Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
2.    ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU..................................................21
2.1. Vektory..........................................................................................................................21
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................21
2.2. Přímka a rovina v prostoru.........................................................................................22
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................22
2.3. Vzájemná poloha přímek a rovin...............................................................................25
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................25
2.4. Vzdálenosti a odchylky................................................................................................28
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................28
2.5. Kolmost.........................................................................................................................30
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................30
Výsledky úloh k samostatnému řešení..............................................................................31
üfH
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
2.1. Vektory
w		
7"\	Úlohy k samostatnému řešení	
1.  Vypočítejte souřadnice vektoru x, pro který platí:
a) x + 2a-4b = o, a =(8, 7,11), £ = (9, 3,-5),
b) 43c - 8a - 2£ = o, a = (-5, -13, 8, 4), b = (6, 8, -14, 6).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Je dán vektor u a bod A. Najděte souřadnice bodu B Je-li A počáteční a B koncový bod vektoru u . Vypočítejte velikost vektoru u .
a) «=(2,1,-2),A[3,1,0], b) u = (3,0,-4), A [2,5,-1],
c) í = (6,-8,-5),A[-9,5,4], d) ú = (6,5,-4), A[-l,4,-2].
Výsledky úloh k samostatnému řešení
3. Vypočítejte směrové úhly vektoru a :
a) a =(3,-2,2), b) a = (-1,3,5), c) a = (12,0,5).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Vypočítejte odchylku vektorů:
a) a =(2, -4,1), b =(3,1,-2), b) u = (3,1,-4), v = (6,0,8),
c) a =(2,-4,8), £ = (3,-6,12), d) ú = (0,-3,4), v = (5,-5,5).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5. Najděte vektor c , který je kolmý k vektorům a, b :
a) ä = (2,1, -6), £ = (-7,3,11), b) ä = (-2,5,1), £ = (-4,3,2),
c) ä = (7,6,-2),b =(6,-6,0), d) a =(0,1,2), £ = (-5,0,4).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6. Najděte souřadnice vektoru x, pro který platí:
a) x-ä = 4,x-b=2,x±c,ä = (\,2,-\),b=(3,-2,3),d = (-6,\,4),
b) x-a= -15, x-b =7, xl c, a =(0,-4,7), b =(2,3,5), c =(5,-2,11),
c) x-ä = 23,x-b =6,x ±c,ä = (-2,5,5),b= (8, -5, -6), c = (7,5, -6) .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
7. Vypočítejte obsah trojúhelníka ABC.
a) A[2,3,l],5[4,l,2],C[8,9,-7],      b) A[l,l,l], 5[3,4,3], C[-3,5,7],
c) A[-2,4,5], 5[2,5,2],C[6,8,-1],   d) A[-7,5,-3], B[-7,1,0], C[-6,5,-6].
-21 -
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
Výsledky úloh k samostatnému řešení
8. Pomocí smíšeného součinu rozhodněte, zda jsou vektory kompalnární:
a) a =(2,3,1), b=(-A,6,8), c =(2,15,11),
b) ä = (-6,8,0), b = (1,2, -3), c = (9,8,7),
c) ä = (-4,3,0), b = (-1,2,2), c = (6,7,9) .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
9. Vypočítejte objem tělesa:
a) čtyřboký jehlan ABCDV, kde A[l,0,1], 5[0,2,6], D[5,9,0], V[12,15,19],
b) rovnoběžnostěn ABCDEFGH , kde A[1,3,5], B [2,4,6], D [-2,5,-3], £[11,10,9]. Výsledky úloh k samostatnému řešení
10. Vypočítejte vnitřní úhly trojúhelníka ABC.
a) A[2,3,l],5[4,l,2],C[8,9,-7],      b) A[l,l,l], fi[3,4,3], C[-3,5,7],
c) A[-2,4,5], 5[2,5,2],C[6,8,-1],   d) A[-7,5,-3], B[-7,1,0], C[-6,5,-6]. Výsledky úloh k samostatnému řešení
11. Určete konstanty m, n tak, aby vektory byly:
a) kolineární, a = (m, 4,6), b = (3,2,«) ,
b) ortogonální (kolmé), a = (m, 2, l), b = (3,6,3m),
c) komplanární, a = (l, 2, m), b = (0, m, l), c = (l, 3,2).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2.2. Přímka a rovina v prostoru
w		
7-\	Úlohy k samostatnému řešení	
12. Napište rovnice přímky, která je dána bodem a směrovým vektorem: a) A[-2,3,5],? = (6,-3,l), b) A[0,2,-4],? = (8,-1,0),
c) A[5,5,2],? = (4,-8,3), d) A[6,-5,-4],? = (-1,0,3) .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
13. Napište rovnice přímky, která prochází dvěma body:
a) A[2,l,-4],5[3,9,6], b) A[-4,5,7],B[5,7,-4],
c) A[6,2,3],5[6,2,0], d) A[5,-7,9],fi[ll,-12,-1].
Výsledky úloh k samostatnému řešení
14. Napište rovnice přímky, která prochází bodem a je rovnoběžná s danou přímkou: a) A[2,4,6],p:jc = l-3ř, y = 2 + 4ř,z = 2-5ř,řeR,
HfH
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
b) A[3,2,l], p:x = 5 + 2t, y = 4-3t, z = 2 + t,tgR,
c) A[0, -2,7], p : x = 5, y = t, z = 3 + 3t, t g R,
d) A[-3,4,7], p : x = 7 -6t, y = -2 + 5t, z = 4t, t g R.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
15. Přímka je dánajako průsečnice dvou rovin, napište její parametrické rovnice a kanonickou rovnici:
Výsledky úloh k samostatnému řešení
16. Bodem A veďte přímku kolmo k rovině p .
a) A[3,-2,5],/?:6jc + 2y-5z+ 12 = 0,
b) A[4,0,7],/?:-x + 6y-4z + 4 = 0,
c) A[5,-8,7],/?:2x-4z + ll = 0,
d) A[4,8,12],/?:5x + 9y + 2 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
17. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází třemi body:
a) A[1,2,1],5[2,0,2],C[-1,2,2],      b) A[l,l,l], 5[3,4,3], C[-3,5,7],
c) A[-2,4,5], 5[2,5,2],C[6,8,-1],   d) A[-7,5,-3], B[-7,1,0], C[-6,5,-6].
Výsledky úloh k samostatnému řešení 18. Napište obecnou rovnici roviny, která je dána bodem normálovým vektorem:
Výsledky úloh k samostatnému řešení
19. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a vektory ú, v jsou s touto rovinou komplanární:
a) A[2,6,1],H = (-2,1,4), c) A[5,5,2],H = (4,-8,3),
b) A[0,2,-4],H = (8,-1,0), d) A[6,-5,-4],H = (-l,0,3).
a) A[0,-3,5],í = (3,2,6),v=(l,2,-3),
b) A[l,-4,8],í = (l,0,l),v=(0,2,5),
c) A[7,0,-6],í = (2,5,-3),v=(4,10,8),
d) A[l,0,l],í = (ll,7,3),v=(l,l,0).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
HfH
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
20. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která je dána rovnoběžkami p, q
p:    x=2+ t q:    x=3- r
a) y = l-3t y = 2 + 3r
z=    2t,tsR z = l-2r, reR,
p:    x = 4-2t q:    x = 2-4r
b) y = 2-4t y = 2-8r
z = 3 + 5ř,řeR z = 8 + 10r,reR,
p:    x = l + 2t q:    x = 3-2r
c) y = 11 +1 y = 8 - r
z = 9-4í,ígR z = 5 + 4r,reR.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
21. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která je dána různoběžkami p, q :
p:    x = 2- t q:    x = 2 + 4r
a) y = 4+ t y = 4-3r
z = 7-3í, ígR z = 7 + 5r, r g R,
p:    x= 5 q:    x= 5 + 3r
b) y = -2 + t y = -2-2r
z= 8 + í,ígR z= 8 + 5r, r g R,
p:    x=     t q:    x= -6r
c) y = l + t y = \-4r
z = 9-í,íeR z = 9 + 7r,rGR.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
22. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkami p, q :
a) A[6,7,8],p:jc = -l + 2ř,y = 10 + 6ř,z = -3 + 3ř, q:x = l + 3r, y = 3 + 9r, z = \-4r,
b) A[4,l,-3],p:x = 5 + t,y = l,z = 3-t, q : x = 2, y = 3-4r, z = 10 + 2r,
c) A[0,-5,6],p:jt = ŕ, y = 12-3ř, z =-4 + 8ř, q:x = -r, y = 3, z = -5r.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
23. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou a a je rovnoběžná s přímkou b :
a) a: x = 7 + t,y = \-4t,z = 2-t, b: x = 2-6r, y = 2 +r, z = 2-3r ,
b) a:x = 9-3t, y = 8 + t, z = 6 + 2t, b : x = r, y = 2-5r, z = 8,
c) a : x = -5t, y = 6 + 2t, z = 8 - ř, b:x = \\ + r,y = -4r, z = 12.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
-24-
25
V
71 \
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
24. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je kolmá k přímce k :
a) A[5,5,5],fc :x = 2 + 3t, y = 3-2t, z = 6 + t,
b) A[4,l,-3],k:x = 5 + t,y = l,z = 3-t,
c) A[0,-5,6],k:x = t,y = 12-3t,z = ^ + St.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
>. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a přímkou p :
r     ,       í 2x-y + 3z + 6 = 0
a) A 1,1,1 , p:\
í    v-4z + 8 = 0
b) A 0,2,3 , p:\
L       J      \lx   +4z-l = 0,
c) A 1,2,-1 , p:\ /
[ x-3y + z-2 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
26. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou q a je rovnoběžná s přímkou p :
í 2x   -3z + 4 = 0
a) p : < , q : x = 1 - 6t, y = 2 + 5t, z = 1 + 4t,
[ x+y +7=0
í    v-4z + 8 = 0
b) ^ :x = 3 + ř, v = -4ř,z = 0, [2a;   +4z-1 = 0
f 5jc + y+z+6=0
c) g: x = 5-ř, y=l-2t,z = t. [ jc-3v + z-2 = 0
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2.3. Vzájemná poloha přímek a rovin
Úlohy k samostatnému řešení
27. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou přímek, určete souřadnice průsečíku, jestliže existuje:
p:    x = 3-2t q:    x = -\ + 2r
a) y = 4 + 3t y = \0-3r
z = 5 - ř, ř e R, z = 3 + r, r g R,
p:    x = 4-2ŕ g:    A = 3-2r
b) _y = 5 + 4ř y = 3 + 4r
z = 7-3í,íeR, z = 5-3r,reR,
z1 ^
HfH
-25-
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
p:    x = -2 + 4t q:    x = -3 + 9r
c) y= 2 + t y = l + 3r
z= 3     ,řeR, z= 7-4r, reR,
p:    x = -2 + 4r g:    jc = l-2r
d) y = 2+ r y = r
Z= 3     ,řeR, z = 3-4r,reR,
p:    ^ = 2 - 2ř e) y = 3+ í q
z = 4-3ŕ,ŕeR,
x + y-z +7=0 2x-y + 3z-69 = 0,
f) y = 2-ř
z=3 + ř,feR,
f * + 2y-3z + 7 = 0 13x+  y + z-9 = 0,
p: x = 4 + 5t g)        y = 6-3r
z = 7 + 2f,íeR,
Výsledky úloh k samostatnému řešení
f2;t + 2y-2z +7 = 0 q{ x + 3y + 2z-20 = 0.
28. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, určete parametrické rovnice průsečnice, jestliže existuje:
a)
c)
<z:6;t + 4y + 12z-18 = 0, jB:3x + 2y+ 6z-9 = 0,
(z:6x + 4y + 12z-18 = 0, jB:2x + 5y+ 5z+ 3 =0,
a
d)
x ■
y
z:
1 + 2a-4v -1- u + 4v
2 +3a- v,«,veR,
b)
a:6x + 4y + \2z-18 = 0, J3:3x + 2y+ 6z + 9 =0,
/?:x + y + z + l = 0,
a: x= \ + 2u-4v e) y = -l-w + 4v
z= 2 + 3u— v,«,veR
/?:lLc + 10y-4z + 7 = 0,
a: x = 4+ u- v f) y = 5- w + 4v
z = 6 + 2a + 4v, u, v e R,
/?: jc = 3+ ř- r y = 6-2í + 5r z = 1 + 6t .í.reR,
-26-
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
a: x = 4 + u- v g) y = 5- a + 3v
z = 6 + 2u + 4v, a, v g R, Výsledky úloh k samostatnému řešení
/?: * = 5 - r y = 7 + ř + 5r z = 3 + 3í + 10r, ř, reR.
29. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny, určete souřadnice průsečíku, jestliže existuje:
a:    x = 6 + 2t p:2x + 3y + 5z + 2 = 0,
a)        y = 5 - 3t
z = 4+ ř,řeR,
b)
x = 6 + 2t y = 5-3t z = 4+ ř,řeR,
p:;t-3y-llz + 53 = 0,
c)
6 + 2í 5-3t
z = 4+ ř,řeR,
p:3;t+y-4z-3 = 0,
d)
y : z:
-2+ ř 4-2ř
8-3ř,řeR,
/?:    x = 4 + 2u -v y = 4 + 4u - 6 v z = 4+ u-4v, u, veR,
e)
x ■
y-z ■
-2+ t 4-2t
8-3ř,řeR,
p : x = 2 +3a -2v v = 10+ a-3v z = 8-3a       , u, v g R,
f)
z:
-2+ ŕ 4-2ŕ
8 — 3ř, í g R,
P:
x = -5 - u + 2v
y = -7 + 4u+ v
z = -5 - 5u + 4v, u, v g R.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
30. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin
a) a : 3x + 2y + 6z-9 = 0, /?:-3x-2y-6z + 13 = 0, /v:6x + 4y + 12z + 3 = 0,
c) a:2x-2y + 6z-8 = 0, /?:-3x-6y + z + l = 0, X:x + 8y-7z + 13 = 0,
b) a:x-y + 3z-2 = 0, j3:2x-2y + 6z-9 = 0, y:5x-4y + 3z-7 = 0,
d) a : x-4y + 5z-3 = 0, /?:3jc-3y + z-ll = 0, /v:5x-lly + llz-15 = 0,
HfH
-27-
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
e) a:2x+y-4z-l = 0, f)  a: x - y + z-4 = 0,
J3:x+y-2z-l = 0, (3 :-2x-2y + 6z = 0,
y:4x + 4y-5z-7 = 0, ^ : jc + 2z-11 = 0 .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
31. Najděte obecnou rovnici roviny, která prochází bodem M a patří danému svazku:
a) M 1,2,0 ' b) M -1,4,7
7     L      J   2x-y + z-5 = 0, ' 2x-2y + z = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
32. Najděte obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s přímkou p a patří danému svazku:
x+l   y-l   z+5 x+2y-z+4=0
a) p:
1       2        1      2x-y + z-5 = 0,
x-4    y-3    z+6 x+2y-z+4=0 0   ~   3   ~   4     2x-y + z-5 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
b) p
2.4. Vzdálenosti a odchylky
		
7>\	Úlohy k samostatnému řešení	
33. Vypočtěte vzdálenost dvou bodů:
a) A[2,l,-4],5[3,9,6], b) A[-4,5,7],5[5,7,-4],
c) A[6,2,3],5[6,2,0], d) A[5,-7,9],1,-12,-1].
Výsledky úloh k samostatnému řešení
34. Vypočtěte vzdálenost bodu od roviny:
a) A[2,l,4],/?:3x-2y + 8z + 12 = 0,
b) A[4,0,4],/?:3x + 4y-12z + 12 = 0,
c) A[-12,5,3],/?:6x + 8z-18 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
35. Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných rovin:
a) a:2x + 5y-4z + 7 = 0, /? : 4x + 10y-8z +28 = 0,
b) a:5x-4y + 7z-14 = 0, /?: 5x-4y + 7z +21 = 0,
c) a :-3x + 5y-z + 13 = 0, /3:3x-5y + z + 19 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
36. Vypočtěte vzdálenost bodu od přímky: a) A[2,4,6],p:^ = f = ^,
HfH
Sbírka úloh z matematiky
2. Analytická geometrie
b) A[5,5,5],p:jc = 3 + 4ř,y = -2-ř,z = 3,řeR,
c) A[l,0,3],/>: —= —= —.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
37. Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných přímek:
x-l    y    z-l      x-3    y-4 z-5
a) p:
b) p:
c) p:
2      1-2 2 1-2
b) p : x = 5, y = -7 + 3t, z = 9 - 4t, t e R, q : x = -1, y = -8 + 6r, z = 3 - 8r, r e R: jc + 9    y + 6    z-l      x-3    y    z + 1
5        14 5 14
Výsledky úloh k samostatnému řešení
38. Vypočtěte vzdálenost mimoběžných přímek:
.      x   y-l   z+l     x-l    y z+2
a) p: — =-=-,q:-= — =-,
2      2       33      -4 5
x + \   y + 8 z-3
b) p:x = 5,y = -7 + 3t,z = 9-4t,teR,
c) p : x = -4 +1, y = 3, z = t, t e R,
3        6 9 x-l   y + 3   z + \2
2       10 3 Výsledky úloh k samostatnému řešení
39. Vypočtěte odchylku dvou přímek:
p:    x = 3 + 2t q:    x = 2 + 4r
a) y = 4-3t y = l+ 9r
z = 5 + 7t,t eR, z = 3-llr,reR,
p:    x = \ + 3t q:    ^ = 5 + 4r
b) y = \-4t y = 4-9r
z = 2+ ř,řeR, z = 3-2r,reR,
p:    x = 7 + 6t q:    x= 3 + r
c) y= -3ř y = -2-r
z = 3 + 9ř,řeR, z = -4-r,reR.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
40. Vypočtěte odchylku dvou rovin:
a:   5x-4y + 6z-\ = 0, or: 6x + 4y + 2z-4 = 0,
/?:-3x + 8y + 9z + 6 = 0, J3: 3x - 2y-5z + 9 = 0,'
a : - x+ 5y + 2z + 3 = 0, /?:   x + 2y + 3z + l = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
29
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
41. Vypočtěte odchylku přímky a roviny:
x — 1   v +1   z — 1
a) o:-=-=-, p:-3x + 8y + 9z-5 = 0,
2       -3 7
b) p:£zi = Z±l = £±8>p:_4jc + 2y_z + 8 = o)
4-2 1
c) p:x = \ + 5t, y = -t, z =-7, ŕ e R, /?:-x-5y + 6z-13 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2.5. Kolmost
V
7"^
Úlohy k samostatnému řešeni \
42. Najděte pravoúhlý průmět bodu     do roviny p :
a) ^[5,3,6],/?:2x + 4y-z + 5 = 0,
b) ^[l,-10,-2],/?:3x + 2y-3z-ll = 0,
c) Jř[5,-5,5],/?:5x-4y + 4z + 49 = 0.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
43. Najděte pravoúhlý průmět bodu K na přímku p :
x-	5	y	-4	z-5
1			-1	2
x-	3	y	-2	z + l
2			-1	-1
x-	1	y	-2	z + 5
b) K[0,l,0],p:
c) K[9,S,7],p    4       _3 i
Výsledky úloh k samostatnému řešení
44. Najděte pravoúhlý průmět přímky m do roviny <r :
a) m\——- = ——— = —-—-—, <t : 2x + y — 4z + 6 = 0,
4-2 5
b) m:^ = ^i = ^,CT:3* + 4y-4z-12 = 0.
19        19 -18
.      x-\2    y + 7    z + l
c) m:-=-=-, a : 5x-4y + z-3 = 0 .
11-8-3
Výsledky úloh k samostatnému řešení
HfH
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) x = (20,-2,-42); b) x = (-7, -22, 9, 7) . 2. a) #[5,2,-2], |w| = 3;
b) 5[5,5,-5],|í| = 5; c) B[-3,-3,-1], |«| = 5yfŠ; d) fí[5,9,-6], |«| = VŤ7 . 3. a) a = 43°19', (3 = 119°ľ, ^ = 60°59';                  b) a = 99°44', (3 = 59°32', y = 32°19';
c) a = 22°37', /? = 90°, y = 67°23'. 4. a)#> = 90°; b)    = 105°56'; c)^ = 0°; d)^ = 36°4'.
5. a) c=íxí = (29,20,13);      b) c = axb = (7,0,14);      c) c = a x£ = (-12,-12,-78);
d) c =flxfc =(4,-10,5).      6. a) x = (1,2,1); b) x = (3,2,-1); c) 3c = (6,0,7) .
7. a) S = V29Ô/;    b) S = 15/ ;    c) S = 10/;    d) S = y / . 8. a) jsou komplanární;
538
b) nejsou kompalnární;       c) nejsou kompalnární.     9. a) ^ =~^~ J '■>       b)V = 45j .
10. a) a = 103°13',/? = 63°29', x = 13°18'; b) a = 61°56', (3 = 88°5', y = 29°59';
c) a=10°29', /? = 160°2ľ, y = 9°\0'; d) a = 124°42', (3 = 20°55', y = 34°23'.
11. a) m = 6, n = 3 ; b) m = -2; c) m = 1.
jc + 2    v — 3    z — 5
12. a) a : x = -2 + 6ŕ, y = 3 - 3t, z = 5 +1, t e R, a :-=--=-;
6-3 1
b) a : x = 8ŕ, y = 2 -1, z = -4, t e R ;
c) a:x = 5 + 4t, y = 5 - 8ŕ, z = 2 + 3ŕ, ŕ e R, a : -—- = -—- = -—-;
4-8 3
d) a : x = 6 -1, y = -5, z = -4 + 3t, t e R .
r — 9    v —1    7 + 4
13. a) a: x = 2 +1, y = l + 8ŕ, z =-4 +10í, í e R, a :-= -— = --;
1        8 10
x + 4    v — 5    7 — 7
b) a :x = -4 + 9ŕ, y = 5 + 2ŕ, z = 7-llŕ, ŕe R, a :-= --= --;
9 2-11
c) a : x = 6, y = 2, z = 3 - 3t, t e R;
r — 5    v + 7    7 — 9
d) a : x = 5 + 6t, y = -7- 5í, z = 9-10ŕ, í e R, a :-=--=--.
6-5 -10
x — 2    v — 4    z — 6
14. a) <2 : jc = 2-3r, y = 4 + 4r, z = 6-5r, r e R, a :-= --=-
-3 4-5
,x        „  „       „ ^      ! t. y-2 z-1
b) a : x = 3 + 2r, y = 2 - 3r, z = 1 + r, r e R, a :-=-=-;
2-3 1
c) a : x = 0, y = -2 + r, z = 7 + 3r, r e R;
HfH
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
x + 3    y-4 z-1
d) a : jc = -3 - 6r, y = 4 + 5r, z = 7 + 4r, r e R, <2 :
5 4 7
7 jc-l    J+9 z
15. a) /?: x = l + 2r, y =---10r, z = —6r, r g R, /?:-=-— = —
2 2      -10 -6
_ 1_
1 y + 8 z b) p : x = — + 4r, y = -8-8r, z = -2r, r g R, p :-- =--= —;
2 4 -8-2
jc   y + 2   z + 4 _
c) p : jc = 4r, y = -2 - 4r, z = -4 -16r, r e R, /?:
4     -4 -16
x + 2     y    z + 2 d) p : jc = -2 + 8r, y = -7r, z = -2 - 9r, r e R, /?:-= — -
16. a) p : x = 3 + 6r, y = -2 + 2r, z = 5- 5r, r e R, /? b) /?: jc = 4 - r, y = 6r, z = 7 - 4r, r e R, p
1 -9 x-3    y + 2 z-5
6
x-4    y z-1
-1     6 -4
c) p : x = 5 + 2r, y = -8, z = 7 - 4r, r e R; d) p : x = 4 + 5r, y = 8 + 9r, z = 12, r e R.
17. a) a : x = l + ŕ-2r, y = 2-2t, z = l + t + r, t,reR, a :2x + 3y + 4z-\2 = O;
b) a : x = 1 + 2t - 4r, y = 1 + 3t + 4r, z = 1 + 2t + 6r, t, r e R, a : x - 2y + 2z -1 = O;
c) a : x = -2 + 4ŕ + 8r, y = 4 + t + 4r, z = 5-3t-6r, t,r e R, a : 3x + 4z-14 = 0;
d) a : x = -7 + r, y = 5 - 4t, z = -3 + 3t - 3r, t, r e R, a :\2x + 3y + 4z + 81 = O .
18. a) a:-2x+y + 4z-6 = 0; b) a : 8jc-y + 2 = O; c) a : 4x-8y+ 3z + 14 = 0; d) cc:-x + 3z + 18 = 0. 19. a) a : -18x + 15y + 4z + 25 = 0; b) a : 2x + 5y-2z + 34 = O; c) a : 5x-2y-35 = 0; d) a : -3x + 3y + 4z-1 = O .
20. a) a : x = 2 + u + v, y = 1 - 3u + v, z = 2u + v, u, v e R, a : -5x + y + 4z + 9 = 0;
b) a : x = 4 - 2u - 2v, y = 2 - 4u, z = 3 + 5u + 5v, u, v e R, a : 5x + 2z - 26 = O;
c) a : x = 7 + 2u -4v, y =11 +w -3v, z = 9-4w -4v, u, v e R, a : 8x-12y + z+ 67 = O .
21. a) a : x = 2-u + 4v, y = 4 +u -3v, z = 1 -3u + 5v, u,v e R, a : 4x+ ly + z-43 = O ;
b) a : x = 5 + 3v, y = -2 + u- 2v, z = 8 + w + 5v, w,veR, a:7x+3y-3z-5 = 0;
c) a : x = u-6v, y = \ + u-4v, z = 9-u + lv, u,v eR, a :3x - y + 2z-ll = O.
22. a) a : x = 6 + 2u + 3v, y = 1 + 6u + 9v, z = 8 + 3u - 4v, u, v e R, a : -3x + y +11 = O;
b) a : x = 4 + u, y = 1 - 4v, z = -3 - u + 2v, u, v e R, a : 2x + y + 2z - 3 = O;
c) a : x = u - v, y = -5 - 3u, z = 6 + 8w - 5v, u, v e R, a : 5x - y - z +1 = O .
HfH
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
23. a) a : x = 7 + u -6v, y = l-4u + v, z = 2-u -3v, w, v e R, a : 13x+ 9y -23z- 54 = 0 ;
b) a: x = 9-3u + v, y = 8 + w - 5v, z = 6 + 2u, u, v e R, a : 5x + y + 7 z - 95 = 0;
c) a : x = -5m + v, y = 6 + w - 4v, z = 8-m, íí,veR, a:4x+y-18z + 138 = 0.
24. a) a:3x-2y + z-10 = 0; b) a : x-y-7 = 0 ; c) a : x-3y + 8z-63 = 0.
25. a) a:12x + 29y-27z-14 = 0; b) a : 36x +1 ly + 28z-106 = 0; c) a :13x-7y + 5z + 6 = 0. 26. a) a : 22x + 24y + 3z-73 = 0 ; b) a : 4x+y+ 4z-12 = 0; c)a:3ľ-y + z-14 = 0. 27. a) přímky j sou totožné; b) přímky j sou rovnoběžné; c) přímky jsou různoběžné, průsečík je /?[6,4,3]; d) přímky jsou mimoběžné; e) přímky jsou různoběžné, průsečík je     [10,-1,16];    f) přímky jsou mimoběžné;    g) přímky jsou
rovnoběžné. 28. a) roviny jsou totožné; b) roviny jsou rovnoběžné; c) roviny jsou různoběžné, průsečnice je r : x = 21 -40ř, y = -6t, z = -9 + 22t, t e R ; d) roviny jsou různoběžné, průsečnice je  r : x = -11 — 14ř, y = 11 +15ř, z = -1 -t, t e R;    e) roviny jsou
g) roviny jsou rovnoběžné. 29. a) přímka je s rovinou rovnoběžná; b) přímka leží v rovině; c) přímka je s rovinou různoběžná, průsečík je /?[l4,-7,8]; d) přímka je s rovinou rovnoběžná; e) přímka leží v rovině; f) přímka je s rovinou různoběžná, průsečík je /?[0,0,2]. 30. a) roviny jsou rovnoběžné, nemají žádný společný bod; b) dvě roviny jsou
rovnoběžné, třetí je s nimi různoběžná, nemají žádný společný bod; c) roviny jsou různoběžné, nemají žádný společný bod, tvoří „střechu"; d) roviny jsou různoběžné, mají společnou přímku x = 3 +1 lt, y = I4t, z = 9t; e) roviny jsou různoběžné, mají společný jeden
bod     /?[2,l,l]; f) roviny    jsou    různoběžné,    mají    společný    jeden bod
#[5,4,3]. 31. a) 23x+y + 4z-25 = 0; b) -x+ y-2z + 9 = 0 .
32. a) -7x + 6y-5z + 24 = 0; b) 4x-4y + 3z-6 = 0 .        33. a) \AB\ = 12,8j;
b) |Afi| = 14,4;;   c)\AB\ = 3j;   d) \AB\ = 12,7 j .   34. a) \Ap\ = 5,47 j ;   b) \Ap\ = 1,85; ;
c) \Ap\ = 6,6j. 35. a) \aj3\ = 1,04j; b) \aj3\ = 3,69j; c) \aj3\ = 5,41 j . 36. a) \Ap\ = 6,34j; b) \Ap\ = 7,55;; c) \Ap\ = 2,88; . 37. *)\pq\ = 6j; b) \pq\ = 7,44; ;
c) \pq\ = 10,19;. 38. a) \pq\ = 1,42; ; b) \pq\ = 4,5j ; c) \pq\ = 15,8; . 39. a)«p = 34o20'; b)^ = 26°9'; c) ^ = 90°. 40. a) ^ = 86°19'; b)^ = 90°; c)^ = 42°57'.
HfH
Sbírka úloh z matematiky_2. Analytická geometrie
41. a) <p = 19°44'; b)<p = 90°; c)<p = 0°. 42. a) £"[3,-1,7]; b) £'[4,-8,-5]; c) £'[-5,3,-3], 43. a) £'[4,5,3]; b) £'[l,3,0]; c) £'[5,-1,-4].
44. a) m':x = -3-l6s,y = 4s,z = -7s,seR; b) rrí : x = 4s, y = 2-s, z = -1 + 2s, s e R; c) m': x = 1 + s, y = 1, z = 1 - 5s, s e R .
HfH