Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
5. INTEGRÁLNÍ POČET ..................................................................................... 58
5.1. Integrace rozkladem .................................................................................................... 58
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 58
5.2. Jednoduché substituce ................................................................................................. 59
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 59
5.3. Per partes ...................................................................................................................... 59
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 59
5.4. Integrace racionální lomené funkce............................................................................ 60
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 60
5.5. Iracionální funkce ........................................................................................................ 61
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 61
5.6. Goniometrické funkce.................................................................................................. 61
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 61
Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 63
- 57 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
5. INTEGRÁLNÍ POČET
5.1. Integrace rozkladem
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočítejte integrál:
a) 2
5
1 4
6x dx
x x
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ , b)
3
1 1
x dx
x x
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ , c)
2
2 2x x
dx
x
− +
∫ ,
d)
2
4 4
2
x x
dx
x
+ +
+∫ , e)
2
9
3
x
dx
x
−
+∫ , f)
( )
2
3x
dx
x x
+
∫ ,
g)
3 2
3
3 1x x
dx
x
+ +
∫ , h)
3
1
1
x
dx
x
−
−∫ , i)
( )
2
3
2x x
dx
x
−
∫ ,
j)
2
4
2
x
x
e
dx
e
−
+∫ , k)
2
2
3
2
x
x e x
dx
x
−
∫ , l)
2x x
x
e e x
dx
e
−
∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Vypočítejte integrál:
a)
1
2
dx
x +∫ , b)
1
2 3
dx
x +∫ , c)
1
x
dx
x +∫ ,
d)
2
2
x
dx
x −∫ , e)
5
5
x
dx
x
−
+∫ , f)
2
2 2
1
x x
dx
x
+ +
+∫ ,
g)
2
1
1
x
dx
x
+
−∫ , h)
2 2
3 2
x
dx
x
+
−∫ , i)
2
4 8
2
x x
dx
x
+ +
+∫ ,
j) 2
1
1
x
dx
x
+
+∫ , k)
2
2
4 8
4
x x
dx
x
+ +
+∫ , l)
( )
2
2
1
1
x
dx
x
+
+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
3. Vypočítejte integrál:
a) (sin cos )x x dx−∫ , b)
2
2
sin
cos
x
dx
x∫ , c)
cos2
sin cos
x
dx
x x+∫ ,
d) 2
2cos
2
x
dx∫ , e) 2 2
1
sin cos
dx
x x∫ , f) sin cos
2 2
x x
dx∫ .
g) 2
cos2
sin
x
dx
x∫ , h) 2 2
cos2
cos sin
x
dx
x x∫ , i)
1
1 cos2
dx
x+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Vypočítejte integrál:
a)
sin
cos
x
dx
x∫ , b)
3
x
x
e
dx
e +∫ , c)
( )
1
ln 1
dx
x x +∫ ,
- 58 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
d)
2
3
3 2
2 2
x
dx
x x
+
+ −∫ , e)
( )2
1
1 arctg
dx
x x+∫ , f) 2
sin 2
cos 4
x
dx
x +∫ ,
g) 2
sin 2
sin
x
dx
x∫ , h)
2
2 2
2
x
x
e x
dx
e x
+
+ +∫ , i)
2
3 2
2 2
3 6 5
x x
dx
x x x
+ +
+ + +∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5.2. Jednoduché substituce
Úlohy k samostatnému řešení
5. Vypočítejte integrál:
a) , b)2
2 x
e dx∫ ( )cos 4 3x dx+∫ , c) sin3xdx∫ ,
d)
2
1
cos
2
dx
x∫ , e) ( )
4
2 1x dx−∫ , f) 2
1
1 4
dx
x+∫ ,
g) 2
1
sin 5
dx
x∫ , h) , i)3
2 x
dx∫ 2
1
1 9
dx
x−
∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6. Vypočítejte integrál:
a) , b)( )2
3 5x x x
e e e d+ +∫ x 2
sin cosx xdx∫ , c) 2 s 2
x in x dx∫ ,
d)
2
2
tg
cos
x
dx
x∫ , e)
( )
4
2
cotg 1
sin
x
dx
x
−
∫ , f)
3
2
arct xg
1
dx
x+∫ ,
g)
3
2
arccotg
1
x
dx
x+∫ , h)
2
ln
∫ , i)
3ln 8x x
dx
x
+ −
2
1 arcsin
1
x+
dx
x−
∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5.3. Per partes
Úlohy k samostatnému řešení
7. Vypočítejte integrál:
a) x
xe dx∫ , b) ( )2
2 3 x
x x e dx−
− +∫ , c) ( )4 2 sin 2x xdx+∫ ,
d) ( )3 4 cos
2
x
x dx−∫ , e) tg2
x xdx∫ , f) ln xdx∫ ,
g) arcsin xdx∫ , h) arctg xdx∫ , i) arccos xdx∫ ,
j) arccotg xdx∫ , k) ( )2
1 lnx xdx+∫ , l) arctg xdx∫ ,
m) 2
sinx xdx∫ , n) ∫ , o)cosx
e xdx dx3
sin 2x
e x∫ ,
- 59 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
p) 2
cos
x
dx
x∫ , q) 3
ln x
dx
x∫ , r) lnx xdx∫ ,
s) 2
1 x dx−∫ , t) sin ln xdx∫ , u) sin 2x
e xdx∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5.4. Integrace racionální lomené funkce
Úlohy k samostatnému řešení
8. Vypočítejte integrál:
a) 2
2
2
dx
x x+∫ , b) 2
5x
x
+
2
dx
x + −∫ , c) 2
2
dx
x4 −∫ ,
d) 2
5
4 3
x
dx
x x
−
+ +∫ , e) 3 2
4 2
2 2
x
dx
x x x
+
+ − −∫ , f) 2
1
4 1
dx
x −∫ ,
g) 2
5
2 3 2
dx
x x+ −∫ , h) 3
3 1x
dx
+
x x−∫ , i)
( )( )
1
2 2 3
dx
x x
−
+ +∫ ,
j) 2
8
7 6
dx
x x− −∫ , k) 2
3
8 28 24
dx
x x− +∫ , l)
( )( )
2
3 2
∫ .
1 16
1 4 3
x x
dx
x x x
− −
− +
Výsledky úloh k samostatnému řešení
9. Vypočítejte integrál:
a)
( )
2
2
2
1
x
dx
x x
−
+
∫ , b)
( )
4
5 2
1
x
dx
x
−
−
∫ , c)
( )
22
4 2
1
x
dx
x x
− −
+
∫ ,
d)
( )
2
3
4 5 6
3
x x
dx
x x
− + −
−∫ , e)
( )
2 3
22
1 3
1
x x x
dx
x
− − −
−
∫ , f)
( )
2
22
40
∫ ,
g)
6
4
x
dx
x
−
−
( )
2
3
2 1
1
x x
dx
x x
− −
+∫ , h)
( )
2
2
12 12 4
2 1
x x
dx
x x
− +
−
∫ , i)
( )( )
2
2
2 26 35
2 5 5
x x
dx
x x
− +
∫ .
−
+ −
Výsledky úloh k samostatnému řešení
10. Vypočítejte integrál:
a)
( )( )2 2
3
1 4
x
dx
x x+ +∫ , b)
( )( )
2
2 2
2
1 4
x
dx
x x
−
+ +∫ , c)
( )( )
2
2 2
2 6
∫ ,
d)
1 4
x x
dx
x x
− −
+ +
4
4
1
x
dx
x−∫ , e)
( )( )
2
2
6
9 2 3
x x
∫ , f)dx
x x
+
+ − ( )( )
2
2
3 4
∫ ,
33
9 3
x x
dx
x x
+ +
+ −
- 60 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
g)
( )( )
2
2
5 6 6
2 4 4
x x
dx
x x
− +
− +∫ , h)
( )( )
2
2
3 2
2 2 5 4
x x
dx
x x x
− −
+ + +∫ , i) 3
2
2
dx
x x+∫ ,
j)
3 2
4 2
6 12 3
3
x x x
dx
x x
− + −
+∫ , k)
( )( )
22
2
1 1
x
dx
x x+ −
∫ , l)
4 2
5 3
3 3 18
6
x x
dx
x x
+ −
+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
11. Vypočítejte integrál:
a)
4
1
x
dx
x +∫ , b)
( )
3
1
2
x
dx
x
−
+∫ , c)
3
2
4
x
dx
x−∫ ,
d)
4
2
1
x
dx
x−∫ , e)
4 2
2
6
9
x x
dx
x
+
−∫ , f)
( )
3 2
2 5 3 3
3
x x x
dx
x x
+ − +
+∫ ,
g)
( )
2
2
4 12
4
x x
dx
x
− +
+∫ , h)
( )( )
4 3 2
2
4 5 2
1 4
x x x x
dx
x x
+ − + +
+ +∫ ,i)
4
3
2
x
dx
x x+∫ ,
j)
3
2
6
6 3
x
dx
x−∫ , k)
( )( )
5
22
2
1 1
x
dx
x x+ −
∫ , l)
4 2
4 3
6x x
dx
x x
+ −
+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5.5. Iracionální funkce
Úlohy k samostatnému řešení
12. Vypočítejte integrál:
a) 3 2
2x x dx−∫ , b) 2
1 x dx+∫ , c) 2
1 x dx−∫ ,
d)
2
5
x
dx
x+
∫ , e)
1
x
dx
x +
∫ , f)
1
x
dx
x +
∫ ,
g)
1
x
dx
x +
∫ , h)
1
1
dx
x x +
∫ , i) 3
4
x
dx
x +
∫ ,
j)
4
4
4
x
dx
x −
∫ , k)
4
3
1 3
x
dx
x
+
− +
∫ , l)
2
1
1
dx
x x −
∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5.6. Goniometrické funkce
Úlohy k samostatnému řešení
13. Vypočítejte integrál:
a) sin cosx xdx∫ , b) 2
sin cosx xdx∫ , c) 3
sin cosx xdx∫ ,
- 61 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
d) 3
cos
sin
x
dx
x∫ , e)
3
cos
sin
x
dx
x∫ , f) 2
sin
cos 1
x
dx
x +∫ ,
g)
2
4
sin
cos
x
dx
x∫ , h) 5
tg xdx∫ , i)
1
sin
dx
x∫ ,
j)
1
cos
dx
x∫ , k)
2
6
cos
sin
x
dx
x∫ , l) 2 3
1
cos sin
dx
x x∫ ,
m) 2
sin
4 cos
x
dx
x−∫ , n) 2
cos
1 4sin
x
dx
x+∫ , o) 2 2
1
sin 2cos
dx
x x−∫ ,
p)
3
2
cos
sin
x
dx
x∫ , q)
sin
sin cos 1
x
dx
x x+ +∫ , r)
6
6
cos
sin
x
dx
x∫ ,
s)
cos
cos 1
x
dx
x +∫ , t)
sin
sin 1
x
dx
x +∫ , u)
sin
cos2 1
x
dx
x +∫ ,
v)
1
2sin cos
dx
x x∫ , w)
( )
1
sin 1 cos
dx
x x+∫ , z) 2
1
2sin cos sin
dx
x x x+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 62 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 63 -
1. a) 3
4
1
2 lnx x c
x
− − + ; b)
2
2
3
2
x x x
x
c+ + + ; c)
2
4 2ln
2
x
x x c− + + ;
d)
2
2
2
x
x c+ + ; e)
2
3
2
x
x c− + ; f)
18
2 6lnx x c
x
+ − + ; g) 3 32 233 9 3
4 5 2
x x x x x c+ + + ;
h)
3 2
3 2
x x
x c+ + + ; i) 3 32 2 2 263 24 12
8 13 5
x x x x x x− + c+ x c; j) e 2x
− + ; k)
3
ln
2 2
x
e
x c− + ;
l)
2
3
x
e x . 2. a)x c− + ln x 2 c+ + ; b)
1
ln 2 3
2
x c+ + ; c) ln 1x x c− + + ;
d)
2
2 4ln 2
2
x
x x+ + − + c ; e) 10ln 5x x c− + + + ; f)
2
ln 1
2
x
x x c+ + + + ;
g)
2
2ln 1
2
x
x x+ + − + c ; h)
5
ln 3 2
2
x x c− − − + ; i)
2
2 4ln 2
2
x
x x c+ + + + ;
j) 21
ln 1 arctg
2
x x c+ + + ; k) 2
2ln 4 2arctg
2
x
x x c+ + + + ; l) 2
ln 1x x c+ + + .
3. a) cos sinx x c− − + ; b) tg x x c− + ; c) cos sinx x c+ + ; d) sinx x+ ;
e) tg cotgx x c− + , f)
1
cos
2
x c− ; g)+ cotg 2x x c− − + ; h) cotg tgx x c− − + ;
i)
1
tg
2
x c+ . 4. a) ln cos x c− + ; b) ln 3x
e c+ ; c) ln ln 1x c+ + ; d) 3
ln x 2 2+ x c+ − + ;
e) ln arctg x c+ , f) 2
ln cos 3x c− ; g)+ + 2
ln sin x c+ ; h) 2 21
ln 2
2
x
e x+ + + c ;
i) 3 21
ln 3 6 5
3
x x x+ + + + c c. 5. a) e2x
+ ; b) ( )
1
sin 4 3
4
x c+ + ; c)
1
cos3
3
x c− + ;
d) 2tg
2
x
c+ ; e) ( )
51
2 1
10
x c− + , f)
1
arctg 2
2
x c+ ; g)
1
cotg5
5
x c− + ; h)
3
2
3ln 2
x
c+ ;
i)
1
arcsin3
3
x c+ . 6. a)
3
23
5
3 2
x
x xe
e e+ + + c ; b) 31
cos
3
x c− + ; c) 2
cos x c− + ;
d) 31
tg
3
x c+ ; e) ( )
51
cotg 1
5
x c− − + , f) 41
arctg
4
x c+ ; g) 52
arccotg
5
x c− + ;
h) 3 21 3
ln ln 8ln
3 2
x x x+ − c+ ; i) 21
arcsin arcsin
2
x x c+ + . 7. a) x x
xe e c− + ;
b) ; c) sin( 2
3x
e x−
− + ) 2 2 1 cos2( )x x c− + + ; d) ( )6 8 sin 12cos
2 2
x x
x c− + + ;x
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
e)
2
tg ln cos
2
x
x x − + +x c , f) lnx x x c− + ; g) 2
arcsin 1x x x+ − + c;
h) 21
arctg ln 1
2
x x x− + + c ; i) 2
arccos 1x x x c− − + ; j) 21
arccotg ln 1
2
x x x+ + + c ;
k)
3 3
ln
3 9
x x
x x x
⎛ ⎞
+ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
c+ ; l) arctg arctgx x x x c+ − + ; m)
2
sin 2 cos2
4 4 8
x x x x
c− − + ;
n) (sin cos
2
x
e
)x x c+ + ; o) ( )
3
3sin 2 2cos2
13
x
e
x x c− + ; p) tg ln cosx x x+ + c;
q) 2 2
ln 1
2 4
x
c
x x
− − + ; r)
2 2
ln
3 3
x x x
⎛ ⎞
c− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; s) 21 1
arcsin 1
2 2
x x x+ − + c ;
t) (sin ln cosln
2
x
)x x c− + ; u) (sin 2 2cos2
5
x
e
)x x c− + . 8. a) ln
2
x
c
x
+
+
;
b)
( )
2
1
ln
2
x
c
x
−
+
+
; c)
1 2
ln
2 2
x
c
x
+
+
−
; d)
( )
( )
3
4
1
3ln 1 4ln 3 ln
3
x
x x c
x
+
c+ − + + = +
+
;
e)
( )
2
2
1
ln
2
x
c
x
−
+
+
, f)
1 2 1
ln
4 2 1
x
c
x
−
+
+
; g)
2 1
ln
2
x
c
x
+
+
−
; h)
( )
( )
2
1
ln
1
x x
c
x
+
+
−
;
i)
1 2
ln
4 3 2
x
c
x
+
+
+
; j)
7
ln
1
x
c
x
+
+
−
; k)
3 2
ln
4 2 3
x
c
x
−
+
−
; l) ( ) ( )
2
ln 3 4 1x x x+ − c+ .
9. a)
( )
2
3
1
ln
1 1
x
c
x x
+
+ +
+ ; b)
( ) ( )
2 3
1 1
1 1
c
x x
− +
− −
; c)
2 2
1
c
x x
− +
+
;
d) 2
1 1
ln
3
x
c
x x x
+ − +
−
; e)
1 1
ln 1
1 1
x c
x x
− − − +
− +
, f)
2 1 1
2ln
2 2 2
x
c
x x x
+
− − +
− − +
;
g) 2
1
2ln
2 1
x
c
x x
+
+
+ ; h)
4
1
ln
2 1 2 1
x
c
x x
− +
− −
; i)
3
ln 2 5
5
x c
x
− + − +
−
.
10. a)
2
2
1 1
ln
2 4
x
c
x
+
+
+
; b) arctg arctg
2
x
x c− + ; c)
2
2
4
arctg arctg ln
2 1
x x
x c
x
+
− + +
+
;
d)
2
2
1
ln
1
x
c
x
+
+
−
; e)
1
arctg ln 2 3
3 2
x
x c+ − + , f) 21 1
ln 9 4ln 3 arctg
2 3
x
3
x x c+ − − − + ;
g) 21 1 1
arctg ln 4 ln 2 4
2 2 2 4
x
x x c− + − − + ; h) ( )
1
ln 5 4 arctg 1
5
x x c+ − + + ;
i)
2
2
1
ln
2 2
x
c
x
+
+
; j) 2 1
ln 3 4lnx x c
x
+ + + + ; k)
1
arctg
1
x c
x
− −
−
+ ;
- 64 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
l) ( )2
2
3
ln 6
2
x x c
x
+ + + . 11. a)
4 3 2
ln 1
4 3 2
x x x
x x c− + − + + + ;
b)
3 2
5
13 27ln 2
3 2
x x
x x+ + − + + c ; c)
2
2
2ln 4
2
x
x c− − − + ; d)
3
1 1
ln
3 2 1
x x
x c
x
+
− − + +
−
;
e)
3
45 3
15 ln
3 2 3
x x
x c
x
−
+ + +
+
, f) 2
ln
3
x
x x c
x
− +
+
+ ; g) 2
4arctg 2ln 4
2
x
x x c+ − + + ;
h)
2
arctg 2ln 4
2
x
x x− + + + c ; i)
2
2
ln 2
2
x
x c− + + ; j) 2 2
2ln 2x x c− − − + ;
k) 2 1
4 4ln 1 arctg
1
x x x x c
x
+ + − − − +
−
; l) 2
6 3
4ln 1 lnx x x c
x x
+ − + − + + .
12. a) ( )32 23
2 2
8
x x c− − − + ; b) ( )2 21
1 ln 1
2
x x x x c+ + + + + ;
c) ( )21
1 arcsin
2
x x x− + + c ; d) 2
5 x c+ + ; e)
2
2 2ln 1
3
x x x x x c− + − + + ,
f) 2 2ln 1x x− + + +x c ; g) ( )
2
1 1 2 1
3
x x x c+ + − + + ; h)
1 1
ln
1 1
x
c
x
+ −
+
+ +
;
i)
6
6 56 66 24
32 384 768arctg
7 5 2
x
x x x x x− + − + c+ ;
j) 34 4 416
32 256 1024ln 4
3
x x x x x+ + + + − c+ ;
k) ( )
4
3 44
4
4 1 3
3 4 3 2ln
3 1 3
x
x x c
x
+ +
− + − + + +
− +
; l) 2
arctg 1x c− + . 13. a)
2
sin
2
x
c+ ;
b)
3
sin
3
x
c+ ; c)
4
cos
4
x
c− + ; d) 2
1
2sin
c
x
− + ; e)
2
sin
ln sin
2
x
x c− + ,
f) ( )arccotg cos x c+ ; g)
3
tg
3
x
c+ ; h)
4 2
2tg tg 1
ln 1 tg
4 2 2
x
x c− + + + ; i) ln tg
2
x
c+ ;
j) ln tg 1 ln 1 tg
2 2
x
c+ − − +
x
; k)
5 3
cotg cotg
5 3
x x
c− − + ; l) 2
1
ln tg
2sin
x c
x
− + ;
m)
1 cos 2
ln
4 cos 2
x
c
x
−
+
+
; n) ( )
1
arctg 2sin
2
x c+ , o)
2 2 tg
ln
4 2 tg
x
c
x
−
+
+
; p)
1
sin
sin
x c
x
− − + ;
q) 21
ln 1 tg ln 1 tg
2 2 2 2
x x
c+ − + + +
x
; r)
5 3
cotg cotg
cotg
5 3
x x
x x c− + − − + ;
- 65 -
Sbírka úloh z matematiky 5. Integrální počet
s) tg 2
2
x
x c− − + ; t)
2
1 tg
2
x c
x
+ +
+
; u)
1
2cos
c
x
+ ; v) 21 1
ln tg ln tg 1
2 2 2 2
x x
c− − + ;
w)
tg 1
1 2ln
4 tg 1
2
x
c
x
+
+
−
, z)
1 tg
ln
2 tg 2
x
c
x
+
+
.
- 66 -