MA0005 Algebra 2, 3. seminář
3. 10. 2019
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019 1/8
Náplň cvičení
□ Determinant matice
■ Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
■ Laplaceův rozvoj determinantu
■ Příklady na výpočet determinantu
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       2 /8
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Lukáš Másilko 3. cvičeni 3. 10. 2019       3 /8
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i,
Lukáš Másilko 3. cvičeni 3. 10. 2019       3 /8
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, (b) 0.
Lukáš Másilko 3. cvičeni 3. 10. 2019       3 /8
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
Lukáš Másilko 3. cvičení 3. 10. 2019       4 /8
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
M
MT , kde M' je transponovaná matice M,
T
Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak
M
M1
Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku
i
k
nenulovým číslem k £ K. — {0}, pak \M
Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}).
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       4 /8
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
M
MT , kde M' je transponovaná matice M,
T
Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak
M
M1
Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku
i
k
nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M
□ Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}).
Důležité důsledky:
■ Determinant matice M se dvěma stejnými řádky je roven 0.
■ Determinant matice M obsahující nulový řádek je roven 0.
■ Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M\ = 0.
1 ^)Q,0
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       4 /8
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
< [S? ►   < -ž ►   4 ^ k       š ^)Q,0
Lukáš Másilko 3. cvičení 3. 10. 2019       5 /8
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde	n e N.	
Rozvoj podle /c-tého řádku:		
M = ÍT(-l)k+J ■ BkJ J'=l kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním	• \Mkj ,	
	/c-tého řádku a j-tého	
sloupce.		
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       5 /8
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N.
Rozvoj podle /c-tého řádku:
M
Y,(-l)k+J-akj-\Mkj j'=i
kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním /c-tého řádku a 7-tého sloupce.
Rozvoj podle /-tého sloupce:
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       5 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       6 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
Výsledky: (a) -195,
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       6 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
Výsledky: (a) -195, (b) 18
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       6 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
(d)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       7 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
(d)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Výsledky: (a) -28,
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       7 /8
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
(d)
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Výsledky: (a) -28, (b) 30
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       7 /8
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       8 /8
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Výsledky: (a) -105,
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       8 /8
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Výsledky: (a) -105, (b) -18
Lukáš Másilko
3. cvičení
3. 10. 2019       8 /8