MA0005 Algebra 2, 4. seminář 10. 10. 2019 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 1/19 Náplň cvičení □ Analytická geometrie - opakovaní ■ Úsečka, polopřímka, polorovina B Soustavy lineárních rovnic ■ Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých ■ Maticový zápis SLR ■ Hodnost matice, elementární řádkové úpravy ■ Schodový tvar matice ■ Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých ■ Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Literatura ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 2 / 19 Úsečka, polopřímka Příklad 14.2.22: Jsou dány dva body >4[-2;5], 6[4; -1]. (a) Napište rovnici úsečky AB. (b) Napište rovnici polopřímky AB. (c) Napište rovnici polopřímky BA. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 3 / 19 Úsečka, polopřímka Příklad 14.2.22: Jsou dány dva body >4[-2;5], 6[4; -1]. (a) Napište rovnici úsečky AB. (b) Napište rovnici polopřímky AB. (c) Napište rovnici polopřímky BA. Příklad 14.2.23: Je dána polopřímka MN = {[2 + 3t; 3 + t], t G (-oo, 5}}. (a) Určete souřadnice počátečního bodu M dané polopřímky. (b) Polopřímku nakreslete. (c) Určete tak, aby bod K[—ležel na dané polopřímce. Výsledky: 22.(a) x = -2 + ŕ, y = 5 - ŕ, ŕ G (0; 6); (b) x = -2 + k, y = 5 - k, k G (0; 00); (c) x = -2 + ŕ, y = 5 - ŕ, ŕ G (-00; 6). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 3 / 19 Úsečka, polopřímka Příklad 14.2.22: Jsou dány dva body >4[-2;5], 6[4; -1]. (a) Napište rovnici úsečky AB. (b) Napište rovnici polopřímky AB. (c) Napište rovnici polopřímky BA. Příklad 14.2.23: Je dána polopřímka MN = {[2 + 3t; 3 + t], t G (-oo, 5}}. (a) Určete souřadnice počátečního bodu M dané polopřímky. (b) Polopřímku nakreslete. (c) Určete tak, aby bod K[—ležel na dané polopřímce. Výsledky: 22. (a) x = -2 + ŕ, y = 5 - ŕ, ŕ G (0; 6); (b) x = -2 + k, y = 5 - k, k G (0; 00); (c) x = -2 + ŕ, y = 5 - ŕ, ŕ G (-00; 6). 23. (a) Mg; |]; (b) Px[-7; 0], Py[0; |]; (c) yK = 2. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 3 / 19 Polorovina Příklad 14.2.24: Nakreslete poloroviny: (a (b (c (d (e (f 3x + y - 6 < 0 x - 2y + 5 > 0 2x - y < 0 x + y > 0 Y >2 x < -2,6 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 4 / 19 Polorovina Příklad 14.2.24: Nakreslete poloroviny: (a) 3x + y-6 < 0 (b) x - 2y + 5 > 0 (c) 2x - y < 0 (d) x + y > 0 (e) y > 2 (f) x < -2,6 Příklad 14.2.25: Rozhodněte, zda bod M[A; —7] leží v polorovině 2x - 3y + 2 < 0. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 4 / 19 Polorovina Příklad 14.2.24: Nakreslete poloroviny: (a) 3x + y-6 < 0 (b) x - 2y + 5 > 0 (c) 2x - y < 0 (d) x + y > 0 (e) y > 2 (f) x < -2,6 Príklad 14.2.25: Rozhodněte, zda bod M[A; —7] leží v polorovině 2x - 3y + 2 < 0. Příklad 14.2.26: Určete všechny hodnoty parametru p € IR tak, aby bod P[—4; p + 3] ležel v polorovině y > 2x. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 4 / 19 Polorovina Příklad 14.2.24: Nakreslete poloroviny: (a) 3x + y - 6 < 0 (b) x - 2y + 5 > 0 (c) 2x - y < 0 (d) x + y > 0 (e) y > 2 (f) x < -2,6 Příklad 14.2.25: Rozhodněte, zda bod M[4; —7] leží v polorovině 2x - 3y + 2 < 0. Příklad 14.2.26: Určete všechny hodnoty parametru p G M tak, aby bod P[—4; p + 3] ležel v polorovině y > 2x. Výsledky: 25. neleží, 26. p E (—11; oo) Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 4 / 19 Polorovina Příklad 14.2.27: Rozhodněte, zda přímka p : 2x + 7y — 12 = 0 protíná úsečku AB, kdeyA[2;3], S[5;-l]. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 5 / 19 Polorovina Příklad 14.2.27: Rozhodněte, zda přímka p : 2x + ly — 12 = 0 protíná úsečku AB, kde>4[2;3], 6[5;-l]. Příklad 14.2.28: Určete hodnotu parametru c G K. tak, aby body >A[4; 1], 6[2; —6] ležely uvnitř téže poloroviny s hraniční přímkou p : 3x + 5y + c = 0. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 5 / 19 Polorovina Příklad 14.2.27: Rozhodněte, zda přímka p : 2x + ly — 12 = 0 protíná úsečku AB, kde>4[2;3], 6[5;-l]. Příklad 14.2.28: Určete hodnotu parametru c G K. tak, aby body >A[4; 1], 6[2; —6] ležely uvnitř téže poloroviny s hraniční přímkou p : 3x + 5y + c = 0. Příklad 14.2.29: Určete hodnotu parametru b £ IR tak, aby body K[—3; 8], L[l;—9] ležely v opačných polorovinách určených hraniční přímkou x + by — 3 = 0. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 5 / 19 Polorovina Příklad 14.2.27: Rozhodněte, zda přímka p : 2x + ly — 12 = 0 protíná úsečku AB, kde>4[2;3], 6[5;-l]. Příklad 14.2.28: Určete hodnotu parametru c £ IR tak, aby body >A[4; 1], 6[2; —6] ležely uvnitř téže poloroviny s hraniční přímkou p : 3x + 5y + c = 0. Příklad 14.2.29: Určete hodnotu parametru b £ IR tak, aby body K[—3; 8], L[l;—9] ležely v opačných polorovinách určených hraniční přímkou x + by — 3 = 0. Výsledky: 27. protíná, body A, B leží v opačných polorovinách; 28. c G (-oo, -17) U (24; oo); 29. be (-oo,-§)U(|,oo). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 5 / 19 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Mějme následující soustavu dvou rovnic: anx + a12y = b\ a2ix + a22Y = b2 Obě rovnice určují přímky p \ y — — — + — a q : y = — — + b2 312 312 322 322 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 6 / 19 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Mějme následující soustavu dvou rovnic: anx + a12y = b\ a2ix + a22y = b2 Obě rovnice určují přímky p \ y — — ^ + ^ a q:y = — |^ + ai2 322 _62_ 322 Počet řešení soustavy Soustava lineárních rovnic (SLR) (a) má právě jedno řešení, nejsou-li vektory (aii;ai2), {a2\\ a22) lineárně závislé (graficky: řešením je průsečík přímek p, q); (b) má nekonečně mnoho řešení, je-li {a\i\a\2) reálným /c-násobkem (^21; ^22) 3 zároveň b\ — k - b2 (graficky: přímky p, q splývají); (c) nemá řešení, je-li (an; a\2) reálným /c-násobkem (a2\\a22) a zároveň b\ ^ k - b2 (graficky: přímky p, q jsou rovnoběžné). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 6 / 19 Příklad Udejte příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, která (a) má právě jedno řešení, (b) má nekonečně mnoho řešení, (c) nemá řešení. Vámi vytvořené soustavy řešte graficky. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 7 / 19 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 kde m, r? G N. amixi + am2y H-----h amnxn = b m Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 8 / 19 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + 3i2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 3mlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. r Maticový zápis soustavy 1 Matici l au ai2 .. 321 a22 .. • a2n \ ami 3mn ) nazýváme maticí systému SLR. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 8 / 19 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 ämlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. Rozšírená matice SLR Matici 4 b = / 3n 3i2 ... ain a2i a22 ... a2n \ a^i 3m2 ... a nazýváme rozšírenou maticí systému SLR. bm ) Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 9 / 19 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A. Píšeme h(A). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 10 / 19 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A. Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 10 / 19 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A. Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Důležitá poznámka: Elementární řádkové úpravy nezmění hodnot matice, resp. nezpůsobí změnu řešení SLR. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 10 / 19 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 11 / 19 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 11 / 19 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Příklad 1: rozhodněte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru. 12 3 9 0 0 5 3 0 13 6 0 0 0 9 0 0 5 3 0 13 6 12 3 9 0 7 5 3 0 0 3 6 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 11 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 12 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 12 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, (b) /7(/\) = 3. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 12 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 / 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 13 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, I 6 \ -2 10 10 4 2 / 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 13 / 19 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ \ 2 3 7 -4 5 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, (d) h(A) = 2 I 6 \ -2 10 10 4 2 / 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 13 / 19 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22y + a23z = b2 331X + a32y + a33z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 14 / 19 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22y + 323z = b2 331X + 332y + 333Z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu Počet řešení soustavy Soustava lineárních rovnic (SLR) o 3 neznámých (a) má právě jedno řešení, je-li h(Á) — h(A\b) — 3 (roviny se protínají v jednom bodu); (b) má nekonečně mnoho řešení, je-li h{A) — h{A\b) < 3 (roviny se protínají buď v jedné přímce, když h{A) — h{A\b) — 2, nebo splývají v jednu rovinu, je-li h{A) — h{A\b) — 1); (c) nemá řešení, je-li h(A) 7^ h(A\b) (geometricky to může vyjít různě). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 14 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, n 6 N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A b na schodový tvar. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" priradíme parametr, ostatní neznáme vyjadríme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" priradíme parametr, ostatní neznáme vyjadríme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. ■ V obou případech postupujeme tzv. zpětným chodem, tj. bereme rovnice zdola a volíme za parametry počet neznámých v dané rovnici MINUS jedna, abychom poslední neznámou v každé rovnici mohli dopočítat pomocí ostatních neznámých - parametrů. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 15 / 19 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 3xi + 2x2 + X3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi — X2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3X2 + X3 + 2X4 — -3 2xi + 3X2 - X3 - x4 — -6 xi + X2 + 2x3 + 3X4 — 1 Xl + 2x2 + 3x3 - x4 — -4 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 16 / 19 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 3xi + 2x2 + X3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi — X2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3X2 + X3 + 2X4 — -3 2xi + 3X2 - X3 - x4 — -6 xi + X2 + 2x3 + 3X4 — 1 Xl + 2x2 + 3x3 - x4 — -4 Výsledky: (a) (2,-2,3), Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 16 / 19 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR) (a) (c) 3xi + 2x2 + *3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi - x2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3x2 + X3 + 2X4 - -3 2xi + 3x2 — X3 — x4 - -6 Xl + x2 + 2x3 + 3X4 - 1 Xl + 2x2 + 3x3 — x4 - -4 -2,3) . (c)(- ■1,- 1,0,1). Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 16 / 19 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 Xl + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + *3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 XI + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 17 / 19 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, Lukáš Másilko 4. cvičeni 10. 10. 2019 17 / 19 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 Xl + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, (c) SLR nemá řešení. Lukáš Másilko 4. cvičeni 10. 10. 2019 17 / 19 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 = 1 Xl - 2x2 + X3 = 0 5xi - 9x2 + 5x3 = 1 (c) X2 + x4 = 1 3xi - 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 xi + X2 - *3 + x4 = 2 - *3 1 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 18 / 19 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 xi — 2x2 + X3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — X3 + x4 - 2 *1 — X3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 18 / 19 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 — 2x2 + X3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — + x4 - 2 *1 — *3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, (c) {(l + t,§,t,-|), tGR}. Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 18 / 19 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): x2 + x4 = 1 3xi — 2x2 3x3 + 4x4 = —2 xi + X2 - X3 + M = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 xi - x3 =1 Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 19 / 19 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): X2 + x4 = 1 3xi — 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 xi + - x3 + x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 = 12 xi - x3 1 Výsledek: (§; |; -§) Lukáš Másilko 4. cvičení 10. 10. 2019 19 / 19