MA0005 Algebra 2, 10. seminář
5. 12. 2019
Lukáš Másilko 10. cvičeni 5. 12. 2019 1/12
Náplň cvičení
□ Analytická geometrie - opakovaní
■ Vzájemná poloha přímky a roviny
■ Vektorový součin
Injektivnŕ a surjektivní lineárni zobrazení
Lineárni zobrazení přímky a roviny
Lukáš Másilko 10. cvičení 5. 12. 2019       2 / 12
Literatura a zdroje
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7
■ Konopová, J.: Endomorfismy vektorových prostorů (bakalářská práce). Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, 2014. Dostupné z:
https://dspace5.zcu.cz/bitstream/11025/13029/1/ bakalár ska°/020prace. pdf
■ Čadek, M.: Sbírka úloh z lineární algebry. 2002. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf
■ Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z:
https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka
■ Hladík, M.: Vzorové cvičení z lineární algebry. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2019. Dostupné z:
https: //kam.mf f . cuni . cz/~hladik/LA/cviceni_la_vzor_pub .pdf
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       3 / 12
Vzájemná poloha přímky a roviny
Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g.
a) p = {[2 + t; 3 + 2t; 1 - t], t G R}, 0 : x - 2y + z - 5 = 0
b) p = {[1 - 2k\ 5 - /c; -3 + 5/c], /c G M}, g : 3x - y + z - 11 = 0
c) p = {[2s; 4 + s; -1], s G M}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0
Příklad 15.4.33: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB, A[-2] 0; -1], 6[2; 1; 4] a roviny g, která je dána body K[0;0;3],/-[-2;-l;l],M[0;l;4].
Příklad 15.4.34: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky q a roviny a.
q = {[2 + ŕ;3ŕ; 1-t], t G R}, a = {[1 + s + 2r; 3s + 3r; 1 - s-3r], s, r G M}
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       4 / 12
Výsledky príkladu
32.
a) přímka je různoběžná s rovinou, P[0;
c) p || q a p n q = 0,
d) přímka leží v rovině.
-1;3],
33. přímka je různoběžná s rovinou, P[4; |; ^]
34. q   aAqncr = 0
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       5 / 12
Vektorový součin
Vektorový součin
Uvažujme prostor IR . Vektorový součin Ú x v dvou vektorů    v, jejichž žádné umístění neleží na jedné přímce, je vektor w kolmý k oběma vektorům    \7, který s nimi tvoří pravotočivou bázi.
Poznámka
a) Platí | ŕ x v\ — \a\ • \b\ - siná, kde a je úhel svíraný vektory v.
b) Pro souřadnice vektorového součinu w vektorů u = (u\\ u2\ U3) a v = (ví; v2; v3) platí:
w = u x v =
	<v2	"3		Ul	U3		Ul	u2	)
	1/2	^3	1	Vl	V3	1	Vl	v2	)
c) Velikost vektorového součinu ŕ x i/je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory v.
d) Normálový vektor roviny je kolmý na všechny vektory v ní ležící.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       6 / 12
Vektorový součin
Příklad: Roviny jsou zadány parametrickými rovnicemi. Pomocí vektorového součinu najděte obecnou rovnici těchto rovin.
a) a = {[1 + s + 2r, 3s + 3r, 1 - s - 3r], r, s G M}
b) ^ = {[3 + t - k, 5 + ŕ, -ŕ + 2/c], ŕ, k G M}
c) cj = {[1 — 2k — 2s, 2 + 3/c — 2s, 1 — /c + 4s], /c, s G M}
Príklad 15.3.25: Přímka p = {[2 + 2ŕ,-1 - t, 5], ŕ G M} je kolmá k rovině g. Bod M[2;0; —3] leží v rovině g. Napište obecnou rovnici roviny g.
Příklad 15.3.29: Napište obecnou rovnici roviny g, ve které leží body A[2; 3; 0], B[— 1; 2; 2] a rovina £ je kolmá k rovině a : 3x — 2y + z + 6 = 0.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       7 / 12
Vektorový součin
Příklad: Roviny jsou zadány parametrickými rovnicemi. Pomocí vektorového součinu najděte obecnou rovnici těchto rovin.
a) a = {[1 + s + 2r, 3s + 3r, 1 - s - 3r], r, s E R}
b) q = {[3 + t - k, 5 + t,-t + 2k], t, k e M}
c) u; = {[1 - 2k - 2s, 2 + 3/c - 2s, 1 - /c + 4s], /c, s G M}
Příklad 15.3.25: Přímka p = {[2 + 2í, -1 - í, 5], í e M} je kolmá k rovině g. Bod M[2;0; —3] leží v rovině £. Napište obecnou rovnici roviny g.
Příklad 15.3.29: Napište obecnou rovnici roviny g, ve které leží body A[2; 3; 0], B[— 1; 2; 2] a rovina g je kolmá k rovině a : 3x — 2y + z + 6 = 0.
Výsledky: a) -6x + y-3z + 9 = 0, b)2x-y + z- l = 0,
c)x + y + z-4 = 0.
Príklad 15.3.25: 2x - y - 4 = 0.
Príklad 15.3.29: x + 3y + 3z - 11 = 0.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       7 / 12
Injektivní a surjektivní lineární zobrazení
njektivní a surjektivní lineární zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : U —> V. Nazveme jej
■ injektivním, je-li Kercp = {o};
■ surjektivním, je-li Irny? = V.
Příklad 1
U následujících lineárních zobrazení rozhodněte, zda jsou injektivní či surjektivní.
a) (p : M3 -»• M3,v?(x,y,z)
b) (p : R3 —> M2, </?(l, 0,1) = ^(1,1,0) = (1,0)
c) ^ : E3 ^ E3, ^(x, y, z) = (x - 2y + z, 2x - y + z, 3y - z)
(x + z, 2y + z, 2z) (0,l),<p(0,l,l) = (-l,0)
Výsledky: na dalším slajdu
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       8 / 12
Výsledky Příkladu 1
a) cp je injektivní i surjektivní.
b) cp není injektivní, aleje surjektivní.
c) cp není injektivní, ani surjektivní.
Lukáš Másilko
10. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
5. 12. 2019       9 / 12
Příklad 2
Příklad 2
Lineární zobrazení <p : U —> V je zadáno pomocí svého jádra Ker<p a oboru hodnot lm<^. Najděte matici zobrazení <p. (Poznámka: není-li zobrazení(p určeno jednoznačně, najděte jedno takové zobrazení.)
a) ^:E4^E3, Ker<p= L((-3,-2,1,0); (-1,-1,0,1)), Im^ =/.((!, 2, -3); (0,-1, 5)).
b) y>
c) (p
d) ^
E3    E2, Ker^= L((l, —1,1)), lm<p = 1((1,0); (0,1)). M3 —> M3, Ker<^= 1((1,0,0); (1,1,1)), lm<^ = 1((1,0,1)) E4^E3, Ker^= 1((1,2,3,-2)),
lm^=/.((2,l,0);(0,l,l);(0,0,l))
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       10 / 12
Příklad 2
Lineární zobrazení <p : U —>• V je zadáno pomocí svého jádra Ker 9? a oboru hodnot lm</?. Najděte matici zobrazení y>. (Poznámka: není-li zobrazení <p určeno jednoznačně, najděte jedno takové zobrazení.)
a) ^:E4^E3, Ker<p= L((-3,-2,1,0); (-1,-1,0,1)), lm<^=/.((l,2,-3);(0,-l,5)).
b) v?:M3^M2, Kerp= L((l,-l,l)), Im (p = L((l, 0); (0,1)).
c) v?:M3^M3, Ker<^=/.((l,0,0); (1,1,1)), Im 9? = L((l,0,1)).
d) ^:E4^E3, Ker^= Z.((l, 2,3,-2)), Im<^=/.((2,1,0);(0,1,1);(0,0,1)).
Výsledky:
a) při doplnění Ker cp na bázi IR4 vektory (1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0) je:
/  1     0    3   1 \
Výsledky Příkladu 2
b) při doplnění Ker cp na bázi IR3 vektory (1, 0, 0); (0,1, 0) je:
A  ~ (  1   ° -1 * " 1 0   1 1
c) při doplnění Kenp na bázi IR3 vektorem (0,1,0) je:
d) při doplnění Ker cp na bázi IR4 vektory (1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0) je:
1
3
2 5
2
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       11 / 12
Lineární zobrazení přímky a roviny
' Příklad 3	
Jsou dána tři lineární zobrazení:	
■ (p : E3 ->• E3, <£>(x, y, z) = (y + z, x - z, -x - y),	
■ xP:R2^m.3, xP(x,y) = (2x + y, y, y - x),	
m lo : IR3     R2, u(x, y,z) = (x + y, y + z).	
Úkoly:
a) Nalezněte <p(p), <p(cr), je-li p = {[2 + t, 3 + 2t; 1 - t], tGR} přímka a a = {[1 + s + 2r, 3s + 3r, 1 — s — 3r], r,sGK} rovina.
b) Nalezněte ^(qr), je-li q = {[1 + 2t, 2 - 3t], t G M} přímka.
c) Nalezněte cj(p), cj(ct), je-li p = {[2 + t, 3 + 2t; 1 — t], tGR} přímka a a = {[1 + s + 2r, 3s + 3r, 1 — s — 3r], r,sGK} rovina.
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       12 / 12
Výsledky Příkladu 3
a) <p(p) = {[4 + t, 1 + 2t, -5 - 3t], ř £ IR} - přímka v prostoru, <p(cr) = {[1 + 2s, 2s + 5r, -1 - 4s - 5r], s, r G IR} - rovina.
b) ^(q) = {[4 + t, 2 - 3t, 1 - 5t], t G IR} - přímka v prostoru.
c) cj(p) = {[5 + 3t, 4 + t], t e IR} - přímka v rovině, cj(a) = {[1 + 4s + 5r, 1 + 2s], s, r e IR} - rovina IR2.
Lukáš Másilko
10. cvičení
5. 12. 2019       13 / 12