Cvičení 11 — příklad 1 (Isibalo.com)
Viz video „Matice přechodu a zobrazení motivačně" na webové stránce www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/ matice-prechodu-a-zobrazeni-motivacne.
Určete matici As zobrazení ip (ve standardní bázi), které překlopí vektory prostoru IR2 podle přímky p : x — 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi a, vhodnější než standardní, pro níž bude snadné určit matici zobrazení Aa, které překlápí vektory podle zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aa potom snadno dostaneme matici As-
Řešení Volba báze
Budeme se držet nápovědy a hledat vhodnější bázi a. Jsme v prostoru IR2, báze by tedy měla obsahovat dva lineárně nezávislé vektory. Jako první volme vektor c?i ležící na přímce p, například
«1 = (2,1).
Ten se překlopením zobrazí sám na sebe. Druhý vektor báze volíme tak, aby bylo snadné jej „překlopit" podle přímky x — 2y = O a zároveň nebyl lineárně závislý na c?i. Pokud například určíme c?2 = (—1,2), který je kolmý k přímce p, jeho překlopením dostaneme vektor (1, —2) opačný k vektoru c?2- Názorně jsou vektory vidět na Obrázku 1.
Obrázek 1: Nově zvolená báze a = ((2,1); (—1, 2))
Nalezení matice zobrazení v nově zvolené bázi
Matici zobrazení ip v nově zvolené bázi a vytvoříme na základě koeficientů, jimiž násobíme vektory báze a, abychom získali jejich obraz. Z předchozího víme, že
^(al) = <p(2,1) = (2,1) = 1 • (2,1) + 0 • (-1, 2)
a zároveň
<p{a2) = ip{-l, 2) = (1, -2) = 0 • (2,1) + (-1) • (-1, 2).
Koeficienty použité při násobení bázových vektorů vložíme do sloupců matice Aa zobrazení <p dle báze a:
Aa = ( o -i ) •
Poznámka: Ve výuce jsme při tvorbě této matice zobrazení udělali chybu. Nesprávně jsme do sloupců matice vložili obrazy bázových vektorů ve standardní bázi, tj. (2,1)T a (1,—2)T. Matice Aa má však generovat obrazy v bázi a.
Nalezení matic přechodu
Abychom pomocí matice Aa mohli určit matici zobrazení As podle standardní báze, je třeba nalézt matice přechodu mezi bázemi S a. a. Nalezení matice přechodu Pa^s Je jednodušší. Vektory báze a jsou totiž zadány vzhledem ke standardní bázi, jejich souřadnice tedy pouze sloupcově vložíme do matice přechodu:
_ (2 -1
Opačnou matici přechodu Ag^a je možné vypočítat tak, že nalezneme inverzní matici k Pa^s-
2 -1 1 2
Je tedy
1 0 0 1
P.
1 0 -1 2
_ 1 ~ 5 '
10 0 0 5
4 2 -1 2
1 0 0 1
2 1 -1 2
2 1 -1 2
Nalezení matice zobrazení As
Abychom pomocí matice Aa a matic přechodu určili matici As ve standardní bázi, je třeba provést následující tři kroky:
1. Vektor (u)g ve standardní bázi převést do báze a, tj. určit (u)a.
2. Pomocí matice zobrazení Aa najít obraz vektoru (u)a, tj. určit (<p(u))a.
3. Obraz vektoru u v bázi a převést zpátky do standardní báze S, tj. najít (V?(w))s-
2
K těmto akcím nám postupně poslouží matice Ps^a, Aa, Pa^s- Jejich složením dostaneme kýženou matici As, což pro nás vlastně znamená je vynásobit ve správném pořadí:
As-u  =  (Pa^s ■ Aa ■ Ps^a) ■ u
As    =    Pa^S " Aa ■ Ps^a
Jednodušší bude začít součinem Pa-ys ' Aa:
Pa^s-Aa=(^1    2  )-(0   _i ) = ( i _2
Následně můžeme tuto matici vynásobit maticí přechodu Ps^a-
2    1  \   1   / 2    1 \     1   / 2    1  W  2    1\1   /3 4 1   -2 ) V V "I  2 )     5'V1   -2/   V"1  2 J     5' V 4 "3
Máme tedy hledanou matici As'.
1/34
As
5   V 4 -3
3