MA0005 Algebra 2, 7. seminář 7. a 14. 11. 2019 Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 1/16 Náplň cvičení Analytická geometrie - opakovaní ■ Přímka v prostoru Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory ■ Reprezentace lineárního zobrazení ■ Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení ■ Skládání lineárních zobrazení Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 2 / 16 Literatura a zdroje ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. ■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra. ■v ■ Čadek, M.: Sbírka úloh z lineární algebry. 2002. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf. ■ Sobotíková, V. Řešené úlohy z Úvodu do algebry. Dostupné z: http://www.vrstevnice.com/akce/grandaction/vskola/ lsemestr/lingebra/resPriklady.pdf. Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 3 / 16 Přímka v prostoru Příklad 15.1.3: Je dána přímka p = {[1 - 2/c; 2 + 3/c; 1 + /c], k G R}. a) Rozhodněte, zda body C[5; 8; 3], D[3; —1; 0] leží na přímce p. b) Určete y,zGR tak, aby bod E[9;y;z] ležel na přímce p. Příklad 15.1.5: Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2; 1 — ŕ; 4t], ŕ G IR} protíná souřadnicové roviny. Příklad 15.1.6: Jsou dány body A[l\4; 6], 6[4; 1; -3]. a) Napište parametrické rovnice přímky AB. b) Napište parametrické rovnice úsečky AB. c) Napište parametrické rovnice polopřímky BA. Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 4 / 16 Přímka v prostoru Příklad 15.1.3: Je dána přímka p = {[1 - 2/c; 2 + 3/c; 1 + /c], k G R}. a) Rozhodněte, zda body C[5; 8; 3], D[3; —1; 0] leží na přímce p. b) Určete y,zGR tak, aby bod E[9;y;z] ležel na přímce p. Příklad 15.1.5: Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2; 1 — ŕ; 4t], ŕ G IR} protíná souřadnicové roviny. Příklad 15.1.6: Jsou dány body A[l\4; 6], 6[4; 1; -3]. a) Napište parametrické rovnice přímky AB. b) Napište parametrické rovnice úsečky AB. c) Napište parametrické rovnice polopřímky BA. Výsledky: 3.a) C i p,D G p; b) E[9;-10;-3]. 5. Pxz[2; 0; 4], Pxy[2; 1; 0], Pyz neexistuje. 6. x = 1 + t,y = 4 - ŕ, z = 6 - 3ŕ, a) tel, b) t G (0,3), c) ŕ G (—oo, 3). Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 4 / 16 Přímka v prostoru Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}. Príklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z. Příklad 15.1.10: Napište parametrické rovnice osy x. Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 5 / 16 Přímka v prostoru Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G R}. Príklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z. Příklad 15.1.10: Napište parametrické rovnice osy x. Výsledky: 7. x = /c, y = 4 - /c, z = 5 + 5/c, /c G R. 8. x = 2, y = 4, z = 1 + /c, /c G R. 10. x = /c, y = 0,z = 0, k G R. Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 5 / 16 Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n 6 N a (V, +, •) dimenze m 6 N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory V, V7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V splňující tyto dvě podmiň ky: □ (p(u + v) = (f(u) + (p(v), Q > V7 splňující tyto dvě podmiň ky: □ (p(u + v) = A • u, ■ pomocí obrazů > V je zadáno předpisem pro vektor x E V. ■ Najděte matici A zobrazení cp a obrazy standardní báze prostoru V. ■ Najděte p{u), p(v). H p : IR2 —^ IR3, (f(xi,x2) = (2xi+x2,x2,x2-xi), J = (2, 3), v = (-2,1). B (p ■ K3 K4,v?(xi,x2,x3) = (xi + x2,x2 + x3,x3 + xi,xi), J= (4,-1,0),r= (-3,0,5). B

(-2,l) = (-3,1,3) / 1 1 0 \ 0 11 10 1 2. A = \ 1 O O J ^(1,0,0) = (1,0,1,1), ifi(0,1,0) = (1,1,0,0), v?(0,0,1) = (0,1,1,0) ¥>(4, -1,0) = (3, -1,4,4), ^(-3,0,5) = (-3, 5, 2, -3). 3. A = 110 0 11 • V je zadáno obrazy bázových vektorů V. ■ Najděte matici A zobrazení ■ IR2, p(l, 0, 2) = (1, 3), ifii-3, 4, -2) = (2, -1), ^(0, 2,1) = (-3,5), u = (1,4,2), 7 = (-1,0,4). B (p : M3 M2, p(l, 2, -3) = (-2,1), ^(2,1, -2) = (1,1), ^(1, -4, 5) = (8, -1), u = (3,6,-1), v = (0,3,2). B y> : R3 -> M4, ¥>(1,0,1) = (1,0,1,0), (1,4, 2) = (-16,15), ^(-1, 0,4) = (32, -9). / 4+s -5+4s \ 2-A=[=?±t i±it řJ,s,řGE p(3,6, -1) = (-6 + 8s, 1 + 8í), (p(0,3,2) = (-5 + 6s, 1 + 6í), s, f e M. ( 1 -1 1 \ -111 1-11 3. A — 2 V -i i i / p(2,4, 6) = (2,4, 2,4), ^(-4, 0, 2) = (-1,3, -1, 3) Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 10 / 16 Reprezentace lineárního zobrazení Lineární zobrazení tp : V —>• V je zadáno předpisem. ■ Najděte matici zobrazení 9? vzhledem k uspořádaným bázím a,j3. ■ Najděte (p(ua)- □ <£> : IR2 IR2, ¥>(x,y) = (-y,x), a = ((1, -4), (-1, -2)), (3 = ((1,1), (1, -2)), us = (2,-2). Q ip : IR3 ->■ IR2, a = (\ \\ us = (2, -2) ua = (1, -1), > V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m). □ Jádrem Kercp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj. Kenp = {u e V \ (p(u) = o\//}. B Oborem hodnot Imy? zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ V7, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im (p = {\7 G V | 3u e V : V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m). □ Jádrem Ker p zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj. Kerp = {u e V \ p(Ú) = oy}. B Oborem hodnot \mp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ Vř, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im p = {v G V | 3u e V : R , (p je dáno maticí / 1 0 3 1 \ As=\ 2 -14 1. \ -3 5 12/ Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 14 / 16 Výsledky příkladu 4 H di ml [Ker (p) = 0, Ker cp = {(0,0,0)}, di ml Im (p) - = 3, Im (p = ({(1,0,1,1), (1,1,0,0), (0,1,1,0)}) B di ml [Ker (p) = 1, Ker p = ({(1,-1,1)}). di ml [Im (p) - = 2, Im y? = ({(1,0), (0,1)}). B ď ml [Ker (p) = 1, Ker (/? = ({(0,3,4)}), ď ml 'Im p) - = 2. Im = ({(-1,1,1,1), (1,0,0,1)}). Q ď mi [Ker (p) = 2, Ker v? = ({(-3,-2,l,0),(-l,-l,0,l)}), d mi [Im p) - = 2, Im cp = ({(1,2,-3), (0,-1,5)}). Lukáš Másilko 7. cvičení □ S1 7. a 14. 11. 2019 15 / 16 Skladaní lineárních zobrazení Skládání lineárních zobrazení Je dáno lineární zobrazení ■ cp : U —> V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n, m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m. Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor u V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n, m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m. Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor u V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n, m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m. Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor Ú G U, které má matici B • A. Poznámka: Matice B • A složeného lineárního zobrazení je typu k x n. Příklad: Lineární zobrazení (rotace o 90°) cp : M? —>> IR2 je zadané matici Najděte matici cp o p a ověřte na několika vektorech Ú úhel rotace Lukáš Másilko 7. cvičení 7. a 14. 11. 2019 16 / 16