Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
6. URČITÝ INTEGRÁL........................................................................................ 68
6.1. Výpočet určitého integrálu.......................................................................................... 68
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 68
6.2. Geometrické aplikace................................................................................................... 69
6.2.1. Obsah rovinného obrazce ........................................................................................ 69
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 69
6.2.2. Délka oblouku rovinné křivky................................................................................. 70
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 70
6.2.3. Objem rotačního tělesa............................................................................................ 70
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 70
6.2.4. Povrch rotačního tělesa............................................................................................ 71
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 71
6.3. Nevlastní integrál.......................................................................................................... 71
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 71
Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 73
Nápověda k úlohám k samostatnému řešení...................................................................... 74
Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami ....................................................... 74
Délku oblouku rovinné křivky...................................................................................... 75
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x ..................... 77
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy .................... 79y
Povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x .............................................. 79
- 67 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
6. URČITÝ INTEGRÁL
6.1. Výpočet určitého integrálu
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočítejte integrál:
a)
4
2
1
1
4x x d
x
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ x , b) ( )
0
cos2 2sin 2x x d
π
− + x∫ ,
c)
1
2
0
1 1
1 1
dx
x x
⎛
+⎜
+ +⎝ ⎠
∫
⎞
⎟ , d)
9 2
3
4
5x x x
dx
x
⎛ ⎞− +
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ,
e)
2
2
2
4
1
sin
sin
x dx
x
π
π
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ , f)
3
2
2
0
1
cos
cos
x dx
x
π
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ,
g)
4
2
0
tg x dx
π
∫ , h)
1
2 3
0
1
4
2
x x
x
e dx− +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟∫ ,
i)
1
0
2
1
x
dx
x
+
+∫ , j)
2
2
0
sin 2
1 cos
x
dx
x
π
+∫ ,
k)
3
2
0
1
x
dx
x+∫ , l)
2 2
2
0
4
x
dx∫ .
x+
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Vypočítejte integrál:
a) ( )
1
0
1 x
x e dx−∫ , b)
1
2
1
x
x e dx−
−
∫ ,
c)
0
sin 2x xdx
π
∫ , d) ln
4
2
1
x xd∫ ,
e)
x
2
2
cos
2
x
x dx
π
π
−
∫ , f)
1
0
arctgx xdx∫ ,
g)
2
0
sinx
e xd
π
∫ x , h) ( )2
0
2 2 sinx x x
π
− + dx∫ ,
i) 2
1
ln
e
xdx∫ , j) ( )2
0
1 cos
2
x
x dx
π
−∫ ,
k)
4
2
0
cos
x
dx
x
π
∫ , l) ( )
1
0
ln 1x x dx+∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 68 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
3. Vypočítejte integrál:
a)
1
2
0
1x x d+∫ x , b)
1
0
1
1
x
∫ , c)dx
x
−
+
4
2
0
sin cosx xdx
π
∫ ,
d)
34
2
0
tg
cos
x
dx
x
π
∫ , e) ( )
1
0
sin x dxπ∫ , f)
4
1
5ln
e
x
dx∫ ,
g)
x
( )1
2
0
2 2
2 2
x x
x x
e e
dx
e e
+
+ +∫ , h)
2
2
0
sin
cos 3
x
dx
x
π
+∫ , i)
1
0
1
dx∫ ,
j)
1x
e +
( )
1
0
1
x
dx
x +∫ , k)
34
2
0
sin 2x +
∫ , l)
cos
dx
x
π
5
0
4x
dx
+
∫ .
3x +
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Vypočítejte integrál:
a)
( )
2
3
1
1
1
x
dx
x x
−
+∫ , b)
( )( )
1
2
0 1 1
x
dx
x x+ +∫ , c)
2
2
1
4
4
dx
x x+∫ ,
d)
( )
3
2
1
2
1
x
dx
x x
+
+∫ , e)
5
2
3
4
4 4
x +
∫ , f)dx
x x− +
5
2
4
2
∫ .
6
x
dx
x x− −
Výsledky úloh k samostatnému řešení
6.2. Geometrické aplikace
6.2.1. Obsah rovinného obrazce
Úlohy k samostatnému řešení
5. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami:
a) ,
b) ,
c)
0, 0, 3 4 12 0x y x y= = + − =
0, , 6y y x y= = = − x
sin 1, 0, 0,y x y x π= + = ∈ ,
d) , ,x x
y e y e y e−
= = = ,
e) ,
f)
( )ln 1 , 0, 5y x y x= − = =
2 2
2 4, 4 8y x x y x x= − − + = − − ,
g) cos , sin , 0,2x r t y r t t π= = ∈ , kružnice
h) cos , sin , 0,2x a t y b t t π= = ∈ , elipsa
i) ( ) ( )sin , 1 cos , 0,2x r t t y r t t π= − = − ∈ , cykloida
j) 2 sin cos , sin , 0,x a t t y a t t π= = ∈ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek
- 69 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
6.2.2. Délka oblouku rovinné křivky
Úlohy k samostatnému řešení
6. Vypočítejte délku oblouku rovinné křivky:
a) ln cos , 0,
3
y x x
π
= ∈ ,
b) 2
arcsin 1 , 0,1y x x x= + − ∈ ,
c) ln , 1,2y x x= ∈ ,
d) ( )2 3
ln 1 , 0,
4
y x x= − ∈ ,
e) 2
arccos , 0,1y x x x x= − − ∈ ,
f)
1
ln , 1,3
1
x
x
e
y x
e
+
= ∈
−
,
g) cos , sin , 0,2x t y t t π= = ∈ ,
h) 3 3
cos , sin , 0,
2
x a t y a t t
π
= = ∈ , asteroida
i) ( )2 2
, 3 , 0,
3
t
x t y t t= = − ∈ 3 ,
j) sin , cos , 0,
2
t t
x e t y e t t
π
= = ∈ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek
6.2.3. Objem rotačního tělesa
Úlohy k samostatnému řešení
7. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x :
a) ,
b) ,
c) ,
d)
2
4, 0y x y= − =
ln , 0,y x y x= = e=
3, 1, 3, 0xy x x y= = = =
sin , 0,
2
y x y x
π
= = = ,
e) 3 2
,y x y x= = ,
f) ,
g)
arccos , 0, 1y x y x= = =
( ) ( )sin , 1 cos , 0,2 , 0x a t t y a t t aπ= − = − ∈ > ,
h) cos , sin , 0,2x t y t t π= = ∈ ,
i) cos , sin , 0,2x a t y b t t π= = ∈ ,
j) 3 3
cos , sin , 0,
2
x a t y a t t
π
= = ∈ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek
- 70 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
8. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy y :
a) ,
b) ,
c) ,
d)
2
4, 0y x y= − =
3
, 1,y x y x= = = 0
11 , 1,y x y x= − = =
sin , 0,
2
y x y x
π
= = = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek
6.2.4. Povrch rotačního tělesa
Úlohy k samostatnému řešení
9. Vypočítejte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x :
a) 3 , 1,2y x x= − ∈ − ,
b) 3
, 1,3y x x= ∈ ,
c) , 0,2y x x= ∈ ,
d) ( )1
, 0,
2
x x
y e e x−
= + ∈ 1 ,
e) 2
sin 2 , 2 sin , 0,x a t y a t t π= = ∈ ,
f) ( ) ( )sin , 1 cos , 0,2 , 0x a t t y a t t aπ= − = − ∈ > ,
g) cos , sin , 0,x r t y r t t π= = ∈ ,
h) sin , cos , 0,
2
t t
x e t y e t t
π
= = ∈ ,
i) 3 3
cos , sin , 0,
2
x a t y a t t
π
= = ∈ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek
6.3. Nevlastní integrál
Úlohy k samostatnému řešení
10. Vypočítejte nevlastní integrál:
a)
2
1
1
x
dx
x −∫ , b)
2
1
1
dx∫ , c)
1x − ( )
1
0
1
1
x
dx
x x
−
+∫ ,
d)
( )
1
0
1
1
x
dx
x x
−
+
∫ , e)
1
1
ln
e
dx
x x∫ , f)
6
0
cos
sin
x
dx
x
π
∫ ,
- 71 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
g) 2
2
1
x
dx
x
∞
−∞
+∫ , h)
0
sinx xdx
∞
∫ , i) ( )
0
1 x
x e dx
∞
−
−∫ ,
j) 2
0
1
1
dx
x
∞
+∫ , k) 3 2
1
1
dx
x x
∞
+∫ , l)
0
x
e dx
∞
−
∫ .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 72 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a)
7
2ln 2
3
+ ; b) 2 4π − ; c) ln 2
4
π
+ ; d)
3 25
2ln
2 162
− ; e)
3
8 4
π
− ; f)
7 3
6 8
π
− ;
g) 1
4
π
− ; h)
2
1 10
2 2 ln 2
e
− − ; i) ; j) ; k)ln 2 1+ ln 2
ln10
2
; l) 2
2
π
− . 2. a) ; b)2 e−
5
e
e
− ;
c)
2
π
− ; d)
128
ln 2 7
3
− ; e) 0 ; f)
1
4 2
π
− ; g)
2
1
2 2
e
π
+ ; h) 2
2π π− ; i) ; j)2e− 2
2 1π 8− ;
k)
ln 2
4 2
π
− ; l)
1
4
. 3. a)
2 2 1
3
−
; b) 4ln 2 3− ; c)
2
12
; d)
1
; e)
4
2
π
; f) 1;
g)
2
2 2
ln
5
e e+ +
; h)
3
18
π ; i)
1
1 ln
2
e
- 73 -
+
− ; j) 2
2
π
− ; k)
3 2
2
; l)
3
ln 2
2
+ . 4. a)
3 5
2ln
4 8
+ ;
b)
ln 2
8 4
π
− ; c)
5
ln
3
; d)
3
ln
π
2 12
+ ; e) ln3 4+ , f)
2 98
ln
5 9
. 5. a) 6 ; b) ; c)9 2π + ; d) ;
e) 8l , f)
2
n 2 4−
125
; g)
3
2
rπ ; h) abπ ; i) 3 2
rπ ; j) 24
3
a . 6. a) ( )ln 3 2+ ; b) 4 2 2− ;
c)
5 10 2 1
ln ; d)5 2
2
⎛ ⎞+ − −
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
ln 7
4
− ; e) 2 , f) ( )4 2
ln 1 2e e+ + − ; g) 2π ;
h)
3
2
; i) 2 3 ; j) 2
2 e
π
⎛ ⎞
−⎜
⎝ ⎠
1⎟ . 7. a)
512
15
π ; b) ( )2eπ − ; c) 6π ; d)
2
4
π
; e)
5
14
π ,
f) 2
2π π− ; g) 5 ; h)2 3
aπ
4
3
π ; i) 24
3
abπ ; j) 352
105
aπ . 8. a) 8π ; b)
3
5
π ; c)
2
3
π ;
d) 2π . 9. a) 15 2π ; b) ( )730 730 10 10
27
π
− ; c)
13
3
π ; d) ( )2 2
4
4
e e
π −
− + ; e) ,
f)
2 2
4 aπ
264
3
aπ ; g) 2
4 rπ ; h) ( )2 2
2
5
eπ
π − ; i) 26
5
aπ . 10. a) diverguje; b) 2 ; c) diverguje;
d) 2 π− ; e) diverguje; f) 2 ; g) ; h) diverguje; i) ; j)0 0
2
π
; k) 1 ln 2− ; l) 2 .
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
- 74 Nápověda
k úlohám k samostatnému řešení
Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami
a) b)
c) d)
e) f)
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=-
3
4
x+3
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
0 x
y
y=-
3
4
x+3
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=6-xy=x
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
0 x
y
y=6-xy=x
-1 1 2 3
-1
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3
-1
1
2
3
0 x
y
y=sinx+1
π
-1 1 2 3
-1
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3
-1
1
2
3
0 x
y
y=sinx+1
π
-1-2 1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1
1
2
3
0 x
y
y=ex
y=e-x
y=e
-1-2 1
1
2
3
0 x
y
-1-2 1
1
2
3
0 x
y
y=ex
y=e-x
y=e
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=ln(x-1)
x=5
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
y=ln(x-1)
x=5 -2-4-6-8 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
0 x
y
-2-4-6-8 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
0 x
y
y=x2
-4x-8
y=-x2
-2x+4
-2-4-6-8 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
0 x
y
-2-4-6-8 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
0 x
y
y=x2
-4x-8
y=-x2
-2x+4
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
g) h)
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=rcost
y=rsint
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=acost
y=bsint
i) j)
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
0 x
y
x=2asintcost
y=asint
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
Délku oblouku rovinné křivky
a)
b)
1
-1
0 x
y
1
-1
0 x
y
y=ln(cosx)
π
3
1
-1
0 x
y
1
-1
0 x
y
y=ln(cosx)
π
3
-1 1 2
-1
1
0 x
y
-1 1 2
-1
1
0 x
y
y=arcsinx- 1-x2
-1 1 2
-1
1
0 x
y
-1 1 2
-1
1
0 x
y
y=arcsinx- 1-x2
1 2
1
2
0
y
x1 2
1
2
0
y
x
y=arcsinx+ 1-x2
1 2
1
2
0
y
x1 2
1
2
0
y
y=arcsinx+ 1-x2
x
- 75 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
c) d)
1 2
-1
1
0 x
y
1 2
-1
1
0 x
y
y=lnx
1 2
-1
1
0 x
y
1 2
-1
1
0 x
y
y=lnx
1
-1
0 x
y
1
-1
0 x
y
y=ln(1-x2
)
3
4
1
-1
0 x
y
1
-1
0 x
y
y=ln(1-x2
)
3
4
e) f)
g) h)
1
-1
0 x
y
1
-1
0 x
y
y= x-x2
-arccos x
1 2 3
-1
1
0 x
y
1 2 3
-1
1
0 x
y
y=ln
ex
+1
ex
-1
1 2 3
-1
1
0 x
y
1 2 3
-1
1
0 x
y
y=ln
ex
+1
ex
-1
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
x=acos3
t
y=asin3
t
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=rcost
y=rsint
- 76 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
i) j)
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
1 2 3 4
-1
-2
1
2
0 x
y
x=t2
y=
t
3
(t2
-3)
-1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
x=et
sint
y=et
cost
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x
a) b)
- 77 c)
d)
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
y=0
y=x2
-4
1 2 3
-1
1
0 x
y
1 2 3
-1
1
0 x
y
y=lnx
x=e
1 2 3
1
2
3
0 x
y
1 2 3
1
2
3
0 x
y
y=
3
x
x=3
x=1 1 2 3
-1
1
0 x
y
1 2 3
-1
1
0 x
y
y=sinx
x=π
2
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
e) f)
1
1
0 x
y
1
1
0 x
y
y= x
y=x3
1 2
1
2
0 x
y
1 2
1
2
0 x
y
y=arccosx
g) h)
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=rcost
y=rsint
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
i) j)
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=acost
y=bsint
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
x=acos3
t
y=asin3
t
- 78 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy y
a) b)
1
1
0 x
y
1
1
0 x
y
y=x3
y=1
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
-1-2-3 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
1
0 x
y
y=0
y=x2
-4
c) d
1
1
0 x
y
1
1
0 x
y
y=1-x
y=1
x=1
1 2 3
-1
1
0 x
y
1 2 3
-1
1
0 x
y
y=sinx
x=π
2
Povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x
a) b)
-1-2 1 2
1
2
3
0 x
y
-1-2 1 2
1
2
3
0 x
y
y=3-x
x=-1
x=2
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0 x
y
-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0 x
y
x=1
y=x3
x=3
- 79 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
c) d)
1 2
1
0 x
y
1 2
1
0 x
y
x=2
y= x
1
1
0 x
y
1
1
0 x
y
x=1x=0
y=
1
2
(ex
+e-x
)
e) f)
-1 1
1
2
0 x
y
-1 1
1
2
0 x
y
x=asin2t
y=2asin2
t
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
-4
-6
2
4
6
8
0 x
y
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
g) h)
-1 1
-1
1
0 x
y
-1 1
-1
1
0 x
y
x=rcost
y=rsint
-1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
-1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
2
3
0 x
y
x=et
sint
y=et
cost
- 80 -
Sbírka úloh z matematiky 6.Určitý integrál
i)
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
0 x
y
x=acos3
t
y=asin3
t
- 81 -