MA0005 Algebra 2, 8. seminář 21. 11. 2019 Lukáš Másilko 8. cvičeni 21. 11. 2019 1/15 Náplň cvičení Analytická geometrie - opakování ■ Vzájemná poloha přímek v prostoru Vlastní čísla a vlastní vektory Analytická geometrie - opakování ■ Rovina - parametrické rovnice ■ Rovina - obecná rovnice Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 2 / 15 Literatura a zdroje Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra. Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z: https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 3 / 15 Vzájemná poloha přímek v prostoru Příklad 15.2.11: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. a) P = {[- 6 + ŕ; 7 - t;2t], t e R} q = {[- 5-/c;3-2/c;5 + /c], k e R} b) p = {[1 + ŕ; 2 - 2t; ŕ], ŕ e K} q = {[4 - 2k; 1 + 4/c;3 - 2k\, k G R} c) p = {[2 -3ŕ;l + ŕ; 4- t], t e R} q = {[- 4 + 3/c;3- k;2 + k], k e R} d) p = {[2ŕ;3- t; 4- t], t e R} q = {[2 -2/c;-l + /c;6 + 2/c], k e R} e) p = {[2; 4-ŕ;l + 2ŕ], ŕ e M} q = {[1 - /c; 2 + 3/c;-1 - 2k], k E R} f) p = {[2; 1 + ŕ; 3], teR} q = {[k ;4;l + /c], k e R} Výsledky: na dalším snímku □ S = Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 4 / 15 Vzájemná poloha přímek v prostoru Příklad 15.2.13: Určete hodnotu parametru m £ K. tak, aby přímky p, q byly různoběžné. Potom vypočítejte souřadnice průsečíku přímek p, q: p = {[2 + /c;3-2/c;4], k G R} q = {[1 - 4ŕ; m + ŕ; 1 - 3t], ŕ G M} Výsledky: 11a) p, q různoběžky, P[—4; 5; 4], 11b) p, q různé rovnoběžky, 11c) p = q, lld) p, q mimoběžky, Íle) p, q mimoběžky, llf) p, q různoběžky, P[2; 4; 3]. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 5 / 15 Vzájemná poloha přímek v prostoru Příklad 15.2.13: Určete hodnotu parametru m £ K. tak, aby přímky p, q byly různoběžné. Potom vypočítejte souřadnice průsečíku přímek p, q: p = {[2 + /c;3-2/c;4], k G R} q = {[1 - 4ŕ; m + ŕ; 1 - 3t], ŕ G M} Výsledky: 11a) p, q různoběžky, P[—4; 5; 4], 11b) p, q různé rovnoběžky, 11c) p = q, lld) p, q mimoběžky, Íle) p, q mimoběžky, llf) p, q různoběžky, P[2; 4; 3]. 13. Pro m = — 2 je průsečík P[5; —3; 4]. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 5 / 15 Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí (f(u) — A - Ú — \ - Ú. Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú. □ g ► < -e ► < = Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 6 / 15 Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí (f(u) — A - Ú — \ - Ú. Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú. Poznámka: ■ Vlastním vektorům se také říká "invariantní směry" či "invariantní vektory". ■ Je-li Ú vlastní vektor, pak i vektor a • Ú {a G IR) je vlastní. ■ Vlastní vektory odpovídající jedné vlastní hodnotě A tvoří vektorový pod prostor. □ g ► < -e ► < = Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 6 / 15 Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení Upravíme vztah z definice vlastního vektoru: A - Ú — X - Ú A - Ú — X • E • u (E: jednotková matice) (A - X • E) • u = o Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 7 / 15 Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení Upravíme vztah z definice vlastního vektoru: A - Ú — X - Ú A - Ú — X • E • u (E: jednotková matice) (A - X • E) • u = o Postup nalezení vlastních čísel a vektorů Najdeme determinant matice A — X • E, z něhož nám vyjde rovnice s neznámou A, kterou vyřešíme. Do systému {A — X - E) - Ú — o dosadíme vypočítané hodnoty A a nalezneme vlastní vektory jako množinu řešení systému. □ g ► < -e ► < = Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 7 / 15 Vlastní čísla a vlastní vektory - příklady Příklad 1 Lineární transformace

se souřadnicovými osami a rovinu £> nakreslete. B Napište rovnice přímek, ve kterých rovina g protíná souřadnicové roviny. Výsledky: na dalším slajdu. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 12 / 15 Výsledky príkladu 16. x = 2 - t + k, y = 1 - t - 3k, z = 6 - 6ŕ - 6/c, k, t EM.; a) Px[l;0;0],Py[0;l;0],Pz[0;0;-3], c) K E ABC, L i ABC, d) z = -6. 17. a) Px[2;0;0],Py[0;4;0],Pz[0;0;-4]; b) Pxy = {[2 + t; -2t; 0], ř E M}, Pxz = {[2 + k; 1; 0], /c E R} P = {[0; 4 +m; m], m e M}. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 13 / 15 Rovina - obecná rovnice Příklad 15.3.19: Dokážte, že dané tři body určují rovinu. V případě, že rovinu určují, napište její obecnou rovnici. Vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic a rovinu ve zvolené soustavě souřadnic znázorněte. a) /4[1;1;1],B[5;1;-3],C[2;0;2] b) /4[l;-3;-l],B[2;2;0],C[-4;5;5] c) /4[l;2;-3],B[0;l;2],C[2;3;-8] d) A[0; 0; 0], B[l; 2; -2], C[-3; -6; -5] Příklad 15.3.20: Dokažte, že přímka p a bod A určují rovinu. Napište její obecnou rovnici. a) p = {[3 - ř; -2 + ř; 4 + 2ř], t e R}, A[0; -1; 5] b) p = {[2; 4; k], k e R}, 4[0;3;0] c) p = {[1 + t; 2 - 2ŕ; 0], ŕ G E}, A[l; 0; 3] Výsledky: na dalším slajdu. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 14 / 15 Výsledky príkladu 19. a) x + 2y + z-4 = 0, b) 2x - y + 3z - 2 = O, c) body A, B, C leží na přímce, rovinu neurčují, d) 2x-y = 0. 20. a) x + 5y - 2z + 15 = 0, b) x - 2y + 6 = 0, c) 6x + 3y + 2z - 12 = 0. Lukáš Másilko 8. cvičení 21. 11. 2019 15 / 15