MA0005 Algebra 2, 2. seminář
26. 9. 2019
Lukáš Másilko 2. cvičeni 26. 9. 2019       1 / 14
Náplň cvičení
□ Analytická geometrie - opakovaní
■ Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
■ Rovnice přímky
B Determinant
■ Inverze v permutaci
Q Cramerovo pravidlo Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       2 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b = (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Lukáš Másilko
2. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
Lukáš Másilko
2. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
(a) £íi = (3;6), u2 = (-l;-2), ii3 = (l;4)
Lukáš Másilko
2. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
(a) £íi = (3;6), u2 = (-l;-2), ii3 = (l;4)
(b) vj = (2;-l;3), v2 = (3; 0; 6), v3 = (7; -5; 10)
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
(a) £íi = (3;6), u2 = (-l;-2), ii3 = (l;4)
(b) vj = (2;-l;3), v2 = (3; 0; 6), v3 = (7; -5; 10)
(c) m = (0;6;-2), m£ = (2;4;6), ws = (-1;4;-5)
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
(a) £íi = (3;6), u2 = (-l;-2), ii3 = (l;4)
(b) vj = (2;-l;3), v2 = (3; 0; 6), v3 = (7; -5; 10)
(c) m = (0;6;-2), m£ = (2;4;6), ws = (-1;4;-5)
Výsledky:
15. Lin. závislé, 2a— kb + c = o.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       3 / 14
Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory
Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory
a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem.
Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů.
(a) iii = (3; 6), i£ = (-l;-2), u3 = (l;4)
(b) ví = (2;-l;3), u2 = (3;0;6), v£ = (7;-5; 10)
(c) mži = (0; 6;-2), ^ = (2;4;6), w3 = (-l;4;-5)
Výsledky:
15. Lin. závislé, 2a — |b + Č — o.
16. (a) Lin. závislé, u[ + 3Ú2 + OÚ3 = o,
(b) lin. nezávislé,
(c) lin. závislé, 21/1/1 — 1/1/2 — 21/1/3 = o.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       3 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + 5y
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
-6 = 0
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0.
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0.
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0.
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0.
Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q : 2x — y+ 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic.
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0.
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0.
Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q : 2x — y+ 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic.
Příklad 14.1.7: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[—4; 3] a je rovnoběžná s přímkou q : 5x — 2y + 6 = 0.
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + by — 6 = 0.
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0.
Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q : 2x — y+ 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic.
Příklad 14.1.7: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[—4; 3] a je rovnoběžná s přímkou q : 5x — 2y + 6 = 0.
Příklad 14.1.9: Určete souřadnici y^\ bodu /W[2;yw] tak, aby bod M ležel na přímce AB, kde^[-3;5],
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.2: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + 5y — 6 = 0.
(a) Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi.
(b) Napište rovnici přímky p ve směrnicovém tvaru.
Příklad 14.1.4: Napište v parametrickém tvaru rovnici přímky p, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou q : 4x — y + 3 = 0.
Příklad 14.1.5: Určete obecnou rovnici přímky p, která je kolmá k přímce q : 2x — y+ 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic.
Příklad 14.1.7: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[—4; 3] a je rovnoběžná s přímkou q : 5x — 2y + 6 = 0.
Příklad 14.1.9: Určete souřadnici ym bodu /W[2;yw] tak, aby bod M ležel na přímce AB, kde^[-3;5],
Výsledky:
2.(a) p = {[3 + 5t; -2t], ŕ G R}f (b) y = 4. p : x = ŕ, y = 4t, ŕ G R. 5. x + 2y = 0. 7. 5x - 2y + 26 = 0 9. yM = -10.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       4 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.11: Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[3; — 1] a je
(a) rovnoběžná s přímkou q\ : 2x + 3y + 7 = 0,
(b) kolmá k přímce (72 : x — 2y + 4 = 0,
(c) rovnoběžná s osou x,
(d) kolmá k ose y.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       5 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.11: Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[3; — 1] a je
(a) rovnoběžná s přímkou q\ : 2x + 3y + 7 = 0,
(b) kolmá k přímce q2 : x — 2y + 4 = 0,
(c) rovnoběžná s osou x,
(d) kolmá k ose y. Výsledky:
(a) {[3-3t,-l + 2t], teIR},2x + 3y-3 = 0,
(b) {[3 + t,-l-2t], r£lR},2x + y-5 = 0,
(c) , (d) {[3 + ŕ, -1], ŕ G M},y + 1 = 0.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       5 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.12: Je dán trojúhelník ABC, A[l; 4], B[3; -2], C[-4; -6]. Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží
(a) strana c,
(b) výška vc,
(c) těžnice tc,
(d) osa úsečky AB.
Lukáš Másilko 2. cvičeni 26. 9. 2019       6 / 14
Rovnice přímky
Příklad 14.1.12: Je dán trojúhelník ABC, A[l; 4], B[3; -2], C[-4; -6] Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží
(a) strana c,
(b) výška vc,
(c) těžnice tc,
(d) osa úsečky AB. Výsledky:
(a) {[1 +t,4-3t], tel},
(b) {[-4 + 3ŕ,-6 + ŕ], tem},
(c) {[2 + 6t,l + 7t], t G M},
(d) {[2 + 3ŕ,l + t], ŕ G M}.
□
Lukáš Másilko
26. 9. 2019       6 / 14
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N, Co je to determinant matice Ml
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       7 / 14
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml
Determinant
Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem
£ (_l)A/0lj2,..Jn) . aij. . a2 Ol j2,---Jn)
J2
kde (J1J2, • • • je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,...      je počet inverzí v dané permutaci.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       7 / 14
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml
Determinant
Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem
£ (_l)A/0lj2,..Jn) . aij. . a2 Ol j2,---Jn)
J2
kde (J1J2, • • • je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,...      je počet inverzí v dané permutaci.
Důležité otázky:
Co je to permutace konečné množiny {1, 2,..., n}l Co je to inverze v dané permutaci?
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       7 / 14
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
311	312	313	314 \
321	322	323	324
331	332	333	334
a4i	342	343	344 )
Lukáš Másilko_2. cvičeni 26. 9. 2019       8 / 14
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
( au
321
331 341
V
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. ^13^24^32,^41- Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
Lukáš Másilko
2. cvičení
□ \3
26. 9. 2019       8 / 14
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3n 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       8 / 14
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3n	312	313	314 \
321	322	323	324
331	332	333	334
\ 341	342	343	344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)?
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       8 / 14
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3n 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň
p(a) > p(b)
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)? Celkem 5, např. p(l) = 3 > 2 = p(3).
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       8 / 14
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3ii 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 )
Lukáš Másilko
□
S1
26. 9. 2019
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
M =
í au ai2 3i3 3i4 \
321 322 323 324
331 332 333 a34
\ 341 342 343 a44 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       9 / 14
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
/ au ai2 ai3 ai4 \
^ _     a2i a22 a23 a24
331 332 333 a34
\ 341 a42 a43 a44 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. ai3, a24, a32, a^i- Propojte tyto prvky čarou, každý s každým.
Lukáš Másilko 2. cvičeni 26. 9. 2019       9 / 14
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
M =
í 3ii	312	313	314 \
321	322	323	324
331	332	333	334
\ 341	342	343	344 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. 313^24,332,341. Propojte tyto prvky čarou, každý s každým.
Otázka: Kolik hran má sklon "příbuzný" s vedlejší diagonálou?
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       9 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
anXi + 3i2X2 = bi a2lXi + 322*2 = b2
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
■v
Řešení této soustavy lze vypočítat takto:
xi =
A
A
x2 =
A2 A
kde následující determinanty spočítáme křížovým pravidlem
A
311 3\2 321 322
A
bi 312 b2 322
A2 =
3\\ bi
321 b2
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       10 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
3n*i + 312x2 + ai3x3 = bi a2\xi + a22*2 + 323x3 = b2 331x1 + 332x2 + 333x3 = b3
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Řešení této soustavy lze vypočítat takto:
xi =
A
A
X2 =
\Ä2
\A\
X3 =
^3 \A\
kde následující determinanty spočítáme Sarusovým pravidlem
		bi	312	313		3U	bi	313		3U	312	bi
Ai	—	b2	322	323	, \A2\ =	321	b2	323	, \A3\ =	321	322	b2
		b3	332	333		331	b3	333		331	332	b3
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       11 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]:
7x - 3y = 15 5x + 6y = 27
3x + 2y = 20 2x + 3y = 20
3(x-2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6
x - 5y = 7 x — 5y = 6
H 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       12 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]:
(a) 7x — 3y = 15 5x + 6y = 27
(b) 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20
(c) 3(x - 2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6
(e) x — 5y = 7 x — 5y = 6
(f) 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10
Výsledky: (a) [3; 2], (b) [4; 4], (c) [9;-12], (e) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (f) nelze spočítat Cramerovým pravidlem.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       12 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(a) x + y+ 2z = -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2
(b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0
Lukáš Másilko 2. cvičení 26. 9. 2019       13 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(a) x + y + 2z= -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2
(b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0
Výsledky: (a) [l;2;-2], (b) [2;4;-l], (c) [0;0;0].
Lukáš Másilko 2. cvičení 26. 9. 2019       13 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(d) 2x - y = 6 y + 4z = 8 x-z = l
(e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5
(f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5
Lukáš Másilko 2. cvičení 26. 9. 2019       14 / 14
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(d) 2x - y = 6 y + 4z = 8 x-z = 1
(e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5
(f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5
Výsledky: (a) [3;0;2], (b) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (c) nelze spočítat Cramerovým pravidlem.
Lukáš Másilko
2. cvičení
26. 9. 2019       14 / 14