MA0005 Algebra 2, 9. seminář
28. 11. 2019
Lukáš Másilko 9. cvičeni 28. 11. 2019       1 / 17
Náplň cvičení
Analytická geometrie - opakovaní
■ Rovina - parametrické rovnice
■ Rovina - obecná rovnice
Matice přechodu
■ Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
■ Změna matice lineárního zobrazení při změně báze
■ Změna matice lineární transformace při změně báze
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       2 / 17
Literatura a zdroje
Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       3 / 17
Rovina - parametrické rovnice
Příklad 15.3.16: Dokažte, že body A[2\ 1; 6], 6[0; -1; -6], C[-l; 2; 0] určují rovinu a napište její parametrické rovnice.
a) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina ABC protíná osu x, osu y a osu z.
b) Danou rovinu znázorněte ve zvolené soustavě souřadnic.
c) Rozhodněte, zda body K[2; 4; 15], L[—3; 2; 6] leží v rovině ABC.
d) Vypočítejte z £ ir tak, aby bod M[—2; 1; z] ležel v rovině ABC.
Příklad 15.3.17: Je dána rovina
g = {[1 + t + k; 2 + 3t - /c; 5t + /c], /c, ŕ G R}.
H Vypočítejte průsečíky roviny £> se souřadnicovými osami a rovinu £> nakreslete.
B Napište rovnice přímek, ve kterých rovina g protíná souřadnicové roviny.
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       4 / 17
Výsledky príkladu
16.
x = 2 - t + k, y = 1 - t - 3k, z = 6 - 6ŕ - 6/c, k, t EM.; a) Px[l;0;0],Py[0;l;0],Pz[0;0;-3],
c) K E ABC, L i ABC,
d) z = -6.
17.
a) Px[2;0;0],Py[0;4;0],Pz[0;0;-4];
b) Pxy = {[2 + t; -2t; 0], ř E M}, Pxz = {[2 + k; 1; 0], /c E R} P   = {[0; 4 +m; m], m e M}.
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       5 / 17
Rovina - obecná rovnice
Příklad 15.3.19: Dokážte, že dané tři body určují rovinu. V případě, že rovinu určují, napište její obecnou rovnici. Vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic a rovinu ve zvolené soustavě souřadnic znázorněte.
a) /4[1;1;1],B[5;1;-3],C[2;0;2]
b) /4[l;-3;-l],B[2;2;0],C[-4;5;5]
c) /4[l;2;-3],B[0;l;2],C[2;3;-8]
d) A[0; 0; 0], B[l; 2; -2], C[-3; -6; -5]
Příklad 15.3.20: Dokažte, že přímka p a bod A určují rovinu. Napište její obecnou rovnici.
a) p = {[3 - ř; -2 + ř; 4 + 2ř], t e R}, A[0; -1; 5]
b) p = {[2; 4; k], k e R}, 4[0;3;0]
c) p = {[1 + t; 2 - 2ŕ; 0], ŕ G E}, A[l; 0; 3] Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       6 / 17
Výsledky príkladu
19.
a) x + 2y + z-4 = 0,
b) 2x - y + 3z - 2 = O,
c) body A, B, C leží na přímce, rovinu neurčují,
d) 2x-y = 0.
20.
a) x + 5y - 2z + 15 = 0,
b) x - 2y + 6 = 0,
c) 6x + 3y + 2z - 12 = 0.
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       7 / 17
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
OL = (ěí, 62, ... ě^),   P = (/i, h, • • • fn)
Lukáš Másilko 9. cvičeni 28. 11. 2019       8 / 17
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
OL = (ěí, 62, ... ě^),   P = (/i, h, • • • fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze f3, hledáme lineární kombinaci Úa pomocí vektorů báze f3,
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       8 / 17
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
OL = (ěí, 62, ... ě^),   P = (/i, h, • • • fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze f3, hledáme lineární kombinaci Úa pomocí vektorů báze f3,   tedy hledáme xi, X2,..., xn G ffi. tak, aby
(tfl, U2, . . . , Un) = fi • Xi +     • X2 H-----h /n • X„,
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       8 / 17
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
OL = (ěí, 62, ... ě^),   P = (/i, f2, • • • fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci ja pomocí vektorů báze /3,   tedy hledáme xi, X2,..., xn G ffi. tak, aby
(tfl, tf2, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn,
což vede na řešení systému Ú — j3 • x, tedy řešení soustavy
/ fll ^12 • • • ^ln
£l ^22 • • • hn
m m •      •      • ■
\ fnl fn2 • • • fnn
Un J
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       8 / 17
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
OL = (ěí, 62, ... ě^),   P = (/i, h, • • • fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze f3, hledáme lineární kombinaci Úa pomocí vektorů báze f3,   tedy hledáme xi, X2,..., xn G ffi. tak, aby
(tfl, U2, . . . , Un) = fi • Xi +     • X2 H-----h /n • X„,
což vede na řešení systému Ú — f3 • x, tedy řešení soustavy
/ ^11 ^12 • • • fln
£l ^22 • • • hn
m m •      • • ■
\ fnl fn2 • • •
Un J
Budeme takovou soustavu řešit pro každý vektor^vlášť? , t > 41 „
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       8 / 17
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor e; báze a lze vyjádřit v bázi (3 takto:
n
Gi = fľ Pli + h ' P2i H-----Vfn' Pni = ^ h ' Pkh
k=l
kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor é/ vyjádřený v bázi /3,
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       9 / 17
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor e; báze a lze vyjádřit v bázi (3 takto:
n
Gi = fľ Pli + h ' P2i H-----Vfn' Pni = ^ h ' Pkh
k=l
kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor é/ vyjádřený v bázi /3,
Matice přechodu
Maticí přechodu Pafi °d báze /3 do báze ct rozumíme matici, pro níž platí
a = P- Pa,i3
(1)
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       9 / 17
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi f3 takto:
n
Gi = fľ Pli + h ' P2i H-----Vfn' Pni = ^ h ' Pkh
k=l
kde (pi/, p2/,..., pn/) je vektor é/ vyjádřený v bázi /3,
Matice přechodu
Maticí přechodu Paß od báze /3 do báze et rozumíme matici, pro níž platí
a = ß- Paß
(1)
Poznámka:
■ Vektory obou bází se ve vztahu (1) zapisují sloupcově.
■ Matice přechodu Pß^a je regulární.
■ Matice (Paß)-1 — Pß,a Je maticí přechodu od báze a k bázi ß a platí tento vztah:
(2)
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       9 / 17
Matice přechodu - příklady
Příklad 1
Jsou dány dvě různé báze a,/3 vektorového prostoru IR3. Najděte matice přechodu Pp,a, Pa,p a určete souřadnice vektoru ua = (1,2,1) v bázi (3 a souřadnice vektoru vp = (—1,0,3) v bázi a.
((1,	0,	1);	(2,	1,	1);	(0,0,2))
((0,	1,	1);	(1,	0,	2);	(2,0,2))
((1,	0,	2);	(2,	1,	1);	(3,2,4))
((3,	3,	0);	(2,	2,	4);	(0,4,3))
((1,	2,	0);	(2,	1,	1);	(1,0,1))
((2,	2,	1);	(1,	2,	1);	(0,0,2))
a =
p =
a —
(3 =
Q OL —
(3 =
Výsledky: na dalším slajdu
i3P
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       10 / 17
Výsledky Příkladu 1
1- Pp,a =
O
0
1
2
(1,2, l)a = (2, -2,      (-1,0,3)^ = (8, -1, -1)
1 3 _5_
8 8 24
n 1 19
16 ^ ^
4 4 4 5 11
9   p      _ |     ii      _/_ iy
3
2
3
4
9 4
a
_ 1 2
-1
3 2
(l,2,l)a = (§,^,-%(-l,0,3)i9 = (-
(1, 2, l)a = (4, -2,1)^, (-1, O, 3)0 = (5, -12,17)
12,	2U 2 /<*
2	2
-2	-4
3	6
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       11 / 17
Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady
Příklad 2
Lineární zobrazení cp : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích (7, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice
^S,cn A3,S>
1. (f
a
(  2 1
: R2 ^R3, As = I    0 1
V-i i
= ((1,2); (-2,1)), (3 = ((1,1,1); (1,1,0); (1,2,0))
/ 1   1  0 \
2. ^ : E3 ->• E4, /4S =
,a = ((l,0,l);(l,l,l);(l,2,0)),
0 11 10 1
V i o o y
= ((1, 2, -1, 0); (0,1, -1, -2); (-1,0,0, -2); (2,1,0, -3)).
□ g ►   < -E ►   < =
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       12 / 17
Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady
Příklad 2
Lineární zobrazení cp : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích (7, V. Pro zadané báze a prostoru U a f3 prostoru V určete matice
As,a?
3. cp : R3     ir2, >4S =
/3 = ((1,0); (4,1)). Výsledky: na dalším slajdu
110 0 11
, a = ((l,l,l);(l,0,4);(l,4,0)),
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       13 / 17
Výsledky Příkladu 2
i- As,a =
< Af3,S =
2. ASí0t =
Aa     - 1
^/3,a — 3
/ 2   2   3 \ 12 2 2   2 1
V 1   1   1 / / 16   21    14 \
O    -1 -3 -1   -3 -5
V -7   -9   -5 )
3- A$ a —
2 2
-6 2
1 5 4 4
-15 4
-11 4
/ 4 -1
-1
V-i
■ 4s,s =
1
o
-3 1
b
-1 -2 -2
12 \ 1 O
"6 /
-4 1
□ g ►   < -E ►   < =
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       14 / 17
Změna matice lineární transformace při změně báze -příklady
Příklad 3
Lineární transformace cp : ir3 —>> ir3 je zadána maticí As ve standardní bázi prostoru ir3. Pro bázi
q = ((1,1,1);(1,1,0);(1,2,0))
prostoru ir3 určete matice As,a, A*,Sj A*,
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       15 / 17
Výsledky Příkladu 3
1- AS,a =
A —
2- AS,a =
A —
» Aa,s —
Lukáš Másilko
9. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
28. 11. 2019       16 / 17
Výsledky Příkladu 3
3- ^S,a —
A —
a,S
□      g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
9. cvičení
28. 11. 2019       17 / 17