Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 121 -
12. ŘADY ............................................................................................................ 122
12.1. Číselné řady ............................................................................................................. 122
Úlohy k samostatnému řešení.......................................................................................... 122
12.2. Řady s kladnými členy............................................................................................ 122
Úlohy k samostatnému řešení.......................................................................................... 122
12.3. Alternující řady....................................................................................................... 123
Úlohy k samostatnému řešení.......................................................................................... 123
12.4. Mocninné řady ........................................................................................................ 123
Úlohy k samostatnému řešení.......................................................................................... 123
12.5. Fouriérovy řady ...................................................................................................... 124
Úlohy k samostatnému řešení.......................................................................................... 124
Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 126
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 122 -
12. ŘADY
12.1.Číselné řady
Úlohy k samostatnému řešení
1. Pomocí posloupnosti částečných součtů rozhodněte, zda je řada konvergentní nebo
divergentní, najděte její součet, jestliže existuje:
a) 2
2
1
1n n
∞
= −
∑ , b) 2
1
1
n n n
∞
= +
∑ , c) 2
1
1
2n n n
∞
= +
∑ ,
d) 2
1
1
4 1n n
∞
= −
∑ , e)
( )
22
1
2 1
1n
n
n n
∞
=
+
+
∑ , f) 2
1
1
3 2n n n
∞
= + +
∑ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Najděte součet geometrické řady:
a)
1
2
3
n
n
n
∞
=
∑ , b) ( )
1
1
1
1
1
5
n
n
n
∞
+
−
=
−∑ , c) ( )
2 1
0
3
1
4
n
n
n
+∞
=
 
−  
 
∑ ,
d) 1
0
5
3
n
n
n
∞
+
=
∑ , e) 2 1
1
3
2
n
n
n
∞
+
=
∑ , f) ( )
1
2 1
0
4
1
5
n
n
n
n
+∞
+
=
−∑ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
12.2.Řady s kladnými členy
Úlohy k samostatnému řešení
3. Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady:
a)
1 3n
n
n∞
=
∑ , b) 2
1
1
5 n
n n
∞
= ⋅
∑ , c) 2
0
1
1n n
∞
= +
∑ ,
d)
( )1
!
2 1 !n
n
n
∞
= −
∑ , e)
1
1
3
!
n
n n
−∞
=
∑ , f)
1
2 1
3 4
n
n
n
n
∞
=
+ 
 
+ 
∑ ,
g)
2
1
1
n
n
n
n
∞
=
− 
 
 
∑ , h)
2
1
1
n
n
n
n
∞
=
+ 
 
 
∑ , i) 3
0
2
1n
n
n
∞
=
+
+
∑ ,
j)
1
1
n n n
∞
=
∑ , k)
1
2
n n
∞
=
∑ , l)
1
1
4n
n
n
∞
=
+
+
∑ ,
m)
2
1
2 1
2
n
n
n
n
∞
=
+ 
 
+ 
∑ , n)
( )
( )1
1 3 5 2 1
1 4 7 3 2n
n
n
∞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
∑
⋯
⋯
, o)
1
3 !
2n
n
n∞
=
∑ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 123 -
12.3.Alternující řady
Úlohy k samostatnému řešení
4. Rozhodněte o konvergenci alternující řady:
a)
( )
1
1
1
2
n
n n
−
∞
=
−
+
∑ , b)
( )
1
1
1
3
n
n
n
+
∞
=
−
∑ , c) ( )
( )0
1
1
2 !
n
n
n
n
∞
=
+
−
+
∑ ,
d) ( )
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
∞
−
=
+ 
−  
 
∑ , e) ( )
1
1
1
1
n
n
n
n
n
∞
−
=
+ 
−  
 
∑ , f) ( )
1
1
2 1
1
n
n
n
n
n
∞
−
=
+ 
−  
 
∑ ,
g)
( )
( )
1
1
1
2 !
n
n n
+
∞
=
−
∑ , h) ( )
1
1
2
1
1
n
n
n
n
∞
+
=
+
−
+
∑ , i) ( )
1
2
1
1
1
n
n
n
n
∞
+
=
−
+
∑ ,
j)
( )
1
1
1
1
4
n
n
n
+
∞
−
=
−
∑ , k)
( )
0
1
1
n
n n
∞
=
−
+
∑ , l) ( )
( )
1
1
2
1
1 !
n
n
n n
∞
−
=
−
−
∑ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
12.4.Mocninné řady
Úlohy k samostatnému řešení
5. Vypočítejte obor konvergence mocninné řady, pokud lze řadu sečíst, tak ji sečtěte:
a)
( )
1
1
n
n
x
n
∞
=
−
∑ , b)
( )
1
3
3
n
n
n
x∞
=
−
∑ , c) ( ) ( )
2
0
1 2
n n
n
x
∞
=
− +∑ ,
d)
( )
1
1
4
n
n
n
x
n
∞
=
+
⋅
∑ , e) ( )
( )
1
0
2
1
1
n
n
n
x
n
+
∞
=
−
−
+
∑ , f) ( )
1
1
1
4
n
n
n
n
x∞
+
=
−∑ ,
g)
( )
1
1
!
n
n
x
n
∞
=
−
∑ , h) ( )
( )1
1
4
1
3 !
n
n
n
n
x
n
∞
+
=
+
−
⋅
∑ , i) ( )
0
2
n
n
n x
∞
=
−∑ ,
j)
1 2
n
n
x
n
∞
=
∑ , k) ( )( )
0
1 1
n
n
n x
∞
=
+ −∑ , l)
0
4n n
n
x
∞
=
∑ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6. Proveďte rozvoj funkce v Maclaurinovu řadu:
a) ( ) 2x
f x e= , b) ( )
cos x
f x
x
= , c) ( ) x
f x e−
= ,
d) ( )
1
1
f x
x
=
−
, e) ( ) 2
1
1
f x
x
=
+
, f) ( ) 2
sinf x x= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 124 -
7. Vypočítejte integrál pomocí rozvoje funkce v Maclaurinovu řadu:
a)
x
e
dx
x∫ , b)
cos x
dx
x∫ , c)
sin x
dx
x∫ ,
d)
2
cos x
dx
x∫ , e) 2
sin x dx∫ , f)
arctg x
dx
x∫ ,
g)
2
1
0
x
e dx∫ , h)
1
0,1
cos2x
dx
x∫ , i)
1
2
0
arctg x dx∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
8. Najděte partikulární řešení diferenciální rovnici:
a) ( )3
2 , počáteční podmínka 0 1y y x y′ = + = ,
b) ( ) ( )sin cos , počáteční podmínka 0 2, 0 1y y x x y y′′ ′ ′= + = = ,
c) ( )2 2
, počáteční podmínka 1 1y xy x y y′ = + = − ,
d) ( )sin , počáteční podmínka 0 0y x xy y′ = + = ,
e) ( ) ( )ln , počáteční podmínka 1 0, 1 1xy
y y x e y y′′ ′= + = = − ,
f) ( )21
, počáteční podmínka 1 1y x y y
x
′ = + = ,
g) ( )' 3 2 , počáteční podmínka 0 0y
y y xe y= + = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
12.5. Fouriérovy řady
Úlohy k samostatnému řešení
9. Rozviňte ve FŘ:
a)
1 ,0
( )
1 0,
x
f x
x
π
π
− ∈ −
= 
∈
,
b) ( ) , 0,
4 2
x
f x x
π
π= − ∈ , sinová i kosinová
c) ( ) 2
, ,f x x x π π= ∈ − ,
d) ( ) 2
, 0,2f x x x π= ∈ ,
e) ( ) 2
, 0,f x x x π= ∈ , sinová,
f) ( ) , ,f x x x π π= ∈ − ,
g) ( )
1, ,0
3, 0,
x
f x
x
π
π
 ∈ −
= 
∈
,
h) ( ) , 0,f x x x π= ∈ ,
i)
2 ,0
( )
2 0,
x
f x
x
π
π
− ∈ −
= 
∈
,
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 125 -
j)
0 ,0
( )
1 0,
x
f x
x
π
π
 ∈ −
= 
∈
,
k) ( ) 1 , 0,f x x π= ∈ , sinová,
l) ( ) , ,f x x xπ π π= − ∈ − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 126 Výsledky
úloh k samostatnému řešení
1. a) řada konverguje,
3
4
s = ; b) řada konverguje, 1s = ; c) řada konverguje,
3
4
s = ;
d) řada konverguje,
1
2
s = ; e) řada konverguje, 1s = ; f) řada konverguje,
1
2
s = . 2. a) řada
konverguje, 2s = ; b) řada konverguje,
5
6
s = ; c) řada konverguje,
12
25
s = ; d) řada
diverguje; e) řada konverguje,
3
2
s = ; f) řada konverguje,
20
29
s = . 3. a) řada konverguje;
b) řada konverguje; c) řada konverguje; d) řada konverguje; e) řada konverguje; f) řada
konverguje; g) řada konverguje; h) řada diverguje; i) řada konverguje; j) řada konverguje;
k) řada diverguje; l) řada diverguje; m) řada diverguje; n) řada konverguje; o) řada
diverguje; p) řada diverguje; q) řada diverguje; r) řada diverguje; s) řada diverguje;
t) řada konverguje; u) řada konverguje; v) řada konverguje; w) řada konverguje; z) řada
konverguje. 4. a) konvergentní; b) absolutně konvergentní; c) absolutně konvergentní;
d) absolutně konvergentní; e) divergentní; f) divergentní; g) absolutně konvergentní;
h) divergentní; i) konvergentní; j) absolutně konvergentní; k) konvergentní; l) absolutně
konvergentní. 5. a) ) ( )0, 2 , ln 2s x= − − ; b) ( )
3
0,6 ,
6
x
s
x
−
=
−
; c) ( ) 2
1
3, 1 ,
4 5
s
x x
− − =
+ +
;
d) )
4
5, 3 , ln
3
s
x
− =
−
; e) ( ( )1,3 , ln 1s x= − ; f) ( )4,4 ,
4
x
s
x
− =
+
; g) ( ),−∞ ∞ ;
h) ( ),−∞ ∞ ; i) ( )1,3 ; j) )
1
1,1 , ln
1
s
x
− =
−
; k) ( )
( )
2
1
0,2 ,
2
s
x
=
−
;
l)
1 1 1
, ,
4 4 1 4
s
x
 
− = 
− 
.
6. a)
2 3
2
0
4 8 2 2
1 2
2! 3! ! !
n n n n
x x x x x
e x
n n
∞
= + + + + + + = ∑⋯ ⋯ ;
b) ( )
( )
( )
( )
3 2 1 2 1
1
cos 1 1
1 1
2! 4! 2 ! 2 !
n n
n nx x x x x
x x n x n
− −∞
= − + − + − + = + −∑⋯ ⋯ ;
c)
( ) ( )2 3
0
1 1
1
2! 3! ! !
n nn n
x x xx x
e x
n n
∞
− − −
= − + − + + + = ∑⋯ ⋯ ;
d) 2 3
0
1
1
1
n n
x x x x x
x
∞
= + + + + + + =
−
∑⋯ ⋯ ;
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 127 e)
( ) ( )2 4 2 2
2
0
1
1 1 1
1
n nn n
x x x x
x
∞
= − + − + − + = −
+
∑⋯ ⋯ ;
f)
( )
( )
( )
( )
4 2 4 26 10
2 2
0
1 1
sin
3! 5! 2 1 ! 2 1 !
n nn n
x xx x
x x
n n
+ +∞
− −
= − + + + =
+ +
∑⋯ ⋯ ;
g)
2
4 6 2 2
2
0
1
2! 3! ! !
n n
x x x x x
e x
n n
∞
= + + + + + + = ∑⋯ ⋯ ;
h) ( ) ( )
3 5 2 1 2 1
0
arctg 1 1
3 5 2 1 2 1
n n
n nx x x x
x x
n n
+ +∞
= − + − + − + = −
+ +
∑⋯ ⋯ ;
i)
2 3
3
0
9 27 3 3
1 3
2! 3! ! !
n n n n
x x x x x
e x
n n
∞
= + + + + + + = ∑⋯ ⋯ .
7. a)
2 3
1
ln ln
2.2! 3.3! . !
x n
e x x x
dx c x x c x
x n n
∞
= + + + + + = + + ∑∫ … ;
b) ( )
( ) ( )
2 4 6 2
1
cos
ln ln 1
2.2! 4.4! 6.6! 2 . 2 !
n
nx x x x x
dx c x c x
x n n
∞
= + − + − + = + + −∑∫ ⋯ ;
c) ( )
( ) ( )
3 5 7 2 1
0
sin
1
3.3! 5.5! 7.7! 2 1 . 2 1 !
n
nx x x x x
dx c x c
x n n
+∞
= + − + − + = + −
+ +
∑∫ ⋯ ;
d) ( )
( ) ( )
2 4 8 12 4
1
cos
ln ln 1
4.2! 8.4! 12.6! 4 . 2 !
n
nx x x x x
dx c x c x
x n n
∞
= + − + − + = + + −∑∫ ⋯ ;
e) ( )
( )( )
4 3
2
0
sin 1
4 3 2 1 !
n
n x
x dx c
n n
+∞
= − +
+ +
∑∫ ;
f) ( )
( )
3 5 7 2 1
22 2 2
0
arctg
1
3 5 7 2 1
n
nx x x x x
dx c x c
x n
+∞
= + − + − + = + −
+
∑∫ ⋯ ; g) 1,4625 ; h) 1,4652 ;
i) 0,2979 .
8. a) 2 3 4 54 11 11
1 2 2
3 12 30
y x x x x x= + + + + + +…;
b) 2 3 4 51 1 1 1
2
2 6 24 60
y x x x x x= + + + + + +… ;
c) ( ) ( ) ( )
2 3 41 1 1
1 1 1 1
2 6 24
y x x x= − − − − − + − +…; d) 2 41 1
2 12
y x x= + +…;
e) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 41 1 1
1 1 1 1
2 6 12
y x x x x= − − + − − − − − +…;
f) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 43 5 13
1 2 1 1 1 1
2 2 8
y x x x x= + − + − + − + − +…, g) 2 3 45
4
y x x x= + + +…;
Sbírka úloh z matematiky 12. Řady
- 128 h)
31
1
6
y x x= − − +…; i) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 447 95
2 4 1 8 1 1 1
3 3
y x x x x= + − + − + − + − +…;
j) 3 41 1
6 24
y x x x= − + +… ; k) 2 3 43 4 35
2
2 3 24
y x x x x= + + + +…; l) 2 41 1
2 8
y x x x= + − +…;
m) ( ) ( ) ( )
3 41 1
1 2 1 1 1
2 12
y x x x= + − + − − − +…; n) 2 3 41 1 1
2 3 8
y x x x= − + +….
9. a)
( )
( )1
4sin 2 1
2 1n
n x
nπ
∞
=
−
−
∑ ; b)
( )
( )
2
1 1
2cos 2 1sin
,
4 2 1n n
n xnx
n n
π
π
∞ ∞
= =
−
+
−
∑ ∑ ; c)
( )
1
1 sin
2
n
n
nx
n
∞
=
−
∑ ;
d)
( )
( )1
4sin 2 1
2
2 1n
n x
nπ
∞
=
−
+
−
∑ ; e)
1
sin
2
n
nx
n
π
∞
=
+ ∑ ; f)
( )
( )1
8sin 2 1
2 1n
n x
nπ
∞
=
−
−
∑ , g)
( )
( )1
sin 2 11 2
2 2 1n
n x
nπ
∞
=
−
+
−
∑ ;
h)
( )
( )1
sin 2 14
2 1n
n x
nπ
∞
=
−
−
∑ ; i) ( ) ( )
1
2
1 1
2 cos sin
1 2 1
n n
n n
nx nx
n n
π
π
∞ ∞
+
= =
+ − + −∑ ∑ .