Zápočtová písemka -
Metody řešení matematických úloh I.
26. ledna 2019
• Čas na vypracování: 90 minut.
• Maximální počet bodů: 20 bodů.
• Minimální potřebný počet bodů pro udělení zápočtu: 12 bodů.
Příklad 1. (3 body)
Určete všechna celá čísla x, y taková, že
x2 - y2 - 2y = 2.
Příklad 2. (3 body)
Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí, že
9f(n2+5n + 13) => 3f(n-2).
Příklad 3. (2 body)
Rozhodněte, zda pro libovolné množiny A, B, C platí, že
A\(5nC) = (A\5)u(i4 \ C).
Své tvrzení řádně zdůvodněte.
Příklad 4. (2 body)
Znegujte uvedený výrok (bez použití sousloví Není pravda, že.. .):
Pokud dnes Kometa, která již tři zápasy v řadě neprohrála, porazí Spartu, skončí v tabulce nejhůře pátá a zároveň odsune svého dnešního soupeře do druhé poloviny tabulky.
Příklad 5. (3 body)
Je dáno přirozené číslo m = 245 ■ 457.
1. Určete počet všech přirozených dělitelů čísla m.
2. Určete největší dělitel d čísla m takový, že i číslo <i3 je dělitelem čísla m.
3. Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že m\n a zároveň n bude druhou mocninou nějakého přirozeného čísla.
Výsledky je možné nechat ve tvaru součinu prvočísel.
Příklad 6. (4 body)
V oboru reálných čísel řešte rovnici:
log6 \/x - 4 + logg Vx~+1 = log9 3.
Příklad 7. (3 body)
Určete všechna reálná čísla a taková, aby ani jedna z uvedených kvadratických nerovnic (s neznámou x) neměla žádné reálné řešení:
x2 - 2ax + 4 < 0,       x2+x + a<0.