Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ....................................................................... 36
3.1. Definiční obor funkce................................................................................................... 36
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 36
3.2. Parita funkce................................................................................................................. 36
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 36
3.2. Limita funkce................................................................................................................ 37
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 37
Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 40
- 35 -
Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
3.1. Definiční obor funkce
Úlohy k samostatnému řešení
1. Určete definiční obor funkce:
a) ( )
2
3
5
ln
4
x x
f x
−
= , b) ( )
( )
2
3
arccos
9
x
f x
+
= ,
c) lny = x , d) ( ) tg
4
f x x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
e) ( )
1
arcsin
x
f x
x
−
= , f)
2
ln ln
1
x
y
x
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
,
g) ( )
2
2
3
x x
f x
x
+ −
=
+
, h) 3
6 1
log arcsin
6
x x
y
x
− +
= + ,
i) 2
cotg 2 4
3
y x
π⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
x , j)
3
arccos 2
2
x
y x
+
= + + ,
k) 2
3 2
1
4 3
4
y x x
x
= − + −
−
, l)
2
tgy
6
x π−
= ,
m)
sin 2
1 cos3
x
y
x
=
−
, n) 1 2sin 2y x ,
o)
= −
2
arctg
3
x
y
x
+
=
+
, p) lnsin
4
y x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
3.2. Parita funkce
Úlohy k samostatnému řešení
2. Rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá:
a) ( ) 2
sin cosx x x
f x
x
−
= , b) ( ) ( )3
cos 2 1f x x x x= − + − ,
c) ( )
2 1
2 1
x
x
f x
−
=
+
, d) ( ) ( )2
tg 4 2 sinf x ,
e)
x x x= − −
( )
1
sin
x
f x
x
−
= , f) ( ) 2
4 5sin3f x x ,
g)
x x= − +
( )
2
4
cos 2
3
x x
f x
x
+ −
=
+
, h)
6
ln
6
x
y
x
−
=
+
,
i) 2
cos2 4y x x= + − , j) arccos 2y x x= + + .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 36 -
Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
3.2. Limita funkce
Úlohy k samostatnému řešení
3. Vypočítejte limitu:
a)
3 2
3 24
2 23 4
lim
10 30 24x
x x x
x x x→−
− − +
+ + +
, b)
3 2
32
2 11
lim
3 2x
x x x
x x→
6+ − +
− −
,
c)
4 2
30
lim
x
x x
x x→
−
−
, d) 3 29
9
li
x
m
9 9x x x x→ + −
, e)
2
3 25
25
lim
5 5 25x
x
x x x→
−−
−− + −
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Vypočítejte limitu:
a)
0
4
lim
x
x 2
x→
+ −
, b)
2
25
9 4
li
x
m
25x
− −
−
, c) 24
2
li
x
m
3 4xx x x→
−
−→ −
,
d)
6
6
lim
3 3x
x
x→
−
+ −
, e)
5
4
li
3
m
20 5x
x
x→
+ −
−
, f) 3 3
li
0
m
1 1x
x
x+ x→ + − −
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5. Vypočítejte limitu:
a)
( )
21
3
lim
1x
x
x→
−
−
, b) 21
4
li
x
m
1x x→
+
−
, c) 21
4
li
x
m
1
x +
x→− −
,
d)
( )
2
23
lim
3x
x
x→−
+
, e)
2
2
4 3
li
x
m
2x
x
x→
−
−
, f)
2
0
1
li
x+
m
x x→
+
,
g) 21
lim
3 2x
x
x x→ − +
, h) 22
lim
3 2x
x
x x→ − +
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6. Vypočítejte limitu:
a)
0
sin 4
lim
2x
x
x→
, b)
0
tg3
lim
x
x
x→
, c)
2
20
sin 2
li
x
m
x x→
,
d)
0
tg 2
lim
sinx
x
x→
, e)
0
sin
2lim
sin
3
x
x
x→
, f)
0
sin tg
li
x x
m
x x→
+
,
g)
0
sin 2 tg3
lim
4x
x x
x→
−
, h)
2 2
2 20
sin tg
2li
x
m
sin 2 sin 3x
x
x x→
−
+
, i)
3 3
30
3 s
li
in 2
m
2x
x x
x→
−
,
j)
2 2
20
sin
2lim
tg 2x
x
x
x→
−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 37 -
Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
7. Vypočítejte limitu:
a)
0
sin 4
lim
2 2x
x
x→ + −
, b)
2
20
3
tg
4
lim
9 3x
x
x→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ −
, c)
0
2 1 3 1
lim
tg 4x
x x
x→
+ − +
,
d)
2
20
4 2
lim
tg 4x
x
x→
+ −
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
8. Vypočítejte limitu:
a)
( )
21
sin 1
lim
1x
x
x→
−
−
, b)
( )
24
tg 4
lim
3 4x
x
x x→
−
− −
, c)
( )2
22
sin 2
lim
4 4x
x
x x→
−
− +
,
d)
( )
3 2
5
5 5
lim
tg 5x
x x x
x→
− + − +
−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
9. Vypočítejte limitu:
a)
1
lim
x
x
x
x→∞
+⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , b)
3
lim
x
x
x
x→∞
+⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , c)
1
lim
x
x
x
x→∞
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
d)
2 3
lim
2 1
x
x
x
x→∞
−⎛
⎜
+⎝ ⎠
⎞
⎟ , e)
3 1
1
lim
4
x
x
x
x
+
→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
, f)
2 4
3
lim
3 1
x
x
x
x
+
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
,
g)
2 1
lim
x
x
x
x→∞
+⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , h)
4
lim
3
x
x
x
x→∞
+⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , i) ( )
1
0
lim 1 2 x
x
x
→
+ ,
j)
1
0
lim 1
3
x
x
x
→
⎛
−⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ , k) ( )
2
cotg2
0
lim 1 2 tg
x
x
x
→
− .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
10. Vypočítejte limitu:
a)
3 2
3 2
4 5 4
lim
7 9 5x
x x x
x x x→±∞
− + −
+ + −
3
4
, b)
2
4 3
4 5 9
lim
5 4x
x x
x x x→±∞
− +
3− − +
,
c)
3
2
6 5
lim
2 9x
x x
x x→±∞
− +
− +
3
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
11. Vypočítejte limitu:
a)
3 3 2
2
4 2 3
lim
2 4x
1x x x
x x→∞
− − +
+ +
, b)
4 3
2
2 4 3
lim
3 2x
x x x
x x→∞
+ −
+
,
c)
4
9 2
lim
5 6x
x x 3
x→∞
− +
+
, d)
4 3
3 6 4
4
lim
27x
x x x
x x→∞
− −
+
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 38 -
Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
12. Vypočítejte limitu:
a) ( )2
lim 3 3
x
x x x
→∞
+ − , b) ( )2
lim 1
x
x x
→∞
+ − , c) ( )lim 4
x
x x
→∞
+ − ,
d) ( )2
lim 1
x
x x
→∞
+ − − x , e) ( )2
lim 4 2 4 2
x
x x x
→∞
− + − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 39 -
Sbírka úloh z matematiky 3. Funkce jedné proměnné
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) ( )0,5fD = ; b) 6,0fD = − ; c) )1,fD = ∞ ; d)
3
4
fD kπ π
⎧ ⎫
= − +⎨ ⎬
⎩ ⎭
R ;
e)
1
,
2
fD
⎞
= ∞⎟
⎠
; f) ; g)(1,fD = ∞) )( 3, 2 1,fD = − − ∪ ∞ ; h) )7,0fD = − ;
i) 2, , ,2
3 3 6 6
fD
π π π π⎛⎞ ⎛ ⎞
= − − ∪ − ∪⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
; j) 2, 1fD = − − ;
k) )( ( ), 2 2,1 3,fD = −∞ − ∪ − ∪ ∞ ; l) { }2 3fD kπ π= − +R ; m)
2
3
fD kπ
⎧ ⎫
= − ⎨ ⎬
⎩ ⎭
R ;
n)
5 13
,
12 12
fD kπ π= + π ; o) ( ) ( ), 3 3,fD = −∞ − ∪ − +∞ ; p)
3
, 2
4 4
fD k
π
π π
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
2. a) lichá; b) ani sudá ani lichá; c) lichá; d) sudá; e) ani sudá ani lichá; f) ani sudá ani
lichá; g) sudá; h) lichá; i) lichá; j) ani sudá ani lichá. 3. a)
41
2
− ; b) 1; c) 0 ; d)
1
82
;
e)
1
3
. 4. a)
1
4
; b)
1
8
; c)
1
20
; d) ; e)6
5
3
; f)
3
2
. 5. a) −∞ ; b) ±∞ ; c) ; d)∞∓ +∞;
e) ; f) ; g) ; h) . 6. a) 2 ; b) 3; c) ; d) ; e)±∞ ±∞ ∞∓ ±∞ 4 2
3
2
; f) ; g)2
1
4
− ; h)
3
52
;
i)
5
2
− ; j)
3
16
. 7. a) 8 2 ; b)
27
8
; c)
1
8
− ; d)
1
64
. 8. a)
1
2
; b)
1
5
; c) 1; d) . 9. a) e ;
b) ; c) ; d) ; e) ; f)
26
3
e 1
e− 2
e− 9
e−
2
3
e ; g) ∞ ; h) 0 ; i) ; j)2
e
1
3
e
−
; k) e . 10. a)2− 4
7
; b) 0 ;
c) . 11. a) ; b)±∞ 0
2
3
; c) ∞ ; d)
1
3
. 12. a) ∞ ; b) 0 ; c) ; d)0
1
2
; e)
1
2
− .
- 40 -