Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
4. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ............................. 42
4.1. Derivace......................................................................................................................... 42
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 42
4.2. Tečna a normála........................................................................................................... 45
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 45
4.3. Taylorův a Maclaurinův polynom.............................................................................. 45
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 45
4.4. L´Hospitalovo pravidlo................................................................................................ 46
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 46
4.5. Průběh funkce............................................................................................................... 47
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 47
Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 49
- 41 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
4. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
4.1. Derivace
Úlohy k samostatnému řešení
1. Derivujte:
a)
1
4y x
x
= − + , b)
1
y x
x
= − ,
c) 53 24
3
1
y x x
x
= − + .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Derivujte:
a) , b)( )(2 2
4 2y x x x= − + ) ( )41
3 6y x x x
x
⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
c) ( )3
24
4
1 2y x
x
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
x .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
3. Derivujte:
a)
1
1
x
y
x
−
=
+
, b)
1x
y
x
+
= , c)
1
1
x
y
x
−
+
= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Derivujte:
a) , b)sin cosy x= x lnx
y e= , c)x cosy x x= ,
d) 4 arcsiny x= x .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5. Derivujte:
a)
arctg
ln
x
y
x
= , b)
arctg
tg
x
y
x
= , c)
arccotg
arccos
x
y
x
= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6. Derivujte:
a)
ln sin
cotg
x x
y
x
= , b)
arccos
tg
x
y
x x
= , c) ( )
arccotg
ln log x
x
y x x
e
= + .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 42 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
7. Derivujte:
a) 2
3 6y x x= − + , b) ( )
74
6 5y x= + ,
c) 3 2
3 24
1
1 4
3 6
y x x
x x
= + − + −
+ −
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
8. Derivujte:
a) , b)( 12sin += xy ) ( )2
25cos xxy +−= , c) ( )2tg −= xy ,
d) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
x
x
y
2
2
cotg .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
9. Derivujte:
a) , b) xy , c)xy 2
sin= 3
cos= xy tg= ,
d)
3 cotg
1
x
y = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
10. Derivujte:
a) , b) , c)( xy 3cossin= ) 2
cos xy =
( )64tg
1
2
−
=
x
y ,
d) 23cotg 2
−+= xxy .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
11. Derivujte:
a)
1
sin2
2
+
−
=
x
xx
y , b)
x
x
y
2sin3
13 3
−
= , c)
x
x
y
tg
3sin
= ,
d)
2
sin1
cotg
x
x
y
+
= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
12. Derivujte:
a) , b) , c) ,
d) , e) xy lnln
( 2log4 += xy ) xy 2
ln= 2
ln xy =
xy sinln= = , f) ( )xy arctglog2= ,
g) x
x
e
e
y
+
−
=
1
1
ln , h)
x
x
sin
cos
y
1
ln
−
= , i) xxy ln⋅= ,
j) xy arcsinln= , k) ( )( )( )1lnloglog 2
32 += xy .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 43 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
13. Derivujte:
a)
1
1
2
2
+
−
= x
x
e
e
y , b) , c)xx
y 3cos2sin
2 +
= ( )1
2arccos +
= x
y ,
d) , e)x
y sinln
5= 2 sin
sin x
y x e= , f) ln tgx x
y e= ,
g) , h)
2
arcsin x
ey = cotg4
1
4 x
y = , i)
x
e
y
x
2sin
2sin
= ,
j) 1
2cotg
2
+
= x
x
ey .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
14. Derivujte:
a) 2
1arcsin xy −= , b) xy 2arctg= , c) 2
2arccos xxy −= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
15. Derivujte:
a)
1
arccotg
−
=
x
x
y , b) xxxy arcsin2
+−= , c) xxy arcsinarctg += .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
16. Derivujte:
a)
1
1
arccotg
−
+
=
x
x
y , b) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
sin
sinarc
x
x
y , c) ( )xy 2
lnarctg= ,
d) ( )2 sin
arccos x x
y e= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
17. Derivujte:
a) x
y x= , b) ( )
cos
sin
x
y x= , c) ( )
tg
3
x
y x= + ,
d) ( )
1
sinsin xy x= , e) ( )
sin
arctg
x
y x= , f)
1
1
x
xx
y
x
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
18. Vypočítejte druhou derivaci:
a) 2
1
3
x
y
x
−
= , b) 2
3y x x= + , c)
2
1
ln
1
y
x x
=
+ +
,
d)
x
e
y
x
= , e) 2
sin3y x x= ,f) ( )2
arctg 1y x x= − + .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
19. Derivujte funkce dané parametricky:
a)
cos
sin
x r t
y r t
=⎧
⎨
=⎩
, b)
( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
= −⎧⎪
⎨
= −⎪⎩
,
- 44 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
c)
3
3
cos
sin
x a t
y a t
⎧ =
⎨
=⎩
, d)
2 cos cos2
2 sin sin 2
x a t a t
y a t a t
= −⎧
⎨ ,
e)
= −⎩
3
2
3
3
1
3
1
at
x
t
at
y
t
=
⎧ +
⎨
⎩ =
+
, f)
cos
sin
x a t
y b t
=⎧
⎨ .
=⎩
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4.2. Tečna a normála
Úlohy k samostatnému řešení
20. Napište rovnici tečny a normály ke křivce 2
6 4y x x= + − v bodě [ ]1,?T .
21. Napište rovnici tečny a normály ke křivce siny x x= v bodech [ ]1 0,?T a 2 ,?
2
T .
π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
22. Napište rovnici tečny a normály ke křivce cosx
y e= x v bodě [ ]0,?T .
23. Napište rovnici tečny ke křivce 2
3y x x 4= − + , která je rovnoběžná s přímkou
.: 1a x y+ + = 0
24. Napište rovnici tečny ke křivce 2x
y e= , která je rovnoběžná s přímkou .: 2 3 0a x y− + =
25. Napište rovnici tečny ke křivce 2
3y x x 4= − + , která je kolmá k přímce .: 1p x y+ − = 0
26. Napište rovnice tečen ke křivce 2
1y x= + , které procházejí bodem [ ]1, 2P − .
27. Určete konstantu tak, aby přímkaa : 4p y x 1= − byla tečnou křivky 2
y x a= + x .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4.3. Taylorův a Maclaurinův polynom
Úlohy k samostatnému řešení
28. Sestavte pro danou funkci Taylorův polynom n-tého řádu v okolí bodu 0x :
a) 0
1
, 1,y x n
x
= = 4= , b) 0ln , , 4y x x e n= = = ,
c) 0sin , , 3
2
y x x x n
π
= = = , d) 0
1
, ,
sin 2
y x n 3
x
π
= = =
e) f)( )2
0ln 1 , 1, 4y x x n= + = = 0
1
, 2,
x
4ny x
−
=
x
= = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 45 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
29. Sestavte pro danou funkci Maclaurinův polynom n-tého řádu:
a) , b)tg , 3y x n= = sin 2 , 6y x n= = ,
c) , d)cos3 , 6y x n= = , 5x
y e n−
= = ,
e) 1 ,y x n= + = 4 e n, f) y x , 5x
= = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4.4. L´Hospitalovo pravidlo
Úlohy k samostatnému řešení
30. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem:
a)
2
3 21
1
lim
4 4x
x
1x x x→
−
− + −
, b)
( )
2
ln 1
lim
3 xx
x
→∞
+
,
c)
4 3 2
4 2
6 4 3 5
lim
3 4 5 3x
x x x x
x x x→∞
− + − +
− + −
4
, d)
0
sin 2
lim
2 sin3x
x x
x x→
−
+
,
e)
2 2
20
tg sin
lim
4x
x x
x→
+
, f)
1
limsin
x
x
x→∞
+
,
g)
2arctg
lim
1
ln
x
x
x
x
π
→∞
−
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
31. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem:
a)
0
lim ln
x
x x+
→
, b)
1
li xm sin
x x→∞
,
c) 2
lim x
x
xe
→−∞
, d) 2 1
li x
⎛ ⎞
m cos 1
x x→∞
−⎜ ⎟ .
⎝ ⎠
Výsledky úloh k samostatnému řešení
32. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem:
a) 23
1 4
lim
3 2x x x x→
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
− − −⎝ ⎠3
, b) 20
1
lim cotg
x
x
x→
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
c)
0
1 1
lim
2 sinx x x→
⎛
−⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟, d)
1
1 1
li
⎛ ⎞
⎜ ⎟m
ln 1x x x→
−
−⎝ ⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 46 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
33. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem:
a)
1
lim x
x
x
→∞
, b) ( )
1
0
lim cos sin x
x
x x
→
+ ,
c) ( )
1
0
lim 2x x
x
e x
→
+ , d)
sin
sin
0
sin
lim
x
x x
x
x
x
−
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4.5. Průběh funkce
Úlohy k samostatnému řešení
34. Najděte intervaly monotonnosti funkce a její extrémy:
a) 3 2
2 4 5y x x x= − − + , b)
2
4
x
y
x
=
+
,
c)
2
2 4x x
y e + −
= , d)
2
ln
x
y
x
−
=
1+
,
e) 2
arctg 1y x= + x, f) y xsin cos= ,
g) arcsin
1
x
y
x
=
+
, h)
3 2
ln
4 2
x
y x
+
= −
x−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
35. Najděte intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní, najděte inflexní body:
a) 3 2
3 5 1y x x x= − + + , b)
2
4
x
y
x
=
+
,
c) 2
2 3y x x= − + , d)
1
ln
x
y
x
−
= ,
e) 2
arctg 1y x= + , f) y e
2
1x +
= ,
g) ( )2
4 5 x
y x x= − + − e x, h) y xsin cos= .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
36. Určete globální (absolutní) extrémy funkce na daném intervalu:
a) 2
4 3, 6,9y x x I= − + = − , b) )
1
, 4,
1
y x I 1
x
= − = − −
+
,
c) 3 2
3 9 3, 4,4y x x x I= + − − = − , d) 2
4 5, 3,0y x ,
e)
x I= − + = −
sin 2 , ,
4
y x x I
π
π= + = , f)
2
2 3
, 2,x x
y e I+ −
= = − 1 ,
g) 2 1
, ,
2
x
y x e I−
= = − 3 , h) ( )2
arctg 2 , 1,1y x x I= − − = − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 47 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
37. Určete rovnice asymptot funkce:
a) x
y xe−
= , b)
2
2 4
3 5
x x
y
x
− +
=
−
,
c)
1
arctg
x
y
x
+
= , d)
3 2
2
2 3
2
x x
y
x
4+ −
=
+
,
e) 2
1
9
x
y
x
+
=
−
, f) arctg
2
x
y x= + ,
g)
6
2 6
x
y
x
−
=
+
, h)
2
2
1
4 1
x x
y
x
+
=
−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
38. Vyšetřete průběh funkce:
a)
2
1
x
y
x
=
−
, b)
3
2
8 2
x
y
x
=
−
,
c) x
y xe−
= , d) arctg
1
x
y
x
=
−
,
e) 2
lny x= x , f) 1y x x= + + ,
g) , h)sin cosy x= + x 3 23
6 4
2
y x x x= + − + ,
i) 2
1
2
y
x x
=
+ −
, j) sin 2y x x= − ,
k)
1
ln
1
x
y
x
+
=
−
, l)
2
1 x
y e −
= ,
m 2
1
2
x
y
x x
+
=
+
, n)
2
x
e
y
x
=
+
,
o) arctg
1
x
y
x
=
−
, p) cos
2
x
y x= − ,
q) 2
4 2 2
y x x= − + , r)
2
2
3 4x x
y
x
+ −
= ,
s)
2
2
4
1
x
y
x
−
=
+
, t)
4
ln
x
y
x
−
= ,
u) ( 2
2 2) x
y x x e= + + , v)
2
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
,
w)
2
1
x
x
y
e
+
= , z) 4 3
4 8 1y x x x= − + − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 48 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) 2
1
1y
x
′ = + ; b)
1
2
x
y
x x
+
′ = ; c) 34
3 2
4 3
y
5 3
1
5x x xx
− −
8
′ = .
2. a) 3 2
4 6 8y x x x′ = + − − ; b)
4 2
9 180 42
2
x x x
y
− −
′ =
x
;
c)
2 2
20 6 2x x x x
y
x
− +
′ =
−
. 3. a)
( )
2
2
1
y
x
′ = −
+
; b) 2
1
y
x
′ = − ; c)
( )
2
1
1
y
x x
′ =
+
.
4. a) ; b)cos 2y x′ = ln
x
x e
y e x
x
′ = + ; c) cos siny x x x′ = − ; d) 2
2arcsin
4
1
x x
y
xx
′ = +
−
.
5. a)
( )
( )
2
2 2
ln 1 arctg
1 ln
x x x x
y
x x x
− +
′ =
+
; b)
( )
( )
2
2 2
sin cos 1 arctg
1 sin
x x x x
y
x x
− +
′ =
+
;
c)
( )
( )
2 2
2 2 2
1 arccotg 1 arccos
1 1 arccos
x x x
y
x x x
+ − −
′ =
+ −
x
.
6. a)
2 2
2
ln sin cos sin ln cos sin
cos
x x x x x x x x x
y
x x
+ +
′ = ;
b)
( ) 2
2 2 2
sin cos arccos sin cos 1
sin 1
x x x x x x x x
y
x x x
− − +
′ =
−
−
;
c)
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1 arccotgln10 1 arccotg
ln log
ln10 1
x x
x xx
y x x
xe x e
+ ++
′ = − +
+
. 7. a)
2
2 3
2 3
x
y
x x
−
′ =
− + 6
)4
;
b) (
63
140 6 5y x x′ = + ; c)
( ) ( )
2
2 52 3 23 4
1 2 3 6
2 1 3 4 4 3 6
x x x
x x x x
+
′ +
+ + + −
)
y = − .
8. a) ; b)( 12cos2 +=′ xy ( ) ( )2
2 2 sin 5 2y x x x′ = − − − + ; c)
( )2
1
2 cos 2
y
x x
′ =
−
;
d)
( )
2 2
4
2
2 sin
2
y
x
x
x
′ = −
+⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
. 9. a) y sin 2′ x= ; b) 2
3cos siny x x′ = − ;
c) 2
1
2cos tg
y
x x
′ = ; d)
3
1
3cos sin cotg
y
x x x
′ = . 10. a) ;
b)
( )3cos cos3 sin3y x′ = − x
2
2 siny x x′ = − ; c)
( ) ( )
( )
( )64sin
64cos8
64cos
4
64tg
2
323
−
−−
=
−
⋅
−
−=y ;′
x
x
xx
- 49 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
d)
( )
2 2 2
2 31
sin 3 2 2 3 2
x
y
x x x x
+
′ = − ⋅
+ − + −
. 11. a)
( ) ( ) ( )
( )22
2
1
sin221cos2
+
−⋅−+⋅−
=′
x
xxxxx
y ;
b)
( )
( )
2 3
23 23
sin 2 2 1 cos2
3 1 sin 2
x x x
y
x x
+ −
′ = −
−
x
; c) 2
1 tg 3cos3 sin cos sin3
2 sin3 sin
x x x x x
y
x x
−
′ = ;
d) 2
2
1 sin sin cos cos
2 2
2 sin 1 sin
2
x x
x x x
y
x
x x
+ +
′ = −
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 12. a)
( )
1
ln 4 2
y
x
′ =
+
; b)
2ln x
y
x
′ = ;
c)
2
y
x
′ = ; d) ; e)cotgy x′ =
1
ln
y
x x
′ = ; f)
( )2
1
ln 2 1 arctg
y
x x
′ =
+
; g) 2
2
1
x
x
e
y
e
′ =
−
;
h)
1
2cos
y
x
′ = ; i) ln 1y x′ = + ; j)
2
1
2 arcsin
y
x x x
′ =
−
;
k)
( ) ( )( ) ( )2 2
3
2
ln 2 ln3 1 log ln 1 ln 1
x
y
x x
′ =
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +2
x
. 13. a)
( )
2
22
4
1
x
x
e
y
e
′ =
+
;
b) ; c)( )sin2 cos3
2 2cos2 3sin3x x
y x+
′ = − ln 2x
1
2 2
2 ln 2
1 2
x
x
y
+
+
′ = −
−
; d) ;
e)
lnsin
5 cotg lnx
y x′ = 5
2 sin 2 sin
2 cos sin cosx x
y x x e x xe′ = + ; f) ln tg
2
tg ln
cos
x x x x
y e
x x
⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; g)
2
arcsin
4
2
1
x x
y e
x
′ =
−
;
h) cotg 2
4ln 4
4 sin 4x
y
x
′ = ; i)
sin2 sin2
2
sin 4 2cos2
sin 2
x x
xe xe
y
x
−
′ = ; j)
( )
( )
2
2cotg2
1
22 2
2 1 sin 4
sin 2 1
x
x
x x x
y e
x x
+
+ +
′ = −
+
.
14. a)
2
2sgn
1
x
y
x
−
′ =
−
; b)
( )
2
2 1 2
y
x x
′ =
+
; c)
( )
2
sgn 1
2
x
y
x x
−
′ =
−
. 15. a) 2
1
2 2
y
1x x
′ =
− +
;
b)
1 x
y
x
−
′ = ; c)
( )
1 1
2 1 1
x x
y
x x x
− + +
′ =
+ −
. 16. a)
( )
1
2 1
y
x x
′ =
+
;
b)
( )
( ) ( )
2 2
1 cos sin
1 1 sin
x x x
y
x x x
− −
′ =
− − −
; c)
( )4
2ln
1 ln
x
y
x x
′ =
+
; d)
( )2 sin
4 sin
2sin 2 cos
1
x x
x x
e x x
y
e
+
′ =
−
x
)+
.
17. a) ; b)(ln 1x
y x x′ = ( )
2
cos cos
sin sin lnsin
sin
x x
y x x x
x
⎛ ⎞
′ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
c) ( )
( )tg
2
ln 3 tg
3
cos 3
x x x
y x
x x
+⎛ ⎞
′ = + +⎜
+⎝ ⎠
⎟; d) ( )
1
sin
2
cos cos lnsin
sin
sin
x
x x x
y x
x
−
′ = ⋅ ;
- 50 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
e) ( )
( )
sin
2
sin
arctg cos ln arctg
1 arctg
x x
y x x x
x x
⎛ ⎞
′ ⎜ ⎟= +
⎜ ⎟+⎝ ⎠
; f)
1
2 2
1 1
ln
1 1
x
xx x
y
x x x x
+
⎛ ⎞ ⎛′ = − +⎜ ⎟ ⎜
+ +⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
.
18. a) 4
2 6
3
x
y
x
−
′′ = ; b)
( )
3
2 2
2 9
3 3
x x
y
x x
−
′′ =
+ +
; c)
( )2 2
1 1
x
y
x x
′′ =
+ +
;
d)
( )2
3
2 2x
e x x
y
x
− +
′′ = ; e) ( )2
sin3 2 9 12 cos3y x x x′′ = − + x ; f)
( )
22
1
x
y
x
′′ = −
+
.
19. a) ; b)cotgy′ = − t
sin
1 cos
t
y
t
′ =
−
; c) tgy t′ = − ; d)
cos cos2
sin 2 sin
t t
y
t t
−
′ =
−
;
e)
( )3
3
2
1 2
t t
y
t
−
′ =
−
; f) cotg
b
y t
a
′ = − . 20. : 8t y x 5= − ,
1 2
:
8 8
n y x= − +
5
. 21. 1 : 0t y = ,
, ,1 : 0n x = 2 :t y x= 2 :n y xπ= − . 22. : 1t y x= + , : 1n y x= − . 23. ,
. 24. . 25.
: 3t y x= −
:n y x= +1 1: 2t y x= + :t y x= . 26. ,
. 27. .
28. a)
1 : 6t y x= −8
2 : 2t y x= − 1 22, 6a a= =
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
4
1 3 5 35
1 1 1 1
2 8 16 128
T x x x x= − − + − − − + −
4
1 ;
b) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
4 2 3 4
1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 4
T x x x x
e e e e
= + − − − + − − −
4
1 ;
c)
2 3
3
1
2 2 4 2 2 2
T x x x
π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
= + − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞
⎟ ; d)
2
4
1
1
2 2
T x
π⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
e) ( ) ( ) ( )
3 4
4
1 1
ln 2 1 1 1
6 8
T x x x= + − − − + − ;
f) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
4
1 1 1 1 1
2 2 2
2 4 8 16 32
T x x x x= + − − − + − + −
4
2 .
29. a) 3
3
1
3
M x x= + ; b) 3
6
4 4
2
3 15
5
M x x x= − + ; c) 2 4
6
9 27 81
1
2 8 80
6
M x x= − + − x ;
d) 2 3 4
5
1 1 1 1
1
2! 3! 4! 5!
5
M x x x x= − + − + − x ; e) 2 3
4
1 1 1 5
1
2 8 16 128
4
M x x x x= + − + − ;
f) 2 3 4
5
1 1 1
2 6 24
5
M x x x x x= + + + + . 30. a) 2− ; b) ; c) ; d)0 2
1
5
− ; e)
1
2
; f) 0 ;
g) . 31. a) 0 ; b) 1; c)2
1
2
− ; d)
1
2
− . 32. a)
1
4
; b) −∞ ; c) ±∞ ; d)
1
2
. 33. a) 1;
b) ; c) ; d) .e 3
e 1
e−
- 51 -
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
34. a) ( ) [ ]
2 2 2 175
, : , , 2, , : ,2 , max , , min 2, 3
3 3 3 27
fD
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
= −∞ − ∞ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
R − ;
b) { } ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]4 , : , 8 , 0, , : 8, 4 , 4,0 , max 8, 16 , min 0,0fD = − − −∞ − ∞ − − − − −R ;
c) ( ) ( ) 5
, : 1, , : , 1 , min 1,fD e−
⎡ ⎤= − ∞ −∞ − −⎣ ⎦R ;
d) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 2, , : , 1 , 2,fD = −∞ − ∪ ∞ −∞ − ∞ ;
e) ( ) ( ), : 0, , : ,0 , min 0,
4
fD
π⎡ ⎤
= ∞ −∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦
R ;
f)
3 1
, : , , : , , max , , min ,
4 4 4 4 4 2 4 2
fD k k k
π π π π π π
π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡
= − + + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1
kπ
⎤
⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣
R ⎥⎦
;
g)
1 1
, , : ,
2 2
fD
⎞ ⎞
= − ∞ − ∞⎟ ⎟
⎠ ⎠
;
h) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]2,2 , : 2, 1 , 1,2 , : 1,1 , max 1;0,18 , min 1; 0,18fD = − − − − − − .
35. a) ( ) ( ) [ ], : 1, , : ,1 , IB 1,4fD = ∞ −∞R ∪ ∩ ; b) { } ( ) (4 , : 4, , : , 4fD )= − − ∞ −∞R ∪ ∩ −
R
;
c) ; d), :fD = R ∪ ( ) ( ) ( ) ( ),0 1, , : ,0 , : 1,fD = −∞ ∪ ∞ −∞ ∞∪ ∩ ; e) ;
f)
, :fD = R R∪
( ) ( ) 2
, : 1, , : , 1 , IB 1,fD e⎡ ⎤= − ∞ −∞ − −⎣ ⎦R ∪ ∩ ;
g) ( ) ( ) ( ) [ ]1
, : 1,1 , : , 1 , 1, , IB 1, 10 , IB 1, 2fD e−
⎡ ⎤= − −∞ − ∞ − − −⎣ ⎦R ∪ ∩ e ;
h) [, : ,0 , : 0, , IB ,0
2 2
fD k k
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
R ∪ ∩ ]kπ . 36. a) [ ] [ ]max 6,63 , min 2, 3− − ;
b)
11
max , min 4,
3
není
⎡ ⎤
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
; c) [ ] [ ]max 4,73 , min 1, 8− ; d) max 3, 26 , min 0, 5⎡ ⎤ ⎡− ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ;
e) [ ]
2
max ;3,14 , min ;1,22
3
π π
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
; f) [ ] 4
max 1,1 , min 1,e−
⎡ ⎤−⎣ ⎦ ; g) [ ]2
max 2,4 , min 0,0e−
⎡ ⎤⎣ ⎦ ;
h) [ ]
1
max 1,0 , min ; 1,15
2
⎡
− −⎢⎣ ⎦
⎤
⎥ . 37. a) 0y = ; b)
3 1 5
, , zleva , zprava
9 3
x
y x
−
= = − ∞ + ∞ ;
c)
4
y
π
= ; d) ; e) ;
f)
2y x= + 3 0, 3, zleva , zprava , 3, zleva , zpravay x x= = − ∞ + ∞ = − − ∞ + ∞
,
2 2
y x y x
π π
= + = − ; g)
1
, 3, zleva , zprava
2
y x= = − + ∞ − ∞ ;
h)
1 1 1
, , zleva , zprava , , zleva , zprava
4 2 2
y x x= = − ∞ + ∞ = − − ∞ + ∞ .
- 52 -
- 53 Sbírka
úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
38.
a) b)
c) d)
e) f)
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=
x
3
8-2x
2
x=2x= -2
y= -
1
2
x
12
- 12
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=
x
3
8-2x
2
x=2x= -2
y= -
1
2
x
12
- 12
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=
x
2
1-x
x=1
y=-x-1
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
-2-4 2 4 6
-2
-4
-6
2
4
0 x
y
y=
x
2
1-x
x=1
y=-x-1
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
-1-2 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
y=xe
-x
MAX IB
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
y=arctg
x
x-1
0.5...IB
π
2
-
π
2
y=
π
4
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
0 x
y
y=arctg
x
x-1
0.5...IB
π
2
-
π
2
y=
π
4
1 2 3 4
-1
1
2
0 x
y
1 2 3 4
-1
1
2
0 x
y
y=x
2
.lnx
e
-
1
2
e
-
3
2
minIB
1 2 3 4
-1
1
2
0 x
y
1 2 3 4
-1
1
2
0 x
y
y=x
2
.lnx
e
-
1
2
e
-
3
2
minIB
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y= x+1 +x
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y= x+1 +x
- 54 Sbírka
úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
g) h)
i) j)
k) l)
-2-4 2 4 6 8
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-2-4 2 4 6 8
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=sinx+cosx
π
4
-
π
4
3π
4
5π
4
2
- 2
-2-4 2 4 6 8
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-2-4 2 4 6 8
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=sinx+cosx
π
4
-
π
4
3π
4
5π
4
2
- 2
-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
2
4
6
8
10
12
14
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
2
4
6
8
10
12
14
0 x
y
y=x
3
+
3
2
x
2
-6x+4
MAX
min
IB
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-2
-4
-6
2
4
6
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-2
-4
-6
2
4
6
0 x
y
y = sin2x-x
MAX
min
IB
IB IB
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-2
-4
-6
2
4
6
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-2
-4
-6
2
4
6
0 x
y
y = sin2x-x
IB
IB IB
MAX
min
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=ln
x+1
x-1
x = -1
x = 1
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=ln
x+1
x-1
x = -1
x = 1
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=e
1-x
2
MAX
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
-1
1
2
3
0 x
y
y=e
1-x
2
MAX
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y =
1
x
2
+x-2
MAX
x = -2 x = 1
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y =
1
x
2
+x-2
MAX
x = -2 x = 1
- 55 Sbírka
úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
m) n)
o) p)
q) r)
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
x+1
x2
+2x
IB
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
0 x
y
y=
x+1
x2
+2x
IB
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=
ex
x+2
min
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=
ex
x+2
min
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=arctg
x
x-1π
2
-π
2
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=arctg
x
x-1π
2
-π
2
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=
x
2
-cosx
-π
6
-
5π
6
-
13π
6
7π
6
11π
6
π
2
-π
2
-
3π
2
3π
2
inflexní body
lokální extrémy
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=
x
2
-cosx
-π
6
-
5π
6
-
13π
6
7π
6
11π
6
π
2
-π
2
-
3π
2
3π
2
inflexní body
lokální extrémy
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
y
y= 4-x2
+2x2
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
y
y= 4-x2
+2x2
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
0 x
y
y=
x2
+3x-4
x2
8
3
4-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
0 x
y
y=
x2
+3x-4
x2
8
3
4
Sbírka úloh z matematiky 4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
s) t)
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0 x
y
y=
x2
-4
x2
+1
3
3
-
3
3
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
y=ln
x-4
x
t) u)
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
y=(x2
+2x+2)ex
IB IB
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
y=
x2
+3x+1
x2
+1
3- 3
v) z)
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
0 x
y
5
y=
x2
+1
ex
IB IB
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0 x
y
5
4
3
2
1
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 50 x
y
-1
-2
-3
-4
-5
y=x4
-4x3
+8x-1
IB IB
- 56 -