MA0009, 17. prosince 2019
Všechna souřadnicová vyjádření jsou vzhledem ke kartézské souřadné soustavě příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 36 bodů.
1. Je dána krychle s protilehlými podstavami ABCD a EFGH. Dále jsou dány body
K=lE+\F,   L=§C*+§G, M=\G+\H.
+ Určete odchylku přímky KL od roviny ABCD.
+ Určete zbylý vrchol čtyřúhelníku řezu krychle rovinou KLM.
+ Určete poměr obsahů trojúhelníků, které tvoří čtyřúhelník řezu a mají společnou stranu KL.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[l,-4,l,-l]+t(l,2,0,l) | tel}, C = {xi — x3 = 2, x2 = 0, xi + x4 = 4}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u= (2,3,-1),   v = (1,6,0). + Určete vektorový součin u x v, odchylku a = <(u, v) a ukažte, že platí
||u x v|| = ||u|| • ||v|| • sin a.
4. Je dán lichoběžník se základnami AB a CD, jejichž velikosti jsou v poměru 4 : 3. + Určete barycentrické souřadnice těžiště lichoběžníku vzhledem k jeho vrcholům.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní (souřadnicový) příklad... + ... lichoběžníku z úlohy 4.
+ ... dvou mimoběžných podprostorů, které mají společný směr.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... obecné podprostory B & C mají společný bod právě tehdy, když libovolný vektor BC (kde
B e B a C e C) patří do součtu zaměření B + ~í. + ... umíte některý z předchozích úkolů řešit jiným způsobem.