nechť jsou dány množiny
A=^neN;— G N j    a   B = {x e R; x2 - 2x = 0} .
Určete
AU B,   Ad B,   B-A,   B'A,   B'AuB.
4. Následující množiny zapište intervalem
A = {x G R; \x + 3\ < 1} ,   5 = {iéK;i2-1<0} , C = {x G R; x2 - 2x + 4 > 0} ,   D = {x G R; x3 - x2 + x - 1 > 0} .
5. Najděte všechna k E Z taková, aby pro intervaly A = (k — 1; k + 1) a B = (2k; 3k + 5) platilo A C B.
6. Uvažujme intervaly
I = (k-2; k+ 3)    a   J = (2; 9) . Najděte všechna k E Z taková, aby platilo
(a) ICJ,
(b) JnJ = 0,
(c)
7. Dokažte, že pro libovolné množiny A a, B platí tzv. De Morganovy 2 zákony
(A U B)' = A' n B'   a   (A n B)' = A'U B'. 2Augustus De Morgan (1806 - 1871) britský matematik
2
Výsledky
1. Např.
(a) A = B = {1} (pro splnění požadované vlastnosti musí platit A = B),
(b) A = {1}, B = {2} (pro splnění požadované vlastnosti musí platit B ^ A, doplněk B v A pak není definován; pokud je B C A, potom B'A = A — B),
(c) A = {1; 2}, B = 0 (pro splnění požadované vlastnosti musí platit A ^ 0 a B = 0).
2. Platí
i4nB=(l;3>,    AUB' = (oo; 3) U (5; oo) ,    Ä (1 B = (3; 5) , (A - B)' = (-oo; -2) U (1; oo) ,    A + B = (-2; 1) U (3; 5) .
3. Platí
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ,    5 = {0;2},    A U 5 = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 12} , A n 5 = {2},   5-A = {0},   5^ nedefinováno,   £^uB = {1; 3; 4; 6; 12} .
4. Návody: x2 - 2x + 4 = (x - l)2 + 3 > 0, x3 - x2 + x - 1 = x2 (x - 1) + (x - 1) = (x2 + 1) (x - 1), přičemž x2 + 1 > 0. Platí
A = (-4;-2),    5 = (-l;l),    C = IR = (-oo; oo) ,    D = (l;oo).
5. Je třeba, aby k — 1 > 2k a k + 1 < 3k + 5. Odtud vychází k = —2.
6. Je třeba, aby
(a) A;-2>2aA; + 3<9, výsledek k G {4; 5},
(b) k - 2 > 9 nebo k + 3 < 2, výsledek k G {...; -3; -2; 11; 12;...},
(c) vzhledem k (a) a (b) platilo, že k e {-1; 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9; 10}.
7. Důkaz provedeme tak, že ukážeme, že množina na levé straně rovnosti je podmnožinou množiny z pravé strany rovnosti a opačně. V případě prvního z uvedených pravidel dostáváme.
x E (AU B)' x £ A U B (i^a^5) (x G A' a x G 5') i G i' íl 5',
x G A' n 5' (x G A' a x G 5') (i^a^5) x^AU5 x G (A U 5)' .
Druhý zákon se dokáže analogicky.
3