MA0005 Algebra 2, 11. seminář 12. 12. 2019 Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 1/11 Náplň cvičení Analytická geometrie - opakovaní ■ Velikost vektoru ■ Uhel dvou vektorů ■ Kolmost vektorů ■ Aplikace vektorového součinu Využití jiné báze a matice přechodu Lineární zobrazení jednotkové kružnice Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 2 / 11 Literatura a zdroje ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7 ■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 3 / 11 Velikost vektoru Příklad 13.5.17: Vypočítejte velikost vektoru Ú — (—4; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.5.18: Vypočítejte velikost vektoru Ú — (4; —3; 5). Příklad 13.5.20: Je dán vektor u — (7; —1). Určete vektor \7 tak, aby platilo v || Úř\ \ v\ = 10. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.5.22: Je dán vektor f = (3; 2). Určete m G K. tak, aby pro vektor g = (6; m) platilo \g — f\ = 5. Výpočet ověřte obrázkem. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 4 / 11 Velikost vektoru Příklad 13.5.17: Vypočítejte velikost vektoru Ú — (—4; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.5.18: Vypočítejte velikost vektoru Ú — (4; —3; 5). Příklad 13.5.20: Je dán vektor u — (7; —1). Určete vektor \7 tak, aby platilo v || Úř\ \ v\ = 10. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.5.22: Je dán vektor f = (3; 2). Určete m £ K. tak, aby pro vektor g = (6; m) platilo \g — f\ = 5. Výpočet ověřte obrázkem. Výsledky: 17. \u\ = 2^5, 18. |\7| = 5^2, 20. vi = (7^2; -a/2), v2 = (-7^2; a/2), 22. m\ — —2, ítí2 — 6. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 4 / 11 Uhel dvou vektorů Příklad 13.6.25: Vypočítejte velikost úhlu vektorů uí, 1/2 171 = ú{ = úl = úl = 3;1), u2 = (1;2); -2; 4), u2 = (6;-2); 3;-2), iľ2 = (4; 6); -1;0), ú2 = (VŠ;1). Příklad 13.6.26: Vypočítejte velikost úhlu vektorů ví, v?. □ v[ = (-1;0;1), v2 = (-2;2;0); 0 vl = (-2; 6; 3), v£ = (2; 4; 4); B ví = (2; -3; 3), = (-1; 2; -2); □ vi = (1;0;1), v£ = (0;5;0). Příklad 13.6.27: Vypočítejte velikosti úhluů vektorů cc,/3,7 v trojúhelníku ABC, znáte-li souřadnice vrcholů. □ 4[0;1],B[2;3],C[4;0]; B 4[2;3],e[3;l],C[5;2]; B /\[l;0;2],e[2;-2;4],C[3;6;l]; □ A[l; 3; -2], B[-2; 3; 1], C[-2; 6; -2]. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 5 / 11 Výsledky príkladu Příklad 13.6.25: a) (p = 45°, b) (p = 135°, c) p = 90°, d) p = 150°. Příklad 13.6.26: a) (p = 60°, b)(p = 40°22', c) p = 174°14/, d) p = 90°. Příklad 13.6.27: a) a = 59°02',/3 = 78°4ť,7 = 42°17/, b) a = 45o,/5 = 90o,7 = 45°, c) a = 128°40/,)5 = 35°32',7 = 15°48/, d) a = 60°,/5 = 60o,7 = 60°. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 6 / 11 Kolmost vektorů Příklad 13.6.33: Je dán vektor x = (—1; 2; 3). Určete p e IR tak, aby vektor y = (17; p; 3) byl kolmý k vektoru x. Příklad 13.6.35: Určete vektor f tak, aby platilo f J_ g A \f\ = 4a/5, kde g = (3; 6). Příklad 13.6.37: Jsou dány body A[2; 1], 6[5;4]. Určete souřadnice bodů 6, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Příklad 13.6.38: Jsou dány body /4[4; 1],S[6;2]. Určete souřadnice bodů 6, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. (Bod S je střed čtverce.) Příklad 13.6.41: Jsou dány body K[-2;2], L[6;8]. Na ose x určete bod X tak, aby trojúhelník KLX byl pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu X. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 7 / 11 Kolmost vektorů Příklad 13.6.33: Je dán vektor x = (—1; 2; 3). Určete p e IR tak, aby vektor y = (17; p; 3) byl kolmý k vektoru x. Příklad 13.6.35: Určete vektor f tak, aby platilo f J_ g A \f\ = 4a/5, kde g = (3; 6). Příklad 13.6.37: Jsou dány body A[2; 1], 6[5;4]. Určete souřadnice bodů 6, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Příklad 13.6.38: Jsou dány body /4[4; 1],S[6;2]. Určete souřadnice bodů 6, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. (Bod S je střed čtverce.) Příklad 13.6.41: Jsou dány body K[-2;2], L[6;8]. Na ose x určete bod X tak, aby trojúhelník KLX byl pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu X. Výsledky: 33. p = 4, 35. fľ = (8; -4), £ = (-8; 4), 37. Ci[2; 7], Di[-1; 4], C2[8; 1], D2[5; -2], 38. e[7;0], C[8;3],D[5;4], 41. X[2;0]. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 7 / 11 Aplikace vektorového součinu Příklad 13.7.46: Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice vrcholů K, L, M. Vypočítejte souřadnice vrcholu N. B K[2;0;1],L[1;-1;3],M[4;2;1]; H K[1;3],Z.[2;0],M[4;-1]; Příklad 13.7.48: Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, znáte-li souřadnice vrcholů A, B, C: □ yA[4;0;-l],e[2;4;-l],C[5;3;4]; 0 /\[2;-l],e[-l;4],C[3;-2]; H /\[3;-6;5],e[4;8;l],C[5;22;-3]; □ A[V6; 1 - Vě; -3 + 2VŠ], 6[VŠ; 2 - ^6; 2^6], C[2 + \/6; 2 + 2^6; Vě]; Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 8 / 11 Aplikace vektorového součinu Příklad 13.7.46: Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice vrcholů K, L, M. Vypočítejte souřadnice vrcholu N. B K[2;0;1],L[1;-1;3],M[4;2;1]; H K[1;3],Z.[2;0],M[4;-1]; Příklad 13.7.48: Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, znáte-li souřadnice vrcholů A, B, C: □ yA[4;0;-l],e[2;4;-l],C[5;3;4]; 0 /\[2;-l],e[-l;4],C[3;-2]; H /\[3;-6;5],e[4;8;l],C[5;22;-3]; □ A[V6; 1 - Vě; -3 + 2VŠ], 6[VŠ; 2 - ^6; 2^6], C[2 + \/6; 2 + 2^6; Vě]; Výsledky: 47.a) A/[5; 3; -1], S = Ay/2. b) pro použití vektorového součinu je nutné přidat k bodům z-tovou souřadnici, např. z = 0. Pak je A/[3; 2], S = 5. 48. a) 9^2, b) 1, c) body leží na přímce, d) 4V10. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 8 / 11 Využití jiné báze a matice přechodu Určete matici As zobrazení cp (ve standardní bázi), které překlopí vektory prostoru IR2 podle přímky x — 2y = 0. Nápověda: Zkuste najít jinou bázi a, vhodnější než standardní, pro níž bude snadné určit matici zobrazení Aa, které překlápí vektory podle zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aa potom snadno dostaneme matici As- Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 9 / 11 Lineární zobrazení jednotkové kružnice Príklad 2 - z přednášky Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace cp prostoru IR2 zadané maticí «-(11 ve standardní bázi. Následně ověřte, že body [x,y] jednotkové kružnice (tj vektory (x,y)) se pomocí zobrazení cp zobrazí na body elipsy jejíž délky poloos budou rovny vlastním číslům. Ukázka elipsy: viz následující slajd a interaktivně v Geogebře. Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 10 / 11 Elipsa odpovídající zobrazení jednotkové kružnice a = S : b = 2 i -5 • 5 q va = Vektor 1 1 a — . a — 1 1 /5.6568542494924\ — V5-6568542494924/ -3- e2 vb = Vektor^-b^bf^ ŕ-1.414213562373l\ \ 1.4142135623731/ ■3 7 í 5 4 2 1 0 —-1- > i ; e = %/a2 - b2 — 7.7459666924148 C — (5.4772255750517, 5.4772255750517) —4 c : Elipsa(A, -A,a) — 181.3333333333333x2 - 320.00000000C o1 — \/olítnrf/>; m Lukáš Másilko 11. cvičení 12. 12. 2019 11 / 11