MA0005 Algebra 2, 5. seminář
17. a 24. 10. 2019
Lukáš Másilko 5. cvičeni 17. a 24. 10. 2019       1 / 13
Náplň cvičení
Vektorový prostor a jeho pod prostory
■ Pod prostor vektorového prostoru
■ Lineární obal množiny vektorů
■ Dimenze a báze vektorového prostoru
■ Součet a průnik vektorových pod prostorů
Literatura
Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
□    g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       2 / 13
Vektorový prostor
Axiomy pro vektorový prostor
V nazveme vektorovým (lineárním) prostorem nad tělesem T s operacemi +, jestliže
□ Ví, v G V \ u + v £ V (uzavřenost na operaci +)
Q Ví, v, w g V : (í + v) + w = í + (v + w) (asociativita operace +) B 3o. V\7 g \/:í+o = í= o + í (neutrální prvek pro operaci +)
□ \/Ú g V. 3(—J) g V : u + (—u) = o (inverze vzhledem k operaci +) H Ví, \7g\/:J+\7=\7+J (komutativita operace +)
"1" \/Ú g V, Vt g 7" : £ • Ú g V (uzavřenost na součin skaláru a vektoru) "2" \/u g V, Vs, £ g T \ s - (t - u) = (s - t) - u (asociativita operace •) "3" 31 g T. MÚ g V \ 1 - Ú — Ú — Ú- l(neutrální prvek pro operaci •) "6a" Ví g V, Vs, £ g 7~:(s+£)-í=s-í+£-í (distributivita operací) "6b" Ví, i/g V, Vs e 7~:s-(J+i7) = s- J+s-\7 (distributivita operací)
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       3 / 13
Vektorový prostor
Příklad 3.1.B2: Uvažme množinu M'0'1' (to znamená množinu všech zobrazení (0,1) ->• R). Pro f,g £ H^0'1) a pro r g E defi nujeme f + g e RW, resp. r -f e R{0'1} takto:
■ (f + g){x) = f (x) + g(x), resp.
. (r • f)(x) = r ■ (f(x))
pro Vx g (0,1). Dokažte, že pak IR^0'1^ je vektorový prostor nad IR.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       4 / 13
Vektorový prostor
Příklad 3.1.B2: Uvažme množinu M'0'1' (to znamená množinu všech zobrazení (0,1) ->• R). Pro f,g £ H^0'1) a pro r g E defi nujeme f + g e RW, resp. r -f e R{0'1} takto:
■ (f + g){x) = f (x) + g(x), resp.
. (r • f)(x) = r ■ (f(x))
pro Vx g (0,1). Dokažte, že pak IR^0'1^ je vektorový prostor nad IR.
Příklad 3.1.B7: Necht V (M) značí množinu všech posloupností reálných čísel. Pro (xi,X2,...), (yi,y2, • • •) g PQR) a pro r g K. definujeme:
(xi,x2,...) + (yi,y2,...)   =   (xi +yi,x2 + y2,...),
r • (xi,x2,...)   =   (r • xi, r • x2,...).
Dokažte, že pak V (M) je vektorový prostor nad IR.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       4 / 13
Vektorový prostor
Definice vektorového pod prostoru
Vektorový podprostor prostoru (\/, +, •) nad tělesem (7~, +, •) je taková podmnožina 1/1/ prostoru V, která je uzavřená vzhledem k operaci + (sčítání vektorů) a • (násobení vektoru skalárem):
UVu,veW\u + veW
"1" VJe l/l/,Vt e T : t-ue W
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavřený na lineární kombinaci svých vektorů.
□    g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       5 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostore vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s e q libovolné}
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       6 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) 1/1/ = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) 1/1/ = {(xi,x2,x3,x4) I Xl + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) 1/1/ = {(xi,x2,x3,x4) I x2 = x3 = x4}
(d) 1/1/ = {(2s + ř, s - t, ŕ, s) I t, s e q libovolné}
Príklad 3.2.B5: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c je podprostorem vektorového prostoru R^0,1' (víz cvičení [3.1.B2]), je-li:
(a) W = {f : (0,1) ->• R \ f{l) = 0}
(b) W = {f : (0,1) ->• R | ŕ"(0) • f(l) = 0}
(c) 1/1/ = {f : (0,1)     M | f (x) > 1 pro konečně mnoho x e (0,1)}
(d) W = {f : (0,1) ->• R | ŕ"(x) = f(l - x) pro Vx g (0,1)}
Lukáš Másilko 5. cvičení 17. a 24. 10. 2019       6 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s g q libovolné}
Příklad 3.2.B5: Rozhodněte, zda podmnožina W c M^0'1) je podprostorem vektorového prostoru IR'0,1' (viz cvičení [3.1.B2]), je-li:
(a) W = {f : (0,1) -^R \ f(l) = 0}
(b) 1/1/ = {ŕ : (0,1)    R | f(0) • f{l) = 0}
(c) W = {f : (0,1) -)• M | f(x) > 1 pro konečně mnoho x e (0,1)}
(d) W = {f : (0,1)    E | f(x) = f(1 - x) pro Vx g (0,1)}
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       6 / 13
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s g q libovolné}
Příklad 3.2.B5: Rozhodněte, zda podmnožina W c M^0'1) je podprostorem vektorového prostoru IR'0,1' (viz cvičení [3.1.B2]), je-li:
(a) W = {f : (0,1) -^R \ f(l) = 0}
(b) 1/1/ = {ŕ : (0,1)    R | f(0) • f{l) = 0}
(c) W = {f : (0,1) -)• M | f(x) > 1 pro konečně mnoho x e (0,1)}
(d) W = {f : (0,1)    E | f(x) = f(1 - x) pro Vx g (0,1)}
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
3.2.B5.(a) ano, (b) ne, (c) ne, (d) ano. , n ► <s ►   > ^
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       6 / 13
Lineární obal množiny vektorů
Lineární obal množiny vektorů
Lineárním obalem množiny (ne nutně nezávislých) vektorů {\/í, v^,..., vj<} z vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •) rozumíme množinu {ai • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k | <^i> <^25... Qí/f e 7"} vzniklou jakoukoli lineární kombinací vektorů {\/í, v^,...,
Značíme jej L{y[, V2,..., v£) nebo ({ví, v£,..., Vk}).
Alternativně říkáme, že L(v[, v^,..., v^) je podprostor generovaný vektory
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       7 / 13
Báze a dimenze vektorového prostoru
Báze a dimenze vektorového prostoru
Posloupnost vektorů (\/í, v^,..., v^) nazveme bází (množinou generátorů) vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •), jestliže
□ je lineárně nezávislá,
každý vektor J e V lze vyjádřit lineární kombinací
Ú — a\ • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' vj< Pro nějaké ai, o^, • • •, o^k £ T (tj vektory ví, v£,..., v£ generují celý prostor \/).
Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme počet vektorů nějaké jeho báze. Značíme dim V.
Čísla       qí2j • • • 5 <^/c) z vyjádření vektoru J nazýváme souřadnicemi vektoru u v bázi (ví, v£,..., \ž^).
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       8 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IR3 jsou dány vektory:
ifi = (l;-2;3), i£ = (2;-l;0), u3 = (1; 1; -3), u4 = (l;0;-l) Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor IR3.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       9 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M jsou dány vektory:
ul = (1; -2; 3), u2 = (2; -1; 0), u3 = (1; 1; -3), uA = (1; 0; -1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor M. .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,..., j5 generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) ul = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), u* = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) ul = (-1; 1;0;-1), u2 = (2; 0; 1; 3), £ = (1; 2; 3; 4), iM = (2; 3; 4; 6), íT5 = (1; -3; 5; -7)
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       9 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M. jsou dány vektory:
í/1 = (1;-2;3), U2 = (2;-1;0), uÍ = (1; 1; -3), ti* = (1;0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor M .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory Jí,..., ú$ generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) JÍ = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), Jí = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) JÍ = (-1; 1;0; -1), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), JÍ = (2; 3; 4; 6), u5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       9 / 13
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IR jsou dány vektory:
iJÍ = (l;-2;3), i£ = (2;-l;0),     = (1; 1;-3), 1Ž4 = (1; 0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor IR3.
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,..., u$ generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) Jí = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), u4 = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) JÍ = (-1;1;0;-1), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), u4 = (2; 3; 4; 6), u5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
3.3.B2.(a) ne, (b) ano.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       9 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru W generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (1;-1;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       10 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru W generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x= (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4;l);
(c) x = (3;5;-2),y = (2; 3;-3).
Výsledky:
(a). ueW, v^W;
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       10 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (1;-1;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) , u G 1/1/, v ^ W;
(b) u G 1/1/, vG l/l/;
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       10 / 13
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (1;-1;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) , u g 1/1/, v ^ W;
(b) iíeW, ve W;
(c) l/l/, i7 g 14/.
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       10 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru 1/1/.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iŤ4 = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), iŤ4 = (3; -4; 1; -2), ď5 = (2; 1; 0; -3);
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       11 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru IR4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi ctw podprostoru l/l/.
(a) lii = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5);
(b) JÍ = (1; 2; 3; 4), i£ = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), u4 = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) lii = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), u4 = (3; -4; 1; -2), i£ = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a), dim 1/1/ = 3, např. otyy — (JÍ, J2, J3);
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       11 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru IR4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi ctw podprostoru l/l/.
(a) lii = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5);
(b) JÍ = (1; 2; 3; 4), i£ = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), u4 = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) lii = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), u4 = (3; -4; 1; -2), i£ = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim 1/1/ = 3, např. otyy — (JÍ, J2, J3);
(b) dim 1/1/ = 2, např.       = (JÍ, J2);
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       11 / 13
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W.
(a) £ = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), uA = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), úl = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), íŤ4 = (3; -4; 1; -2), iľ5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim 1/1/ = 3, např. «1/1/
(b) dim 1/1/ = 2, např.
(c) dim 1/1/ = 4, např. aw
(úl, l/2,03);
(úl, Ô2);
(ul, ul, ul, u5).
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součtem Wi + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj.
w1 + w2 = L(w1uw2) = {oí'U + i3'v\a,i3e T,ue wuve 1/1/2}
Průnikem l/l/i + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme množinu vektorů, které leží ve W± i I/I/2 zároveň, tj.
1/14 n I/I/2 = {J g V \ u e l/l/i A J g 1/1/2} Věta: Jsou-li l/l/i, I/I/2 podprostory s konečnou dimenzí, pak platí dim (M/i + I/I/2) = dim Wľ + dim l/l/2 - dim (Wľ n l/l/2).
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       12 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(a) V = IR3, W1 = /.(ul, u2), W2 = L(ví, v2, v3), úl = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
i! = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wí = ({til, tf2, u3}), W2 = ({ví, v2, v3}), til = (1; 2; 0; 2), til = (1; 2; 1; 2), 03 = (3; 1; 3; 1),
i/l = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, M/i = Z.(tvl, tT2), W2 = Z.(vi, v!),
til = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), £ = (1; 2; 0; 1).
Lukáš Másilko 5. cvičeni 17. a 24. 10. 2019       13 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(a) V = R3, W1 = /.(ul, u2), W2 = L(ví, v2, v3), úl = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
i! = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wi = ({ul, iT2, u3}), W2 = ({ví, v2, v3}), til = (1; 2; 0; 2), til = (1; 2; 1; 2), 03 = (3; 1; 3; 1),
i/l = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, M/i = Z.(tvl, tT2), W2 = Z.(vi, v!),
til = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), £ = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a), dim (M/i + W2) = 3, příklad báze: aWl+Wl = (til, tÍ2, dim(M/i n M/2) = 1, příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       13 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory Wi, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + W2, Wx n W2, je-li:
(a) V = R3, W1 = L{ůi, u2), W2 = /.(vl, v2, v3), JÍ = (l;l;-3), Ů2 = (1;2;2),
vl = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), v| = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, M/i = ({ul, Ů2, tis}), M/2 = ({il, v2, vi}), ui = (1; 2; 0; 2), tT2 = (1; 2; 1; 2), tví = (3; 1; 3; 1),
i/l = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), £ = (1; 3; 1; 3);
(c) V = R\ l/l/i = L(ul, tT2), W2 = /.(il, £),
ííÍ = (1; 1; 1; 1), tT2 = (1; 0; 1; 0), il = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) , dim (Wi + W2) = 3, příklad báze: aWl+w2 = ("Í> "2, v[), dim (l/l/i fl W2) = 1, příklad báze: otw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (l/l/i + W2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = ("i> "2> v\)< dim(l/l/i fl W2) = 2, příklad báze: ct^n^ = ("21 "3);
Lukáš Másilko
5. cvičení
17. a 24. 10. 2019       13 / 13
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory Wi, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + W2, Wx n W2, je-li:
(a) V = M3, W1 = L(ůi, u2), W2 = L(v[, v2, v3), ú{ = (1;1;-3),íŤ2 = (1;2;2),
ví = (1; 1; -1), vs = (1; 2; 1), ví = (1; 3; 3);
(b) V = R4, W1 = ({JI, J*2, tví}), W2 = <{vl, 3, v3}), Jí = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), tT3 = (3; 1; 3; 1),
vi = (1; 1; 1; 1), ví = (1; -1; 1; -1), ví = (1; 3; 1; 3);
(c) V = R\ Wí = /.(Ji, u2), W2 = L(vl, ví),
úl = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), vl = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) . dim(l/l/i + W2) = 3, příklad báze: aWl+W2 = (Jí, u2, v[), dim (l/ví n I/I/2) = 1, příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (l/ví + W2) = 3, příklad báze: awl+w2 = ("i; "2, ví), dim (l/ví n M/2) = 2, příklad báze: aw1nw2 = ("2; *£);
(c) . dim (l/ví + H/2) = 4, příklad báze: aw1+w2 = ("!> "2; ^i? ^2).
dim íl/l/i fl W2) = 0, báze tedy neexistuje. □    a     -     = 1
Lukáš Másilko 5. cvičení 17. a 24. 10. 2019       13 / 13