MA0005 Algebra 2, 6. seminář
31. 10. 2019
Lukáš Másilko 6. cvičeni 31. 10. 2019 1/18
Náplň cvičení
□ Maticové operace
■ Sčítaní matic
■ Násobení matic
B Gauss-Jordanova metoda
■ SLR pomoci inverzní matice
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ Kovár, M.: Maticový a tenzorový počet. Vysoké učení technické
v Brne, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ustav matematiky.
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       2 / 18
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h ainX"   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
kde r? G N.
anlxľ + an2x2 H-----h 3nnxn   = b„
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       3 / 18
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h ainX"   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
anixi + an2x2 H-----h annxn   = bn
kde r? G N.
Soustavu lze zapsat maticově:
/ 3n   ai2   ..
^21    322    • •
ain \
32 n
*2
\ 3ni    a„2    • • •     3nn )      \ xn /
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       3 / 18
Motivace
Systém
321 322
\ 3ni   an2   ...
3ln \
32 n
*2
}nn
lze zapsat symbolicky takto: A • x — b, kde A je čtvercová matice řádu n.
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       4 / 18
Motivace
Systém
321 322
3ln \
32 n
*2
\ 3ni    an2    ...     3nn )      \ Xn )
í ^ \
lze zapsat symbolicky takto: A ■ x = b, kde A je čtvercová matice řádu n.
Existence inverzní matice A    vzhledem k násobení by zajistila přímý výpočet řešení systému:
A ■ x   = b A'1-A-x  = A~ľ-b x  =  A'1 -b
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       4 / 18
Sčítaní matic
Sčítaní matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, r? G N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
+
( bn ...    bin \
£>2l     i>22     ... b2n
\ 3mi    3m2    • • •     3mn J        y bml    bm2    • • •     bmn J
( 3n + bn    ai2 + b12
321 + b21      322 + b22
3ln + bln \ 32n + b2n
\ 3 ml + b mi    3m2 + bm2    • • •     3mn + bmn /
□      g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       5 / 18
Sčítání matic
Sčítání matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, n e N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n     3i2     ...     ain \ 321     322     • • • 32n
\ 3mi    3m2    . . . 3mn
+
( bn
I
b22
( au + bn    3i2 + bn
321 + t>2i      322 + b22
\ 3ml + bmi    am2 + bm2    . . .     3mn + bmn J
bln \ b2n
\ bmi    bm2    • • •     bmn J
3ln + bln \ 32n + b2n
Poznámka: (MmXA?,+) je komutativní grupa
□ s
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       5 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0 3/
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       6 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0 3/
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       6 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       7 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0-3 + 1-(-4)+ (-!)• 1 + 7-2
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       8 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) • 0 + 0 • 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       9 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) • 0 + 0 • 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8-3 + 0-(-4)+ 0-1+ 5-2
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       10 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0 3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) • 0 + 0 • 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8 • 3 + 0 • (-4) + 0-1 + 5- 2 -8-2 + 0-1 + 0- 0 + 5- 3
Lukáš Másilko
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
31. 10. 2019       11 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0 3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) • 0 + 0 • 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3
-8-2 + 0-1 + 0-0 + 5-3
• 2	
10	0
9	22
-14	-1
Lukáš Másilko
□        g ►  < -E ►  < =
6. cvičení
31. 10. 2019       11 / 18
Násobení matic - pracovní list
1. Jsou dány matice A, 6, C:
Pro každou dvojici matic X, Y £ {A, 6, C} proveďte jejich součin X • y, y • X. Diskutujte situace, kdy součin není možné provést.
2. Jsou dány matice X typu m x n a matice Y typu /c x /, kde
/c, /, m, n e N. Určete podmínky nutné pro to, aby bylo možné provést násobení matic X • y.
3. Jsou dány matice X typu m x n a Y typu /c x /, kde /c, /, m, r? G N. Předpokládejme, že je možné provést součin matic C — X - Y. Stanovte výraz, kterému se obecně rovná prvek c,y matice C na /-tém řádku a 7-tém sloupci. (Prvky matice X označujte x,y, prvky matice Y označujte y,y.) Jaký je typ výsledné matice C?
4. Je násobení matic asociativní? Je komutativní?:
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       12 / 18
Násobení matic
- definice
Násobení matic
Jsou dány matice A typu m x k a matice B typu k x n. Součin matic C — A - B definujeme jako matici typu m x n, jehož prvky získáme dle vzorce
k
qj = a/i • bij + a/2 • b2j H-----h aik • bkJ = ^ a/V • b/j
1=1
Poznámka: Násobení matic je asociativní, nicméně není komutativní.
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       13 / 18
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde n 6 N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = r?;
■ singulární, právě když h(A) < n.
Lukáš Másilko 6. cvičeni 31. 10. 2019       14 / 18
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde r? G N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = n;
■ singulární, právě když h(A) < n.
Poznámka: Množina čtvercových matic (Mn^ni +, •) je nekomutativní okruh obsahující netriviální dělitele nuly.
■ Vynásobením čtvercových matic dostaneme opět čtvercovou matici
■ Násobení matic je asociativní, ne však komutativní.
■ Neutrálním prvkem je jednotková matice E.
■ Pouze k regulární matici A existuje inverzní matice A~ľ tak, že A-A'1 = E = A~ľ • A.
Dokážeme najít dvě netriviální čtvercové matice, jejichž vynásobením vznikne nulová matice.
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       14 / 18
Výpočet inverzní matice Gauss-Jordanovou metodou
Gauss-Jordanova metoda pro výpočet inverzní matice
Mějme regulární čtvercovou matici A.
□ Zapišme si matice (A\E), kde E je jednotková matice.
B Elementárními řádkovými úpravami se snažíme z matice A nalevo "vyrobit" jednotkovou matici.
■ Nejprve matici nalevo převádíme na schodový tvar.
■ Následně nulujeme prvky nad hlavní diagonálou.
■ Na závěr případně násobíme jednotlivé řádky tak, aby se nalevo objevila jednotková matice.
B Matice napravo je po všech výše uvedených úpravách matici inverzní k původní matici A.
Lukáš Másilko 6. cvičení 31. 10. 2019       15 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice,
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Lukáš Másilko
□        g ►  < -E ►  < =
6. cvičení
31. 10. 2019       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A-ľ =
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
□ [S   ►      <    -E    ►      < =
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A'1 =1-4-2
0
C 1 neexistuje.
8"' = Í
18    -10 2 -24    15 -3 6-4 2
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       16 / 18
Pracovní list -
Gauss-Jordanova metoda
Vysvětlete, proč funguje Gauss-Jordanova metoda.
Lukáš Másilko 6. cvičeni 31. 10. 2019       17 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic: (a)
X	+	y	+	z =	1
X	—	y	—	2z =	3
2x	+	y	+	z =	2
X	+	y	+	2z =	-1
X	—	2y	+	z =	-5
3x	+	y	+	z =	3
X	+	y	+	z =	0
X	—	y			3
		y	+	z =	1
					□ ► 4
Lukáš Másilko 6. cvičení 31. 10. 2019       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z =1 x — y — 2z = 3 2x   +  y   +   z =2
(b)
(c)
X	+	y	+	2z	= -1
X	—	2y	+	z	= -5
3x	+	y	+	z	= 3
X	+	y	+	z	= 0
X	—	y			= 3
		y	+	z	= 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (!,§,-§),
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x   +  y + z =1
x   —   y — 2z   = 3
2x   +  y + z =2
(b)
x    +   y + 2z   = -1
x   —   2y + z   =   —5
3x   +   y + z   = 3
(c)
x + y + z = 0 x   -   y =3
y + z  = 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (1, §,-§), b) (x,y,z) = (1,2,-2),
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic: (a)
x + y + z =1 x — y — 2z = 3 2x   +  y   +   z =2
(b)
x + y + 2z = x - 2y + z = 3x   +   y   +   z =
(c)
x + y x   - y
y
Výsledky: a) (x, y, z) = (1, §,-§), b) (x, y, z) = (1,2,-2), c) (x,y,z) = (-1,4,-3).
-1
-5 3
+   z =
+   z =
0 3
1
Lukáš Másilko
6. cvičení
31. 10. 2019       18 / 18