Cvičení 11 — příklad 2 (z přednášky)
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace ip prostoru IR2 zadané maticí
' 5 3 3 5
As
ve standardní bázi. Následně ověřte, že body [x,y] jednotkové kružnice (tj. vektory (x,y)) se pomocí zobrazení ip zobrazí na body elipsy, jejíž délky poloos budou rovny vlastním číslům.
Řešení
Nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů
Standardním způsobem najdeme vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení ip. \As-\-E\ = (5-A)2-9 = 25-10-A+A2-9 = A2-10A+16 = (A-2)-(A-8) = 0 Vlastní čísla: Ai = 2, A2 = 8.
Vlastní vektory: Najdeme řešení systému A$ — A • E = 0 dosazením Ai = 2 a A2 = 8 místo A.
1. A1 = 2: uXl = (-l,l).
2. A2 = 8: Úx2 = (1,1).
Víme, že násobky vlastních vektorů se zobrazí na násobky sama sebe. Například 5  3 \ f -1\ _ f 5-(-I)+ 3-1 \ _ f -2 \ _ ,   ,  1 lVr
rt-MM 3  5 H   1   J = l 3.(-l) + 5-l    ={  2 )=M-M)
T
^)-(Sž)-(!)-(S:i:ž:!)-(i)-v(u,
Vektory jednotkové kružnice
Podívejme se teď na jednotkovou kružnici a vektory, které ji tvoří. Určitě známe vektory é[ = (1,0) a = (0,1), případně vektory k nim opačné: fi = (—1,0), resp. f'2 = (0, —1). Ty však nejsou násobky vlastních vektorů, takže se nezobrazí na své násobky. Pomocí matice As je zobrazíme takto:
<p(l, 0) = (5, 3), 0) = (-5, -3),   v?(0,1) = (3, 5),   ^(0, -1) = (-3, -5).
Nás zajímají také vektory, které jsou násobky vlastních vektorů. Podívejme se na vektor u2 ležící na přímce y = x, který je jistě násobkem vlastního vektoru u\2 = (1,1) (viz Obrázek 1). Jeho souřadnice (xo,yo) lze určit pomocí dvou faktů: velikost vektoru U2 je 1, úhel, který svírá s osou x, je a = 45°. Platí
tedy, že
ak°    x° ^ cos 45  = —   =>•   Xn = -,
1 2 '
• /ico  vo \/2
srn 45 = —        y0 = —.
Obrázek 1: Jednotková kružnice a vektory u[,U2, násobky vektorů ů\1,ů\2
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																											ľ.t																																		
																																																													
																																																													
																																								<u																					
																													n p																																
																													u.c																																
																																																													
																																																													
																																																													
																											n																																		
																						s	u1				—U:£												L										vi												
																																																													
																																																													
																																																													
																													Dí																																
																														_																															
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
	-1.2					-	1	g	-C			.8				-0.6					-0.4					-0.2			0		0.2									oU					0.6		o!8												1	2	
																																																													
																																																													
																													-o.;																																
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																														_ ■																															
																																																													
																																																													
																																																													
																												n í																																	
																													—U A	i																															
																																																													
																																																													
																																																													
																													-0:í	>																															
																														5																															
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
																																																													
Je zřejmé, že u2 = (^r, ^r) a z toho ú[ = (—^).
Lineárni zobrazení jednotkové kružnice
Zobrazíme-li oba vektory pomocí <p, přejdou na své vlastní násobky. Protože u2 je násobkem u\2 a u[ násobkem Ux1, je zřejmé, že
=  A1-ď1 = 2-(-^,^) = (-V2,V2), ¥>N)   =  A2-ď2 = 8-(^,^) = (4^,4^).
Uvažujeme-li vektory ^ = (^y,—^y),v*2 = (—"^>—P° řadě opačné k vektorům u[,U2, tak se také zobrazí na své A« násobky (i = 1,2). Tedy
■ y/2 _V2 2 '    2 j "
^(íT2)   =  A2-íľ2 = 8-(-^,-^) = (-4v2,-4v2).
Podobně jsou na tom i další vektory u = (cos a, sin a) určující jednotkovou kružnici, tj. vektory velikosti 1 vycházející z počátku pod úhlem a, který
<p(v[)   =  X1-v1 = 2-(^-,-^-) = (V2,-V2),
2
svírají s osou x. Zobrazí se na elipsu c, jejíž střed je v počátku, hlavní poloosa ležící na přímce y = x má velikost 8, vedlejší poloosa ležící na přímce y = —x velikost 2. Hlavní poloosa je totožná s vektorem u2 = (4-^/2,4-^/2) velikosti 8, vedlejší poloosa odpovídá vektoru Ui = (—y/2, y/2) velikosti 2. Dále viz Obrázek 2, na němž jsou zobrazeny vektory
fiul = <p(u1) = (-V2,V2),
fiu2 = V(u2) = (AV2,AV2),
fiel = v?(el) = (5,3),
fie2 = v(e2) = (3,5).
Obrázek 2: Elipsa c, výsledek zobrazení jednotkové kružnice
																																								
																				J																				
																																								
																																								
																																								
																				A																				
																				4																				
																													2											
																								fie2			TILI													
																																								
																																								
																				á						fie-1														
																																								
																																								
																																								
																																								
	8					g					4					2		n								•> s														3
																																								
																																								
																																								
											r																													
																				i.																				
																																								
																																								
																																								
																				A																				
																				H-																				
																																								
																																								
																																								
																				a																				
																				0																				
3